probleme rezolvate
DESCRIPTION
Profesor TIT CUPRIAN. PROBLEME REZOLVATE. GEOMETRIE. SEMESTRUL II. CLASA a VII-a. ASEM Ă NAREA TRIUNGHIURILOR. Realizat de prof. TIT CUPRIAN. PROBLEMA 1. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/1.jpg)
PROBLEME REZOLVATE
GEOMETRIESEMESTRUL II
CLASA a VII-a
Profesor TIT CUPRIAN
.
![Page 2: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/2.jpg)
.
ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 3: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/3.jpg)
.
PROBLEMA 1Fie triunghiul ABC, AB = 12cm, BC = 18cm, AC = 15cm, MN = 12cm, MN||BC, M[AB] si N[AC]. Aflati lungimile segmentelor AM si AN.
Rezolvare: A
B C
M N
Daca MN||BC atunci AMNABC si rezulta:
BC
MN
AC
AN
AB
AM
Inlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor:
3
2
18
12
1512
ANAM
AM = 122:3 = 8cm
AN = 152:3 = 10cm
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 4: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/4.jpg)
.
PROBLEMA 2Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 12cm si CD = 6cm. Diagonalele ACBD={O}; daca BD = 15cm, aflati lungimile segmentelor BO si OD.
Rezolvare:
A B
CD
O
ODCOBA (cazul U.U.)
AB
CD
AO
OC
BO
OD
Daca notam OD = x, atunci BO = 15 –x.x
15-xInlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor:
2
1
12
6
15
AO
OC
x
x
2x = 15 – x 3x = 15 x = 15:3 = 5cm.
Asadar OD = 5cm si BO = 15 – 5 = 10cm.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 5: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/5.jpg)
PROBLEMA 3Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 6cm si CD = 5cm; AD = 2cm; BCAD={O}. Se cere sa aflati lungimea lui AO.Rezolvare:
A B
CD
O
5
6
2
Daca DC||AB atunci ODCOAB si rezulta:
AB
DC
OB
OC
OA
OD
Daca notam OD = x, atunci OA = 2 +x
xx+2
6
5
2
OB
OC
x
xInlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor:
6x = 5x + 10 x = 10OD = 10cm si AO = 10 + 2 = 12cm.
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 6: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/6.jpg)
PROBLEMA 4Fie ABC cu AB = 15cm; MN||BC, M[AB], N[AC]. Aflati lungimea segmentului AM astfel incat aria AMN sa fie 44,(4)% din aria ABC.Rezolvare:
A
B C
M N
Daca MN||BC atunci AMNABC si rezulta:
;)1(2iA
A
ABC
AMN
unde i este raportul de asemanare;
Notam AM = x;x 15
x
AB
AMiAvem
Din relatia (1) rezulta:
22515100
)4(,44 22xx
100100
9
400225
2
x
.101002 x.
x =
10
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 7: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/7.jpg)
PROBLEMA 5Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 20cm si BC = 15cm. BE este perpendiculara pe AC, E[CD]. Aflati lungimea segmentului [CE].
Rezolvare:
A B
CD E
20
15
In conditiile in care unghiul BACunghiul CBE (sunt unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare, si triunghiurile ABC si BCE sunt
dreptunghiceatunci avem: ABCBCE din care rezulta:
BE
AC
CE
BC
BC
AB
Inlocuim in sirul de rapoarte egale lungimile segmentelor:
CE
15
15
20
.25,1220
1515
CE
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 8: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/8.jpg)
PROBLEMA 6Fie ABC un triunghi dreptunghic in A; daca AB = 30cm, AC = 40cm, BC = 50cm sa se afle lungimea lui AD, unde ADBC.Rezolvare:
A
B C
30 40
50D
Daca ADBC si BAAC atunci <BAD <BCA
ABD ABC
4050
30 AD
AC
AD
BC
AB
.2450
4030cmAD
Mai cunoasteti si o alta metoda de rezolvare?
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 9: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/9.jpg)
PROBLEMA 7Fie ABC dreptunghic in A, AB = 10cm, AC = 24cm si BC = 26cm. In mijlocul O a lui BC se ridica o perpendiculara pe aceasta care taie pe AC in N. Aflati lungimea lui ON.Rezolvare: A
B CO
N
10 24
26
ONCABC
comununghiesteC
cedreptunghisunt
OB = OC = BC/2 = 26:2 = 13cm.
13 AC
OC
AB
ON
24
13
10
ON
12
65
24
130
24
1310 2(
ON
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 10: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/10.jpg)
PROBLEMA 8Fie triunghiul ABC dreptunghic in A cu AB = 8cm; ADBC, D[BC]. Daca BD = 4cm sa se afle lungimile laturilor BC, AC si AC. Rezolvare:
A
B CD
8 cm
4 cm
ABDBCAAC
AD
AB
BD
BC
AB
8
48
BC
.164
88
BC
16 cm
CD = 16 – 4 = 12cm.
12 cm
ADCABC AC
DC
BC
AC
AB
AD
AC
ACAD 12
168 AC2 = 192
AC = 192 AC= 83.
83 cm
ABDACD AD
BD
DC
AD
AC
AB AD
AD 4
1238
8
.343
312
3
12
38
128
AD
cm34
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 11: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/11.jpg)
PROBLEMA 9Avem triunghiul isoscel ABC, AB = AC, AD = 8cm si BC = 12 cm. Aflati raza cercului circumscris triunghiului prin metoda asemanarii triunghiurilor.Rezolvare: A
B C
O
D
E
.
6 cm
8 cm
ABDBDE
lareperpendicurespectivlaturilecuDBEBAD
cedreptunghisuntiletriunghiur
DE
BD
BD
AD
DE
6
6
8 .5,4
8
36cmDE
AE = AD + DE = 8 + 4,5 = 12,5
R = AE:2 = 12,5:2 = 6,25 cm.
![Page 12: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/12.jpg)
.
RELAŢII METRICE
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 13: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/13.jpg)
PROBLEMA 1Fie triunghiul ABC dreptunghic in A in care AB = 10cm si AD = 53cm, ADBC. Aflati lungimea lui BD, BC si AC.
Rezolvare:
A
B CD
10cm
53c
m1) Aplicam teorema lui Pitagora in ABD pentru a afla BD:
BD2 = AB2 – AD2 BD2 = 100 – 75 = 25 BD = 25 = 5cm.
5cm
2) Aplicam teorema catetei (pentru cateta AB) pentru a afla BC:
AB2 = BDBC 100 = 5BC BC = 100:5 = 20cm.
20cm
3) Pentru a afla lungimea lui AC aplicam teorema lui Pitagora in ABC:
AC2 = BC2 – AB2 AC2 = 400 – 100 = 300
AC = 100 = 103cm.
103cm
Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi dreptunghic, incercati sa rezolvati problema aplicand si teorema inaltimii.
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 14: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/14.jpg)
Fie ABCD un patrat de latura AB = 10cm; punctul E se afla in interiorul patratului astfel incat AEB sa fie echilateral. Aflati lungimea lui [EC]. Rezolvare:
PROBLEMA 2
A B
CD
E
Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E.
F
G
In EGB avem: BE=10cm, BG=5cm.
10
5
GE2 = BE2 – BG2 GE2 = 100-25=75
.3575 cmGE
53FE = GF – GE = 10 - 53cm.
In CEF: CE2 = FE2 + FC2
310020053510 222 CE
.32103100200 cmCE
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 15: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/15.jpg)
Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 25cm si DE = 4cm unde DEAB, Aflati lungimile celor doua diagonale.Rezolvare:
PROBLEMA 3
A B
CD
E
25
10
4
In ADE aflam pe AE:
AE2 = AD2 – DE2 = 20 – 16 = 4.
AE = 4 = 2cm.
2
BE = AB – AE = 10 – 2 = 8cm.
8
In BDE aflam pe BD:
BD2 = BE2 + AD2 = 64 + 16 = 80.
BD = 80 = 45cm.
Coboram o perpendiculara din C pe dreapta AB:
F
BF = AE = 2cm.
2
CF = DE = 4cm.
4
In ACF avem: AC2 = AF2 + CF2 = 122 + 42 = 144+16=160.
.104160 cmAC
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 16: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/16.jpg)
Fie triunghiul ABC isoscel, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza cercului inscris triunghiului ABC. Rezolvare:
PROBLEMA 4
A
B CD
O E
Construim: ADBC; OEAC, O=centrul cercului inscris
In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm.
10
12
6
Notam OD=OE= x;
x
x
Daca CD=6 atunci si CE=6; AE=AC-EC=4cm.
6
4 Daca AD=8 atunci AO = AD – OD = 8–x.
8-x
In AOE: AO2 = AE2 + OE2
(8 – x)2 = 42 + x2 64 – 16x + x2 = 16 + x2
16x = 64 – 16 16x = 48 x = 3cm.
Deci Rcercului inscris= 3 cm.Gasiti si o alta metoda de rezolvare!
.
![Page 17: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/17.jpg)
Fie triunghiul isoscel ABC, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza cercului circumscris triunghiului ABC. Rezolvare:
PROBLEMA 5
A
B C
O
D
10cm
Daca BC = 12cm, atunci BD = BC:2 = 6cm.
6cm
Notam AO=OB= x (raza cercului circumscris).
x
x
In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm.Rezulta ca OD=AD-AO=8-x.
8-x
Aplicam teorema lui Pitagora in OBD:OB2 = BD2 + OD2
x2 = 62 + (8-x)2 16x = 100
cmx 25,616
100
Gasiti si o alta metoda de rezolvare!
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 18: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/18.jpg)
Fie ABCD un trapez dreptunghic, cu bazele AB=a, CD=b, astfel incat se poate inscrie un semicerc. Cum se poate calcula media aritmetica, media geometrica si media armonica cu ajutorul acestei probleme, urmariti rezolvarea.
Rezolvare:
PROBLEMA 6
A B
CD
O
Pentru ca acest trapez sa fie circumscris unui semicerc trebuie indeplinita conditia: BC=AB+CD=a+b. Urmariti figura.
N
a
b
a
b
M
1) Sa calculam linia mijlocie OM (media aritmetica):
2) Sa calculam ON=raza semicercului (media geometrica):AD2=BC2–(AB–CD)2=(a+b)2–(a–b)2=4ab.
.24 ababAD
22
baCDABOM
3) Sa calculam lungimea segmentului NP (media armonica):
P
.abON
E
NPOCEB BC
NO
CE
NP
ba
ab
ab
NP
2
.22
ba
ab
ba
ababNP
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 19: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/19.jpg)
PROBLEMA 7Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC = 10cm si BC = 16cm. Se cere sa se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC.
Rezolvare:A
B C D
O
Prelungim pe AD pana taie cercul in E.
E
Unind E cu C se formeaza triunghiul ACE dreptunghic in C.
Aplicam teorema lui Pitagora in ADC:
10
8
AD2 = AC2 – CD2 = 100 – 64 = 36AD = 36 = 6cm. 6
Aplicam teorema catetei in ACE:
AC2 = ADAE 100 = 6AE AE = 100:6 = 16,(6) cm.
Raza=AO=AE:2=8,(3)cm.
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 20: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/20.jpg)
PROBLEMA 8Fie ABCD un patrat cu latura de 12cm. Fie punctele EAB si FAD astfel incat triunghiul CEF sa fie echilateral. Aflati lungimea lui BE.
Rezolvare:
A
.
B
CD
E
F
12cmNotam pe BE = x.
x
Atunci AE = AF = 12 – x.
12-x
12-
x
Aplicam teorema lui Pitagora in BEC
CE2 = BC2 + BE2 = 144 + x2
Aplicam teorema lui Pitagora in AFE
FE2 = AE2 + AF2 = 2(12 – x)2
Dar FE = CE, asadar
2(12 – x)2 = 144 + x2 x2 – 48x + 144 = 0
31224 x.
Pentru a finaliza aceasta problema este necesar a se cunoaste rezolvarea ecuatiei de gradul II.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 21: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/21.jpg)
PROBLEMA 9Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm si CD = 8cm. Sa se calculeze perimetrul trapezului si lungimile diagonalelor.
Rezolvare:
A B
CD
16
8
O
Daca trapezul este isoscel atunci si triunghiurile AOB si COD sunt isoscele.
.282
16
2
ABAO
.242
8
2
CDOC
.212 OCAOACAplicam teorema lui Pitagora in BOC
28
24
BC2 = BO2 + OC2 = 128 + 32 = 160
.104160 cmBC
.1082410428162 cmBCCDABPABCD
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 22: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/22.jpg)
.
FUNCTII TRIGONOMETRICE
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 23: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/23.jpg)
Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi a si b si masura unghiului cuprins intre ele egala cu . Sa se afle lungimea celei de-a treia laturi. Rezolvare:
PROBLEMA 1
a
b
Construim inaltimea pe latura de lungime b.
O notam cu h.
h
In triunghiul din stanga avem:
h= asin si x = acos
x y
c Inseamna ca y = b – x = b - acos
Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul din dreapta:c2 = h2 + y2 = (asin)2 + (b - acos)2
c2 = a2sin2 + b2 – 2abcos + a2cos2c2 = a2(sin2 + cos2)+b2 – 2abcos
Dar sin2 + cos2 = 1, asadar
( Teorema lui Pitagora generalizata sau teorema cosinusului ).
c2 = a2 + b2 – 2abcosRealizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 24: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/24.jpg)
PROBLEMA 2Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B de 600, masura unghiului A de 750 si AB = 8cm. Se cere sa se afle perimetrul si aria triunghiului.
Rezolvare: A
B C
600 450
8cm
m(<BAC) = 1800 – m(<B) – m(<C) = 1800 – 600 – 450 = 750.
D
In ABD: BD = ABcos60 = 80,5 = 4cm. AD = ABsin60 = 83/2 = 43cm.
In ADC: CD = AD = 43cm. (ADC=isoscel si dreptunghic.)
AC = CDsin45 = 432/2 = 26cm.
PABC = AB + AC + BC = = 8 + 26 + 43 + 4 = = 12 + 43 + 26cm.
.
.3382
34344
22cm
ADBCA ABC
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 25: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/25.jpg)
PROBLEMA 3Trapezul ABCD cu baza mica CD = 3cm are AD = 4cm si masura unghiului A de 600 iar masura unghiului B de 300. Se cere sa aflati perimetrul si aria trapezului.
Rezolvare:
A B
CD
4cm
3cm
8cm
600 300
E F
AE = ADcos60 = 40,5 = 2cm.
DE = CF = ADsin60 = 43/2 = 23cm.
BC = CF:sin30 = 23/0,5 = 43cm.
BF = BCcos30=433/2=6cm.EF = CD = 3cm.
.34182363434 cmEAFEBFCBDCADPABCD
.314
2
32311
22cm
DECDABAABCD
.Realizat de prof. TIT CUPRIAN
![Page 26: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/26.jpg)
PROBLEMA 4Fie triunghiul ABC cu AB = c = 7cm, BC = a = 9cm si AC = b = 8cm. Sa se afle sinA, sinB si sinC.
Rezolvare:
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
A
B C
7cm
9cm
8cm
Folosim urmatoarea formula de calcul a ariei unui triunghi:
cpbpappA Unde p = semiperimetrul triunghiului.
p = (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12
51291281271212 A
Folosim alta formula de calcul a ariei unui triunghi:
2
sin AACABA
7
53
87
51222sin
ACAB
AA
Analog vom calcula la fel si sin B sau sin C.
Se poate aplica in continuare si teorema sinusului: C
c
B
b
A
a
sinsinsin
.
![Page 27: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/27.jpg)
PROBLEMA 5Printr-un anume procedeu calculati tg150
Rezolvare:
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
Luam un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300 si construim bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui BC = 2 si apoi urmariti pasii de rezolvare:A
B C
300
D
bisectoarea
150
Daca BC =2, atunci: AC = 2BC = 4. AB = ACcos300 = 43/2 = 23.
Aplicam teorema bisectoarei:
232
432
DCBD
ACAB
DC
AC
BD
AB
63432
32
32
ABBD
.
3232
634150
AB
BDtg
Calculati singuri si sin150 si sin750.
![Page 28: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/28.jpg)
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
PROBLEMA 6Fara a utiliza tabele trigonometrice, calculati sin750.
Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 750, 450 si 600.
A
B C
7 50
450
600
D
Notam BD = 1
1
Rezulta: AB = 2; AD = 3; CD = 3; AC = 6.
2 3
3
6Aria triunghiului ABC:
2
33
2
331
2
ADBCAABC
Dar aria ABC cu formula sinusului este:
2
75sin62
2
75sin 00
ACABAABC
Asadar avem:
2
33
2
75sin62 0
4
26
12
2363
62
1863
62
3375sin 0
.
![Page 29: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/29.jpg)
Realizat de prof. TIT CUPRIAN
PROBLEMA 7Deduceti urmatoarea formula in trigonometrie: sin2 + cos2 = 1.Rezolvare:
A
B C
Scriem teorema lui Pitagora:
AB2 + AC2 = BC2
Impartim relatia de mai sus prin BC2 si obtinem:
.122
BC
AC
BC
AB
.cossin BC
ACsi
BC
ABDar Atunci rezulta:
.1cossin 22 .
![Page 30: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/30.jpg)
CERCUL SI POLIGOANE REGULATE
.
![Page 31: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/31.jpg)
PROBLEMA 1Fie un cerc de raza 6cm. Aflati lungimea cercului, aria cercului, lungimea arcului de cerc si aria sectorului de cerc de = 600.Rezolvare:
.
O
A
6cm
Lungimea cercului: L = 2R = 26 = 12 cm.
Aria cercului: A = R2 = 62 = 36 cm2.Lungimea arcului de cerc:
600
.2180
606
180 0
0
0cm
RLAB
B
Aria sectorului de cerc:
.6360
6036
3602
0
0
0
2
cmR
Asc
![Page 32: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/32.jpg)
PROBLEMA 2Intr-un cerc este inscris triunghiul MNP cu m(<MPN)=450si MN = 82 cm. Se cere sa se afle raza cercului.Rezolvare:
.
M
N
P 450
82
O
Fie O centrul cercului; daca m(<MPN) = 450, atunci m(<MON) = 900. Deci MON este dreptunghic isoscel.
.82
28
2cm
MNOM
Explicatii: <P = 450 rezulta ca arcul MN are masura de doua ori mai mare decat masura unghiului P, adica egala cu 900; unghiul MON, inscris in cerc cu varful in centrul cercului va avea masura egala cu masura arcului MN, adica 900.
![Page 33: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/33.jpg)
PROBLEMA 3Perimetrul unui triunghi ABC este de 60 cm, iar latura [BC] are lungimea de 20 cm. Sa se calculeze lungimea segmentului AM, unde M este punctul de tangenta al laturii [AB] cu cercul inscris in triunghi.
Rezolvare:
.
A
B C
M
N
P
Daca cercul este inscris in triunghiul ABC atunci avem:
AM = AP = x; BM = BN = y; CN= CP = z.
x x
y
y z
z
Perimetrul = x+y+y+z+z+x=2(x+y+z)=60
Rezulta ca x+y+z = 30
Dar y+z = BC = 20 cm.Rezulta ca x = AM = 10 cm.
![Page 34: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/34.jpg)
R E Ţ I N E Ţ I !Pentru triunghiul echilateral este specific numarul: 3
R
l
3Rl
Pentru un patrat este specific numarul: 2
R
l
2Rl
Pentru hexagonul regulat este specific numarul: 11
R
l
.1 RRl
.
![Page 35: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/35.jpg)
PROBLEMA 4Sa se afle latura, apotema si aria unui triunghi echilateral daca raza cercului circumscris triunghiului este de 6 cm.Rezolvare:
.
A
B C
O
D
R
R a
l
AO = OB = R (raza cercului)
AC = l = latura triunghiuluiOD = a = apotema triunghiului
.363 cmRl
.32
6
2cm
Ra
22
3274
3363
4
33cm
RA
22
3274
3108
4
3cm
lA sau
![Page 36: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/36.jpg)
PROBLEMA 5Sa se afle apotema, aria triunghiului si raza cercului circumscris acestuia daca latura triunghiului este de 6 cm. Rezolvare:
.
A
B C
O
D
R
Ra
l
AO = OB = R (raza cercului)
AC = l = latura triunghiuluiOD = a = apotema triunghiului
.36
36
6
3cm
la
22
394
336
4
3cm
lA
.323
36
3
6
3cm
lR
![Page 37: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/37.jpg)
PROBLEMA 6Daca raza cercului circumscris unui patrat este de 8 cm, aflati latura, apotema si aria patratului.
Rezolvare:
.
O
A B
CDE
l
R a
l = R2 = 82 cm.
.242
28
2
8
2cm
Ra
.128642822 222 cmRA
![Page 38: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/38.jpg)
PROBLEMA 7Daca latura unui patrat este de 8 cm aflati apotema, aria patratului si raza cercului circumscris acestuia.Rezolvare:
.
O
A B
CDE
l
R a
a = l/2 = 8/2 = 4 cm.
A = l2 = 82 = 64 cm2.
.242
28
2
8
2cm
lR
![Page 39: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/39.jpg)
PROBLEMA 8Daca raza cercului circumscris unui hexagon regulat este de 4 cm, aflati latura, apotema si aria hexagonului regulat.
Rezolvare:
.
A B
C
DE
F O
Ra l
l = R = 4 cm.
.322
34
2
3cm
Ra
.3242
348
2
343
2
33 222
cmR
A
![Page 40: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/40.jpg)
PROBLEMA 9Daca latura unui hexagon regulat este de 6 cm, aflati apotema si aria hexagonului si raza cercului circumscris acestuia.
Rezolvare:
.
A B
C
DE
F O
Ra l
.332
36
2
3cm
la
.3542
3108
2
363
2
33 222
cml
A
R = l = 6 cm.
![Page 41: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/41.jpg)
CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC
.
O
1. Construim un cerc;
2. Construim diametrul AP;
A
P
3. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OP;
MBC
4. Unim punctele A cu B si A cu C;
5. Daca nu avem nevoie de diametrul AP si de punctul M, le stergem.
![Page 42: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/42.jpg)
CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC
.
O
1. Construim un cerc;
2. Luam un punct pe cerc;
3. Cu varful compasului in punctul A, trasam un arc de cerc (de aceeasi raza cu a cercului) obtinand punctul B;
A
B
4. Acelasi lucru continuam din B s.a.m.d., obtinand punctele C, D, E, F.C
D
E
F
5. Unim punctele A, C si E.6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem.
.
![Page 43: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/43.jpg)
CUM CONSTRUIM UN PATRAT INSCRIS INTR-UN CERC
1. Construim un cerc;
O
2. Construim un diametru;
3. Construim un alt diametru perpendicular pe primul;
A C
B
D
4. Unim consecutiv punctele A, B, C, D.
.
![Page 44: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/44.jpg)
CUM CONSTRUIM UN HEXAGON REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC
.
O
1. Construim un cerc;
2. Construim diametrul AP;
A
P
3. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OP;
MB C
4. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OA;
ND E
5. Unim consecutiv punctele A, E, C, P, B, D;6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem.
![Page 45: PROBLEME REZOLVATE](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050615/56814c56550346895db97089/html5/thumbnails/45.jpg)
CUM CONSTRUIM UN HEXAGON REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC
.
O
1. Construim un cerc;
2. Luam un punct pe cerc;
3. Cu varful compasului in punctul A, trasam un arc de cerc (de aceeasi raza cu a cercului) obtinand punctul B;
A
B
4. Acelasi lucru continuam din B s.a.m.d., obtinand punctele C, D, E, F.
C
D
E
F
5. Unim consecutiv punctele A, B, C, D, E, F, A.
6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem.