problemas resueltos sobre límites y continuidad. calculators repaso de problemas típicos 1 2 3 4...
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Problemas Resueltos sobre Límites y Continuidad
Calculators
Repaso de Problemas típicos
2
0
senlim
senx
x
x x
1
2
2
3 2lim
2x
x x
x
2
3 2
3 2
1lim
3 5 2x
x x x
x x x
32 2lim 1 1
xx x
2 2lim 1 1
xx x x x
2 20
2lim
2 1 3 1x
x
x x x x
0
sen 3lim
6x
x
x
0
sen senlimx
x
x
4
5 6
7 8
9 10
2 20
2senlim
2sen 1 sen 1x
x x
x x x x
t g x
2
lim ex
Calculators
Repaso de Problemas
11 ¿Dónde es t g continua?y x
12
2
1¿Dónde es continua f sen ?
1
13
2
¿Qué ha de valer f 0 para que la función f , 0, 1
sea continua en 0?
x xx x
xx
14
2
0 0
0
Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funciones
en los puntos indicados:
2 8 1a) f , 2, b) g , 1
2 1
1c) h sen , 0
x x xx x x x
x x
t t tt
Demostrar que la ecuación sen e tiene solutiones.xx15
Calculators
Métodos para el cálculo de Límites
Si la función, de la que se está calculando el límite, está definida por una expresión algebraica que toma un valor finito en el punto límite, ese valor es el límite buscado.
3
Si la función, de la que se está calculando el límite, no se puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una indeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma que se pueda calcular el límite.
4
Aritmética del :2
0, , númber o negativ o .
número positivo a
Casos de indenterminación: 1
0 000 , , , , 0 , ,1 .
0
Calculators
Simplificaciones y Métodos
Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la expresión conjugada:
3
1 2 1 21 2
1 21 2 3
01 2 1 2 x
x x x xx x
x xx x
x x x x
Eliminar factores comunes en functiones racionales:2
2
1
1 111 2.
1 1 x
x xxx
x x
Usar el hecho:4
0
senlim 1.x
x
x
Factorizar ó simplificar:1 2 2.a b a b a b
Calculators
Continuidad de FuncionesSi las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresiones elementales de polinomios, funciones racionales, trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable independiente.
1
Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c entre a y b tal que f(c) = 0.
4
Si la función f es continua en el punto x = a entonces:2
limff .x a
x a
Ejemplos de funciones no continuas en x = 0:3
1 1f , g sen ,h .
xx x x
x x x
Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas
Se utiliza para demostrar que una ecuación tiene solución.
Calculators
Límites: factorizar y simplificar:Problema 1
2
2
3 2lim
2x
x x
x
Solución
2 1 23 2Re-escribir 1.
2 2
x xx xx
x x
2
2 2
3 2Por tanto lim lim 1 1.
2x x
x xx
x
Calculators
Límites elementales
Problema 23 2
3 2
1lim
3 5 2x
x x x
x x x
Solución3 2 2 3
3 2
2 3
1 1 111
1.3 5 23 5 2 1
x
x x x x x xx x x
x x x
Lo haremos más directo: sin más que considerar los términos de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los coeficientes principales.
3 2
3 2
1 1lim 1
3 5 2 1x
x x x
x x xProblema 2
Calculators
Límites: expresión conjugada
Problema 3 2 2lim 1 1x
x x
Solución
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 11 1
1 1
x x x xx x
x x
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1
x x x x
x x x x x x
Re-escribimos
2 2
2 2
2Por tanto lim 1 1 lim 0.
1 1x xx x
x x
Calculators
Límites
Problema 4 2 2lim 1 1x
x x x x
Solución
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
x x x x x
x x x x x x x x
2 2
2 22 2
2 2
1 1
1 1 1 1
1 1
x x x x
x x x xx x x x
x x x x
2 2
2 21
2x
x
x x
Re-escribimos
Ahora nos quedamos con los términos de mayor grado en x.
Calculators
LímitesProblema 5
2 20
2lim
2 1 3 1x
x
x x x x
Solución
2 2 2 2
2 2 22 2
2 2 1 3 1 2 2 1 3 1
42 1 3 1
x x x x x x x x x x
x xx x x x
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 1 3 1
2 2 1 3 1
2 1 3 1 2 1 3 1
x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
2 2
0
2 2 1 3 1 2 1 11
4 4x
x x x x
x
Re-escribimos
Menor grado en x.
Calculators
Límites
Problema 6
0
sen 3lim
6x
x
x
Solución
sen 3 sen 31Re-escribimos
6 2 3
x x
x x
0
senUsamos que lim 1.
0 0
sen 3 sen 3 1Como lim 1, se concluye que lim .
3 6 2x x
x x
x x
Calculators
Límites
Problema 7 0
sen senlimx
x
x
Solución
0
0
sencomo lim 1. En lo anterior, se aplicó
primero al sustituir sen .
sen senPor tanto lim 1.
senx
x
x
x
0
sen sen sen sen sen1
sen x
x x x
x x x
Re-escribimos:
Calculators
Límites
Problema 8
2
0
senlim
senx
x
x x
Solución
2 2
02
sen sen1
sen sen x
x x x
x x x x
Re-escribimos:
Calculators
LímitesProblema 9
2 20
2senlim
2sen 1 sen 1x
x x
x x x xSolución
2 2
2 2
2 2 2 2
2sen
2sen 1 sen 1
2sen 2sen 1 sen 1
2sen 1 sen 1 2sen 1 sen 1
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
Re-escribimos
2 2
2 2
2 2
2 2
2sen 2sen 1 sen 1
2sen 1 sen 1
2sen 2sen 1 sen 1
sen 2sen
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
Calculators
LímitesProblema 9
2 20
2senlim
2sen 1 sen 1x
x x
x x x xSolución(cont.)
2 2
2 2
2 2
2sen
2sen 1 sen 1
2sen 2sen 1 sen 1
sen 2sen
x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
Re-escribimos
2 2sen1 2 2sen 1 sen 1
sen sensen 2 1
xx x x x
x
x xx x
x x
0
3 22.
2 1x
Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x 0.
Dividimos por x.
Calculators
Límites Laterales
Problema 10
t g x
2
lim ex
Solución
2
t g
2
Para , t g 0 and lim t g .2
Por tanto lim e 0.
x
x
x
x x x
Calculators
Continuidad
Problema 11 ¿Dónde es continua la función t g ?y x
Solución
sen t g es continua siempre que cos 0.
cos
Por tanto t g es continua para , .2
xy x x
x
y x x n n
Calculators
Continuidad
Problema 12
2
1¿Dónde es continua la función f sen ?
1
Solución
2
1La función f sen es continua en todos los puntos
1
donde toma valores finitos.
2 2
1 1Si 1, no es finito, y sen no está definido.
1 1
2 2
1 1Si 1, es finito, y sen está definido y es finito.
1 1
2
1Por tanto sen es continua para 1.
1
Calculators
Continuidad
Problema 13
2
Determinar f 0 para que la función
f , 0, sea continua en 0.1
x xx x x
x
Solución
0
0
0 0
2
0 0 0
La condición de continuidad de una función f en un punto es:
limf f . Por tanto f 0 debe cumplir f 0 lim f .
1Es decir f 0 lim lim lim 0.
1 1
x x x
x x x
x
x x x
x xx xx
x x
Calculators
Continuidad
0
0
Un número en el que una función f está indefinida or
es infinito se llama una de la función f . La singularidad es
, si f se puede definir de tal m
singulari
anera que
dad
e
l
vi
a
t
abl
fu ón
e
nci
x x
x
0f se convierte en continua en .x x
Problema 14
2
0
0
0
¿Qué funciones de las siguientes tienen
singularidades evitables en los puntos indicados?
2 8a) f , 2
21
b) g , 11
1c) h sen , 0
x xx x
xx
x xx
t t tt
solución
Evitable
No evitable
No evitable
Calculators
Continuidad Demostrar que la ecuación sen e tiene
inifinitas soluciones.
xx
Nótese que 0 e 1 para 0, y que sen 1 , .2
nx x n n
Por tanto f 0 para si is un número impar negativo 2
y f 0 para si es un número par negativo.2
x x n n
x x n n
Problema 15
Solución sen e f sen e 0.x xx x x
Por el Teorema de valor medio, una función continua toma cualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la función f cambia de signo infinitas veces.
Por tanto en cada intervalo de la forma 2 , 2 1 , and 0, 2 2
hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones.
n n n n