probleme: oscilaŢii mecaniceprobleme: oscilaŢii mecanice 1. o pendulă bate secunda (t =2s). câte...
TRANSCRIPT
-
1
PROBLEME: OSCILAŢII MECANICE
1. O pendulă bate secunda (Tₒ=2s). Câte oscilaţii complete face această pendulă într-o oră?
2. Perioada de oscilaţie a unui copil care se dă în leagăn este Tₒ=3s. Câte oscilaţii complete efectuează
copilul într-un minut? Care este frecvenţa de oscilaţie a copilului din leagăn?
3. De câte ori trebuie să se reducă lungimea unui pendul gravitaţional pentru ca frecvenţa de oscilaţie
să se dubleze?
4. Un corp de masă m₁=1kg, prins de un resort elastic ideal oscilează armonic. Ce masă m₂ trebuie să
aibă un corp astfel încât, aşezat peste primul, ansamblul format din cele două corpuri să oscileze cu
o perioadă de două ori mai mare decât perioada cu care oscila corpul m₁ singur? Cum variază
frecvenţa de oscilaţie după adăugarea corpului de masă m₂?
5. Un om depărtează din poziţia de echilibru cu un unghi mic o minge de
dimensiuni neglijabile, legată de tavanul unei săli de sport prin
intermediul unui fir ideal de lungime 4ml şi o eliberează fără a-i
imprima o viteză iniţială. De câte ori revine într-un minut mingea în
poziţia din care a eliberat-o omul? Se va considera că 2.g
6. Legea de mişcare a unui oscilator liniar armonic este y=10 sin(2πt + 𝜋
6 )(cm). Se cer:
a. Amplitudinea de oscilaţie
b. Pulsaţia, perioada şi frecvenţa
c. Dependenţele de timp ale vitezei şi acceleraţiei
d. Reprezentarea grafică a legii de mişcare y=f(t)
7. Un pendul gravitaţional efectuează 30 de oscilaţii complete într-un minut. Care este lungimea
pendulului? (g π²)
8. În timpul oscilaţiilor unui pendul gravitaţional de lungime l=1m acceleraţia maximă este
max 0,1a g . Care este viteza maximă din timpul oscilaţiilor?
9. Ce energie trebuie să i se imprime unui corp prins de un resort orizontal de constantă elastică
10 N/mk pentru a efectua oscilaţii liniare armonice cu amplitudinea A=1m?
10. În graficele de mai jos sunt reprezentate dependenţele de timp ale elongaţiilor unor oscilatori liniari
armonici. Pentru fiecare din cele trei situaţii să se determine:
a. Amplitudinea de oscilaţie
b. Perioada de oscilaţie
c. Legea de mişcare y=f(t)
d. Dependenţa de timp a vitezei şi să se reprezinte grafic această dependenţă
-
2
11. În tabelul de mai jos sunt trecute elongaţiile unui oscilator liniar armonic la diferite momente de
timp.
(m)y 0 2 2 4 2 2 0 2 2 4 2 2 0 2 2 4 2 2 0 2 2 4 2 2 0
(s)t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
Se cer:
a. Amplitudinea oscilatorului
b. Perioada şi pulsaţia
c. Legea de mişcare y=f(t)
12. În tabelul de mai jos sunt trecute vitezele unui oscilator liniar armonic la diferite momente de timp.
(m/s)v 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2
(s)t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Se cer:
a. Viteza maximă a oscilatorului
b. Perioada şi pulsaţia
c. Legea vitezei v=f(t)
13. Pulsul unei persoane este de 90 bătăi/min. Să se determine:
a. Frecvenţa de oscilaţie a inimii exprimată în hertzi
b. Pulsaţia oscilaţiilor inimii
c. Perioada de oscilaţie a inimii
14. Un pendul bate secunda(Tₒ=2s). Din cauza dilatării lungimea pendulului a crescut cu 10,25%. Care
este noua perioadă de oscilaţie? Cu câte procente a crescut această perioadă?
15. Care este perioada de oscilaţie a unui pendul gravitaţional pe Lună, dacă pe Pământ el oscilează cu
perioada Tₒ=1s. Acceleraţia gravitaţională pe Lună este de 6 ori mai mică decât pe Pământ.
( 6 2, 45)
16. Cu câte procente este mai mare perioada de oscilaţie a unui pendul simplu pe vârful Everest decât
la nivelul mării? Acceleraţia gravitaţională pe vârful Everest este de 1,0028 mai mică decât la
nivelul mării.
-4
-2
0
2
4
0 1 2 3
Y(m
)
t(s) -2
-1
0
1
2
0 1 2 3
Y(m
)
t(s) -5
0
5
0 2 4 6
Y(m
)
t(s)
-
3
17. În cazul general, perioada reală de oscilaţie a unui corp legat de un resort are expresia:
32 ,
rmm
Tk
unde m este masa corpului suspendat de resort, rm este masa resortului, iar k este
constanta elastică a resortului. Să se determine cu câte procente diferă perioada calculată fără a lua
în calcul masa resortului decât perioada în cazul în care se ţine cont de masa resortului pentru
situaţiile:
a. 0,05rm
m
b. 1rm
m
Dacă perioada de oscilaţie calculată fără a ţine cont de masa resortului este de 10 s, să se determine
perioada reală de oscilaţie pentru ambele situaţii. Concluzie.
18. De un resort elastic ideal, a cărui constantă elastică este necunoscută, se agaţă diferite mase şi se
măsoară perioada de oscilaţie, după care se trasează graficul de mai jos, în care pe axa absciselor
sunt trecute masele agăţate de resort şi pe axa ordonatelor pătratul perioadelor corespunzătoare.
Care este expresia pantei acestui grafic? Să se determine constanta elastică a resortului, măsurând
panta graficului.
19. De un resort de constantă elastică k=100N/m este atârnat în echilibru un taler. Pe taler se aşază uşor
un corp de masă m=1kg. Care va fi amplitudinea de oscilaţie?
20. Un resort elastic ideal, de constantă elastică k=4 N/m se află pe o masă orizontală netedă. Un capăt
al resortului este fixat, iar celălalt capăt este prins de un corp de masă m=1kg. I se imprimă corpului
viteza v=0,2 m/s în sensul comprimării resortului.
a. Care va fi amplitudinea de oscilaţie?
b. Care este legea de mişcare x=f(t)?
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10
m(k
g)
T²(s²)
-
4
21. Se dă sistemul din figura alaturată. Corpul de masă m este
deplasat spre dreapta pe o distanţă xₒ=4 cm şi apoi este eliberat.
Se cunosc k=100 N/m, m=1kg.
a. Care este viteza maximă atinsă de corp?
b. Să se scrie dependenţele de timp ale elongaţiei şi vitezei
şi să se reprezinte grafic.
22. De un resort vertical, nedeformat se agaţă un corp de masă m=1kg
şi i se dă drumul fără a i se imprima o viteză. Să se scrie legea de
mişcare y=f(t). Se cunoaşte constanta elastică a resortului
k=100 N/m.
23. Un corp de masă m=1kg, prins de un resort elastic de constantă
elastică k=10N/m este deplasat din poziţia de echilibru, ca în figură. După cât timp corpul revine în
poziţia de echilibru?
24. Trei resorturi de lungimi nedeformate egale, dar de
constante elatice diferite se află în echilibru pe o
suprafaţă orizontală netedă, ca în figură. Fiecare din
cele trei resorturi are un capăt fixat şi la celălalt capăt
are prins un corp care poate aluneca fără frecare pe
suprafaţa orizontală. Se depărtează de poziţia de
echilibru cele trei corpuri, ca în figură, după care sunt
eliberate simultan, fără a li se imprima o viteză iniţială.
Între constantele elastice ale resorturilor şi masele corpurilor prinse la capetele lor există relaţiile:
2 13 ,k k1
3 ,4
kk 2 12 ,m m
13 .
2
mm În ce ordine revin corpurile în poziţia de echilibru?
25. Trei pendule gravitaţionale, de lungimi diferite 2 1 3l l l sunt deviate
cu acelaşi unghi 06 din poziţia de echilibru, după cum se vede în figură. În ce ordine revin în poziţia de echilibru pendulele şi care este
relaţia între vitezele lor?
26. Un pendul gravitaţional este prins de un perete vertical. Se îndepartează pendulul
de perete cu un unghi f. mic α(
-
5
27. Un corp de masă m=2kg, prins de un resort elastic ca în figura
alăturată, este deplasat din poziţia de echilibru pe distanţa A=1m şi
eliberat. Corpul parcurge distanţa înapoi spre poziţia de echilibru
în acelaşi timp în care ar fi parcurs-o dacă se deplasa cu viteza
constantă v=1 m/s. Care este constanta elastică a resortului? Ce
viteză are corpul în momentul trecerii prin poziţia de echilibru?
28. Un corp de masă m=5 kg se îndreaptă cu viteza m
0, 2s
v
spre un resort ideal de constantă elastică N
20 ,m
k după cum
este ilustrat în figura alăturată. Să se determine:
a. Comprimarea maximă a resortului.
b. Cât timp corpul şi resortul se află în contact.
29. Se dă sistemul din figura alăturată. Iniţial, corpul de masă
m=1kg este în echilibru, resortul de constantă elastică k=1 N/m
nefiind deformat. La distanţa d=1m de aceasta poziţie a corpului
se află un perete.
a. Ce viteză maximă i se poate imprima corpului astfel încât acesta să nu ciocnească peretele?
b. Dacă în poziţia iniţială i se imprimă corpului de masă m o viteză v=2m/s spre dreapta, după
cât timp va avea loc prima ciocnire între corp şi perete?
30. Corpul din figură oscilează liniar armonic. Cunoscând: lungimea
nedeformată a resortului l₀=1m, k=1000N/m, energia potenţiala
elastică maximă E=5J, să se determine lungimea maximă a resortului
în timpul oscliaţiilor. Se neglijează frecarile.
31. Pe o suprafaţă orizontală netedă se află un resort de constantă
elastică N
50 ,m
k comprimat cu 10cm,l de care este prins
un corp de masă m=2 kg, iniţial blocat, ca în figură. Se eliberează uşor corpul de masă m. Se cer:
a. Amplitudinea de oscilaţie
b. Viteza maximă atinsă de corp
c. Energia cinetică maximă a corpului
d. Să se reprezinte grafic dependenţa de timp a elongaţiei.
32. Un corp de masă m=1kg, suspendat de un resort ideal vertical suficient de lung de constantă
elastică k=100 N/m oscilează liniar armonic. Alungirea maximă a resortului în timpul oscilaţiilor
este max 40cm.l Să se afle amplitudinea. (g=10 m/s²)
33. Un corp de masă m=1kg este suspendat de un resort ideal vertical suficient de lung de constantă
elastică k=100 N/m. Se alungeşte resortul cu 50cm,l după care este eliberat uşor. Se cer:
a. Amplitudinea de oscilaţie
b. Viteza maximă atinsă de corp în timpul oscilaţiilor
c. Energia cinetică maximă a corpului.
-
6
34. Un corp de masă m=0,4kg este prins de un resort ideal vertical de constantă elastică k=40 N/m şi
efectuează oscilaţii armonice cu amplitudinea 5cm.A Cunoscând lungimea resortului în stare
nedeformată, 0 20cm,l să se determine lungimile maximă şi minimă ale resortului în timpul
oscilaţiilor.
35. Un corp de masă m=1kg se află pe o masă orizontală netedă şi este prins de un resort elastic de
constantă elastică k=4 N/m, care are celălalt capăt fixat. Resortul se rupe dacă forţa elastică atinge
valoarea 4N.rF Ce viteză maximă i se poate imprima corpului în poziţia de echilibru astfel încât
resortul să reziste?
36. Un om de masă m=82kg face bungee jumping, fiind legat de o coardă elastică care are constanta
elastică k=40N/m. Momentul iniţial tₒ=0 se alege când omul se află în poziţia extremă inferioară.
Se neglijează frecările.
a. De câte ori trece omul prin poziţia extremă inferioară în timpul t=3 min? Dar prin poziţia de
echilibru?
b. Cunoscând amplitudinea de oscilaţie A=15m, care este viteza maximă atinsă în timpul
oscilaţiilor?(exprimată în km/h) Dar acceleraţia maximă?
c. Să se scrie legile y=f(t) şi v=f(t)
d. Care este energia cinetică maximă pe care o are omul?
37. Un corp de masă m=2 kg oscilează liniar armonic pe direcţie verticală, fiind prins de un resort ideal
de constantă elastică k=10 N/m. Amplitudinea de oscilaţie este A=1m. Pentru momentul când
corpul se află în poziţia extremă inferioară se cer: energia potenţială a oscilaţiilor şi energia
potenţială elastică înmagazinată în resort.
38. Un pendul matematic se află într-un ascensor care coboară accelerat cu acceleraţia a=7,5 m/s².
Lungimea pendulului este de 2,5m. Care este pulsaţia oscilaţiilor?
39. Un pendul matematic de lungime l=2m se află într-o cutie care este trasă în
sus cu o forţă constantă F=20N, ca în figura alăturată. Masa cutiei împreună
cu cea a pendulului este m=1 kg. Care este perioada de oscilaţie a
pendulului? Se va considera g=10m/s².
40. Un pendul matematic se află într-un ascensor. Dacă ascensorul este în
repaus, perioada de oscilaţie a pendulului este Tₒ. Ce valoare trebuie să aibă
acceleraţia ascensorului şi în ce sens trebuie să fie orientată(sus/jos) pentru ca perioada să scadă de
două ori? (g=10 m/s²).
41. Un cilindru de lemn, pluteşte în echilibru în apa dintr-un
vas suficient de larg. Cilindrul este scufundat în apă pe
distanţa y şi apoi este eliberat uşor. Ştiind că forţa rezultantă
care acţionează asupra cilindrului este de forma:
,rezF k y unde 0 ,mg
kL
în care 0 este densitatea apei,
este densitatea lemnului din care este confecţionat
-
7
cilindrul, m este masa cilindrului, L este lungimea cilindrului, iar g este acceleraţia gravitaţională,
să se scrie expresiile pentru:
a. Pulsaţia oscilaţiilor
b. Perioada oscilaţiilor
c. Frecvenţa oscilaţiilor
42. Un corp de mici dimensiuni este prins prin intermediul unui fir de tavanul
unui vas în care se află apă. Densitatea corpului este mai mare decât
densitatea apei. Asupra corpului, acţionează în permanenţă, vertical de jos în
sus, forţa arhimedică din partea apei, care are valoarea: 0,6 .AF G
Cunoscând lungimea pendulului: 0,4m,l să se determine perioada
oscilaţiilor corpului.
43. Un corp de mici dimensiuni este prins prin intermediul unui fir de fundul unui
vas în care se află apă. Densitatea corpului este mai mică decât densitatea
apei. Asupra corpului, acţionează în permanenţă, vertical de jos în sus, forţa
arhimedică din partea apei, care are valoarea: 1,25 .AF G Cunoscând
lungimea pendulului: 1m,l să se determine perioada oscilaţiilor corpului.
44. Un pendul gravitaţional se află într-o maşină care se deplasează orizontal pe o şosea cu acceleraţia
constantă 0,75 .a g Cunoscând lungimea pendulului 5cm,l să se afle perioada de oscilaţie a
pendulului.
45. Să se afle perioada de oscilaţie a corpului din figura, ştiind
că în poziţia de echilibru cele două resorturi identice sunt
nedeformate. Se cunosc: m=1kg, k=50N/m. Se neglijează
frecarile.
46. Un corp de masă m oscilează liniar armonic cu perioada T pe o masă netedă, fiind prins de un resort
de constantă elastică k=20 N/m. Ce constantă elastică k’ trebuie să aibă un resort, care, prins de
cealaltă parte a corpului de masă m să determine înjumătăţirea perioadei de oscilaţie? (T’=T/2)
47. Un corp de masă m este aşezat pe 4 resorturi ideale identice, fiecare
de constantă elastică k, după cum se vede în figura alăturată.
Greutatea corpului este distribuită uniform pe cele 4 resorturi. Se
deplasează corpul din poziţia de echilibru pe direcţie verticală şi apoi
este eliberat. Să se demonstreze că mişcarea corpului este una
oscilatorie armonică şi să se determine expresia pulsaţiei acestei
mişcări oscilatorii.
-
8
48. Peste corpul de masă M din figura alăturată, aflat iniţial în echilibru, se
aşază fără şoc un corp de masă m. Să se afle viteza maximă a celor doua
corpuri. Se cunosc: k=100 N/m, m=1kg, M=5,25 kg.
49. Un pendul gravitaţional cu lungimea de 1m este scos din poziţia de echilibru cu un unghi mai mic
de 6° şi apoi este eliberat. Când pendulul ajunge în poziţie verticală atinge un cui aflat la 75cm de
punctul de suspensie, mişcarea continuând. În cât timp se realizează o oscilaţie completă?
50. Două corpuri confecţionate din materiale diferite, având masele
1 2şim m se află pe o suprafaţă orizontală şi sunt legate prin
intermediul unui resort suficient de lung de constantă elastică k.
Coeficientul de frecare dintre corpul de masă 2m şi suprafaţa
orizontală are valoarea , în timp ce coeficientul de frecare dintre suprafaţa orizontală şi corpul de
masă 1m se poate neglija. Ce viteză minimă trebuie să i se imprime corpului de masă 1m pentru a
determina deplasarea corpului de masă 2 ?m
51. O sanie intră de pe o porţiune netedă pe asfalt, cu viteza 2 m/s. Cunoscând lungimea saniei,
1,25ml şi coeficientul de frecare dintre sanie şi asfalt 0,5 , să se determine pe ce distanţă
intră sania pe asfalt.
52. Un corp de masă m=1kg şi dimensiuni neglijabile efectuează oscilaţii în plan vertical, fiind prins de
un fir ideal (pendul gravitaţional). Firul se rupe dacă tensiune din el atinge valoarea 11N.rT Care
poate fi amplitudinea unghiulară maximă pentru ca firul să reziste? (Se va considera 210m/s )g
53. Să se scrie expresiile perioadelor de oscilaţie pentru cele două situaţii
reprezentate în figură. În care din cele două cazuri perioada este mai mare?
54. Un corp oscilează vertical cu perioada Tₒ=2s, fiind prins de un resort ideal. Care va fi noua
perioadă de oscilaţie dacă jumătatea superioară a resortului se blochează?
55. În sistemul din figură pendulul gravitaţional este deplasat cu un unghi
α=0,1( rad). Se cunosc lungimea pendulului l=10 m, masa corpurilor
m=1 kg şi constanta elastică k=16 N/m. Care este comprimarea
maximă a resortului?
-
9
56. În sistemul din figură corpul de masă m=1kg este deplasat din
poziţia de echilibru pe distanţa A=5cm. Cunoscând constanta
elastică a resortului k=1N/m, lungimea pendulului l=10 cm, masa
pendulului m=1kg, acceleraţia gravitaţională g=10 m/s², să se afle
cu ce unghi maxim se depărtează pendulul în urma ciocnirii.
57. Să se afle amplitudinea rezultantă din compunerea oscilaţiilor 1 4sin12 (cm)y t şi
1 8sin 12 (cm)3
y t
.
58. Să se afle amplitudinea rezultantă din compunerea oscilaţiilor 1 5sin 8 (cm)
12y t
şi
2
56sin 8 (cm).
12y t
59. Să se afle amplitudinea şi faza iniţială a oscilaţiei rezultate din compunerea oscilaţiilor
1 4sin 2 (cm)y t şi 2 3sin 2 (cm).2
y t
60. Să se afle ampltudinea şi faza iniţială a oscilaţiei rezultate din compunerea oscilaţiilor
1 4sin 2 (cm)3
y t
şi 2 6sin 2 (cm).
2y t
61. Să se determine defazajul dintre două oscilaţii paralele de pulsaţii egale, dacă la momentul iniţial
unul din oscilatori este în poziţia de echilibru, iar cel de-al doilea se află în poziţia de elongaţie
maximă. Dacă amplitudinea primului oscilator este 1,A iar a celui de-al doilea 2 ,A să se scrie
expresia amplitudinii rezultante din compunerea celor două oscilaţii.
62. Să se reprezinte grafic, în acelaşi sistem de coordonate dependenţele de timp ale elongaţiilor celor
două oscilaţii paralele: 1 3sin 2 (cm)
2y t
şi 2 4sin 2 (cm)y t şi dependenţa de timp a
elongaţiei oscilaţiei rezultată din compunerea celor două.
63. Să se determine perioada bătăilor şi perioada oscilaţiilor rezultate din compunerea oscilaţiilor
paralele: 1 1 sin 41y A t şi 2 2 sin 40 .y A t
64. Să se determine perioada bătăilor şi perioada oscilaţiilor rezultate din compunerea oscilaţiilor
paralele: 1 4sin 20y t şi 2 4sin 20,5 .3
y t
65. Să se afle între ce limite variază amplitudinea oscilaţiei rezultate din compunerea oscilaţiilor
paralele: 1 7sin80y t şi 2 7sin81 .y t
-
10
66. Să se determine ecuaţia traiectoriei unui punct material y f x , supus simultan oscilaţiilor
perpendiculare: sin2
x A t
şi sin .y A t
67. Utilizând un tabel de valori ca cel de mai jos, să se traseze grafic traiectoria y f x obţinută din
compunerea oscilaţiilor perpendiculare: 4sinx t şi 2 sin .2
y t
t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
x
y
RĂSPUNSURI
1. N=1800
2. N=20, 0,33Hz
3. 124
ll (lungimea trebuie să scadă de 4 ori)
4. 2 3kgm
5. N=15
6.
a. 10cmA
b. 12 s , 1s, 1HzT
c.
2
m0,2 cos 2
6 s
m4sin 2
6 s
v t
a t
7. 1ml
8. maxm
0,314s
v
9. 5JE
10.
a. 1 2 32m, 1m, 4mA A A
b. 1 2 31s, 0,5s, 2sT T T
c. 1 2 32sin2 t, sin 4 t+ , 4sin t+
2 6y y y
-
11
d. 1 2 34 cos2 t, 4 cos 4 t+ , 4 cos t+
2 6v v v
11.
a. 4mA
b. 14s; s2
T
c. 4sin m2
y t
12.
a. maxm
2s
v
b. 18s; s4
T
c. m
2cos4 s
v t
13.
a. 1,5Hz
b. 1 13 s 9,42s
c. 0,66sT
14. 0
0
2,1s ; 5%T
TT
15. L 2,45sT
16. 0
0,14%T
T
17.
a. r
0
0,83%; 10,083sT
TT
b. r
0
15,47%; 11,547sT
TT
18. N
100m
k
19. 10cmA
20.
a. 10cmA
b. 10sin2 cmx t
21.
a. maxm
0, 4s
v
-
12
b.
4sin 10 cm2
m0,4cos 10
2 s
x t
v t
22. 10sin 10 cm2
y t
23. 0,5s4
Tt
24. 2,1,3
25. 3 1 22,1,3; v v v
26. 1 20,157s ; 0,314st t
27. maxN m
5 ; 1,58m s
k v
28.
a. max 10cml
b. s 1,57s2
t
29.
a. maxm
1s
v
b. s6
t
30. max 1,1ml
31.
a. 10cmA
b. maxm
0,5s
v
c. maxc
0, 25JE
d. 10sin 5 cm2
x t
32. 30cmA
33.
a. 40cmA
b. maxm
4s
v
c. maxc
8JE
34. max min35cm; 25cml l
-
13
35. maxm
2s
v
36.
a. i e20; 40N N
b. max max 2km m
37,71 ; 7,31h s
v a
c.
15sin 0,7 m2
m10,47cos 0,7
2 s
y t
v t
d. maxc
4500 JE
37. 5J ; 45Josc resp p
E E
38. 11s
39. 2sT
40. 2m
30 în suss
a
41.
a. 0g
L
b. 0
2L
Tg
c. 01
2
g
L
42. 2sT
43. 4sT
44. 0,4sT
45. s 0,628s5
T
46. N
' 60m
k
47. 4k
m
48. maxm
0, 4s
v
49. 1,5sT
50. 2min1
m gv
km
-
14
51. 1md
52. max 0,316rad
53.
1 21 2
1 2 1 2
1 2
2 ; 2m k km
T Tk k k k
T T
54. 2 s 1,41sT
55. max 0,25m 25cml
56. max 0,05rad
57. rez 112 cmA
58. rez 91cmA
59. rez 05cm; arctg 0,75A
60. rez 04
93,56 cm; arctg3
A
61. 2 2rez 1 2;2
A A A
62. 5sin 2 t+arcsin 0,6 cmy
63. b4
2 s; s81
T T
64. b8
4 s; s81
T T
65. 0,14A
66. 2 2 2x y A
67.
t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
x 0 4 0 -4 0 4 0 -4 0
y 0 1 2 1 0 -1 - 2 -1 0