problemas resueltos módulo 2. análisis de sistemas en cadena
TRANSCRIPT
Regulación y Control de Máquinas Navales (RCMN)
Problemas Resueltos
Módulo 2. Análisis de Sistemas en Cadena Abierta
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 2 26/10/07
PROBLEMA 1
Dado el sistema de la figura, obtener uno de orden más reducido equivalente al dado, indicando las
diferencias en su respuesta ante un escalón unitario en la señal de entrada.
)3)(85.0·4.2(
)2·(05.0)(
2 +++
+=
sss
ssG
SOLUCIÓN: El sistema presenta un cero (z1 = -2) y tres polos (p1 = -0.43, p2 = -1.97, p3 = -3). El polo más
dominante es el que se encuentra en p1 = -0.43: σdom=0.43
σdom=0.43
-2
-6σdom
d=0.03
-3 -1.97
-2.54
-0.43
El efecto del polo p3 = -3 sobre la respuesta transitoria será despreciable, ya que está a más de seis
veces de distancia del eje imaginario que el polo dominante: 3 > 6·σdom = 2.58
El polo en p2 = -1.97 y el cero z1 = -2 forman una pareja polo cero cuya distancia es menor que seis
veces la distancia del polo dominante al eje imaginario, por lo que su efecto sobre la respuesta
transitoria será también despreciable:
d = 2-1.97 = 0.03 < σdom/6 = 0.071
Por lo tanto el sistema reducido será: )43.0(
)(+
=s
KsG
eq
eq, para calcular la Keq debemos mantener la
ganancia de la función de transferencia original. Aplicando el Teorema del Valor Final:
017.0)3)(85.0·4.2(
)2·(05.0lim
)43.0(lim
)(1·lim)(
1·lim
200
00
=⇒+++
+=
+
=
→→
→→
eqs
eq
s
seqs
Ksss
s
s
K
sGsssG
ss
)43.0(
017.0)(
+=s
sGeq
En las siguientes gráficas se puede apreciar el parecido entre la respuesta de ambas funciones de
transferencia ante un escalón unitario.
Time (sec.)
Am
plit
ude
Step Response
0 5 10 150
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04From: U(1)
To: Y
(1)
Time (sec.)
Am
plit
ude
Step Response
0 5 10 150
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04From: U(1)
To: Y
(1)
)3)(85.0·4.2(
)2·(05.0)(
2 +++
+=
sss
ssG
)43.0(
017.0)(
+=s
sGeq
Respuesta del sistema original. Respuesta del sistema equivalente.
u(t) y(t)
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 3 26/10/07
PROBLEMA 2
Dado el sistema definido por el siguiente modelo matemático:
a) dt
tdw )( + 10.w(t) =
dt
tdx )( +8.x(t)
b) dt
tdl )( = w(t) –5.y(t)
c) m(t) = l(t).n(t)
d) 20.n(t) + dt
tdn )( = z(t) + 2.
dt
tdz )( + 1
e) y(t) + dt
tdy )( = m(t)
en el que x(t) representa la entrada al sistema, z(t) una perturbación e y(t) la salida, se pide:
1º Modelo matemático linealizado alrededor de x0 = 3, z0 =0.
2º Diagrama de Bloques del sistema.
3º Funciones de Transferencia Y(s)/X(s) e Y(s)/Z(s).
4º Dibujar, de forma aproximada, la señal y(t) cuando x(t) y z(t) sufren, simultáneamente una
variación brusca de amplitud 1.
SOLUCION
1. Cálculo del modelo matemático linealizado.
Para realizar dicho cálculo es necesario conocer previamente el valor de todas las variables en el
punto de funcionamiento elegido.
1.a) Cálculo del punto de funcionamiento o de equilibrio.
Antes de proceder a la linealización propiamente dicha es necesario conocer el valor de todas las
variables en dicho punto, en este caso el definido por x0=3 y z0=0. Puesto que el sistema en ese
punto se encuentra en equilibrio, cada una de las variables estará estabilizada en su valor respectivo,
y, por lo tanto, el valor de todas las derivadas será nulo en dicho punto.
Por lo tanto el modelo matemático en el punto de equilibrio quedará reducido al siguiente sistema
de ecuaciones:
10.w0 = 8.x0
0 = w0 –5.y0
m0 = l0.n0
20.n0 = z0 +1
y0 = m0
Resolviéndolo para x0 =3 y z0=0, se obtiene w0=2,4; y0=0,48; n0=0,05; m0=0,48; l0=9,6
1.b) Linealización.
Conocido el valor de todas las variables en el punto de equilibrio puede procederse a
linealizar el modelo alrededor de dicho punto.
En el caso de aquellas ecuaciones que ya son lineales, el proceso de linealización se resume
en cambiar las variables absolutas del modelo original por variables incrementales con respecto al
punto de equilibrio. Este es el caso de las ecuaciones a), b) y e) del modelo.
La ecuación c) del modelo es no lineal por presentar un producto de dos variables, por lo
tanto para linealizar será necesario derivar respecto de cada una de ellas.
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 4 26/10/07
La ecuación d) es no lineal por presentar un término independiente. Al linealizar la ecuación
dicho término desaparecerá al sustituir las variables por sus incrementos.
El modelo linealizado quedará:
a) dt
twd )(∆ + 10.∆w(t) =
dt
txd )(∆ +8.∆x(t)
b) dt
tld )(∆ = ∆w(t) –5.∆y(t)
c) ∆m(t) = l0.∆n(t) + n0.∆l(t) = 9,6.∆n(t) + 0,05∆l(t)
d) 20.∆n(t) + dt
tnd )(∆ = ∆z(t) + 2.
dt
tzd )(∆
e) ∆y(t) + dt
tyd )(∆ = ∆m(t)
2. Diagrama de Bloques
Antes de representar el diagrama de bloques es necesario hallar las ecuaciones transformadas de
Laplace del modelo linealizado
W(s).(s+10) = X(s).(s+8)
s.L(s) = W(s) – 5.Y(s)
M(s) = 9,6.N(s) + 0,05.L(s)
N(s).(s+20) = Z(s).(2s+1)
Y(s).(s+1) = M(s)
Donde las funciones en s son las transformadas de Laplace de las correspondientes funciones
incremento.
Al aplicar transformadas se supone que el sistema se encuentra en equilibrio por lo que no existe
término de condiciones iniciales, al calcular la transformada de la derivada.
Para el dibujo del diagrama de bloques se debe empezar por una de las entradas al sistema (X(s)
o Z(s)), cuidando de que todos los bloques representados sean físicamente realizables (nº de polos
mayor o igual que el nº de ceros).
)10(
)8(
+
+
s
s
s
1
)20(
)21(
+
+
s
s
)1(
1
+s
6,9
05,0
5
+ +
W(s) X(s) L(s)
N(s)
Z(s)
Y(s)
_
+
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 5 26/10/07
3. Funciones de Transferencia Y(s)/X(s) e Y(s)/Z(s)
Para el cálculo de cada una de las funciones de transferencia hay que suponer que la otra entrada
vale cero, por lo que en cada caso el diagrama de bloques quedará reducido a un diagrama con una
sola entrada y una salida.
3.1 Diagrama entre X(s) e Y(s)
Suponiendo Z(s)=0, el diagrama quedará
Bloques en serie
Bucle de realimentación
Bloques en serie
Por lo tanto
)(
)(
sX
sY =
[ ]25,0)1.().10(
)8.(05,0
+++
+
sss
s =
2)5,0).(10(
)8.(05,0
++
+
ss
s = G1(s)
X(s)
[ ]25,0)1.().10(
)8.(05,0
+++
+
sss
s
Y1(s)
)10(
)8(
+
+
s
s
25,0)1.(
05,0
++ss
W(s) Y1(s) X(s)
)10(
)8(
+
+
s
s
s
1
)1(
1
+s 05,0
5
W(s) X(s) L(s) Y1(s)
_
+
)10(
)8(
+
+
s
s
)1.(
05,0
+ss
5
W(s) X(s) Y1(s)
_
+
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6 26/10/07
3.2 Diagrama entre Z(s) e Y(s)
Suponiendo X(s)=0, el diagrama quedará:
Bloques en serie y bucle de realimentación
Bloques en serie
Por lo tanto
)(
)(
sZ
sY =
[ ]25,0)1.().20(
)21.(.6,9
+++
+
sss
ss =
2)5,0).(20(
)5,0.(.2,19
++
+
ss
ss =
)5,0).(20(
.2,19
++ ss
s = G2(s)
4. Dibujar la respuesta ante variaciones bruscas de amplitud 1
La forma de las señales de entrada será la siguiente:
En ambos casos el incremento de la señal es de una unidad, por lo que, si se considera el
instante t0 como instante inicial (t=0), las señales ∆x(t) y ∆z(t) serán escalones unitarios por lo que sus transformadas valdrán X(s) = Z(s) = 1/s
Teniendo en cuenta el principio de superposición, se obtendrá:
Y(s) = 1/s.G1(s) + 1/s.G2(s) = Y1(s) + Y2(s)
)20(
)21.(6,9
+
+
s
s
25,0)1.( ++ss
s
Z(s) Y2(s)
[ ]25,0)1.()20(
)21.(.6,9
+++
+
sss
ss
Z(s) Y2(s)
t t
z(t) x(t)
t0 t0
1
4
3
0
)20(
)21(
+
+
s
s
)1(
1
+s
s
25,0
N(s) Z(s) Y2(s)
6,9
_
+
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 7 26/10/07
La respuesta ∆y1(t) corresponde con la respuesta al escalón unitario del sistema G1(s). Este sistema
tiene un polo en –10 y dos polos en –0,5 por lo que estable. Su ganancia estática es G(0) = 0,16. De
los tres polos del sistema, los dominantes son los que se encuentran en –0,5, siendo despreciable el
polo en –10. Por lo tanto la respuesta es la correspondiente a la de un sistema de segundo orden con
un polo real doble en –0,5 y ganancia estática 0,16 unidades.
La respuesta ∆y2(t) corresponde con la respuesta al escalón unitario del sistema G2(s). Este sistema
tiene un cero en el origen, un polo en –20 y otro polo en –0,5. Por lo tanto es estable y su ganancia
estática G(0) = 0. De los dos polos del sistema, el dominante es el situado en –0,5, siendo
despreciable el polo en -20. El cero en el origen hace que la respuesta al escalón del sistema
(G2(s)/s) sea casi idéntica a la respuesta impulsional del sistema '
2G (s) = )5,0).(20(
2,19
++ ss ≈
)5,0(
96.0
+s despreciando el polo en –20.
t
∆y2(t)
t
0,96
La respuesta final del sistema será la suma del valor de equilibrio y0, de ∆y1(t) y de ∆y2(t):
y(t)
1,44
0,64
0,48
t
t0
0,16
t0
∆y1(t)
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 8 26/10/07
α0 = 30º = π/6 rad.
α(t) Peso=M·g
Fp = M·g·senα(t)
α1 = 60º = 2·π/6 rad.
Fr = B·v(t) M v(t)
PROBLEMA 3
La masa de la figura se desliza a velocidad constante “v0” sobre un plano inclinado por el equilibrio
dinámico de fuerzas entre su peso y el rozamiento, determinado por la ecuación:
)(·)(
·))((·· tvBdt
tdvMtsengM +=α
donde:
=
=
=
msNB
smg
KgM
/·5
/10
10
2
Determine:
a) La velocidad “v0” a la que se desliza la masa inicialmente
b) El modelo lineal entre las variables V(s) y α(s) a partir de la ecuación anterior y las condiciones iniciales dadas, para obtener la función de transferencia G(s)=V(s)/α(s).
c) ¿Cómo varía la velocidad v(t) a partir del cambio de pendiente indicado en la figura?
Represente gráficamente esta variación indicando constantes de tiempo, valor final, etc
d) Si en ese nuevo tramo de pendiente la velocidad llega a hacerse de nuevo constante, al
equilibrarse las fuerzas debidas al peso y el rozamiento, determine la velocidad constante “v1” a
la que desciende la masa. ¿Coincide con el valor final del apartado anterior? ¿Por qué?
SOLUCIÓN:
a) Planteando el sistema en la situación de equilibrio:
smB
sengMvvBsengM /10
)(···)(·· 0
000 ==⇒=α
α
b) La ecuación que representa al sistema, una vez linealizada, será:
1·2
32,17
5.0
66,8
5·10
6,86
)·(
)·cos(·
)(
)()(
)()··()()··cos(·
)(·)(
·)()··cos(·
0
0
0
+=
+=
+=
+==
+=
∆+∆
=∆
sssBsM
gM
s
sVsG
sVBsMsgM
tvBdt
tvdMtgM
α
α
αα
αα
G(s)
α(s) V(s)
c) El sistema resultante es de primer orden, con ganancia K=17,32 y constante de tiempo T=2
segundos. Por lo tanto, su respuesta a un incremento brusco de 30º (π/6 radianes) en la pendiente se modela como la respuesta a una entrada escalón:
smB
gMsVstv
BsMs
gMssGsV
ss
st /07,9·6
)·cos(··)(·lim)(lim
)··(·6
)·cos(··)()·()(
·6)(
0
0
0
===∆
+==⇒=
→∞→
απ
απα
πα
t
∆v(t)
T=2
0,63·9,07
9,07
3·T=6
0,95·9,07
Tangente en el origen
(pendiente = 4,535)
(v0=10 m/s)
(v∞=19,07 m/s)
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 9 26/10/07
d) Si se aplica la condición de equilibrio como en el apartado a), la velocidad a la que se estabiliza v(t)
en el segundo tramo del plano inclinado será:
smB
sengMvvBsengM /32,17
)(···)(·· 1
111 ==⇒=α
α
Estos 17,32 m/s no coinciden con los 19,07 m/s que se obtienen del modelo lineal como velocidad final
de la masa sobre el segundo tramo del plano. La diferencia se debe precisamente a que el cálculo se
realiza sobre un modelo lineal del sistema que supone una simplificación de la ecuación diferencial no
lineal original. Con ello se introducen errores de cálculo al eliminar elementos no lineales de esta
ecuación original.
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 10 26/10/07
Sistema
(s)
x(t) y(t)
PROBLEMA 4 Sobre las señales representadas en la figura determinar:
a) La expresión de la función de la entrada x(t).
b) La relación de amplitudes entre la entrada y la salida en valor absoluto y en decibelios una vez
alcanzado el régimen permanente.
c) La diferencia de fase entre la entrada y la salida en grados y en radianes un vez alcanzado el
régimen permanente.
d) La expresión de la respuesta en régimen permanente del sistema yRP(t).
e) Representar los puntos correspondientes a los valores obtenidos sobre un diagrama de Bode, un
diagrama Magnitud-Fase y un diagrama polar.
SOLUCIÓN:
a) La función x(t) es: )()··063.0()()·100/·2·()( 00 tutsentutsentx == π
b) La relación de amplitudes para ω=2·π/100=0.063 rad/s se deduce de la figura, donde la amplitud
de la señal de salida es 0.5 frente a la de la señal de entrada que es 1:
[ ] [ ]dBdBAjG 02.65.0·log20)063.0(1/5.0)063.0( −==⇒=
c) La diferencia de fase se obtiene midiendo el tiempo de retraso de la senoide de la salida frente a
la de la entrada. En este caso la senoide de salida va en realidad adelantada 25 segundos
respecto a la entrada que, teniendo en cuenta que el periodo de las señales es de 100 segundos
(360º), equivale a un ángulo de 90º de adelanto: radjG 2/)063.0(º90)063.0( π+=⇒+=Ψ
d) Dados los resultados anteriores la respuesta en régimen permanente del sistema es:
)2/·063.0(·5.0)( π+= tsentyRP
e) Con los datos obtenidos anteriormente se pueden realizar las tres representaciones gráficas:
-50 -25 0 25 50 75 100 125 150 175 200 -1
-0.5
0
0.5
1
x(t)
y(t)
t [segundos]
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 11 26/10/07
-10 [dB]
0 [dB]
10 [dB]
+180º +90º 0º
A(ω) [dB]
ψ(ω) [º]
-6.02 ω=0.063
0.1 1 0.01
-10 [dB]
0 [dB]
10 [dB] +180º
+90º
0º
A(ω) [dB] ψ(ω) [º]
ω [rad/s]
0.063
-6.02 A(0.063)
ψ(0.063)
Diagrama de Bode Diagrama Magnitud-Fase
Re
Im
Diagrama Polar
0.5
ω=0.063
+90º
G(0.063j)
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 12 26/10/07
PROBLEMA: 5
El diagrama de Bode representa la respuesta en frecuencia de un sistema G(s):
a) Determine y dibuje la respuesta en régimen permanente del sistema en bucle abierto y(t) si
x(t)=2·sen(10·t).
b) A la vista del pico de resonancia que presenta el sistema, determine la frecuencia natural y el coeficiente
de amortiguamiento de los polos complejos conjugados responsables de ese pico de resonancia.
Mr=3db
A(ω) Ψ(ω)
SOLUCIÓN:
a)
−=⇒−=Ψ
=⇒≈=
radjG
jGdBA
4/)10·(º45)10(
4)10·(12)10(10
πω yrp(t) = 4·2·sen(10·t - ππππ/4)
10
2
0
6
8
4
-2
-4
-6
-8
-10
x(t)
yrp(t)
π/10
2π/10
3π/10
4π/10
t
b) El sistema presenta un pico de resonancia a frecuencia ωr = 90 rad/s de valor Mr = 3 dB. Se puede
determinar el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural de los polos correspondientes a
ese pico con las expresiones:
G(s) y(t)
x(t)
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 13 26/10/07
2
2·21·
1·2
1ξωω
ξξ−=
−= nrrM
En la primera expresión Mr está en valor absoluto (no en dB): Mr=103/20
=1,41 con lo que se
obtienen 4 soluciones:
ξ1 = 0,92; ξ2 = -0,92; ξ3 = 0,38; ξ4 = -0,38. La única solución válida en este caso es: ξξξξ = 0,38.
De la segunda expresión se deduce: ωωωωn = 106,72 rad/s.
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 14 26/10/07
PROBLEMA 6 En la figura se representan los diagramas de Bode de dos sistemas de fase mínima, G1(s) y G2(s),
y sus correspondientes diagramas polares.
a) Determine el diagrama de bode y el diagrama polar del
sistema G3(s) resultado de poner en cascada los sistemas
G(1) y G(2).
b) ¿Cuál es la respuesta del sistema G3(s) en régimen
permanente ante una señal de entrada x(t) = sen(0.1·t) + sen(t+π/4)? 1 I
ψ(ω)
A(ω) 45º
90º
0º
-45º
-90º
10 [dB]
0 [dB]
-10 [dB]
-20 [dB]
-30 [dB] 0.01 0.1 1 10 [rad/s]
Re
Im
ω=0 ω=∞
2 II
ψ(ω)
A(ω)
45º
90º
0º
-45º
-90º
10 [dB]
0 [dB]
-10 [dB]
-20 [dB]
-30 [dB] 0.01 0.1 1 10 [rad/s]
Re
Im
ω=0 ω=∞
SOLUCIÓN: a)
3 III
ψ(ω)
A(ω)
45º
90º
0º
-45º
-90º
10 [dB]
0 [dB]
-10 [dB]
-20 [dB]
-30 [dB] 0.01 0.1 1 10 [rad/s]
Re
Im
ω=0
ω=∞
b) A partir de diagrama de Bode de G3(s):
X(s) Y(s)
G2(s) G1(s)
G3(s)
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 15 26/10/07
A(0.1) = A(1) = -10 dB ; ψ(0.1) = π/4 ; ψ(1) = -π/4
yRP(t) = 10-10/20
·sen(0.1·t+π/4) + 10-10/20·sen(t+π/4-π/4)
yRP(t) = 0.32·sen(0.1·t+ππππ/4) + 0.32·sen(t)
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 16 26/10/07
PROBLEMA: 7 El diagrama de Bode representa la respuesta en frecuencia del sistema G(s) de la figura. G(s) es
estable y de primer orden.
a) Representar aproximadamente la
respuesta del sistema a una
entrada escalón en A(s) de 3
unidades.
b) Representar aproximadamente la
respuesta en régimen
permanente del sistema ante una
entrada senoidal en B(s) de
ω=1/T [rad/s] y amplitud 3.
c) Representar aproximadamente la
respuesta en régimen
permanente del sistema ante
ambas entradas simultáneas en
A(s) y B(s).
G(s)
A(s)
Y(s) +
+ B(s)
SOLUCIÓN:
ψ(ω) A(ω)
1/T 10/T 0.1/T [rad/s]
0º
-45º
-90º
-135º
0 [dB]
5 [dB]
10 [dB]
-10 [dB]
-20 [dB]
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 17 26/10/07
q=0, 1, 2, 3, …
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 18 26/10/07
PROBLEMA 8 El modelo de un sistema de suspensión se puede representar simplificadamente de la siguiente forma:
M=100 Kg
K=50000 N/m
B=1000 N·s/m
y(t) = altura de la masa
x(t) = altura del punto de
contacto rueda-suelo
Siendo la única ecuación diferencial
necesaria para su descripción, considerando el sistema lineal y los valores iniciales x0=y0=0, la
siguiente:
[ ] 0)()(·)()(
·)(
·2
2
=−+
−+ txtyKdt
tdx
dt
tdyB
dt
tydM
De la misma manera, x(t) puede considerarse como una señal senoidal aplicada a la entrada del
sistema con los valores de amplitud y frecuencia que representa la figura anterior.
a) Obtener la función de transferencia G(s)=Y(s)/X(s).
b) Obtener la respuesta yRP(t) (evolución en el tiempo de la altura de la masa en régimen
permanente) ante la entrada x(t) propuesta y representar gráficamente ambas señales.
c) ¿Qué modificaciones (aumentar o disminuir) se podrían hacer sobre los parámetros K (cte.
elástica del resorte) y/o B (coeficiente de rozamiento viscoso del amortiguador) para que se
reduzca lo más posible la amplitud de las oscilaciones de la altura de la masa (yRP(t)) al
circular sobre la superficie indicada.
SOLUCIÓN
a) La ecuación diferencial que describe al sistema es lineal, y además los valores iniciales de las
variables son cero, por lo que en transformadas de Laplace se obtiene directamente:
KsBsM
KsB
sX
sYsG
sXKsYKsXsBsYsBsYsM
++
+==
=−+−+
··
·
)(
)()(
0)(·)(·)(··)(··)(··
2
2
Sustituyendo valores: 500·10
)50·(10)(
2 ++
+=
ss
ssG
b) Antes de analizar la respuesta en frecuencia del sistema, se puede
representar cuál es la distribución de polos y ceros y sus parámetros más
significativos:
ceros: s+50=0 ⇒ sz = -50
polos: s2+10·s+500 = 0 ⇒ sp1,2 = -5±21.8j
Los parámetros relativos al par de polos complejos de la función de transferencia serán:
==
==⇒=++≡=++≡=++
22.0··2
4.220···20·0·· 2222
MK
BM
K
ssM
Ks
M
BsKsBsM
n
nn
ξ
ωωωξ
Como 0<ξ<0.707, la respuesta en frecuencia de ese par de polos presentará resonancia:
Re
Im
-21.8
-5 -50
21.8
M
K B
y(t)
x(t)
v=3,4 m/s
1 m
10 cm
G(s)=Y(s)/X(s) X(s)
Y(s)
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 19 26/10/07
[ ] [ ]dBMsrad rnr 35.7)33.2·log(2033.21··2
1/29.21·21·
2
2 =≡=−
==−=ξξ
ξωω
La señal de entrada x(t) a la que se va a ver sometido el
sistema se puede considerar como una señal senoidal de
amplitud pico a pico 0.1 m y de frecuencia, f, 3.4 ciclos por
segundo [Hz], o sea que la pulsación será:
ω=2·π·f=2·π·3.4=21.36 [rad/s] y por lo tanto: x(t)=0.05·sen(21.36·t) A partir de aquí se puede optar por varias vías para obtener: ))(·(··)()( ωωω jGtsenMjGtyRP +=
Las dos soluciones más inmediatas en este caso son:
1) Calcular el valor complejo G(jω) con ω=21.36 2) Obtener los valores de módulo y argumento de G(jω) a partir del diagrama de Bode de G(s).
( ) ( )1
50
·
500
·
150
·
500··10·
)50··(10)(
500·10
)50·(10)(
222
++
+=
++
+=⇒
++
+=
ωω
ω
ωω
ωω
jj
j
jj
jjG
ss
ssG
1) Operando:
( )
−=
=⇒
+
+=
+−
+=
radjG
jG
j
j
j
jjG
965.0)36.21(
5.2)36.21(
6.21375.43
6.213500
6.21336.21500
)36.2150·(10)36.21(
2
)965.0·36.21(·125.0)965.0·36.21(·05.0·5.2)( −=−= tsentsentyRP
2) En el diagrama de Bode de G(s) se puede observar que el valor de ω=21.36 se encuentra muy
próximo a la frecuencia de resonancia de los dos polos de G(s). Aproximadamente:
[ ]
radjG
jGdBA
05.1)36.21(º60)36.21(
33.210)36.21(35.7)36.21( 20
35.7
−=⇒−=Ψ
==⇒=
)05.1·36.21(·1165.0)05.1·36.21(·05.0·33.2)( −=−= tsentsentyRP
100
101
102
103
-20
-10
0
10
20
30
40
Pulsación [rad/s]
Ganancia
[dB
]
-270º
-225º
-180º
-135º
-90º
-45º
0º
Fase [º]
Mr=7.35 dB
ω≈ωr≈ωn
Ψ(21.36)≈-60º
A(21.36)≈7.35 dB
A(ω)
Ψ(ω)
x(t) M=0.05
t
-0.05
π/ω 2·π/ω
T=1/3.4
0.1
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 20 26/10/07
c) La amplitud de la función senoidal yRP(t) depende directamente de |G(jω)|. Este factor se reducirá moderadamente si se reduce la amplitud de resonancia Mr que depende del coeficiente de
amortiguamiento ξ. El aumento de B y la reducción de K aumentarían el valor de ξ reduciendo la amplitud del pico de resonancia.
Sin embargo la forma más efectiva de que el valor |G(21.36j)| disminuya es reducir el ancho de banda
del sistema haciendo que la frecuencia de corte ωn sea más baja. Esto se puede conseguir reduciendo el
valor de K.
21··2
1
··2 ξξξω
−=== rn M
MK
B
M
K
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 21 26/10/07
PROBLEMA 9
Dado el sistema de la figura:
52
4)(
22+⋅+
=ss
sG)(sY
ssG
1)(1 =
)(sX)(sE
a) Obtenga x(t) si e(t) es un escalón unitario uo(t). ¿Qué características tiene G1(s)?
b) Indique las características de la respuesta transitoria de G2(s) si x(t) es un escalón unitario uo(t).
¿Qué características tiene G2(s)?
c) Describa la estabilidad del sistema en conjunto, G1(s)·G2(s).
d) Represente el diagrama de bode de G1(s)·G2(s) y señale sobre él si el sistema presenta resonancia.
SOLUCIÓN:
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 22 26/10/07
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 23 26/10/07
PROBLEMA 10 Se pretende utilizar el circuito de la figura, cuya función de transferencia se indica, como
amplificador resonante de tensión para una determinada frecuencia:
us(t)
R i=0
ue(t)
i(t)
C
L i(t)
1
L·C·s2+R·C ·s+1
Ue(s) Us(s)
R=1000Ω, L=0,01H, C=4·10-12F
a) Clasifique el sistema: Orden del sistema, nº de polos y/o ceros, estabilidad,
amortiguamiento, tipo.
b) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del sistema? (es decir, la frecuencia de entrada que
más va a amplificar)
c) ¿Cuál es la ganancia del sistema a la frecuencia de resonancia?
d) Dibuje los puntos que corresponden en los diagramas de Bode, Magnitud-Fase y Polar, a las
frecuencias 106, 5·10
6 y 10
7 rad/s para el sistema dado.
e) Complete el trazado aproximado de las curvas de los tres diagramas.
SOLUCIÓN:
Problemas de análisis de sistemas en cadena abierta. Dominio temporal y frecuencial.
G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 24 26/10/07