problemas resueltos de sistemas de ecuaciones, gauss

Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net

Asignatura: Matemáticas Ciencias – 2ºBachillerato

Problemas resueltos de sistemas de ecuaciones, Gauss, matrices y determinantes - repaso Bachillerato

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Problemas resueltos de sistemas de ecuaciones,Gauss, matrices y determinantes - repaso Bachillerato

Dificultad: ♣ (fácil) ♣♣ (medio) ♣♣♣ (difícil)

Índice de contenidoÍndice temático.......................................................................................................................3Sistemas de ecuaciones........................................................................................................4

■ Sistemas 1 ♣♣................................................................................................................4■ Sistemas 2 ♣...................................................................................................................6■ Sistemas 3 ♣♣................................................................................................................7■ Sistemas 4 ♣♣................................................................................................................9■ Sistemas 5 ♣♣♣............................................................................................................10■ Sistemas 6 ♣♣..............................................................................................................13■ Sistemas 7 ♣♣♣............................................................................................................15■ Sistemas 8 ♣♣♣............................................................................................................18

Problemas de enunciados para plantear sistemas..............................................................23■ Enunciados 1 ♣.............................................................................................................23■ Enunciados 2 ♣.............................................................................................................24■ Enunciados 3 ♣♣..........................................................................................................26■ Enunciados 4 ♣♣♣........................................................................................................27

Matrices................................................................................................................................28■ Matrices 1 ♣♣...............................................................................................................28■ Matrices 2 ♣♣...............................................................................................................30■ Matrices 3 ♣♣...............................................................................................................31■ Matrices 4 ♣♣...............................................................................................................33■ Matrices 5 ♣♣...............................................................................................................35■ Matrices 6 ♣♣...............................................................................................................36■ Matrices 7 ♣♣...............................................................................................................37■ Matrices 8 ♣♣...............................................................................................................39■ Matrices 9 ♣♣...............................................................................................................41■ Matrices 10 ♣♣.............................................................................................................43■ Matrices 11 ♣♣..............................................................................................................45■ Matrices 12 ♣♣.............................................................................................................46■ Matrices 13 ♣♣.............................................................................................................47■ Matrices 14 ♣♣.............................................................................................................48■ Matrices 15 ♣♣.............................................................................................................50■ Matrices 16 ♣♣.............................................................................................................51■ Matrices 17 ♣♣♣...........................................................................................................52■ Matrices 18 ♣♣.............................................................................................................53■ Matrices 19 ♣♣.............................................................................................................54■ Matrices 20 ♣♣.............................................................................................................55■ Matrices 21 ♣♣.............................................................................................................56■ Matrices 22 ♣♣♣...........................................................................................................57

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■ Matrices 23 ♣♣.............................................................................................................58■ Matrices 24 ♣♣.............................................................................................................59■ Matrices 25 ♣♣♣...........................................................................................................61

Determinantes......................................................................................................................64■ Determinantes 1 ♣♣♣...................................................................................................64■ Determinantes 2 ♣........................................................................................................67■ Determinantes 3 ♣♣......................................................................................................69■ Determinantes 4 ♣♣......................................................................................................71■ Determinantes 5 ♣........................................................................................................72■ Determinantes 6 ♣........................................................................................................73■ Determinantes 7 ♣♣......................................................................................................74■ Determinantes 8 ♣........................................................................................................76■ Determinantes 9 ♣♣♣...................................................................................................78■ Determinantes 10 ♣♣....................................................................................................81■ Determinantes 11 ♣♣♣.................................................................................................83■ Determinantes 12 ♣♣....................................................................................................86■ Determinantes 13 ♣♣....................................................................................................88■ Determinantes 14 ♣......................................................................................................90■ Determinantes 15 ♣......................................................................................................91





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Índice temáticoCramer en S.C.D. - Sistemas 8. Determinantes 5, 9

Ecuaciones matriciales – Matrices 1, 14, 15. Determinantes 7

Discutir soluciones en función de un parámetro – Sistemas 1-5, 8, 10. Matrices 14. Determinantes 1, 3,9, 11, 12, 13

Inversa en matrices – Matrices 1-5, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 19-22, 24. Determinantes 15

Inversa por adjuntos – Matrices 5, 8, 10. Determinantes 1, 4

Matriz n-ésima por inducción matemática – Matrices 4, 23

Método de Gauss para resolver sistemas – Sistemas 1-4, 6. Determinantes 11

Problemas con enunciados para plantear sistema – Enunciados 1-4

Propiedades de determinantes – Matrices 7, 9, 10, 22. Determinantes 4, 6, 8, 10, 14, 17

Rango – Matrices 8, 10, 18, 19. Determinantes 1-3, 7

Rouché-Frobenius – Sistemas 5, 7, 8, 10. Determinantes 1, 3, 5, 9, 11-13

Sistema de ecuaciones matriciales – Matrices 6





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Sistemas de ecuaciones

■ Sistemas 1 ♣♣

Sea el sistema de ecuaciones {x+y+(m+1)z=2

x+(m−1) y+2z=12x+m y+z=−1 }

a) Discutir sus posibles soluciones según el valor del parámetro m∈ℝ .

b) Resolver el sistema, si es posible, para m=2 .

a) Planteamos la matriz ampliada del sistema y triangulamos por Gauss. Recuerda que si, al transformaralguna línea, aparece en la ecuación de transformación el parámetro m , debemos estar atentos alobtener los resultados finales por si algún valor está inhabilitado (ya que no podemos multiplicar por

0 la línea que estamos transformando).

¿Qué transformaciones podemos aplicar? Transformaciones lineales. Es decir: sumar/restar líneasparalelas entre sí y/o multiplicar una línea por un número real no nulo. Si durante el proceso aparece una filanula, e elimina. Y si aparecen dos filaes iguales o proporcionales, también se elimina una de ellas.

Estas transformaciones lineales garantizan que el sistema resultante es equivalente al sistema departida, es decir, tienen las mismas soluciones.

(1 1 m+11 m−1 22 m 1 ∣ 2

1−1) → F ' 2=F2−F1 , F ' 3=F 3−2F1 → (

1 1 m+10 m−2 1−m0 m−2 −2m−1∣

2−1−5) →

→ F ' 3=F 3−F 2 → (1 1 m+10 m−2 1−m0 0 −m−2∣

2−1−4)

Discusión de casos (es vital mirar las posiciones a33 , a22 y a11 en la matriz triangular. Y si unafila tiene todos los coeficientes nulos, salvo el término independiente, también debemos mirar si enese término independiente aparece el parámetro).

¡Fundamental! El rango del sistema, tras aplicar Gauss y siempre que no aparezcan absurdosmatemáticos, es el número de ecuaciones no nulas.

Si el rango coincide con el número de incógnitas, tendremos SCD y solución única.

Si el rango es menor que el número de incógnitas, tendremos SCI e infinitas soluciones. El númerode parámetros libres coincide con la diferencia del número de incógnitas y el rango.

Y si encontramos un absurdo matemático, tendremos SI sin solución.

Planteamos la discusión de casos.





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• Si −m−2=0 → m=−2 → (1 1 −10 −4 30 0 0 ∣ 2

−1−4) → Incongruencia en F 3 → No hay

solución → Sistema Incompatible

• Si m−2=0 → m=2 → (1 1 30 0 −10 0 −4∣

2−1−4) → F 3 es combinación lineal de F 2 , por

lo que el sistema equivalente resulta (1 1 30 0 −1∣ 2

−1) → Sistema de dos ecuaciones y tres

incógnitas → Infinitas soluciones, ya que el rango del sistema es 2, y al tener 3 incógnitas,tendremos un Sistema Compatible indeterminado con un parámetro libre. Recuerda que una línea

Li es combinación lineal de otra línea paralela o de otras líneas paralelas si podemos

expresar esa línea Li como suma/resta de las otras líneas y/o proporcional a otra línea. Eneste caso, podremos obviar en la resolución la línea que es combinación lineal, ya que no aportainformación nueva al sistema de ecuaciones.

• Si m≠−2 y m≠2 → Solución única → Sistema Compatible Determinado, ya que llegamos atres ecuaciones no nulas en la sistema triangulado de tres ecuaciones y tres incógnitas, queno son combinación lineal entre sí. El rango del sistema es tres, lo cual coincide con el númerode incñognitas, por lo que la solución será única.

b) Para m=2 ya hemos razonado que tenemos infinitas soluciones al ser S.C.I. con un parámetro libre.Para resolver damos a una de las incógnitas el valor arbitrario del parámetro, e intentamos escribir lasotras incógnitas en función de ese parámetro.

Si resulta que la incógnita a la que hemos igualado al parámetro libre toma un valor real fijo después deoperar y resolver en el sistema, significa que no puede ser parámetro libre, por lo que igualaremos otraincógnita al parámetro.

El sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas al que llegamos es:

(1 1 30 0 −1∣ 2

−1) → z=1 , y=λ → x=−1−λ





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■ Sistemas 2 ♣

Sea {x+y+z=1

x−a·y+z=1a·x+y+z=4} . Discutir las soluciones en función del valor de a∈ℝ .

Planteamos la matriz ampliada del sistema y triangulamos por Gauss.

(1 1 11 −a 1a 1 1∣

114) → F ' 2=F2−F1 , F ' 3=F 3−a · F1 → (

1 1 10 −a−1 00 1−a 1−a∣

10

4−a) →

→ Intercambiamos C2 con C3 (el cambio de columnas afecta al orden de las incógnitas) →

→ (1 1 10 0 −a−10 1−a 1−a ∣ 1

04−a) → Intercambiamos F 2 con F 3 → (1 1 1

0 1−a 1−a0 0 −a−1∣

14−a

0 )Discusión de casos:

• Si −a−1=0 → a=−1 → (1 1 10 2 20 0 0∣

150) → Podemos obviar la tercera fila (al hacerse

todos los términos nulos significa que es combinación lineal de las otras filas). Llegamos a unsistema equivalente de dos ecuaciones y tres incógnitas → Un parámetro libre → infinitassoluciones → Sistema Compatible Indeterminado al tener un sistema de rango 2 con 3 incógnitas.

• Si 1−a=0 → a=1 → (1 1 10 0 00 0 −2∣

140) → Absurdo en F 2 → No hay solución →

Sistema incompatible, ya que 0≠4 .

• Si a≠−1 y a≠1 → Solución única → Sistema Compatible Determinado, ya que llegamos atres ecuaciones no nulas tras triangular la matriz, que no son combinación lineal entre sí.Sistema de rango 3 con 3 incógnitas.





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Sea el sistema de ecuaciones {a x+7 y+5 z=0

x+a y+z=3y+z=−2 }

a) Discutir sus posibles soluciones según el valor del parámetro a∈ℝ .

b) Resolver el sistema, si es posible, para a=4 .

a) (a 7 51 a 10 1 1∣

03

−2) → intercambiamos F 3 con F 2 → (a 7 50 1 11 a 1∣

0−23 ) → F '3=a F3−F1 (el

valor a=0 inhabilita esta operación, porque multiplicaría por cero la fila F 3 que estamos

transformando. Por lo tanto, si aparece el caso a=0 en la discusión de casos, habría que sustituirese valor antes de la transformación donde se genera el absurdo matemático).

→ (a 7 50 1 10 a2

−7 a−5∣0

−23 a) → F '3=F3−(a2

−7)F2 → (a 7 50 1 10 0 −a2

+a+2∣0

−22a2

+3a−14)Discusión de casos:

• Si −a2+a+2=0 → a=−1 , a=2

◦ Si a=−1 → (−1 7 50 1 10 0 0∣

0−2−15) → Absurdo en F 3 → No hay solución → S.I.

◦ Si a=2 → (2 7 50 1 10 0 0∣

0−20 ) → F 3 es combinación lineal de otras filas → Infinitas

soluciones al tener 2 filas no nulas y 3 incógnitas tras aplicar Gauss → S.C.I. con un parámetrolibre

• En general, si a≠−1 , a≠2 → Solución única al tener 3 filas no nulas y 3 incógnitas trasaplicar Gauss → S.C.D.

b) Para a=4 → (4 7 50 1 10 0 −10∣

0−230) → S.C.D. → z=−3 → y=1 → x=2





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Esto son PowerPoint y Excel que llaman a la puerta.¿Cómo se llama la película?

Está-Word... jajajaja, madre mía, buenísimo.

Otro chiste. Ración doble.

Esto es una iglesia tan bajita, tan bajita, tan bajita, que la gente en ve de arrodillarse hacía cuerpo a tierra.





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Dado el sistema de ecuaciones {x+2 y+(m+3)z=3

x+y+z=3 m2 x+4 y+3(m+1)z=8} .

a) Discute según los valores del parámetro m .

b) Resuelve el sistema para m=−2 .

a) Pasamos el sistema a notación matricial.

(1 2 m+31 1 12 4 3(m+1)∣

33m8 ) → Resolvemos por Gauss → F ' 2=F2−F1 , F ' 3=F 3−2 F2 →

(1 2 m+30 −1 −m−20 2 3m+1∣ 3

3m−38−6m) → F ' 3=F 3+2 F 2 → (1 2 m+3

0 −1 −m−20 0 m−3 ∣ 3

3m−32 )

Igualamos los coeficientes de la diagonal principal que dependen del parámetro: m−3=0 → m=3

Realizamos una discusión de casos, en función el parámetro, para determinar el tipo de solución.

• Si m=3 → El sistema, tras aplicar Gauss, queda (1 2 60 −1 −50 0 0 ∣362) → En la tercera ecuación

aparece el absurdo matemático 0=2 – No hay solución → Sistema Incompatible.

• Si m≠3 → Tras aplicar Gauss obtenemos tres ecuaciones de coeficientes no nulos y tresincógnitas, por lo que podemos despejar de manera única cada incógnita → Sistema Compatibledeterminado

b) Para m=−2 estamos, según la discusión del apartado anterior, en solución única. El sistema, tras

aplicar Gauss, queda (1 2 10 −1 00 0 −5∣

3−92 ) → De cada fila podemos resolver una incógnita.

Tercera fila → −5 z=2 → z=−25

Segunda fila → −y=−9 → y=9

Primera fila → x+2 y+z=3 → x+18−25=3 → x=

−735





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■ Sistemas 5 ♣♣♣

Considera el sistema de ecuaciones {λ x+y−z=−1λ x+λ z=λx+y−λ z=0 }

a) Discute el sistema según los valores de λ .

b) Resuelve el sistema para λ=0 .

a) La matriz del sistema y la matriz ampliada son:

A=(λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ) , A/C=(

λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ∣−1

λ0 )

Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema tendrá solución si el rango de ambas matrices coincide. Encaso contrario, será incompatible.

Si ambos rangos coinciden y son iguales al número de incógnitas del sistema (tres en nuestro caso), lasolución será única y estaremos ante un sistema compatible determinado.

Si ambos rangos coinciden y su valor es menor que le número de incógnitas, estaremos ante infinitassoluciones y el sistema será compatible indeterminado (con tantos parámetros libres como la diferenciaentre el número de incógnitas y el rango).

Para estudiar el rango de la matriz A , calculamos su determinante.

∣A∣=0+λ−λ−(0+λ2−λ

2)=0

El determinante de A se anula independientemente del valor del parámetro λ . Por lo tanto, el rangode A nunca será 3 . Como máximo, podrá ser 2 .

El rango de A será 2 si existe al menos un menor de orden 2 no nulo. Si estudiamos todos losmenores de orden dos posibles:

∣α11∣=−λ , ∣α12∣=−λ2−λ=−λ(λ+1) , ∣α13∣=λ

∣α21∣=−λ+1 , ∣α22∣=−λ2+1=(1+λ)(1−λ) , ∣α23∣=λ−1

∣α31∣=λ , ∣α32∣=λ2+λ=λ(λ+1) , ∣α33∣=−λ

Viendo estos nueve menores de orden dos, no hay ningún valor único del parámetro λ que anule a todos.Por lo tanto, el rango de A será 2 independientemente del valor del parámetro λ .

Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada A/C . Como máximo su rango será 3 , ya que es un





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matriz rectangular de tres filas y cuatro columnas.

En primer lugar comprobamos si A/C contiene alguna submatriz cuadrada de orden tres condeterminante no nulo.

A /C=(λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ∣−1

λ0 )

∣C 1C 2C 4∣=λ(2+λ) , ∣C1C 2C 4∣=0 → λ=0 , λ=−2

∣C 1C 3C4∣=λ2(1−λ) , ∣C1C 3C4∣=0 → λ=0 , λ=1

∣C 2 C3C 4∣=λ2

, ∣C 2 C3C 4∣=0 → λ=0

Si λ≠0 y λ≠1 y λ≠−2 → rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Sistema incompatible → Noexiste solucion.

Si λ=−2 → ∣C 2 C3C 4∣=λ2=4≠0 → rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Sistema incompatible

→ No existe solucion.

Si λ=1 → ∣C 2 C3C 4∣=λ2=1≠0 → rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Sistema incompatible

→ No existe solucion.

Si λ=0 → rango (A/C )≠3 por anularse el determinante de todas las submatrices de orden tres →

A/C=(0 1 −10 0 01 −1 0 ∣−1

00 ) → Encontramos al menos un menor de orden dos no nulo →

∣0 11 −1∣=−1≠0 → rango (A/C )=2=rango ( A)<3=número de incógnitas → Sistema

compatible indeterminado → Infinitas soluciones con 3−2=1 parámetro libre.

b) Debemos resolver el sistema para λ=0 , donde ya sabemos (por el apartado anterior), que estamosante un sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones) con un parámetro libre.

A/C=(0 1 −10 0 01 −1 0 ∣−1

00 ) → Podemos obviar la segunda fila por tener todos los términos nulos →

A/C=(0 1 −11 −1 0 ∣−1

0 ) → Tomamos como parámetro libre y=α





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De la primera ecuación del nuevo sistema → z=1+α

De la segunda ecuación del nuevo sistema → x=α

La solución final, en función de un parámetro, resulta:

{x=αy=α

z=1+α}





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a) Discute las soluciones del siguiente sistema en función del parámetro m .

{x+m y+z=2m x− y+z=02 x− y+2 z=1}

b) Resuelve, si es posible, el sistema para el caso m=1 .

a) Escribimos la notación matricial del sistema.

(1 m 1m −1 12 −1 2∣

201) → C1⇔C3 → (1 m 1

1 −1 m2 −1 2∣201) → F 2 '=F2−F1 , F 3 '=F 3−2 F2 →

(1 m 10 −(1+m) m−10 1 2−2 m∣ 2

−21 ) → F 3 '=(1+m)F 3+F 2 →

(1 m 10 −(1+m) m−10 0 −2m2

+m+1∣2

−2m−1)

Para discusión de casos tomamos:

−(1+m)=0 → m=−1 → Ojo, este valor inhabilita la transformación F 3 '=(1+m)F 3+F2 →

Tenddremos que sustituir m=−1 en un paso anterior a esa transformación

−2 m2+m+1=0 → m=1 , m=

−12

• Si m=1 → (1 1 10 −2 00 0 0∣

2−20 ) → Dos filas no nulas tras aplicar Gauss y tres incógnitas → SCI

infinitas soluciones con un parámetro libre.

• Si m=−12

→ (1 −1/ 2 10 −1/ 2 −3/20 0 0 ∣ 2

−2−3/ 2) → En la tercera fila encontramos el absurdo

0=−3 /2 → SI sin solución





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• Si m=−1 → Sustituimos antes de la transformación no permitida →

(1 −1 10 0 −20 1 4 ∣ 2

−21 ) → Intercambiamos Fila 2 con Fila 3 → (

1 −1 10 1 40 0 −2∣

21

−2) → Tres

ecuaciones no nulas tras aplicar Gauss y tres incógnitas → SCD solución única.

b) Para m=1 vimos en el apartado anterior que teníamos SCI con un parámetro libre:

(1 1 10 −2 0∣ 2

−2) → De las segunda fila → −2 y=−2 → y=1

De la primera fila (recuerda que la primera columna es la de z y la tercera columna es la de x ) →

z+1+x=2 → z=λ parámetro libre → x=1−λ





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Dado el sistema {x+y+z=2

a x+2 y+3 z=0a2 x+4 y+9 z=−12}

a) Estudiar la compatibilidad del sistema según el parámetro real a .

b) Resolver, si es posible, para a=3 .

a) Escribimos la matriz del sistema y la matriz ampliada.

M =(1 1 1a 2 3a2 4 9) , M / D=(

1 1 1a 2 3a2 4 9∣

20

−12)Estudiamos el rango de la matriz del sistema, calculando su determinante e igualándolo a 0 .

∣M∣=18+3a2+4a−(2a2

+12+9 a)=a2−5a+6=0 → a=

5±√25−242

=5±1

2

a=2 , a=3

Discusión de casos, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius:

Si a≠2 y a≠3 → rango (M )=3=rango (M / D)=número de incógnitas → Solución única →Sistema compatible determinado.

Si a=2 → M =(1 1 12 2 34 4 9) , M / D=(

1 1 12 2 34 4 9∣

20

−12)El rango de M es 2 , ya que encontramos al menos un menor de orden 2 no nulo. Por ejemplo

∣α22∣=∣1 14 9∣=9−4=5≠0 .

Estudiamos el rango de M / D , evaluando los determinantes de orden 3 que contiene. Por ejemplo:

∣C 2 C3C 4∣=∣1 1 22 3 04 9 −12∣=−36+0+36−(24+0−24)=0

∣C 1C 3C4∣=∣1 1 22 3 04 9 −12∣=0 → Es nulo por coincidir con el determinante antes calculado.





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∣C 1C 2C 4∣=∣1 1 22 2 04 4 −12∣=0 → Es nulo por tener dos columnas iguales C1=C2 .

Por lo tanto el rango de M / D es igual a 2, ya que ningún determinante de orden 3 contenidos en lamatriz ampliada es distinto de 0.

Es decir rango (M )=rango (M / D)=2<3=número de incógnitas → Infinitas soluciones →Sistema Compatible Indeterminado con un parámetro libre (3 – 2 = 1 parámetro).

Si a=3 → M =(1 1 13 2 39 4 9) , M / D=(

1 1 13 2 39 4 9∣

20

−12)El rango de M es 2 , ya que encontramos al menos un menor de orden 2 no nulo. Por ejemplo

∣α31∣=∣1 12 3∣=3−2=1≠0 .

Estudiamos el rango de M / D , evaluando los determinantes de orden 3 que contiene. Por ejemplo:

∣C 2 C3C 4∣=∣1 1 22 3 04 9 −12∣=−36+0+36−(24+0−24)=0

∣C 1C 3C4∣=∣1 1 23 3 09 9 −12∣=0 → Es nulo por tener dos columnas iguales C1=C2 .

∣C 1C 2C 4∣=∣1 1 23 2 09 4 −12∣=0 → Es nulo por coincidir con el primer determinante calculado,

intercambiando el orden de las dos primeras columnas.

Por lo tanto el rango de M / D es igual a 2, ya que ningún determinante de orden 3 contenidos en lamatriz ampliada es distinto de 0.

Es decir rango (M )=rango (M / D)=2<3=número de incógnitas → Infinitas soluciones →Sistema Compatible Indeterminado con un parámetro libre (3 – 2 = 1 parámetro).

b) Si a=3 → M =(1 1 13 2 39 4 9) , M / D=(

1 1 13 2 39 4 9∣

20

−12)En el apartado anterior demostramos que para a=3 tenemos SCI con un parámetro libre. Tomamos, porejemplo, z=λ como parámetro y reducimos nuestro sistema a dos ecuaciones y dos incógnitas.

Podemos aplicar Gauss para visualizar la combinación lineal, o darnos cuenta de : F 3=−6 F 1+5F 2 .





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Si obviamos la fila tercera y consideramos como parámetro libre z=λ :

{ x+y=2−λ3 x+2 y=−3λ} → {3 x+3 y=6−3λ

3 x+2 y=−3λ } → Restamos → y=6

Llevamos este resultado a una de las dos ecuaciones del sistema.

x+6=2−λ → x=−4−λ

Las infinitas soluciones de nuestro SCI resultan:

x=−4−λ

y=6

z=λ





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Dado el sistema de ecuaciones {4 x+a y−2 z=−1

x+y−a z=−1x+y+(2a+2) z=6−a}

a) Estudiar las posibles soluciones según el valor de a .

b) Resolver para todos los casos en que el sistema sea compatible.

a) Planteamos la matriz ampliada del sistema.

A/C=(4 a −21 1 −a1 1 2 a+2∣

−1−16−a)

Estudiamos el rango de la matriz A y de la matriz ampliada A/C para poder aplicar las consecuenciasdel teorema de Roché Frobenius.

Hacemos el determinante de la matriz A .

∣A∣=∣4 a −21 1 −a1 1 2 a+2∣ → C ' 1=C1−C2 → ∣A∣=∣

4−a a −20 1 −a0 1 2 a+2∣

∣A∣=(4−a)(2a+2)+a (4−a)=(4−a )(3a+2)

Anulamos el determinante para conocer los valores de a que lo hacen 0.

∣A∣=0 → (4−a )(3a+2)=0 → a=4 , a=−23

Discusión de casos:

Si a≠4 y a≠−23

→ rango (A)=rango ( A/C )=3=número de incógnitas → Solución única

→ Sistema Compatible Determinado.

Si a=4 → A/C=(4 4 −21 1 −41 1 10∣−1

−12 ) → Estudiamos el rango de la matriz A . Encontramos al

menos un menor de orden 2 no nulo → ∣4 −21 −4∣=−14≠0 → rango (A)=2 . En la matriz ampliada

A/C estudiamos los menores de orden 3 → ∣C 2 C3C 4∣=∣4 −2 −11 −4 −11 10 2 ∣=0 ,





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∣C 1C 3C4∣=∣4 −2 −11 −4 −11 10 2 ∣=0 , ∣C1C 2C 4∣=∣

4 4 −11 1 −11 1 2 ∣=0 → Todos los menores de orden 3 son

nulos. Por lo tanto rango (A)=rango ( A/C )=2<3=número de incógnitas → Infinitas soluciones →Sistema Compatible Indeterminado con un parámetro libre.

Si a=−23

→ A/C=(4

−23

−2

1 123

1 123

∣−1−1203 ) → El rango de la matriz A es 2 porque encontramos al

menos un menor de orden 2 no nulo: ∣4−23

1 1 ∣=143

≠0 . En la matriz ampliada A/C estudiamos los

menores de orden 3 →

∣C 1C 2C 4∣=∣4

−23

−1

1 1 −1

1 1203

∣=803

+23−1−(−1−4−

409

)=325

9≠0 → El rango de la matriz ampliada es

3 → rango (A)=2≠3=rango(A/C) → No existe solución → Sistema Incompatible.

b) Resolvemos en primer lugar en los casos SCD aplicando la regla de Cramer.

Si a≠4 y a≠−23

→ SCD → A/C=(4 a −21 1 −a1 1 2 a+2∣

−1−16−a)

x=∣−1 a −2−1 1 −a

6−a 1 2 a+2∣(4−a )(3 a+2)

=−a3

+8 a2−3 a+12

(4−a )(3 a+2)

y=∣4 −1 −21 −1 −a1 6−a 2a+2∣(4−a)(3a+2)

=−4a2

+17a−24(4−a)(3a+2)





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z=∣4 a −11 1 −11 1 6−a∣

(4−a )(3 a+2)=

a2−11 a+24

(4−a )(3 a+2)=

(a−3)(a−8)(4−a)(3 a+2)

Finalmente resolvemos el caso de SCI, con un parámetro libre.

Si a=4 → A/C=(4 4 −21 1 −41 1 10∣−1

−12 )

Tomamos como parámetro x=λ ya que C1=C2 , por lo que podemos obviar la primera columna. Deesta forma nos queda:

A/C=(4 −21 −41 10∣−1

−12 ) → {

4 y−2 z=−1y−4 z=−1y+10 z=2 } → Igualamos las dos primeras ecuaciones →

{4 y−2 z= y−4 zy+10 z=2 } → {3 y+2 z=0

y+10 z=2}De la segunda ecuación despejamos el valor de y=2−10 z y lo sustituimos en la primera ecuación.

3(2−10 z )+2 z=0 → 6−30 z+2 z=0 → z=3

14

Y por lo tanto:

y=2−10 z → y=2−10 ·3

14→ y=

−17





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Sistemas 9 ♣♣

Dado el sistema de ecuaciones {x+y=1

k x+z=0x+(1+k ) y+k z=k+1}

a) Estudiar las posibles soluciones según el valor de k .

b) Halla la solución, si existe, para k=1 .

a) Resolvemos por Gauss:

(1 1 0k 0 11 1+k k∣

10

k+1) → C1⇔C 2 → (1 1 00 k 1

1+k 1 k∣10

k+1) → F ' 3=F 3−(1+k ) F1 →

(1 1 00 k 10 −k k∣

100) → F ' 3=F 3+F 2 → (1 1 0

0 k 10 0 k+1∣

100)

Tras obtener la matriz triangular de Gauss, comprobar que no hay absurdos matemáticos y eliminar filasproporcionales, el rango del sistema coincide con el número de ecuaciones con al menos un coeficiente nonulo.

Para la discusión de casos consideramos los siguientes casos:

k=0 , k+1=0

• Si k=0 → (1 1 00 0 10 0 1∣

100) → Hay dos filas iguales → (1 1 0

0 0 1∣10) → Rango 2 y 3

incógnitas → SCI con infinitas soluciones y 1 parámetro libre.

• Si k=−1 → (1 1 00 −1 10 0 0∣

100) → Obviamos la tercera fila → (1 1 0

0 −1 1∣10) → Rango 2 y 3

incógnitas → SCI con infinitas soluciones y 1 parámetro libre.

• Caso complementario k≠{−1, 0} → En la matriz final de Gauss resulta Rango 3 y 3 incógnitas→ SCD con solución única.

b) Si k=1 → (1 1 00 1 10 0 2∣

100) → z=0 , y=0 , x=1





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Sistemas 10 ♣♣

Sabemos que el sistema siguiente tiene una única solución {x+a y=1x+a z=1y+z=a }

a) Comprueba que a≠0

b) Encuentra la solución del sistema en función del parámetro a .

a) Notación matricial → (1 a 01 0 a0 1 1∣

11a) → Si el sistema es SCD con solución única, significa que el

determinante de la matriz del sistema es distinto de cero, ya que así su rango será 3 y coincidirá con elrango de la matiz ampliada. Y por el teorema de Rouché-Frobenius, si coincide con el número de incógnitas,el sistema es SCD con solución única.

∣A∣=0+0+a−(0+a+a)=−a → Efectivamente, el determinante solo se anula si a≠0 → Por lotanto, si el sistema es SCD, debe cumplirse que a≠0 .

b) Podemos aplicar Cramer o bien resolver por Gauss.

Vamos a aplicar Gauss.

(1 a 01 0 a0 1 1∣

11a) → F 2 '=F2−F1 → (1 a 0

0 −a a0 1 1∣

10a) → F 3 '=a F 3+F2 →

(1 a 00 −a a0 0 2a∣

10a2) → Resolvemos en cascada en cada fila (recordamos que a≠0 )

De la tercera fila → 2a z=a2→ z=

a2

De la segunda fila → −a y+a ·a2=0 → y=

−a2

De la primera fila → x+a−a2

=1 → x=1+a2

2→ x=

2+a2

2





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Problemas de enunciados para plantear sistemas

■ Enunciados 1 ♣a) Justifica que es posible hacer un pago de 34,50 euros cumpliendo las siguientes restricciones.

• Utilizando únicamente monedas de 50 céntimos de euro, de 1 euro y de 2 euros.

• Se tienen que utilizar exactamente un total de 30 monedas.

• Tiene que haber igual número de monedas de 1 euro como de 50 céntimso y 2 euros juntas.

¿De cuántas maneras y con cuántas monedas de cada tipo se puede hacer el pago?

b) Si se redondea la cantidad a pagar a 35€, justifica si es posible o no seguir haciendo el pago bajolas mismas condiciones que en el apartado anterior.

a) El número de monedas de 50 céntimos será x, el número de monedas de 1 euro será y, el número demonedas de 2 euros será z. Con estas incógnitas montamos un sistema de tres ecuaciones y tresincógnitas, con cada una de las condiciones.

{0,5 x+y+2 z=34,50

x+y+z=30y=x+z }

Llevamos el valor de y de la tercera ecuación a las otras dos.

{0,5 x+( x+z)+2 z=34,50x+( x+z )+z=30 } → {1,5 x+3 z=34,50

2 x+2 z=30 } → {1,5 x+3 z=34,50x+z=15 }

De la segunda ecuación despejamos el valor de z=15−x y lo llevamos a la primera ecuación.

1,5 x+3(15−x )=34,50 → −1,5 x=−10,50 → x=7

Y resolviendo el resto de incógnitas → z=8 , y=15

Solución: Podemos pagar de forma única con 7 monedas de 50 céntimos, 15 monedas de 1 euro y 8monedas de 2 euros.

b) Si el total a pagar es de 35 euros, de la primera ecuación del sistema del apartado anterior, llegaríamos a

la condición → 1,5 x+3(15−x )=35 → −1,5 x=−10 → x=203

→ No podremos pagar, al

necesitar siempre un número entero de monedas.





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■ Enunciados 2 ♣Sabemos que el coste de 3 lápices, 1 rotulador y 2 carpetas es de 15€, mientras que el de 2 lápices, 4rotuladores y 1 carpeta es de 20€.

a) Sabiendo que 1 lápiz y 7 rotuladores cuestan 25€, ¿podemos deducir el precio de cada uno de losartículos? Razona tu respuesta.

b) Si por el precio de una carpeta se pueden comprar 10 lápices, ¿cuánto cuesta cada uno de losartículos?

a) Llamaremos al precio de un lápiz L, al precio de un rotulador R y al precio de una carpeta C. Por lo quelas dos ecuaciones primeras del enunciado resultan:

{3 L+R+2C=152 L+4 R+C=20} → Si añadimos la tercera condición → {

3 L+R+2 C=152 L+4 R+C=20

L+7 R=25 }O bien resolvemos por Gauss o bien nos damos cuenta que F 3=2 F 2−F 1 → Podemos obviar la terceraecuación, por ser combinación lineal de las otras dos.

{3 L+R+2C=152 L+4 R+C=20} → Las dos ecuaciones no son proporcionales, por lo que tendremos un parámetro

libre. Por ejemplo, C=λ . El sistema resulta:

{3 L+R=15−2λ2 L+4 R=20−λ} → F1 '=−4 F 1 → {−12 L−4 R=−60+8λ

2 L+4 R=20−λ }

Sumamos ambas ecuaciones → −10 L=−40+7 λ → L=4−710

λ

Y el precio del rotulador podremos escribirlo como → 3(4−7

10λ)+R=15−2λ → R=3+

110

λ

Es decir, tenemos un sistema compatible indeterminado, con infinitas soluciones dependientes delparámetro libre.

{L=4−

710

λ

R=3+110

λ

C=λ} → Los precios no están definidos de manera única. Dependen de un parámetro libre.





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b) El nuevo sistema que tendremos es → {3 L+R+2C=152 L+4 R+C=20

C=10 L }Llevamos el resultado C=10 L a las dos primeras ecuaciones → { 23 L+R=15

12 L+4 R=20} →

F1 '=−4 F 1 → {−92 L−4 R=−6012 L+4 R=20 } → Sumamos ambas ecuaciones → −80 L=−40 → El

precio de un lápiz resulta L=0,5 € .

El precio del rotulador es → R=15−23 L → R=3,5 € .

El precio del cuaderno es → C=10 L → C=5€

En esta ocasión sí podemos determinar de manera única el precio de los tres artículos.





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■ Enunciados 3 ♣♣a) Un boxeador ha disputado 20 combates en el año 2018. Por cada combate ganado cobraba 3 mileuros, 2 mil por combate nulo y mil por combate perdido. En total obtuvo 40 mil euros en 2018. Si lascantidades cobradas hubieran sido 6 mil euros por combate ganado, 4 mil euros por nulo y mil porperdido, habría obtenido 72 mil euros. Con estos datos, ¿es posible saber cuántos combates ganó,cuantos hizo nulo y cuantos perdió? En caso afirmativo, calcúlalos.

b) Estudia si hay alguna cantidad k que sustituya a los 6 mil euros por combate ganado delapartado anterior, y que hiciera imposible la solución del problema dentro del campo de los númeroreales.

a) Planteamos el siguiente sistema a partir del enunciado:

{g+n+p=20

3 g+2n+p=406 g+4n+ p=72} → (

1 1 13 2 16 4 1∣

204072) → F ' 2=F2−3F 1 , F ' 3=F 3−6 F 1 →

(1 1 10 −1 −20 −2 −5∣

20−20−48) → F ' 3=F 3−2 F 2 → (

1 1 10 −1 −20 0 −1∣

20−20−8 )

Tras aplicar Gauss, llegamos a 3 ecuaciones con al menos un coeficiente no nulo y 3 incógnitas. Por lotanto, SCD con solución única que podemos resolver:

z=8 , y=4 , x=8

b) El nuevo sistema resulta:

{g+n+ p=20

3 g+2n+ p=40k g+4n+ p=72} → (1 1 1

3 2 1k 4 1∣

204072) → C1⇔C 3 → (1 1 1

1 2 31 4 k∣

204072) → F ' 2=F2−F1 ,

F ' 3=F 3−F 1 → (1 1 10 1 20 3 k−1∣

202052) → F ' 3=F 3−3 F 2 → (

1 1 10 1 20 0 k−7∣

2020−8)

El valor para realizar la discusión de casos sería: k−7=0

• Si k=7 → En la matriz final de Gauss (1 1 10 1 20 0 0∣

2020−8) → En la tercera fila aparece el

siguiente absurdo matemático: 0=−8 → Sistema Incompatible, no habría solución.

• Si k≠7 → SCD con solución única.





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■ Enunciados 4 ♣♣♣Tenemos tres grifos para llenar un depósito de agua y suponemos que el caudal que cae por cadagrifo es constante. Si utilizamos el grifo 1, tardamos 10 horas en llenar el depósito. Si utilizamos elgrifo 1 y 2, tardamos 4 horas. Si utilizamos los tres grifos, tardamos una hora.

Suponiendo que la suma de los caudales de los tres grifos es de 10 litros por minuto, calcule elcaudal de cada grifo y el volumen del depósito.

Caudal = volumen / tiempo

Volumen del depósito → V

Caudal del grifo 1 → c1=V / x

Caudal del grifo 2 → c2=V / y

Caudal del grifo 3 → c3=V / z

Tenemos cuatro incógnitas: el volumen del depósito y el tiempo que tarda cada grifo en llenar el depósito.

Si con el primer grifo tardamos 10 horas en llenar el depósito → x=10horas

Si empleamos los dos primeros grifos, estamos sumando sus caudales, y por el enunciado sabemos quetardamos 4 horas en llenar el depósito → c1+c2=V / 4 → V /10+V / y=V /4 → Hacemos mínimo

común múltiplo y simplificamos el valor del volumen V →y+1010 y

=14

→ 4 y+40=10 y →

y=203

horas

Con los tres grifos, sumamos el caudal de cada grifo, y el enunciado afirma que tardamos una hora en llenarel depósito → c1+c2+c3=V /1 → V /10+3V /20+V /z=V → Hacemos mínimo común múltiplo y

simplificamos el valor del volumen V → 2 z+3 z+20

20 z=1 → 5 z+20=20 z → z=

2015

horas

Finalmente, si la suma de los tres caudales es de 10 litros por minuto, o lo que es lo mismo, 600 litros porhora, podemos obtener el valor del volumen V → c1+c2+c3=600 →

V /10+3V /20+15V /20=600 → Hacemos mínimo común múltiplo → 2 V +3V +15V

20=600 →

20V =12000 → V=600 litros

Por lo tanto:

Caudal 1 → c1=600 /10=60 litros/hora

Caudal 2 → c2=3 ·600/20=90 litros /hora

Caudal 3 → c3=15 ·600 /20=450 litros /hora





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Matrices

■ Matrices 1 ♣♣

Sean las matrices A=(1+m 11 1−m) y B=(1 −1

1 0 ) .

a) ¿Para qué valores de m se verifica A2=2 A+B ?

b) Para m=1 calcula A−1.

c) Para m=1 calcula X que satisface A · X −B=A· B .

a) A2=2 A+I → (1+m 1

1 1−m)·(1+m 11 1−m)=2 ·(1+m 1

1 1−m)+(1 −11 0 )

Operamos.

( (1+m)2+1 1+m+1−m

1+m+1−m 1+(1−m)2 )=(2+2m 2

2 2−2m)+(1 −11 0 )

(m2+2+2m 2

2 m2+2−2m)=(3+2m 1

3 2−2 m)

Igualamos término a término en ambas matrices, encontramos las siguientes incongruencias o absurdosmatemáticos.

2=1 , 2=3

Por lo tanto, no existe ningún valor real m que satisfaga la ecuación matricial.

b) A=(1+m 11 1−m) → m=1 → A=(2 1

1 0)

∣A∣=0−1=−1≠0 → Existe A−1→ A−1

=[adj (A)]

t

∣A∣

A11=0 , A12=−1

A21=−1 , A22=2





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Es decir → adj( A)=( 0 −1−1 2 ) → [adj( A)]

t=( 0 −1

−1 2 ) → A−1=(0 1

1 −2)En efecto → A · A−1

=(2 11 0) ·(0 1

1 −2)=(1 00 1) , A−1· A=(0 1

1 −2)·(2 11 0)·=(1 0

0 1)

c) A=(2 11 0) , A−1

=(0 11 −2) , B=(1 −1

1 0 )A · X −B=A· B → A · X =A· B+B → A · X =(A+I ) B → X =A−1 ·( A+I ) · B

X =( A−1 · A+A−1 · I )· B → X =( I +A−1) · B

Operamos.

I +A−1=(1 0

0 1)+(0 11 −2)=(1 1

1 −1)(I +A−1

) · B=(1 11 −1)·(1 −1

1 0 )=(2 −10 −1) → X =(2 −1

0 −1)





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Despeja X de la ecuación matricial X (CD )−1

=A+X ( D−1C−1−B) , siendo A ,B ,C y D

matrices cuadradas invertibles.

Recordamos que una matriz multplicada por su inversa da la matriz identidad → A A−1=I

Recordamos que una matriz multiplicada por la matriz identidad, resulta la propia matriz → A I =A

Recordamos que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que por lo general → AB=BA , porlo que al multiplicar matrices debemos tener muy claro el lado por donde apliamos la multiplicación.

Más cosas: la inversa de un producto resulta (AB)−1

=B−1 A−1. Ojo que cambia el orden de la matrices

cuando el operador inversa actúa sobre cada término del producto.

Y por Dios... que nadie divida matrices. La división de matrices no está definida.

Con todo esto a modo de repaso, resolvemos.

X (CD )−1

=A+X ( D−1C−1−B) → Aplico por la derecha la inversa de (CD)

−1

X (CD )−1CD=[ A+X (D−1 C−1

−B)]CD → X I =[ A+X (D−1 C−1−B)]CD

Donde I es la matriz identidad.

X =ACD+X ( D−1C−1−B)CD → X =ACD+( XD−1C−1

−XB)CD

X =ACD+XD−1 C−1C D−X B C D

Es fundamental aplicar los productos en el orden correcto.

X =A C D+X D−1 I D−X BC D → X =A C D+X D−1 D−X B C D

X =ACD+X I −XBCD → X =A C D+X −X B C D → 0=A C D−X B C D

Donde 0 es la matriz nula.

X B C D=ACD → X B C D D−1=AC D D−1

→ X B C=AC → X B C C−1=A C C−1

X B=A → X B B−1=A B−1

→ X =A B−1

Resumiendo: tenemos que ir aplicando matrices inversas, sin equivocarnos de lado de aplicación. Y cuandocoincida una matriz y su inversa, cancelan como la matriz identidad.





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Considera A=(−2 −2 0−2 1 00 0 −2) y X =(

xyz)

a) Determina los valores de λ para los que la matriz A+λ I no tiene inversa ( I es la matrizidentidad).

b) Resuelve A X =−3 X . Determina, si existe, alguna solución con x=1 .

a) Operamos matricialmente.

A+λ I =(−2 −2 0−2 1 00 0 −2)+(

λ 0 00 λ 00 0 λ)=(

−2+λ −2 0−2 1+λ 00 0 −2+λ)

Una matriz admite inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto:

∣A+λ I∣=(−2+λ)(1+λ)(−2+λ)−4 (−2+λ)

Sacamos factor común e igualamos a cero.

(−2+λ)[(1+λ)(−2+λ)−4]=0

En un producto igualado a cero, al menos uno de los términos debe anularse. Es decir:

(−2+λ)=0 → λ=2

[(1+λ)(−2+λ)−4]=0 → λ2−λ−6=0 → λ=−2 , λ=3

En conclusión. Existe inversa siempre y cuando se cumpla que λ≠−2 , λ≠2 y λ≠3





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b) Operamos e igualamos.

A X =(−2 −2 0−2 1 0

0 0 −2)·(xyz)=(

−2 x−2 y−2 x+y−2 z ) , −3 X =−3·(

xyz)=(

−3 x−3 y−3 z )

(−2 x−2 y−2 x+y−2 z )=(

−3 x−3 y−3 z)

Dos matrices son iguales si sus coeficientes son iguales, por lo que obtenemos un sistema 3x3.

{−2 x−2 y=−3 x−2 x+y=−3 y−2 z=−3 z } → De la tercera ecuación → z=0

De las dos primeras ecuaciones:

{ x−2 y=0−2 x+4 y=0}

La segunda ecuación es (-2) veces la primera, por lo que podemos obviarla.

x−2 y=0 → x=2 y → Una incógnita será un parámetro libre. Por ejemplo: y=α . De estaforma, tenemos un sistema compatible indeterminado con un parámetro libre. Sus infinitas soluciones son:

{x=2αy=αz=0 } → Si α=

12

→ {x=1

y=12

z=0} → solución general con x=1





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Sean las matrices A=(−1 1 10 1 0

−2 1 1) y B=(−3 3 2−8 7 48 −6 −3)

a) Halla la matriz X que verifica A X +B=2 A .

b) Calcular B2y B2016

.

a) A X +B=2 A → A X =2 A−B → A−1 A X =A−1(2 A−B) → X =A−1

(2 A−B)

Donde hemos aplicado matriz inversa de A a la izquierda de cada miembro de la igualdad, y recordadoque una matriz multiplicada por su inversa es igual a la matriz identidad.

La matriz A admite inversa siempre que su determinante sea distinto de cero. En efecto:

∣A∣=−1+0+0−(−2+0+0)=1≠0 → ∃ A−1

Vamos a obtener la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.

(−1 1 10 1 0

−2 1 1∣1 0 00 1 00 0 1) → F ' 3=F 3−2 F 1 → (

−1 1 10 1 00 −1 −1∣

1 0 00 1 0

−2 0 1) → F ' 3=F 3+F 2

→ (−1 1 10 1 00 0 −1∣

1 0 00 1 0

−2 1 1) → F ' 1=F 1+F3 → (−1 1 00 1 00 0 −1∣

−1 1 10 1 0

−2 1 1) →

→ F ' 1=F 1−F 2 → (−1 0 00 1 00 0 −1∣

−1 0 10 1 0

−2 1 1) → F ' 1=−F1 , F ' 3=−F 3 →

→ (1 0 00 1 00 0 1∣

1 0 −10 1 02 −1 −1) → A−1

=(1 0 −10 1 02 −1 −1)

En efecto, se comprueba que A A−1=A−1 A= I , siendo I la matriz identidad de orden tres.





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2 A−B=(−2 2 20 2 0

−4 2 2)−(−3 3 2−8 7 48 −6 −3)=(

1 −1 08 −5 −4

−12 8 5 )Y la matriz incógnita resulta:

X =A−1(2 A−B)=(

1 0 −10 1 02 −1 −1)·(

1 −1 08 −5 −4

−12 8 5 )=(13 −9 −58 −5 −46 −5 −1)

b) B2=(

−3 3 2−8 7 48 −6 −3)·(

−3 3 2−8 7 48 −6 −3)=(

1 0 00 1 00 0 1) → B2

=I

B3=B2 ·B=I · B=B

Donde recordamos que el producto de una matriz cuadrada por la matriz identidad, resulta la misma matriz.

B4=B3 · B=B · B=B2

=I

B5=B4 · B=I · B=B

B6=B5· B=B · B=B2

= I

En general:

Si n=impar → Bn=B

Si n=par → Bn=I

Como 2016 es par → B2016=I





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Sea la matriz A=(m+2 0 0−3 m+1 11 0 m−1) .

a) Obtener ∣A10∣ .

b) Para m=0 calcular, si es posible, la matriz inversa de A .

a) ∣A10∣=∣A · A· A· ...· A∣=∣A∣·∣A∣·∣A∣· ... ·∣A∣=∣A∣10

∣A∣=(m+2)(m2−1) → ∣A10

∣=((m+2)(m2−1))10

b) Si m=0 → ∣A∣=(0+2)(0−1)=−2≠0 → Existe la matriz inversa.

A=(2 0 0

−3 1 11 0 −1)

A−1=

[adj (A)]t

∣A∣

Obtenemos los nueve adjuntos.

A11=−1 , A12=−2 , A11=−1

A21=0 , A22=−2 , A23=0

A31=0 , A32=−2 , A33=2

[adj ( A)]t=(

−1 0 0−2 −2 −2−1 0 2 ) → A−1

=(12

0 0

1 1 112

0 −1)Efectivamente, esta es la matriz inversa, ya que satisface: A · A−1

=A−1 · A=I





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Calcular las matrices A y B tales que:

5 A+3 B=( 2 0−4 15) 3 A+2 B=( 1 −1

−2 9 )

Multiplicamos la primera ecuación matricial por (-2) y la segunda ecuación por (3):

−10 A−6 B=(−4 08 −30)

9 A+6 B=( 3 −3−6 27)

Sumamos ambas ecuaciones:

−A=(−1 −32 −3) → A=( 1 3

−2 3)

Sustituimos este valor en la primera de las ecuaciones de partida:

5( 1 3−2 3)+3 B=( 2 0

−4 15) → 3 B=(−3 −156 0 ) → B=(−1 −5

2 0 )





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Dadas la matrices A=(−2 0 01 1 04 2 −2) y B=(

2 1 20 −1 50 0 2) , obtener razonadamente el valor de los

siguientes determinantes, escribiendo todos los pasos del razonamiento.

a) ∣A+B∣ y ∣12(A+B)

−1∣

b) ∣( A+B)−1 · A∣ y ∣A−1( A+B)∣

c) ∣2 A B A−1∣ y ∣A3 B−1

∣

a) A+B=(−2 0 01 1 04 2 −2)+(

2 1 20 −1 50 0 2)=(

0 1 21 0 54 2 0) → ∣A+B∣=0+20+4−(0+0+0)=24

Calculamos el segundo determinante de este apartado.

∣12(A+B)

−1∣ → La matriz (A+B)

−1es de orden 3 → ∣

12(A+B)

−1∣=(

12)

3

∣( A+B)−1∣

(12)

3

∣( A+B)−1∣=

18

1∣A+B∣

=18

·124

=1

192

b) ∣( A+B)−1 · A∣=∣( A+B)−1∣·∣A∣

Donde hemos utilizado que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantesde cada matriz.

∣( A+B)−1∣=

1∣( A+B)∣

=1

24, ∣A−1

∣=1

∣A∣, A=(

−2 0 01 1 04 2 −2) → ∣A∣=4+0+0−(0+0+0)=4

∣( A+B)−1∣·∣A∣=

124

· 4=16

Calculamos el segundo determinante de este apartado.

∣A−1( A+B)∣=∣A−1

∣∣A+B∣=1

∣A∣∣A+B∣=

14

·24=6





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c) ∣2 A B A−1∣ → Producto de matrices de orden 3 → ∣2 A B A−1∣=23∣A∣∣B∣∣A−1∣

B=(2 1 20 −1 50 0 2) → ∣B∣=−4+0+0−(0+0+0)=−4

Sustituimos el valor de cada determinante.

23∣A∣∣B∣∣A−1

∣=8 · 4 ·(−4) ·14=−32

Y terminamos con el segundo determinante de este apartado.

∣A3 B−1∣=∣A∣·∣A∣·∣A∣·∣B−1

∣=43 ·1

∣B∣=

64−4

=−16





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Sea A=(−1 0 10 a 02 1 a2

−1) .

a) Calcular el rango de A en función del parámetro real a .

b) Decidir si la matriz tiene inversa para a=1 y, en caso afirmativo, calcularla.

a) Calculamos el determinante de la matriz.

∣A∣=−a (a2−1)−(2a )=−a3−a

Si el determinante es distinto de cero el rango de la matriz será 3, ya que contará con tres vectoreslinealmente independientes.

−a3−a=0 → −a(a2

+1)=0 → a=0

Discusión de casos.

Si a≠0 → rango (A)=3

Si a=0 → A=(−1 0 10 0 02 1 −1) → ∣α22∣=∣−1 1

2 −1∣=1−2=−1≠0 → Existe al menos un

menor de orden 2 no nulo → rango (A)=2

b) Para a=1 si existe inversa, ya que el determinante de la matriz es distinto de cero.

A=(−1 0 10 1 02 1 0)

A−1=

[adj (A)]t

∣A∣

Calculamos los distintos adjuntos.

A11=0 , A12=0 , A13=−2

A21=1 , A22=−2 , A23=1

A31=−1 , A32=0 , A33=−1

adj( A)=(0 0 −21 −2 1

−1 0 −1) → [adj( A)]t=(

0 1 −10 −2 0

−2 1 −1)





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A−1=

[adj (A)]t

∣A∣=(

0 1 −10 −2 0

−2 1 −1)−2

A−1=(

0−12

12

0 1 0

1−12

12)





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Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con elementos reales, tal que A2=I (siendo I la matriz

identidad de orden 3).

a) Prueba que la matriz A tiene inversa y dé dicha inversa

b) Obtener Anpara cualquier número natural n .

c) Si A=(1 1 10 a 00 0 a) , calcula el valor del número real a para que se cumpla A2

=I

a) Una matriz A tiene inversa A−1, y esta es única, si se cumplen las siguientes relaciones:

A−1· A=A · A−1=I

Se demuestra la existencia de la matriz inversa A−1si el determinante de A es no nulo. Y de las

condiciones del enunciado:

A2=I → A · A=I → ∣A· A∣=∣I∣

El determinante del producto es el producto de los determinantes. Y el determinante de la matriz identidades igual a la unidad

∣A· A∣=∣I∣ → ∣A∣·∣A∣=1 → (∣A∣)2=1 → ∣A∣=±1≠0

Al ser el determinante no nulo, se demuestra la existencia de la matriz inversa A−1y su valor es

A−1=A ya que la propia matriz A cumple A · A=I .

b) A=A

A2=I

A3=A· A2

=A · I=A

A4=A2 · A2

= I · I= I

Con estos primeros resultados podemos inferir:

An=A , si n es impar

An=I , si n es par

Demostremos esta expresión de Anpor inducción matemática.

Comprobamos para n=1 → A=A

Suponemos cierta para n → An=A , si n es impar , An

=I , si n es par

Demostramos para n+1 a partir de los resultados anteriores de Any An

.

Si n+1 es par → n es impar → An+1=An · A=A · A=A2

=I .

Si n+1 es impar → n es par → An+1=An· A=I · A=A .Como queríamos demostrar.





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c) A2=I → (

1 1 10 a 00 0 a)·(

1 1 10 a 00 0 a)=(

1 0 00 1 00 0 1)

Operamos e igualamos a cada término mij de la matriz identidad:

m11 → 1=1

m12 → 1+a=0 → a=−1

m13 → 1+a=0 → a=−1

m21 → 0=0

m22 → a2=1 → a=±1

m23 → 0=0

m31 → 0=0

m32 → 0=0

m33 → a2=1 → a=±1

Por lo tanto, la condición que cumple todas las igualdades es a=−1 .





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Sean A=(1

−10 ) y B=(

111) .

a) Estudia, según los valores de k , el rango de la matriz resultante de operar A Bt+k I , donde

Btes la matriz traspuesta de B e I es la matriz identidad de orden 3.

b) Calcula la matriz que verifica A Bt X −X =2 B .

a) A Bt=(

1−10 )·(1 1 1)=(

1 1 1−1 −1 −10 0 0 ) , k I =(

k 0 00 k 00 0 k)

A Bt+kI =(

1 1 1−1 −1 −10 0 0 )+(

k 0 00 k 00 0 k)=(

1+k 1 1−1 −1+k −10 0 k )

Para estudiar el rango vamos a calcular el determinante ∣A Bt+k I∣ . Si el determinante fuese distinto de

0, su rango sería 3. Y para los valores de k donde se anule el determinante, estimaremos en cada casoel rango de la matriz.

∣A Bt+k I∣=∣1+k 1 1

−1 −1+k −10 0 k ∣ → ∣A Bt

+k I∣=k (k2−1)+k → ∣A Bt

+k I∣=k 3

Si k≠0 → ∣A Bt+k I∣≠0 → Rango=3

Si k=0 → ∣A Bt+k I∣=0 → Rango≠3

Estudiamos el rango para k=0 → A Bt+0 · I=(

1 1 1−1 −1 −10 0 0 ) → Las tres columnas de la matriz

son iguales, por lo que solo hay un vector columna linealmente independiente dentro de la matriz →Rango=1 .

b) A Bt X −X =2 B → (A Bt−I ) X =2 B → X =( A B t

− I)−1 · 2 B

A Bt−I =(

1 1 1−1 −1 −10 0 0 )−(

1 0 00 1 00 0 1)=(

0 1 1−1 −2 −10 0 −1)

∣A Bt−I∣=−1 → El determinante no es nulo, por lo que existe la matriz inversa.





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(A Bt−I )−1

=[adj (A Bt

−I )]t

∣A Bt−I∣

Recordamos que la matriz de adjuntos tiene como elementos los distintos adjuntos Aij=(−1)i+ j

∣αij∣ dela matriz.

A11=2 , A12=−1 , A13=0

A21=1 , A22=0 , A23=0

A31=1 , A32=−1 , A33=1

Es decir:

adj( A Bt−I )=(

2 −1 01 0 01 −1 1) → [adj( A B t

− I)]t=(

2 1 1−1 0 −10 0 1 )

(A Bt−I )−1

=[adj (A Bt

−I )]t

∣A Bt−I∣

→ (A Bt−I )−1

=(−2 −1 −11 0 10 0 −1)

Operamos:

X =( A B t− I )−1 ·2 B → X =(−2 −1 −11 0 10 0 −1)·(

222) → X =(

−84

−2)





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Determina las matrices cuadradas de dimensión 2x2 de la forma M =(1 x0 y) que verifiquen que

M · M t=(1 0

0 4) .

(1 x0 y)·(1 0

x y)=(1 00 4) → Operamo y obtenemos un sistema de 4 ecuaciones y 2 incógnitas.

{1+x2

=1x · y=0y · x=0y2

=4} → x=0 , y=±2 → M =(1 0

0 2) , M =(1 00 −2)





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Sean las matrices A=(1 02 k0 1) y B=(k 0 −1

1 1 2 ) .

a) Estudia, en función de los valores reales de k , si la matriz B · A tiene inversa. Calcúlala, si esposible, para k=1.

b) Estudia, en función de los valores reales de k , si la matriz A · B tiene inversa.

a) B · A=(k 0 −11 1 2 )·(

1 02 k0 1)=(k −1

3 k+2)

Si el determinante es distinto de cero, la matriz admite inversa. Aplicamos Sarrus:

∣B · A∣=k (k+2)+3=k 2+2 k +3 , ∣B · A∣=0 → k 2

+2k+3=0 → No existe solución real → Lamatriz admite inversa, independientemente del valor de k.

Si k=1 → B · A=(1 −13 3 )

Aplicamos método directo para obtener la inversa.

(1 −13 3 )·(a b

c d)=(1 00 1)

Resultando un sistema 4x4.

{a−c=1b−d=0

3 a+3c=03b+3c=1

} → a=1/ 2 , b=1/6 , c=−1/2 , d =1/6

b) A · B=(1 02 k0 1)·(k 0 −1

1 1 2 )=(k 0 −1

3 k k 2 k−21 1 2 )

Aplicamos Sarrus para obtener el determinante:

∣A· B∣=2 k 2+0−3 k−(−k +0+k (2 k−2))=2 k2

−3 k+k−2 k 2+2 k=0

Como el determinante es nula, nunca existirá la inversa independientemente del valor de k.





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Considere la igualdad A ·M =B , donde A=(t 2 t 2

−1 t 1−1 1 1) y B=(

1 −30 1

−2 2 ) .

a) ¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz M?

b) ¿Para qué valores de t es la matriz A invertible?

c) Para el caso t=−1 , despeje la matriz M en función de las matrices A y B y calcule su valor

a) Si A es una matriz 3x3 y B es una matriz 3x2, la matriz M deberá ser 3x2.

b) Si el determinante de la matriz A es diferente de cero, la matriz admitirá inversa. Aplicamos la regla deSarrus:

∣A∣=t 2−2 t−2−(−2t+t−2 t )=t2

+t−2

∣A∣=0 → t=1 , t=−2

Por lo tanto, la matriz A es invertible si y solo si A≠{−2, 1}

c) Para t=−1 existe la inversa de A → M =A−1 · B

La matriz inversa de A resulta (puedes usar la web www.matrixcalc.org/es para calcularla, ya sea por Gauss-Jordan o por adjuntos):

A−1=(

1 −2 00 −1/2 1/21 −3/2 1/2) → M =A−1 · B → M =(

1 −5−1 1/20 −7/2)





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Sea el sistema matricial (1 1 11 1 1

3 a 2 a 2 a)·(xyz)=(

221)

a) Determine los valores de a para que el sistema sea compatible.

b) Calcule todas las soluciones en el caso en el que sea compatible indeterminado y en el casoa=3 .

a) Resolvemos por Gauss:

(1 1 11 1 1

3a 2 a 2a∣221) → F 2⇔F 3 → (

1 1 13a 2 a 2a1 1 1 ∣212) → F ' 2=F2−3a F 1 →

(1 1 10 −a −a1 1 1 ∣ 2

1−6a2 ) → F ' 3=F 3−F 1 → (1 1 1

0 −a −a0 0 0 ∣ 2

1−6a0 ) → Obviamos F 3 →

(1 1 10 −a −a∣ 2

1−6a)Tras obtener la matriz triangular del método de Gauss, comprobar que no hay absurdos matemáticos yeliminar filas proporcionales, el rango del sistema coincide con el número de ecuaciones con al menos uncoeficiente no nulo.

Para la discusión de casos, consideramos: −a=0 → a=0

• Si a=0 → En la matriz fina de Gauss → (1 1 10 0 0∣21) → En la segunda ecuación

encontramos el absurdo 0=1 → Absurdo matemático → No hay solución → SistemaIncompatible.

• Caso complementario si a≠0 → En la matriz final de Gauss tenemos Rango 2 → Al ser elsistema de 3 incógnitas, tendremos SCI con infinitas soluciones con un parámetro libre.

b) Tenemos SCI para el caso a≠0 . El sistema resulta:

{ x+ y+z=2−a y−a z=1−6 a} → Si z=b∈ℝ parámetro libre, en cada ecuación podremos despejar el resto

de incógnitas → En la segunda ecuación → −a y=1−6a+a ·b → y=−1a

+6−b → Llevando este

resultado a la primera ecuación → x=1a−4





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Para el caso particular a=3 las solucione serán:

x=13−4=

−113

y=−13

+6−b=173

−b

z=b





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Dadas las matrices A=(2 1 0

−1 0 01 2 −1) , B=(

−1 0 12 −1 01 0 0) , C=(

0 1 00 3 0

−1 0 −1)a) ¿Tiene inversa la matriz 2 I 3+B ? Razona la respuesta. La matriz I 3 es la matriz identidad deorden 3.

b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica 2 X +C=A−X · B

a) 2 I +B=(1 0 12 1 01 0 2) → ∣2 I +B∣=2+0+0−(1+0+0)=1≠0 → Existe inversa por ser el

determinante no nulo.

b) 2 X +C=A−X · B → 2 X +X B=A−C → X ·2 I +X B=A−C →

X (2 I +B)=A−B → Aplicamos inversa de 2 I +B , ya que del apartado a) sabemos que existe.

X =( A−B)· (2 I +B)−1→ usa www.matrixcalc.org/es para comprobar resultados:

(2 I +B)−1

=(2 0 −1

−4 1 2−1 0 1 )

X =(2 1 −1

−10 1 5−7 2 3 )


http://www.matrixcalc.org/es




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Considera las matrices cuadradas de orden 2 de la forma: M =( x −1y2

+1 x ) , con x e y

números reales.

a) Comprueba que la matriz M es siempre invertible, independientemente de los valores de x ey .

b) Para x=1 e y=−1 , calcule M−1.

a) Una matriz es invertible (admite inversa) si su determinante es distinto de cero.

∣M∣=x2+ y 2

+1

Como los valores x e y son números reales, sus cuadrados nunca serán nulos. Por lo que la expresión

x2+ y 2

+1 es estrictamente positiva → ∣M∣≠0 → Existe inversa independientemente del valor desx e y .

b) M =(1 −12 1 )

Empleo método directo para sacar la inversa:

M · M −1=I → (1 −1

2 1 )·(a bc d )=(1 0

0 1)Operando, llegamos a un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas:

{a−c=1b−d=02a+c=02 b+d =1

} → De la segunda ecuación b=d → Llevamos este resultado a la cuarta ecuación:

2b+b=1 → b=13

, d =13

De las ecuaciones primera y tercera obtenemos un sistema 2x2: { a−c=12 a+c=0} → a=

13

, c=−23

La matriz inversa queda: M−1=(

13

13

−23

13)





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■ Matrices 17 ♣♣♣Razonar de manera adecuada los siguientes apartados:

a) Sea C=(5 −4 22 −1 1

−4 4 −1) e I la matriz identidad de orden 3. Comprobar C2=2C−I y

calcula la matriz C4.

b) El valor del determinante de la matriz (3 A4)· (4 A2

)−1

, sabiendo que A es una matrizcuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale −1 .

c) La matriz B que admite inversa y que verifica la igualdad B · B=B .

a) C2=(

5 −4 22 −1 1

−4 4 −1)·(5 −4 22 −1 1

−4 4 −1)=(9 −8 44 −3 2

−8 8 −3)2C−I=(

10 −8 44 −2 2

−8 8 −2)−(1 0 00 1 00 0 1)=(

9 −8 44 −3 2

−8 8 −3)Por lo tanto, se cumple: C2

=2C−I

Además:

C4=C 2·C 2

=(9 −8 44 −3 2

−8 8 −3)·(9 −8 44 −3 2

−8 8 −3)=(17 −16 88 −7 4

−16 16 −7)b) Utilizando propiedades de determinantes:

∣(3 A4)·(4 A2

)−1∣=∣3 A4∣·∣(4 A2

)−1∣=34 ·∣A4∣· 1

∣4 A2∣=34 ·∣A4∣· 1

44 ·∣A2∣=

81256

·∣A2∣=−81256

c) La definición de matriz identidad I es ser el elemento neutro del producto, de tal forma queB · I=B . Además, la matriz identidad admite inversa por ser su determinante distinto de cero.

En consecuencia, B= I → I · I =I





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Considere las matrices A=( 1−1) , B=(1 −2) , X =(x

y) , O=(00) .

a) Obtenga la matriz A · B y calcule su rango.

b) Clasifique y resuelva el sistema de ecuaciones A · B· X =O

a) A · B=( 1−1)· (1 −2)=( 1 −2

−1 2 ) → Ambas filas son proporcionales, por lo que su determinante es

nulo → El rango no es 2 → Buscamos un menor de orden uno no nulo → ∣1∣=1≠0 → Rango es 1(recordamos que el rango coincide con la dimensión del mayor menor no nulo).

b) A · B· X =O → A · B· X =( 1 −2−1 2 )·( x

y) → {−3 x+3 y=03 x−3 y=0 } → Ambas ecuaciones son

proporcionales → podemos eliminar una ecuación → {x−2 y=0} → Una ecuación y dos incógnitas →

SCI con infinitas soluciones y un parámetro libre → y=λ → x=2 y → x=2λ → X =(2 λλ )





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Dada la matriz A=(1 1 11 1 1) determine:

a) Según los valores de k , el rango de la matriz A · At−k · I , donde I es la matriz unidad de

orden 2.

b) La matriz X =(xy) que verifique la ecuación matricial A · At · X =6· X

a) A · At−k · I =(1 1 1

1 1 1)·(1 11 11 1)−(k 0

0 k)=(3 33 3)−(k 0

0 k)=(3−k 33 3−k)

Si el determinante de la matriz es no nulo, el rango será 3.

∣A· At−k · I∣=(3−k )

2−9=9+k 2

−6 k−9=k2−6k

Igualamos el determinante a cero → k 2−6k=0 → k=0 , k=6

Discursión de casos:

• Si k=0 → A · At−0 · I=(3 3

3 3) → Buscamos un menor de orden uno no nulo →

∣3∣=3≠0 → Rango 1

• Si k=6 → A · At−6· I=(−3 3

3 −3) → Buscamos un menor de orden uno no nulo →

∣3∣=3≠0 → Rango 1

• Si k≠0,6 → ∣A· At−k · I∣≠0 → Rango 2

b) A · At · X =6· X → Aprovechando los cálculos del apartado anterior, con k=6 :

A · At · X −6· X =0 → (A · At−6 I )· X =0 → (−3 3

3 −3)·(xy)=(0

0) → {−3 x+3 y=03 x−3 y=0 } →

Las dos ecuaciones on proporcionales, por lo que podemos eliminar una de las ecuaciones →

{−3 x+3 y=0 } → Una ecuación y dos incógnitas → SCI con infinitas soluciones y un parámetro libre →

x=λ → y=x → y=λ → X =(λλ)





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Dada las matrices A=(1 01 −1) , B=( 1 x

x−1 −1) , C=( 0 −1−1 2 )

a) Calcule el valor de x para que se cumpla A+B+C 2=3 · I

b) Calcular la matriz X solución de la ecuación matricial A · X +C2=3· I

a) C2=( 0 −1

−1 2 )·( 0 −1−1 2 )=( 1 −2

−2 5 )A+B+C 2

=( 3 x−2x−2 3 ) → A+B+C 2

=3 · I → ( 3 x−2x−2 3 )=(3 0

0 3)Si igualamos coeficientes, la igualdad de matrices se cumple si x=2

b) (1 01 −1)·(a b

c d)+( 1 −2−2 5 )=(3 0

0 3) → ( a+1 b−2a−c−2 b−d +5)=(3 0

0 3)Igualamos coeficientes y tendremos un sistema 4x4.

{a+1=3b−2=0

a−c−2=0b−d +5=3

} → a=2 , b=2 , c=0 , d =4





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Sean las matrices A=(3 51 2) , B=(1 1

2 2)a) Hallar, si existe, la matriz inversa de A .

b) Determine, si existe, la solución X de la ecuación matricial A=A· X · A−1+B

a) Aplicamos método directo:

A · A−1=I → (3 5

1 2)·(a bc d)=(1 0

0 1) → (3 a+5 c 3 b+5 da+2 c b+2 d )=(1 0

0 1)

Igualamos término a término, y formamos un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas, que puededescomponerse en dos sistemas 2X2

{3 a+5 c=13 b+5 d=0a+2 c=0b+2d=1

}{3 a+5c=1

a+2c=0 } → { 3a+5c=1−3a−6c=0} → −c=1 → c=−1 → a−2=0 → a=2

{3 b+5 d =0b+2d=1 } → { 3b+5d=0

−3b−6 d=−3} → −d=−3 → d =3 → 3 b+15=0 → b=−5

Por lo tanto → A−1=(a b

c d)=( 2 −5−1 3 )

b) A=A· X · A−1+B → A−B=A· X · A−1

→ A−1( A−B)=X · A−1→ A−1( A−B)A=X

Sustituimos las matrices y operamos:

X =( 2 −5−1 3 )[(3 5

1 2)−(1 12 2)](3 5

1 2)=( 2 −5−1 3 )( 2 4

−1 0)(3 51 2)

X =( 2 −5−1 3 )( 2 4

−1 0)(3 51 2)=( 9 8

−5 −4)(3 51 2)=( 35 61

−19 −33)





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■ Matrices 22 ♣♣♣

Sea P=(1 2 13 2 22 3 2) y J =(

−1 0 00 2 00 0 1)

a) Determinar P−1

b) Determinar B−1, inversa de la matriz B=P−1 J−1

c) Calcular el determinante de A2, siendo A=P · J · P−1

a) Ya sea por Gauss-Jordan o por adjuntos, puedes utilizar la web www.matrixcalc.org/es paracomprobar los pasos para obtener la matriz inversa:

P−1=(

2 1 −22 0 −1

−5 −1 4 )

b) J −1=(

−1 0 00 1/2 00 0 1) → B=P−1 J−1

=(−2 1/2 −2−2 0 −15 −1/2 4 ) → B−1

=(−1 2 −16 4 42 3 2 )

c) El determinante de A es igual al producto de determinantes:

∣A∣=∣P∣·∣J∣·∣P−1∣=∣P∣·∣J∣·1

∣P∣=∣J∣=−2 → ∣A2∣=∣A∣·∣A∣=4


http://www.matrixcalc.org/es




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Calcula la potencia A2017de A=( 0 1

−1 0)

A=( 0 1−1 0)

A2=A· A=( 0 1

−1 0)·( 0 1−1 0)=(−1 0

0 −1)A3

=A2· A=(0 −11 0 )

A4=A3 · A=A

A5=A4· A=A2

A6=A5· A=A3

Es decir, la potencia Anse repite cada tres términos.

Si hacemos la división entre 3 y miramos el resto → 2017 :3 → Resto = 1 → A2017=A

En este ejercicio no hemos aplicado inducción matemática, ya que no teníamos una regla general paracualquier valor de n, sino tres reglas generales para valores de n cuyo resto con el número 3 fuese igual a 0,1 y 2.

En este tipo de ejercicios con formas distintas de la matriz n-ésima, es suficiente con razonar tal y como lohemos realizado.





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Sea A=(m −2 00 −2 00 1 m)

a) Estudiar el rango de la matriz en función del parámetro m , e indicar cuándo existe inversa.

b) Hallar el valor de m para que se cumpla la igualdad A2=4(

1 0 00 1 00 0 1)

a) Aplicamos Gauss para estudiar el rango de la matriz, sabiendo que el rango coincide con el número defilas no nulas tras obtener la matriz triangular de Gauss.

Y si el rango coincide con la dimensión de la matriz (en este caso 3), admitirá inversa.

A=(m −2 00 −2 00 1 m) → F ' 3=2· F 3+F2 → (

m −2 00 −2 00 0 2 m)

Igualamos a cero los elementos de la diagonal principal que dependen del parámetro.

m=0

2 m=0 → m=0

Realizamos la discusión de casos.

• Si m=0 → (0 −2 00 −2 00 0 0) → Eliminamos la tercera fila por tener todos lo coeficientes nulos →

(0 −2 00 −2 0) → Eliminamos una de las filas, por ser ambas idénticas → (0 −2 0 ) →

Llegamos a una única fila con coeficientes no nulos → El rango es 1 y la matriz no admite inversa.

• Si m≠0 → (m −2 00 −2 00 0 2 m) En la matriz final de Gauss contamos tres filas con coeficientes

no nulos → Rango es 3 y la matriz sí admite inversa.





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b) Para comprobar A2=4(

1 0 00 1 00 0 1) realizamos en primer lugar:

A · A=(m −2 00 −2 00 1 m)·(

m −2 00 −2 00 1 m)=(m2

−2m+4 00 4 00 −2+m m2)

E igualamos componente a componente:

(m2−2m+4 0

0 4 00 −2+m m2)=4(

1 0 00 1 00 0 1) → {

m2=4

−2m+4=00=00=04=40=00=0

−2+m=0m2

=4

} → El valor m=2 cumple las condiciones





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■ Matrices 25 ♣♣♣

Dadas las matrices A=(2−m 1 2m−1

1 m 1m 1 1 ) , X =(

xyz ) y B=(

2m2−1

m1 ) , considera el sistema

de ecuaciones lineales dado por X t A=Bt. Discútelo según los distintos valores de m .

En primer lugar, aplicamos traspuesta:

X t=(x y z ) , Bt

=(2 m2−1 m 1)

(x y z )·(2−m 1 2 m−1

1 m 1m 1 1 )=(2 m2

−1 m 1)

¡Ojito! No mezcles el orden al multiplicar matrices. Y el resultado del producto de matrices del término d elaizquierda es una matriz de 1 fila y 3 columnas.

((2−m) x+y+m z x+m y+z (2 m−1) x+y+z )=(2 m2−1 m 1)

Dos matrices son iguales si sus coeficiente son iguales. Por lo tanto, igualamos coeficientes y llegamos alsistema:

{(2−m) x+y+m z=2m2

−1x+m y+z=m

(2 m−1) x+y+z=1 }Vamos a resolver por Gauss, por lo que planteamos notación matricial del sistema.

(2−m 1 m

1 m 12 m−1 1 1∣2 m2

−1m1 )

Intercambiamos la posición de las columnas 1 y 3: C1⇔C3





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(m 1 2−m1 m 11 1 2 m−1∣

2 m2−1

m1 )

F ' 2=m F 2−F 1 (ojo: m=0 inhabilita Gauss), F ' 3=F 3−F 2

(m 1 2−m0 m2−1 2m−20 1−m 2m−2∣

2 m2−1

1−m2

1−m )Intercambiamos la columna 2 y ala columna 3: C2⇔C3

(m 2−m 10 2m−2 m2

−10 2m−2 1−m∣2 m2

−11−m2

1−m )F ' 3=F 3−F 2

(m 2−m 10 2 m−2 m2

−10 0 −m2

−m+2∣2 m2

−11−m2

−m+m2)Igualamos a cero los coeficientes de la diagonal princial que dependen del parámetro.

m=0 (inhabilita una transformación de Gauss, como ya hemos indicado anteriormente)

2 m−2=0 → m=1

−m2−m+2=0 → m=1 , m=−2

Realizamos discursión de casos.

Si m=0 → Sustituimos este valor antes de la transformación no permitida de Gauss





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(0 1 21 0 11 1 −1∣

−101 ) → El determinante de la matriz del sistema es: ∣A∣=0+1+2−(0+0−1)=4≠0

Por lo tanto, el rango de la matriz del sistema es 3, y eso implica que el rango de la matriz ampliada tambiénes 3. Por el Teorema de Rouché-Frobenius, al coincidir el rango de ambas matrices y ser igual al número deincógnitas, estamos ante Sistema Compatible Determinado de solución única.

Si m=1 → Sustituimos en la matriz final de Gauss

(1 1 10 0 00 0 0∣

100) → Queda una única ecuación no nula tras aplicar Gauss, sin absurdos matemáticos

Al tener 3 incógnitas, estamos ante Sistema Compatible Indeterminado con 2 parámetros libres. Infinitassoluciones.

Si m=−2 → Sustituimos en la matriz final de Gauss

(−2 4 10 −6 30 0 0∣

7−36 ) → En la tercera fila aparece un absurdo: 0=6

Sistema Incompatible, sin solución

No olvidar el caso complementario: Si m= {−2,0,1 }

Tras aplicar Gauss, eliminar filas proporcionales y comprobar que no hay absurdos matemáticos, quedantres ecuaciones no nulas y tres incógnitas. Sistema Compatible Determinado, solución única.





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Determinantes

■ Determinantes 1 ♣♣♣

Considera el sistema de ecuaciones {λ x+y−z=−1λ x+λ z=λ

x+y−λ z=0 }a) Discute el sistema según los valores de λ .

b) Resuelve el sistema para λ=0 .

a) La matriz del sistema y la matriz ampliada son:

A=(λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ) , A /C=(

λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ∣−1

λ0 )

Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema tendrá solución si el rango de ambas matricescoincide. En caso contrario, será incompatible.

Si ambos rangos coinciden y son iguales al número de incógnitas del sistema (tres en nuestro caso), lasolución será única y estaremos ante un sistema compatible determinado.

Si ambos rangos coinciden y su valor es menor que le número de incógnitas, estaremos anteinfinitas soluciones y el sistema será compatible indeterminado (con tantos parámetros libres como ladiferencia entre el número de incógnitas y el rango).

Para estudiar el rango de la matriz A , calculamos su determinante.

∣A∣=0+λ−λ−(0+λ2−λ

2)=0

El determinante de A se anula independientemente del valor del parámetro λ . Por lo tanto, el rangode A nunca será 3 . Como máximo, podrá ser 2 .

El rango de A será 2 si existe al menos un menor de orden 2 no nulo. Si estudiamos todos losmenores de orden dos posibles:

∣α11∣=−λ , ∣α12∣=−λ2−λ=−λ(λ+1) , ∣α13∣=λ

∣α21∣=−λ+1 , ∣α22∣=−λ2+1=(1+λ)(1−λ) , ∣α23∣=λ−1

∣α31∣=λ , ∣α32∣=λ2+λ=λ(λ+1) , ∣α33∣=−λ

Viendo estos nueve menores de orden dos, no hay ningún valor único del parámetro λ que anule a todos.





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Por lo tanto, el rango de A será 2 independientemente del valor del parámetro λ .

Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada A/C . Como máximo su rango será 3 , ya que es unmatriz rectangular de tres filas y cuatro columnas.

En primer lugar comprobamos si A/C contiene alguna submatriz cuadrada de orden tres condeterminante no nulo.

A/C=(λ 1 −1λ 0 λ1 1 −λ∣−1

λ0 )

∣C 1C 2C 4∣=λ(2+λ) , ∣C1C 2C 4∣=0 → λ=0 , λ=−2

∣C 1C 3C4∣=λ2(1−λ) , ∣C1C 3C4∣=0 → λ=0 , λ=1

∣C 2 C3C 4∣=λ2

, ∣C 2 C3C 4∣=0 → λ=0

Discusión de casos (sé ordenado en la discusión de casos):

• Si λ≠0 y λ≠1 y λ≠−2 → rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Sistema incompatible→ No existe solucion.

• Si λ=−2 → ∣C 2 C3C 4∣=λ2=4≠0 → rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Sistema

incompatible → No existe solucion.

• Si λ=1 → ∣C 2 C3C 4∣=λ2=1≠0 → rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Sistema

incompatible → No existe solucion.

• Si λ=0 → rango (A/C )≠3 por anularse el determinante de todas las submatrices de orden

tres → A/C=(0 1 −10 0 01 1 0 ∣−1

00 ) → Encontramos al menos un menor de orden dos no nulo →

∣0 11 1∣=−1≠0 → rango (A/C )=2=rango (A)<3=número de incógnitas → Sistema

compatible indeterminado → Infinitas soluciones con 3−2=1 parámetro libre.

b) Debemos resolver el sistema para λ=0 , donde ya sabemos (por el apartado anterior), que estamosante un sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones) con un parámetro libre.

A/C=(0 1 −10 0 01 1 0 ∣−1

00 ) → Podemos obviar la segunda fila por tener todos los términos nulos →

A/C=(0 1 −11 1 0 ∣−1

0 ) → Tomamos como parámetro libre y=α





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De la primera ecuación del nuevo sistema → z=1+α

De la segunda ecuación del nuevo sistema → x=−α

La solución final, en función de un parámetro, resulta → {x=−αy=α

z=1+α}





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■ Determinantes 2 ♣

Considera las matrices A=(−1 22 m) y B=(

1 2 0−2 m 03 2 m) .

a) Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.

b) Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.

a) El rango es el número de vectores linealmente independientes dentro de la matriz. Una matrizcuadrada de orden dos, tendrá como máximo dos vectores linealmente independientes. Una matrizcuadrada de orden tres, tendrá como máximo tres vectores linealmente independientes. Una matrizrectangular de orden tres por cuatro, tendrá como máximo tres vectores linealmente independientes.

Debemos estudiar el rango de cada matriz, y comprobar si existen valores comunes del parámetro m enla discusión de casos en ambas matrices. Para estudiar el rango, comenzamos planteando el determinantede cada matriz cuadrada y comprobando donde se anula.

∣A∣=−m−4 , ∣A∣=0 → m=−4

Si m≠−4 → ∣A∣≠0 → rango (A)=2 , ya que tendremos dos vectores linealmenteindependientes formando la matriz.

Si m=−4 → ∣A∣=0 → rango (A)=1 , ya que existe al menos un menor de orden uno no nulo.Por ejemplo ∣α22∣=−1≠0 .

∣B∣=m2+4m , ∣B∣=0 → m=0 , m=−4

Si m≠0 y m≠−4 → ∣B∣≠0 → rango (B)=3 , ya que tendremos tres vectores linealmenteindependientes formando la matriz.

Si m=0 → B=(1 2 0

−2 0 03 2 0) → rango (B)=2 , ya que existe al menos un menor de orden dos no

nulo. Por ejemplo ∣α33∣=4≠0 .

Si m=−4 → B=(1 2 0

−2 −4 03 2 −4) → rango (B)=2 , ya que existe al menos un menor de orden

dos no nulo. Por ejemplo ∣α13∣=8≠0 .

Comparando sendas discusiones de casos, concluimos: Si m=0 el rango de ambas matrices coincide yes igual a 2 .





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b) En este apartado debemos igualar sendos determinantes y obtener los valores de m solución.

∣A∣=∣B∣ , ∣A∣=−m−4 , ∣B∣=m2+4m → −m−4=m2

+4m → m2+5m+4=0

m=−5±√25−16

2=

−5±32

→ m=−1 , m=−4





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■ Determinantes 3 ♣♣

Dado el sistema de ecuaciones {k x+2 y=3

−x+2k z=−13 x− y−7 z=k+1}


b) Resolver para k=1 .

Tenemos la siguiente matriz del sistema y su matriz ampliada asociada.

A=(k 2 0

−1 0 2k3 −1 −7) , A/C=(

k 2 0−1 0 2 k3 −1 −7∣

3−1k+1)

El sistema tendrá solución siempre y cuando el rango de ambas matrices coincida, según el teorema deRouché-Frobenius.

Para estudiar el rango de la matriz A vemos para que valores de k se anula su determinante.

∣A∣=2 k2+12 k−14 , ∣A∣=0 → k 2

+6 k−7=0 → k=1,−7

Discusión de casos (sé ordenado en la discusión de casos):

• Si k≠1,−7⇒∣A∣≠0⇒ rango( A)=3=rango ( A/C )=número de incógnitas → Estamosante un sistema compatible determinado → Solución única.

• Si k=−7⇒∣A∣=0⇒ rango( A)≠3 → Estudiemos el rango de A y de A/C .

A=(−7 2 0−1 0 −143 −1 −7 ) → rango (A)=2 por existir al menos un menor de orden dos no nulo;

por ejemplo ∣−7 2−1 0∣=2≠0 . Estudiamos rango de la matriz ampliada

A/C=(−7 2 0−1 0 −143 −1 −7 ∣ 3

−1−6) comprobando si existe al menos un menor de orden tres no nulo.

En efecto, ∣C 1C 2C 4∣=13≠0⇒ rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Sistema incompatible →No hay solución.





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• Si k=1⇒∣A∣=0⇒ rango (A)≠3 → Estudiemos el rango de A y de A/C .

A=(1 2 0

−1 0 23 −1 −7) → rango (A)=2 por existir al menos un menor de orden dos no nulo;

por ejemplo ∣ 1 2−1 0∣=2≠0 . Estudiamos rango de la matriz ampliada

A/C=( 1 2 0−1 0 23 −1 −7∣

3−12 ) comprobando si existe al menos un menor de orden tres no nulo.

Todos los menores de orden tres se anulan: ∣C 1C 2C 4∣=0 , ∣C 1C 3C4∣=0 , ∣C 2 C3C 4∣=0→ rango (A)=2=rango ( A/C )<3=número de incógnitas → Sistema compatibleindeterminado con un parámetro libre → Infinitas soluciones.

b) Para k=1 hemos justificado en el apartado anterior que estamos ante un sistema compatibleindeterminado con un parámetro libre → Infinitas soluciones. Por ejemplo, si consideramos z=λ comoparámetro libre:

{x+2 y=3

−x+2 z=−13 x− y−7 z=2} → f (x )={

x+2 y=3−x=−1−2λ3 x− y=2+7λ} → De la segunda ecuación: x=1+2λ .

Y llevando este resultado a la primera ecuación y=1−λ .

La solución de nuestro sistema, dependiente de un parámetro, resulta {x=1+2λy=1−λ

z=λ } .





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Sea la matriz A=(m+2 0 0−3 m+1 11 0 m−1) .

a) Obtener ∣A10∣ .

b) Para m=0 calcular, si es posible, la matriz inversa de A .

a) El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes.

∣A10∣=∣A · A· A· ...· A∣=∣A∣·∣A∣·∣A∣· ... ·∣A∣=∣A∣

10

∣A∣=(m+2)(m2−1) → ∣A10

∣=((m+2)(m2−1))10

b) Si m=0 → ∣A∣=(0+2)(0−1)=−2≠0 → Existe la matriz inversa (el determinante no nulo esla condición necesaria y suficiente para demostrar la existencia de inversa).

A=(2 0 0

−3 1 11 0 −1) , A−1

=[adj (A)]

t

∣A∣

Obtenemos los nueve adjuntos. Recuerda: Aij=(−1)i+ j ·∣αij∣

A11=−1 , A12=−2 , A11=−1

A21=0 , A22=−2 , A23=0

A31=0 , A32=−2 , A33=2

[adj ( A)]t=(

−1 0 0−2 −2 −2−1 0 2 ) → A−1

=(12

0 0

1 1 112

0 −1)Recuerda que la matriz inversa satisface: A · A−1

=A−1· A=I





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Sabemos que el vector (2,1 ,−1) es solución del sistema {a x+b y+c z=a+c

b x− y+b z=a−b−cc x−b y+2 z=b }

Calcule el valor de los parámetros a ,b y c .

Si el vector (2,1 ,−1) es solución, sustituyo los valores de sus componentes en las incógnitas x , y , zdel sistema.

{2 a+b−c=a+c

2 b−1−b=a−b−c2c−b−2=b } → Nuevo sistema con a ,b y c como incógnitas.

{a+b−2c=0

−a+2b+c=1−2b+2c=2 } →Notación matricial→ M =(

1 1 −2−1 2 10 −2 2 ) , M / D=(

1 1 −2−1 2 10 −2 2 ∣012)

Estudiamos el rango de M . Si es 3 , tendremos sistema compatible determinado con solución única.Y podremos resolver, por ejemplo, por la regla de Cramer.

∣M∣=4+0−4−(0−2−2)=4≠0 → Rango(M )=3 → Coincide con el rango de la ampliada →Por Rouché-Frobenius tenemos solución única → S.C.D.

Podemos obtener la solución única por Cramer para las incógnitas a ,b y c . Recuerda que Cramersolo lo utilizamos en los sistemas compatibles determinados.

a=∣0 1 −21 2 12 −2 2 ∣

4=

0+2+4−(−8+0+2)

4=

124

=3

b=∣ 1 0 −2−1 1 10 2 2 ∣

4=

2+0+4−(0+0+2)

4=

44=1

c=∣ 1 1 0−1 2 10 −2 2∣

4=

4+0+0−(0−2−2)4

=84=2





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Sea A=(1 11 −1) . Calcula:

a) ∣A−1∣

b) ∣5A∣

c) ∣(5A)−1∣

a) ∣A−1∣=

1∣A∣

→ El determinante de la matriz inversa es la inversa del determinante de la matriz.

∣A∣=−1−1=−2 → ∣A−1∣=

−12

b) ∣5A∣=52 ·∣A∣=25·(−2)=−50 → El determinante de un número real multiplicado por unamatriz, es igual al determinante de la matriz multiplicado por el número real elevado a la dimensiónde la matriz. En nuestro ejemplo, el orden de la matriz cuadrada será igual a dos (el orden coincide con elnúmero de filas o columnas de la matriz cuadrada).

c) ∣(5A)−1∣=

1∣5A∣

=1

−50→ Recuerda que el determinante de la inversa es la inversa del determinante





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a) Determina el rango de A=(a −a 62 −2 4

a+2 −5 −10) según el valor de a .

b) Encontrar una matriz B , de orden 2×2 , que verifique la siguiente ecuación matricial:

(2 11 1)B(1 −1

0 1 )=(−3 −33 3 )

a) La matriz A es de orden n=3 . Por lo tanto su rango, como máximo, puede ser 3 . Recuerda queel rango es el número de vectores linealmente indepenientes contenidos dentro de la matriz.

Para que rango (A)=3 necesitamos que su determinante sea distinto de cero. Es decir:

rango (A)=3 ==> ∣ a −a 62 −2 4

a+2 −5 −10∣≠0

Antes de resolver este determinante podemos intentar hacer el mayor número de ceros posible, parasimplificar la suma de producto final de la regla de Sarrus.

∣a −a 62 −2 4

a+2 −5 −10∣ → C ' 2=C2+C1 →

→ ∣ a 0 62 0 4

a+2 a−3 −10∣=12 (a−3)−4a (a−3)=4(a−3)(3−a )=−4 (a−3)2

Es decir, los valores de a que no anulen el determinante harán que el rango de A sea igual a 3 .

−4(a−3)2≠0 → a≠3

Nuestra discusión de casos es la siguiente:

• Si a≠3 → rango (A)=3





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• Si a=3 → A=(3 −3 62 −2 45 −5 −10) → Buscamos algún menor de orden 2 no nulo →

Por ejemplo ∣α11∣=∣−2 4−5 −10∣=20+20=40≠0 → rango (A)=2

b) (2 11 1)B(1 −1

0 1 )=(−3 −33 3 ) → A B C=D → B=A−1 D C−1

Calculamos las inversas de A y de C , siempre y cuando sus determinantes sean no nulos(condición necesaria y suficiente para existencia de matriz inversa).

A=(2 11 1) → ∣A∣=1

A−1=

[adj (A)]t

∣A∣=( 1 −1

−1 2 )

C=(1 −10 1 ) → ∣C∣=1

C−1=

[adj(C )]t

∣C∣=(1 1

0 1)

Por lo tanto:

B=A−1 D C−1→ B=( 1 −1

−1 2 )(−3 −33 3 )(1 1

0 1)

B=(−6 −129 18 )





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Resolver la siguiente ecuación (obtener valor de x que satisface la igualdad):

∣1 x x2

1 5 251 3 9 ∣=0

Antes de aplicar la regla de Sarrus vamos a triangular el determinante, para obtener el mayor número deceros posibles, de tal forma que el producto final que resuelte de resolver el determinante sea lo mássencillo posible.

∣1 x x2

1 5 251 3 9 ∣ → F ' 2=F2−F1 → ∣1 x x2

0 5− x 25− x2

1 3 9 ∣ → F ' 3=F 3−F 1 →

→ ∣1 x x2

0 5− x 25−x2

0 3− x 9− x2 ∣ → F ' 3=(5− x)F3−(3− x) F 2 → Divido por (5− x) para compensar la

multiplicación en la fila F 3 →

→ 1

5−x ∣1 x x2

0 5− x 25−x2

0 0 (5−x )(9− x2)−(3−x )(25− x2

)∣

El valor de este determinante triangular es, directamente, el producto de los términos de la diagonalprincipal. Es decir:

15−x∣1 x x2

0 5− x 25−x2

0 0 (5−x )(9− x2)−(3−x )(25− x2

)∣=[(5−x )(9− x2

)−(3− x)(25−x2)]

Igualamos a 0 para resolver la ecuación que plantea el enunciado:

[(5− x)(9−x2)−(3−x )(25−x2

)]=0

Recordamos que suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados:





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[(5− x)(3−x)(3+x)−(3−x)(5−x )(5+x )]=0

Sacando factor común:

[(5− x)(3−x)(3+x)−(3−x)(5−x )(5+x )]=0

(5− x)(3−x) [−2]=0

Si un producto es igual a cero, significa que al menos uno de los términos de la multiplicación es igual acero. Por lo tanto:

5− x=0 → x=5

3− x=0 → x=3





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Sea el sistema {2 x+y+a z=−1−x+a y−z=2

2 a x−2 y+a2 z=2}a) Discute las soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro a .

b) Resolverlo cuando sea compatible determinado.

a) Vamos a definir la matriz del sistema A y la matriz ampliada A/C , de tal forma que si el rango deambas matrices coincide el sistema será compatible. En caso contrario, el sistema será incompatible y notendrá solución (Teorema de Rouché-Frobenius).

A=(2 1 a

−1 a −12a −2 a2 ) → El rango máximo que puede tener A es 3

A/C=(2 1 a

−1 a −12 a −2 a2∣−1

22 ) → El rango máximo que puede tener A/C es 3

El rango de A será 3 si el determinante ∣A∣ es distinto de cero. Por lo tanto, calculamos sudeterminante:

∣A∣=∣2 1 a

−1 a −12a −2 a2∣=2a3

−2a+2a−(2 a3+4−a2

)=a2−4

∣A∣≠0 → a2−4≠0 → a2

≠4 → a≠±2

Nuestra discusión de casos es:

• Si a≠±2 → rango (A)=3 → rango (A/C )=3 . Como n=3 es el número deincógnitas del sistema, y coincide con rango (A)=rango ( A/C ) , tendremos sistemacompatible determinado (solución única).





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• Si a=2 → A=(2 1 2

−1 2 −14 −2 4 ) → Buscamos un menor de orden 2 no nulo → Por ejemplo

∣α33∣=∣ 2 1−1 2∣=4+1=5≠0 → rango (A)=2 .

Ahora debemos estudiar el rango de la matriz ampliada, ya que al añadir una columna a la matrizA , puede ocurrir que el rango de A/C sea 3 y estemos ante un sistema incompatible (sin

solución).

En efecto, si en A/C=(2 1 2

−1 2 −14 −2 4 ∣−1

22 ) tomamos la submatriz formada por la columna 2, la

columna 3 y la columna 4, su determinante es no nulo.

∣C 2 C3C 4∣=∣1 2 −12 −1 2

−2 4 2 ∣=−2−8−8−(−2+8+8)=−32≠0 → rango (A/C )=3 →

Al no coincidir con rango (A)=2 → Sistema incompatible.

• Si a=−2 → A=(2 1 −2

−1 −2 −1−4 −2 4 ) → Buscamos un menor de orden 2 no nulo → Por

ejemplo ∣α33∣=∣ 2 1−1 −2∣=−4+1=−3≠0 → rango (A)=2 .

Ahora debemos estudiar el rango de la matriz ampliada.

A/C=(2 1 −2

−1 −2 −1−4 −2 4 ∣−1

22 ) → Las cuatro submatrices de orden 3 contenidas dentro de la

matriz ampliada A/C tienen determinante nulo. Por lo que el rango (A/C )≠3 →rango (A/C )=2 .

Otra forma de verlo es darnos cuanta de la proporcionalidad F 3=−2 F1 → Al existir esta

combinación lineal, el rango de A/C no será 3 ya que podremos obviar una fila.

Es decir, tenemos rango (A)=rango ( A/C )=2<3(número incógnitas) → Sistemacompatible indeterminado (con un parámetro libre).

b) Debemos resolver el sistema en el caso S.C.D. La solución quedará en función del parámetro a(ojo, no dar ningún valor al parámetro a : dejar la solución en función del parámetro).

Vamos a resolverlo aplicando la regla de Cramer.





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{2 x+y+a z=−1−x+a y−z=2

2 a x−2 y+a2 z=2}A=(

2 1 a−1 a −12a −2 a2 ) → ∣A∣=a2

−4≠0 → Por ser S.C.D. al considerar a≠±2

A/C=(2 1 a

−1 a −12 a −2 a2∣−1

22 )

Aplicamos Cramer.

∣A∣=∣2 1 a

−1 a −12a −2 a2∣=2a3

−2a+2a−(2 a3+4−a2

)=a2−4

x=∣−1 1 a2 a −12 −2 a2 ∣

a2−4

=−a3

−2−4 a−(2 a2−2+2 a2

)

a2−4

=−a (a2

+4 a+4)

(a−2)(a+2)=

−a(a+2)2

(a−2)(a+2)=

−a (a+2)a−2

y=∣

2 −1 a−1 2 −12 a 2 a2∣

a2−4

=4 a2+2 a−2 a−(4 a2−4+a2)

a2−4

=−1

z=∣

2 1 −1−1 a 22 a −2 2 ∣

a2−4

=4 a+4 a−2−(−2 a2

−8−2)

a2−4

=2 a2

+8 a+8a2

−4=

2(a+2)2

(a+2)(a−2)=

2(a+2)

a−2





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Sea A=(1 1 1a b ca2 b2 c2) y sabemos que ∣A∣=2 . Calcula los siguientes determinantes, explicando

adecuadamente los pasos que sigues para calcularlos:

a) ∣a−1 b−1 c−1a2

−1 b2−1 c2

−15 5 5 ∣

b) ∣(a+1)2(b+1)2

(c+1)2

a b ca2 b2 c2 ∣

a) Aplicamos transformaciones lineales de filas y columnas hasta obtener el determinante de la matriz A yasí poder aplicar el valor de ∣A∣=2 .

∣a−1 b−1 c−1a2

−1 b2−1 c2

−15 5 5 ∣ → Intercambiamos F1 con F 3 con el consiguiente cambio de signo →

−∣5 5 5

a2−1 b2

−1 c2−1

a−1 b−1 c−1∣ → Intercambiamos F 2 con F 3 lo cual genera un nuevo cambio de

signo→ ∣5 5 5

a−1 b−1 c−1a2

−1 b2−1 c2

−1∣ → Sacamos factor común 5 de la primera fila →

5∣1 1 1

a−1 b−1 c−1a2

−1 b2−1 c2

−1∣ → F ' 2=F2+F 1 , F ' 3=F 3+F 1 →

→ 5∣1 1 1a b ca2 b2 c2∣=5∣A∣=5 · 2=10





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b) Desarrollamos los cuadrados de la primera fila:

∣(a+1)2(b+1)2

(c+1)2

a b ca2 b2 c2 ∣=∣a

2+2a+1 b2

+2b+1 c2+2 c+1

a b ca2 b2 c2 ∣ → F ' 1=F 1−2F2−F3 →

→ ∣1 1 1a b ca2 b2 c2∣=∣A∣=2

¿Cómo se dice en árabe “matrimonio”? Ata la jaca a la estaca.

¿Y cómo se dice en árabe “divorcio”? Se aleja la almeja.

Y ahora un chiste de Física. Un amigo le dice a otro:

“Mi novia me ha pedido tiempo y distancia... Creo que quiere medir la velocidad.”





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Sea el sistema A X =B , donde A=(a 2 −10 1 23 4 a ) , B=(

1a−2

3 ) y X =(xyz) .

a) ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución única?

b) ¿Para qué valores de a el sistema no tiene solución?

c) ¿Para qué valores de a el sistema tiene al menos dos soluciones?

d) Halla las soluciones cuando el sistema sea compatible.

a) El sistema tiene solución única, por el Teorema de Rouché-Frobenius, si los rangos de la matriz delsistema y de la matriz ampliada coinciden y son igual al número de incógnitas (tres incógnitas en nuestroejemplo).

A/ B=(a 2 −10 1 23 4 a ∣ 1

a−23 )

Por lo tanto, necesitamos que rango (A)=3=rango( A/ B)

∣A∣=∣a 2 −10 1 23 4 a ∣=a2

−8a+15=(a−3)(a−5)

Si a≠3 y a≠5 → ∣A∣≠0 → rango (A)=3=rango( A/ B)=númeroincógnitas → Como lamatriz del sistema está contenida en la matriz ampliada, y ambas pueden tener un rango máximo igual atres, si la primera del sistema tiene rango tres, la ampliada también tendrá rango tres → Solución única →Sistema Compatible Determinado.

b) Estudiamos si a=3 ó a=5 generan un sistema solución. Para ello estudiamos el rango de laampliada.

Si a=3 → Buscamos un menor de orden dos nulo en la matriz del sistema → ∣3 20 1∣=3≠0 →

rango (A)=2

Si a=3 → A/ B=(3 2 −10 1 23 4 3 ∣113) → ∣C1 C2C 4∣=∣C1C 3C4∣=∣C 2C2 C4∣=0 → Todos los menores

de orden tres de la matriz ampliada son nulos → rango (A/ B)=2 → Infinitas soluciones





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Si a=5 → Buscamos un menor de orden dos nulo en la matriz del sistema → ∣5 20 1∣=5≠0 →

rango (A)=2

Si a=5 → A/ B=(5 2 −10 1 23 4 5 ∣133) → ∣C1 C2C 3∣=∣

5 2 10 1 33 4 3∣=15+0+18−(3+0+60)≠0 →

rango (A/ B)=3≠2=rango( A) → No hay solución → Sistema Incompatible

c) Como hemos deducido en el apartado anterior, tendremos al menos dos soluciones en el caso deSistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones) → a=3

d) Si nos piden resolver en el caso de sistema compatible, se refiere tanto a determinado comoindeterminado.

Si a=3 → Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad (recuerda que el número dergados de libertad se obtiene como la diferencia entre el número de incógnitas y el rango de la matrizampliada).

A/ B=(3 2 −10 1 23 4 3 ∣113) → ¿Qué ecuación puedo obviar, al ser SCI?

Puedo aplicar Gauss para comprobar qué ecuación puedo obviar. O puedo darme cuenta de que la tercerafila es la primera fila más dos veces la segunda fila. Es decir: F 3=F1+2 F2

Puedo obviar una ecuación, por ejemplo, la tercer fila.

A/ B=(3 2 −10 1 2 ∣11) → z=λ → y=1−2λ → x=

−13

+5λ

3

En el caso A/ B=(a 2 −10 1 23 4 a ∣ 1

a−23 ) con a≠3 y a≠5 , estamos en Sistema Compatible

Determinado, por lo que podemos obtener la solución única por Cramer o bien resolver aplicando el métodode sustitución, o triangulando por Gauss (elijo este método, para no tener que hacer tantosdeterminantes por Cramer... aunque también va a ser un poco largo y tedioso). Pues nada, a vencer lapereza de tener que operar y a resolver se ha dicho.





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(a 2 −10 1 23 4 a ∣ 1

a−23 ) → F ' 3=a F 3−3 F1 → (

a 2 −10 1 20 4a−6 a2

+3∣1

a−23a−3) →

F 3 '=F 3−(4a−6) F 2 → (a 2 −10 1 20 0 a2

−8 a+15∣1

a−2−4 a2

+17a−15) → Factorizamos →

(a 2 −10 1 20 0 (a−3)(a−5)∣

1a−2

(a−3)(−4a+5))Resolvemos.

z=−4 a+5

a−5, y=

a (a+1)a−5

, x=−2a−5

a−5





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Sea el sistema de ecuaciones lineales {(3α−1) x+2 y=5−α

α x+y=23α x+3 y=α+5 }

a) Discútelo según los valores del parámetro α .

b) Resuélvelo para α=1 y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde x=4 .

a) La matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema resultan:

A=(3α−1 2

α 13α 3) , A/C=(3α−1 2

α 13α 3∣

5−α2

α+5)Estudiamos el rango de A . Al ser una matriz rectangular de tres filas y dos columnas, el valor máximo desu rango podrá ser dos. Los tres menores de orden dos de la matriz de coeficientes resultan:

∣3α−1 2α 1∣=3α−1−2α=α−1

∣3α−1 23α 3∣=9α−3−6α=3α−3=3(α−1)

∣ α 13α 3∣=3α−3α=0


• Si α≠1 → existe en A al menos un menor de orden dos no nulo → rango (A)=2 →Estudiamos el rango de la matriz ampliada A/C , que como máximo será tres.

Antes de hacer el determinante de A /C , aplicamos transformaciones lineales para simplificar lasoperaciones.

A/C=(3α−1 2

α 13α 3∣

5−α2

α+5) → F ' 3=F 3−3 F 2 → A/C=(3α−1 2

α 10 0∣

5−α2

α−1)∣A/C∣=(3α−1)(α−1)+0+0−(0+0+2α(α−1))=(α−1)(3α−1−2α)=(α−1)2

Como α≠1 → ∣A/C∣≠0 → rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Por el Teorema deRouché-Frobenius no existe solución al no coincidir los rangos → Sistema Incompatible.





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• Si α=1 → rango (A)=1 al anularse todos los menores de orden dos de A y existir almenos un menor de ordeno uno no nulo. La matriz ampliada queda:

A/C=(2 21 13 3∣

426)

Las filas de esta matriz amplida cumplen las siguientes relaciones: F1=2 F1 y F 3=F1+F 2

→ Por lo tanto solo existe una fila (vector) linealmente independiente → El rango de la matriz ampliada es igual a 1 → rango (A/C )=1=rango( A)<2=númeroincógnitas → Por el Teorema de Rouché Frobenius estamos ante un Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad.

b) Para α=1 tenemos un Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad. Nuestras tresecuaciones con dos incógnitas pueden quedar reducidas a una única ecuación, ya que como hemosdeducido en el apartado anterior las dos primeras filas son proporcionales entre sí, y la tercera fila escombinación lineal de la dos primeras.

Si nos quedamos, por ejemplo, con la segunda ecuación:

x+y=2 → Llamando y=λ como parámetro libre → x=2−λ

Si λ=−2 → x=4 → La solución general que pide el enunciado resulta x=4 , y=−2





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Dado el sistema de ecuaciones {k x+2 y=3

−x+2k z=−13 x− y−7 z=k+1}


b) Resolver para k=1 .

a) Tenemos la siguiente matriz del sistema y su matriz ampliada asociada.

A=(k 2 0

−1 0 2k3 −1 −7) , A/C=(

k 2 0−1 0 2 k3 −1 −7∣

3−1k+1)

El sistema tendrá solución siempre y cuando el rango de ambas matrices coincida, según el teorema deRouché-Frobenius.

Para estudiar el rango de la matriz A vemos para que valores de k se anula su determinante.

∣A∣=2 k2+12 k−14 , ∣A∣=0 → k 2

+6 k−7=0 → k=1,−7


Si k≠1,−7⇒∣A∣≠0⇒ rango( A)=3=rango ( A/C )=número de incógnitas → Estamos ante unsistema compatible determinado → Solución única.

Si k=−7⇒∣A∣=0⇒ rango( A)≠3 → Estudiemos el rango de A y de A/C .

A=(−7 2 0−1 0 −143 −1 −7 ) → rango (A)=2 por existir al menos un menor de orden dos no nulo; por

ejemplo ∣−7 2−1 0∣=2≠0 . Estudiamos rango de la matriz ampliada A/C=(−7 2 0

−1 0 −143 −1 −7 ∣ 3

−1−6)

comprobando si existe al menos un menor de orden tres no nulo. En efecto,∣C 1C 2C 4∣=13≠0⇒ rango (A/C )=3≠2=rango( A) → Sistema incompatible → No hay solución.





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Si k=1⇒∣A∣=0⇒ rango (A)≠3 → Estudiemos el rango de A y de A/C .

A=(1 2 0

−1 0 23 −1 −7) → rango (A)=2 por existir al menos un menor de orden dos no nulo; por

ejemplo ∣ 1 2−1 0∣=2≠0 . Estudiamos rango de la matriz ampliada A/C=( 1 2 0

−1 0 23 −1 −7∣

3−12 )

comprobando si existe al menos un menor de orden tres no nulo. Todos los menores de orden tres seanulan: ∣C1C 2C 4∣=0 , ∣C 1C 3C4∣=0 , ∣C 2 C3C 4∣=0 →

rango (A)=2=rango ( A/C )<3=número de incógnitas → Sistema compatible indeterminado conun parámetro libre → Infinitas soluciones.

b) Para k=1 hemos justificado en el apartado anterior que estamos ante un sistema compatibleindeterminado con un parámetro libre → Infinitas soluciones. Por ejemplo, si consideramos z=λ comoparámetro libre:

{x+2 y=3

−x+2 z=−13 x− y−7 z=2} → {

x+2 y=3−x=−1−2 λ3 x− y=2+7λ}

De la segunda ecuación obtenemos x=1+2λ .

Y llevando este resultado a la primera ecuación y=1−λ .

La solución de nuestro sistema, dependiente de un parámetro, resulta {x=1+2λy=1−λ

z=λ } .





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Si A=(x 1 1

x−1 2 02 x−1 2) determina los valores de x para los que se cumple que ∣B∣=1 ,

siendo B=12

A .

B=12

A=12(

x 1 1x−1 2 0

2 x−1 2) → ∣B∣=∣12

A∣=(12)

3

∣A∣

Donde hemos aplicado propiedad de determinantes: un número real sale del determinante elevado a ladimensión de la matriz sobre la que está multiplicando.

Si ∣B∣=1 → 1=18∣A∣ → 8=∣A∣

Por lo tanto, debemos realizar el determinante de A e igualarlo a 8. Y podremos despejar los valores de x

∣A∣=4 x+0+( x−1)2−(4+0+2( x−1))=4 x+(x−1)2

−4−2( x−1)

∣A∣=4 x+x2+1−2 x−4−2 x+2=x2

−1

Si ∣A∣=8 → x2−1=8 → x2

=9 → x=±3





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Calcule los valores del parámetro t para los la siguiente matriz no es regular:

A=(−t t +1 −t+11 0 −t+12 −t−1 1 )

Una matriz es regular si admite inversa.

No es regular si no admite inversa. Y una matriz cuadrada no admite inversa si su determinante es cero.

Aplicamos Sarrus e igualamos a cero.

∣A∣=0+(t +1)(−t +1)·2−(t +1)(−t +1)−(0+( t+1)+t( t+1)(−t+1))

∣A∣=(t+1)(−t+1)−(t+1)−t (t +1)(−t+1)

Sacamos factor común:

∣A∣=(t+1)(−t+1−1−t (−t +1))=(t+1)(−t+t2−t)=(t+1)(t 2

−2t )=t (t+1)(t−2)

∣A∣=0 → t=0 , t=−1 , t=2

Por lo tanto, no existe inversa si t=0 , t=−1 o bien t=2 .


problemas resueltos de sistemas de ecuaciones, gauss

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