LUCIAN DRAGOMIR

ADRIANA DRACOMIR OVIDIU BADESCU

PRoBLEME DE MATEMATICAPENTRU

CLASA a lX-a

EdiIia a VI-a

Cuprins

Prefa\dCapitolul I. Mulfimi gi elemente de logic[ matematicl

1.1 . Mulfimea numerelor reale ...1.2. Elemente de logicl matematicE, mullimi 261.3. Tipuri de rationamente logice (inductie matematic[,

probleme de numdrare gi nu numai) 3gL4. Probleme de matematic[ aplicat[ 481.5. Teste de evaluare 50

Capitolul II. Funcfii 532.1. $iruri 532.2. Progresii aritmetice, progresii geometrice 512.3. Func{ii, functia de gradul I ...... 682.4. Probleme de matematic6 aplicat[ 862.5. Teste de evaluare 882.6. Ecua[ia de gradul al ll-lea 902,7. Funclia de gradul al Il-lea 1022.8. Probleme de matematic6 aplicatI I 132.9, Teste de evaluare 115

Capitolul III. Geometrie vectorialtr ... ll73.1. Vectori in plan ll73.2. Coliniaritate, concurent[, paralelism ,.. 1223.3. Probleme de matematici aplicatd 1303.4. Teste de evaluare l3Z

Capitolul IV. Trigonometrie gi aptica(ii in geometrie ....... 1354.1. Elemente de trigonometrie 1354.2. Aplica{ii ale trigonometriei gi produsului scalar a doi vectori

in geometria plan[ .4.3. Probleme de matematici aplicatd ......4.4. Teste de evaluare

Capitolul V. Modele de teste5.1. Lucriri scrise semestriale5.2. Teste de pregdtire pentru Concursul de matematicl aplicati,,Adolf

Haimovici"5.3. Teste de preg[tire pentru Olimpiada nafionalI de matematic[

SolufiiCapitolul I

5

7

7

150162165

168

168

178184191

191

208233244262286

Capitolul IICapitolul IIICapitolul IVCapitolul V

B i b lio g r aJi e s e I e ctiv d

CAPITOLUL r. MULTTMT $l ELEMENTE DE LOGICAMATEMATICA

1.1. Mullimea numerelor reale

,,,^,r:?:[iffi'l:*curtat

o(atb)2 =o2 +Zab+b2

t(atb)3 =o3 +3a2b+3ab2 +b3

ta2 -b'=(o*U)(a+O)t a3 - b3 = (o - q("' + ab + b2)

r a3 + b3 =(o + U\(a2 - ab + b2)

tan -bn =(o-b)(o' +au-2b+...+bn't),vr.N, n )l

t a' + b' = (a + U)(a'-t - an-2 b + ... + bn-t), v, . 2N + I

o(a+b+c)2 -a2 +b2 +12 +2ab+2bc+Zac

.o3 +b3 +c3 -3abc=(a+u+c)(a2 +b2 +c2 -ah-bc*ac) sau

oa3 +b3 +c3 -3abc=(a+u+r)).(tr- u)2 +(u-r)'*(r-r)'z);

roi + b3 +c3 -3abc=(a+u+c)(@+b+c)2 -3(ab+ur+or));

oa3+ b3 +c3 =(a+b+c)3 -3(a+b)(b+c)(c+a).

Modulul (sau valoarea absolutl a) unui numir real x

',= {:;, :x ;:: ei I a1x) ={191;iTl"{yl;20 , penrru orice expres ie E(x), r e R

Propriet5(i ale modululuir rj>o, vxe R;.4=0ex=0;. i=l/o *=*r.

7

. l*1"c, c>0.x6 (-c;c);

. lrl, c, c>0

*n =* (media armonicl),5rtkaln

*, = flflor (media geometric6),- YIJ

Z**, =-d- (media aritmetic[),

n

W*, =l+ (media pitraticr).

I negalitatea Cauchy-Buniakovsky-schwarz

+ a 2b2 + ... + a rb,)2 3 ( al + ... + a nz )' (br2 + ... + b n\ ol}-rr r,)' = ?o,,' Zu :

Inegalitatea lui Minkovski

;r)'.b4 =J* * .$? *b'Inegalitatea lui Cebigev

(oo)orr, (bo\o.tsunt dou[ giruri la felordonate, atunci

nnnL"o.Zto n'l(ap'bp).k=t k=l k=l

Inegalitatda lui Bernoutli

(t+a)' >l+ra, Ya, relR, a>'1, r)09