problemas resueltos de cuadripolos (redes de dos puertos)

PROBLEMAS DE CUADRIPOLOS

1

PROBLEMA 1

Una instalación de telefonía está compuesta por un cuadripolo transmisor, un generador y un receptor

a) Calcular la impedancia del receptor de forma que reciba la máxima potencia b) Determinar dicha potencia c) Hallar los parámetros de impedancia del cuadripolo

600 2140 100 2740 100 2140 100 2740 100 Z j16100 Sustituyendo la fuente de tensión por una fuente de corriente

La impedancia de Thévenin es

2140 100 4830 j265 Según el Teorema de máxima transferencia

4830 265 b) !" #$ % & 49µ( c) )2140 1600 16100 2140 1600

PROBLEMA 2

1V 2V

´21

+

Z

Ω2140 Ω100 Ω100Ω2140Ω600

Ω16100VE º0/1=

1 21I2I


2

1

1 1I

1V 60Ω

50Ω

2

´2

2I

2V

5Ω

54Ω

2

10Ω

30Ω 37Ω

2

50Ω 30Ω 37Ω

1

1 1I

1V 60Ω 54Ω 10Ω

50Ω 1I

1

1

1V 23,64

Ω

Obtener los parámetros de impedancia del cuadripolo de la figura

SOLUCION

Teniendo en cuenta las ecuaciones de parámetros de impedancia

* + + * + ,+

Calculemos los parámetros de impedancia

-./0/ 1 + 0 este parámetro es la resistencia de entrada o resistencia de Thévenin vista desde la entrada.

Este circuito es equivalente al

Así pues hallando las sucesivas equivalencias llegamos a que 73,64Ω -.$0/ 1 + 0 Para hallar esta relación se resuelve el siguiente circuito

obtenido del inicial

50Ω 30Ω

1

1 1I

1V 60Ω 9,01Ω

Ω0Ω

*

+

50Ω 30Ω 37Ω 1 1I

60Ω 54Ω 10Ω *


3

5Ω 30Ω 37Ω

4*00 5 4120 60 060 100 100 10 1015 6+++7 Siendo * 54 +

+ 8120 60 *60 100 00 10 0 8∆ 0,000855 *

3,4Ω 3,4Ω Para obtener la impedancia de salida del cuadripolo, con la entrada abierta se

opera de la misma forma. El circuito visto desde la salida es

-*+ :0/) 29,84Ω

PROBLEMA 3

Calcular los parámetros de admitancia en cortocircuito de los cuadripolos A y B

1

1

´2

1I 2I

1V 2V6Ω

3Ω

6Ω

2

2

2

1

1

´2

1I 2I

1V 2V

3Ω

3Ω

2

1

60Ω

2

´2

2I

2V54Ω

2

10Ω

+


4

C Cuadripolo A Cuadripolo B

SOLUCIÓN

Teniendo en cuenta las ecuaciones de parámetros de admitancia

+ ,* ,* + ,* ,*

Cortocircuitando la salida del cuadripolo A se obtiene las siguientes relaciones

, - +*: * 0 16 , -+*: * 0 112 Cortocircuitando la entrada del cuadripolo A se obtiene las siguientes relaciones

, - +*: * 0 112 , - +*: * 0 18 Cortocircuitando la salida del cuadripolo B se obtiene las siguientes relaciones

, - +*: * 0 16 , -+*: * 0 16 Cortocircuitando la entrada del cuadripolo B se obtiene las siguientes relaciones

, - +*: * 0 16 , - +*: * 0 16

PROBLEMA 4

Consideremos un cuadripolo en T simétrico, esquematizado en la figura. Las

impedancias son respectivamente 5 3 . Determinar 1º) La matriz de parámetros de impedancia

2º) La matriz de parámetros de transmisión

3º) El cuadripolo en π equivalente

4º) El cuadripolo en X simétrico equivalente

5º) La impedancia característica


5

* ;< ;< ;< ;<

1 2

1´ 2´

1

1´

2

2´

= ;<> ;<

? ;<

;< ;<

;<* ;< * ;<

6º) El dominio de pulsaciones para los cuales la impedancia característica es real

( Siendo una inductancia pura L=0,2H y un condensador C=10F)

1º @A B5 3 33 5 3C

2º) Mediante la tabla de conversión sacamos

D 1 53 E ∆ 2 53 F 1 1 3 G 1 53 3º) El cuadripolo en π equivalente será

= >


6

1V 2V

1I 2I 2

´21

1

Z

Z

R

C

H 53 4º) Cuadripolo en X equivalente

5º IJK √5 6º) M∆ INO KP NO Para que sea real O Q 10 </S

PROBLEMA 5

El cuadripolo en X de la figura se alimenta de una tensión * senoidal. Las impedancias son iguales.

a) Calcular la diferencia de potencial * cuando la salida 22´permanece abierta b) Se conecta una impedancia K entre 2 y 2´. Calcular la d.d.p. en esta

impedancia

c) Demostrar que si R es variable el cuadripolo actua como desfasador.

1

1´

2

2´ = ;<

> ;<* ;< * ;<> ;<

= ;<


7

2/1V

´22V

I

CV

RV

1 11V2/1V

φ

a) De acuerdo con el circuito la tensión de salida en vacio es la mitad de la tensión de entrada

b) La impedancia de salida del cuadripolo es

2 TFOT 1FO La tensión en la impedancia de la carga

*´ *2 K K c) Si R varia la tensión de salida en vacio no varía en modulo porque es el

radio de la circunferencia, solo varia el desfase con relación a la tensión de alimentación

PROBLEMA 6

Dado el cuadripolo de la figura

a) Determinar su matriz de parámetros mediante la asociación de dos cuadripolos en cascada

b) Cual debe ser la frecuencia de trabajo para que la tensión de salía * esté en oposición de fase con * c) En las condiciones del apartado anterior cuanto vale la ganancia de tensión


8

a) Matriz de parámetros del cuadripolo enT

UTWX 61 FOT 1FOT 2FO1T 1 FOT 7 Matriz de parámetros del cuadripolo en π

UTYX 61 FOT FOFOT 1 FOT7 Por razones de cálculo llamamos Z KP% Entonces la matriz de parámetros de transmisión del cuadripolo son

[1 Z TZ 2TZ1T 1 Z \ 4 1 Z TZ2T ZT 1 Z5 [1 5Z Z 6Z T4Z 3Z Z1T 3 Z 4Z 1 Z 3Z \

b) Tomando + 0 . De las ecuaciones del cuadriolo se obtiene * D* por tanto D D/180º para ello 6Z Z Z 6 ] 12;TF√6

c) En las condiciones del apartado anterior la ganancia es

2

2´ 1´

1

R R R +

C C C


9

** 1 5Z 1 30 29

PROBLEMA 7

Un cuadripolo tiene los siguientes parámetros:

2 3O 3O 3O 3 3O Se pide hallar sus equivalentes en T y en π

SOLUCIÓN

Como el cuadripolo es reciproco el cuadripolo equivalente en T está formado por tres impedancias 3O 2 3O 3O = 2 3 3O 3O 3 El cuadripolo equivalente en T

Conociendo el equivalente en T podemos calcular el equivalente en π de impedancias = > H mediante las relaciones siguientes = 3 7,5O > 2 5O

1

1

´2

1I 2I

1V 2V

3

3H


10

iVA

AR

BR

OR

iR

´1I

´´1I

1I

1I

´2I 2I

´´2I

2I

´´2I

´´2V

´2I

1V

2

2

1 2

2

1

1

1

1

1 2

2

´´1I

´2ViV

´1V 2V

´´1V

+

H 5 2O Que representando esquemáticamente los valores resulta:

PROBLEMA 8

El circuito de la figura es un ejemplo de realimentación positiva con cuadripolos asociados en serie-paralelo.

1º Obtener los parámetros hibridos del cuadripolo de la figura, en función de los parámetros hibridos de los cuadripolos A y B.

2º Obtener la ganancia de tensión de cuadripolo resultante

El cuadripolo A es un amplificador operacional. El cuadripolo B es una asociación de impedancias en paralelo.

Datos RB=200Ω RA=5Ω Ri=106Ω A=100 R0=3Ω

5 0,5F

1

1

´2

1V

21I 2I

2V

2

5H

3

7,5

H


11

Los parámetros hibridos directos del cuadripolo A son

[*´+´ \ [ T^ 0 DT T^ 1T\ [+´*, \

Los parámetros hibridos directos del cuadripolo inferior B son

[*´´+´´ \ _a TbTJTb TJ

TbTb TJ TbTb TJ1Tb TJcd

de [ +´*, \ Como en esta asociación de cuadripolos se verifica que

* *´ *´´ + +´ +´´

Sumando los parámetros hibridos del cuadripolo A y B se obtienen las ecuaciones del cuadripolo equivalente:

f*+ g _a TbTJTb TJ T^ TbTb TJ TbTb TJ DT T^ 1Tb TJ 1Tcd

de f +*g Como se puede comprobar este sistema realimentado es aproximadamente

equivalente al siguiente circuito.

iVA

AR

BR01 =I

1I

2I

2I

1V

1

1 2

2

iV

2V

+


12

Dado que la resistencia Ri es muy grande se puede sustituir por un circuito

abierto. Debido a que la resistencia R0 es muy pequeña se puede sustituir por un corto

circuito. De esta forma el circuito equivalente realimentado se simplifica con la

finalidad de obtener la amplificación

La corriente en RA es por tanto

+ *Tb TJ * D *^ Dh* Tb+i D* Tb *Tb TJ La ganancia de tensión directa es

** ATD TETD1 D TE 10020551 100 200 20500705 29,078

PROBLEMA 9

Los parámetros de impedancia de una línea de transmisión son:

1,024 . 10/89,345º 1094,075/90,325º La carga en el extremo receptor es de 4000w a 230V con un factor de potencia

de 0,9 en retraso. Hallar la magnitud de la tensión y la corriente en el extremo

distribuidor

Tomar la tensión de salida en el origen

SOLUCION

400 230 + 0,9 cos o 0,9 o 25,84º La corriente a la salida es

2

2

1V

1I 2I

2V

1

1


13

+ 19,323/25,84º * 230/0º De las ecuaciones del cuadripolo se obtiene

* + + 1,024 . 10/89,345º + 1094,075/90,325º 19,323/25,84º * 230/0º + + = 1094,075/90,325º + 1,024 . 10/89,345º 19,323/25,84º De este sistema de ecuaciones se obtiene la tensión y la corriente en el extremo

distribuidor

+ 180,85/24,86º * 23

PROBLEMA 10

Un cuadripolo simétrico esta alimentado por una tensión E y la carga a la salida es una resistencia de 6Ω. La resistencia del cuadripolo R2 es cuatroveces la resistencia R1. Obtener cual debe ser el valor de R1 para que la resistencia de entrada (vista desde la alimentación) sea tambien de 6Ω . Hallar las potencias a la entrada y en el receptor para determinar la ganancia de tensión

.

SOLUCIÓN

Como q T T T 4T 5T

Como q T T T 4T 5T

q q T 4T

La condición de igualdad de impedancias implica la siguiente relación en función de los parámetros del cuadripolo

R1

3

R1

3

1

1

´2

1I 2I

1V 2VR2 Z


14

Ir^ √25T 16T √9T 3T = 6

Por tanto T T 2 T 4T 8

La ganancia de tensión

** ++ 1/2++ 12

PROBLEMA 11

En el cuadripolo activo de la figura:

1º) Calcular las ecuaciones del cuadripolo activo en función de los parámetros de admitancia.

2º) Dibujar el circuito conductivo equivalente al cuadripolo de la figura

3º) Obtener la ganancia de tensión en función de los parámetros del cuadripolo,

sin carga en la salida 2, 2´, siendo la tensión de entrada entre 1 y 1´ º0/501 =V

SOLUCION:

1º Calculo de los parámetros del cuadripolo pasivo

+

º30/202 −

Ω4

Ω− j2

Ωj2

1V 2V

1I 2I 2

´21

1

Ω4

Ω− j2

Ωj2

1V

1I 2I 2

´21

1

2V


15

Al cortocircuitar el condensador queda 12 II −= . La corriente en el condensador es nula

jV

V

IY

24

102

1

111

+===

jV

V

IY

24

102

1

221

+−===

La tensión en el condensador es la de salida del cuadripolo por lo que está en oposición a la corriente de entrada

jjjV

V

IY

84

4

2

1

24

101

2

222

−=

−+

+===

jV

V

IY

24

101

2

112

+−===

Calculo de los parámetros de cortocircuito

Por estar la salida y la entrada cortocircuitada

010 =I

Ω4

Ω− j2

Ωj2

2V

1I 2I 2

´21

1

+

º30/202 −

Ω4

Ω− j2

Ωj2

01 =V 02 =V

10I 20I 2

´21

1


16

º240/102º60/102º90/2

º30/20220 =−=

−

−−=I

2º El circuito equivalente con fuentes dependientes

3º Las ecuaciones del cuadripolo activo son:

2124

1º0/50

24

1Vjj

I+

−+

=

º60/10284

4º0/50

24

10 22 −

−+

+−== V

jjI

Calculo de la ganancia de tensión:

º60/102º0/5024

1

84

42 +

+=

− jVj

º60/102º0/50º45,29/22,0º63,85/45,0º63,85/94,8

422 +−==

−VV

º63,25/42,31º08´115/49,0º63,85/45,0

º60/102

º63,85/45,0

º0/50º45,29/22,02 −+−=+

−=V

PROBEMA 12

Una línea eléctrica suministra energía a un centro de consumo de P=25Mw con

un factor de potencia 0,85 inductivo, siendo el voltage a la entrada al centro * 127Kv La línea se puede representar por un cuadripolo de parámetros

D G 0,9/0,02 <Zs F 10

1

Ω4

Ω− j2Ωj2

2V

1I 2I 2

´2

1

Ω4

20I212VY 121VY


17

1º) Se pide calcular la tensión en el origen de la línea

2º) Calcular la potencia activa suministrada a la línea

En el extremo receptor de la línea se conecta un transformador cuyo esquema equivalente es

A cuyo secundario se le conecta la misma carga que en el caso anterior

3º) Que tensión existe en el origen de la línea, referida a la tensión en bornes de la carga

4º) Si el secundario del transformador está en vacio y a la tensión de 127Kv. ¿ Cual es la tensión en el origen de la línea?

SOLUCIÓN

1º) Calculemos la intensidad en la carga + t.$ uvwx y z ,&y 231,588 D Calculemos *tomando como referencia * 127 10/0º + 231,588/31,78º La tensión en el origen de la línea se calcula con las ecuaciones de parametros

* D * E + 0,9/1,146º 127 10 /0º 192 / 80,35º 231,588/31,78º 148,0496/13,92º kV 2º) Calculando la corriente en la cabecera de la línea y con la tensión obtenida se podra calcular la potencia en ella

+ F * G + 10 127 10 0,9/1,146º 231,598/31,78º 180,54/6,61 A

| 148,0496*/13,92º 180,54D/6,61 180,54 *D/7,31º

! 180,54*D cos 7,31º 1790726,16~

3º) Como el transformador está representado por un cuadripolo en L, calculamos la matriz de parámetros. Del cuadripolo se obtienen las ecuaciones:

3+40jΩ

1

1

´2

1I 2I

1V 2V1200+j9000j


18

* /$ 1* + 3 40 40,112/85,7º 1200 9000 /82,4º

+ * +

La matriz de transferencia será:

U>X [/$ $ 1 \ f 1,0044/0,0144º 40,112/85,7º1,101 10/82,4º 1 g Al conectarle a la línea el transformador estamos realizando una asociación de

cuadripolos en cascada. Así pues la matriz de transmisión será el producto de las matrices de transmisión de ambos cuadripololos

U=XU>X f0,9/1,1459º 192/80,35º10 0,9/1,1459º g f 1,0044/0,0144º 40,112/85,7º1,101 10/82,4º 1 g=

problemas resueltos de cuadripolos (redes de dos puertos)

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