problemes olÍmpics...fotografia “matemÀtica a la vista” “desorden fractal”. daniel pozo....

PROBLEMES OLÍMPICS

Revi

sta

de p

robl

emes

de M

atem

àtiq

ues

Núm

ero

71. O

ctub

re 2

013

GALERIA DE FOTOS PARTICIPANTS AL XIII CONCURS DE

FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”

“Desorden fractal”.

Daniel Pozo. IES Ramón Llull (València) “En hora pi”.

Eloie Gallego. IES Maria Moliner (Port de Sagunt)

“Simetría histórica”

Sara Romero. IES María Moliner (Port de Sagunt) “Espirales opuestas”

Aina Reig. Col·legi ABECÉ (Gandia)

“Función discontínua”

Carmen Fernández. IES María Moliner (Port de Sagunt) “Simetria trencada”.

Andrea Martínez. IES La Sènia (Paiporta)

“Clara de luna”.

Daniel García. Colegio Paidós (Denia) “Espiral simbólica”.

J. Fernando López. IES Ramón Llull “Hay 4 círculos y 2 rectángulos”.

Lucía Hernaz. Colegio Paidós (Denia)

ProblemesOlímpics.Nº71.Octubre2013. Pàg.1

Societatd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana“Al‐Khwarizmi”

Ací teniu el número 71 de PROBLEMES OLÍMPICS corresponent al mesd’octubrede2013.TrobareulesprovesproposadesalafaseprovincialdeCastellóialaFaseAutonòmica,celebradaaprincipisdejunyaBenidorm.

Aprofitem per recordar‐vos que tenim oberta la inscripció a les XI Jornadesd’EducacióMatemàticade laComunitatValenciana,que celebraremelproper7 i8demarçaCastelló.Usanimemaparticiparactivamentpresentantcomunicacionsitallers.Teniufinsel5defebrer,isempreatravésdelanostraweb.

Tambévolemrecordar‐vosquequedenpocsdiespertancarelterminid’inscripcióala primera oferta de cursos que organitza la nostra societat. Teniu el formularid’inscripció a la web. Si voleu qualsevol informació particular podeu escriure aformació@semcv.org

Hem convocat el concurs de fotografia “Matemàtica a la vista” en la qual podeuparticipar vosaltres i els vostres alumnes. Com sempre, en el marc de les Jornadesresoldrem el concurs. Les fotografies premiades així com les més representatives,apareixen en la nostra portada o en l’interior de portadamostrant les habilitats delsnostresestudiants.Esperemquelaparticipaciósigagran. PROBLEMESOLÍMPICSSocietatd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana“Al‐Khwarizmi”Apartat22.04546071ValènciaDirector:TomàsQueraltLlopisCoordinadorderedacció:JosepManuelMartínezCanetCorrecciólingüística:JoséFernandoJuanGarcíaConsellderedacció:JoséMaríaAjenjoVento,MªDolorsArnalBertomeu,JoaquimArnauBreso,AlejandroBaronaHernández,RicardoCarrascosaRubio,CarmeCompanyPalomares,MauricioContrerasdelRincón,VicenteDiagoOrtells,

VerónicaGarcíaRuiz,JoséFernandoJuanGarcíaMónicaLaparraIbáñez,AntonioLedesmaLópez,EncarnaLópezGómez,EduardoLlopisCastelló,MiguelMarcoCotaina,JosepManuelMartínezCanet,

MariCarmenMorenoEsteban,EncarnaciónMorenoRuiz,MariCarmenOlivaresIñesta,RuthOrtsGarcía,TomásQueraltLlopis,SilviaQuilisMarco,MªJesúsRuizMaestro,

JoséPascualSeguraAcares.D.L.:V‐3026‐2001ISSN:1578‐1771

Portada:“Sinusoide”Autora:MinervaPaz.IESMaríaMoliner(PortdeSagunt).PrimerPremidel’apartatIIdelXIIIConcursdefotografia“Matemáticaalavista”.

Pàg.2 ProblemesOlímpics.Nº71.2013


EtfaltaalgunexemplardelarevistaProblemesOlímpics?Sivolsenselpotsdemanaritel’enviemalateuaadreça.

SOL·LICITUDD'ENVIAMENTDENÚMEROSANTERIORSDE“PROBLEMESOLÍMPICS”

Nom:___________________________Cognoms:________________________________________________________Adreça:__________________________________________________________________Telèfon:_________________C.P. ___________Població:_____________________________Província:_______________________________Correu‐e:_____________________________________Tascadocent(curs,nivell,etc.)___________________Desitgerebreelssegüentsnúmerosdelarevista"ProblemesOlímpics"alameuaadreça:

Problemes Olímpics Nº 2 (1.2 € ) Problemes Olímpics Nº 3 (1.2 € ) Problemes Olímpics Nº 11 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 12 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 13 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 14 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 15 (2.4 € ) Problemes Olímpics Nº 16 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 17 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 18 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 19 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 20 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 21 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 22 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 23 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 24 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 25 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 26 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 27 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 28 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 29 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 30 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 32 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 33 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 34 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 35 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 36 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 37 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 38 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 39 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 40 (2.5 €)

Problemes Olímpics Nº 41 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 42 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 43 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 44 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 45 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 46 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 47 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 48 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 49 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 50 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 51 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 52 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 53 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 54 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 55 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 56 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 57 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 58 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 59 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 60 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 61 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 62 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 63 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 64 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 65 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 66 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 67 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 68 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 69 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 70 (2.5 €)

Elsnúmerosquenoapareixenenaquestallistaestanexhaurits.

Ens envies aquesta butlleta emplenada a la nostra adreça: Societat d’EducacióMatemàtica “Al‐Khwarizmi”, Apartat 22.045, 46071‐València, indicant en el sobre“Revista Problemes Olímpics”, incloent el justificant d’ingrés del preu total delsexemplarsquesol·licitesalnostrecomptedeBANKIA:2038‐6301‐37‐3000011367.



SUMARI

FASEPROVINCIALCASTELLÓ

ENUNCIATS

PROBLEMESNIVELLC(TERCERCICLEPRIMÀRIA)...............................p.5

PROBLEMESNIVELLA(PRIMERCICLEESO)...........................................p.7

PROBLEMESNIVELLB(SEGONCICLEESO)..............................................p.8

SOLUCIONS




FASEAUTONÒMICA

ENUNCIATS




SOLUCIONS






ENUNCIATS

XXIVOLIMPÍADAMATEMÀTICAFASEPROVINCIAL

PROVÍNCIADECASTELLÓ



PROBLEMESDENIVELLC (TERCERCICLEDEPRIMÀRIA)

FASEPROVINCIAL–PROVAINDIVIDUAL

1.ELLOGOTIP Estemdibuixantellogotipd’unaconegudamarcad’automòbils.Potserlaconeixes.Calculal’àreadecartróquenecessitemperpoderfer‐lo.

2.LALLEGUA

Enelmóndelscontessolaparèixerambrelativafreqüènciaunaunitatdelongitudanomenadallegua.Així,lesbotesde7llegüesdel"Nap‐buf",el llibre "20.000 llegües de viatge submarí" de Jules Verne, etc. Lesllegüessónunaunitatdelongitudusadapelsromansqueexpressavaladistànciaqueunapersonaencavalcadurarecorredurantunahora.Sisabemque2 llegüessón6millesromanes, iqueunamillaequivala4.435 metres, quants quilòmetres va recórrer el Nautilus (nom delsubmaríenlanovel·ladeVerne)enelseuviatgesubmarí?Iquantsquilòmetrespodienrecórrerlesbotesdel“Nap‐buf”?NOTA: nap‐buf: nom aplicat a una criatura, especialment quan és la xicoteta entred’altres,oaunapersonadepocaalçada.

3.QUÈPOSAREMALPLAT? Lesduesprimeresbalancesestanequilibrades.Enspotsajudar?Quantstrianglesblauscaldràposaralplatperequilibrarlatercerabalança?



4.UNARESTAENPARTICULAR Femservirelsvuitdígitsoxifres1,2,3,4,5,6,7 i8, exactamentunavegadacadascun,performardosnombresnaturalsdequatrexifres.

Quina és la diferènciamésmenudaquepodemaconseguir entre estosdosnombressihofemdetoteslesmanerespossibles?

5.ELSTRESBARRETS Enunataulahihatresbarretsnegresidosblancs.Tressenyorsenfilaíndiaesposenunbarretal'atzarcadascunisensemirarelcolor.Se li preguntaal tercerde la fila, quepot veureel colordelbarretdelsegonielprimer,sipotdirelcolordelseupropibarret,a laqualcosaresponnegativament.Selipreguntaalsegon,queveunoméselbarretdelprimer,itampocpotrespondrealapregunta.Per últim, el primer de la fila, que no veu cap barret, responencertadamentelcolordelbarretqueteniaposat.Quinésaquestcoloriquinraonamenthafetperaesbrinar‐ho?



PROBLEMESDENIVELLA (PRIMERCICLEDESECUNDÀRIA)


1.POTÈNCIESDE7Calculalesdeuprimerespotènciesde7.Estudialarelacióquehihaentrelaxifraenquèacabacadapotènciaielresiduqueresultadedividirl’exponententre4.Quinaésl’últimaxifradelnombre72.013?

2.ELLLADREDETARONGESUn lladre travessa tres tanques i arriba a un hort de taronges on esdedicaafurtar.Entravessarlaprimeratanca,jaeixintdel’hort,lipareixquehafurtatmassafruitaideixalameitatdelestarongesquehafurtatmésmitjataronja.Enlasegonatanca,cadavegadaméspenedit,tornaadeixarlameitatmésmitja.Enlatercerarepeteixl’operació,ienarribaralcarrers’adonaquenomésliquedaunataronja.Siencapmomenthatallatcaptaronja,quantesn’haviafurtat?

3.DIAGONALSPOLIGONALSQuantesdiagonalsespodentraçarenunpolígonconvexqualsevolde costats?

4.NOMBRESIMPARELLSQuants nombres imparells dequatre xifres es poden formaramblessegüentstargetes?

5.PILOTESDETENNISEl diàmetre d’una pilota de tennis és de 65,45mm. Es venen en tubscilíndricsde21cmdellargi3,5cmderadiambtrespilotes.Quinvolumquedalliuredinsdeltub?



PROBLEMESDENIVELLB(SEGONCICLEDESECUNDÀRIA)


1.ÀREESDETRIANGLES

Tenimeltriangle∆ rectangleen iisòscelesambhipotenusa√2.Si1 i és perpendicular a , es demana que calculeu

raonadament:a. L’àreadeltriangle∆ .b. L’àreadeltriangle∆ .

2.EDATSDEFAMÍLIA

Unamarede42anysobservaquesiescriutresvegadesseguideslaseuaedat obté un nombre de sis xifres que és igual al producte de la seuaedatperladelseuhomeiperlesedatsdelsseusquatrefills.Quinesedatstenenelpareicadascundelsfills?



3.LESCAMPEROLESDuescamperolesvanportarentotal100ousalmercat.Unad’ellesteniamésmercaderiaque l’altra,peròva rebreperella lamateixaquantitatdedinersquel'altra.Uncopvenutstots,laprimeracamperolavadiralasegona:"Si johagueraportat lamateixaquantitatd’ousque tu,hauriarebut15monedes."Lasegonavacontestar:"I si jo haguera venut els ous que tenies tu, hauria tret d’ells 6 i monedes."Quantsousvaportarcadascuna?

4.DIVISIBILITATPER6Consideraelnombre :

123456789101112131415… .100onelsnombresescritssónnaturalsdel’1finsa100senseespaisentreells.

a. És divisibleentre6?b. Fins a quin nombre cal afegir‐li (seguint el mateix patró) per a

obtenirunmúltiplede3?

5.LAPROPIETATZUnnombredequatrexifresesdiuquecompleixlapropietatZsilesduesxifresdel’esquerraformenunnombrequeéseldobledelnombrequeformenlesduesxifresdeladreta.Perexemple1.005,jaque10éseldoblede05,oelnombre2.412,jaque24éseldoblede12.

a. Proveu que tots els nombres de quatre xifres que compleixen lapropietatZsónmúltiplesde201.

b. Calculeu la suma de tots els nombres de quatre xifres quecompleixenlapropietatZ.



SOLUCIONS

XXIVOLIMPÍADAMATEMÀTICAFASEPROVINCIAL

PROVÍNCIADECASTELLÓ



PROBLEMESDENIVELLC(TERCERCICLEDEPRIMÀRIA)


1.ELLOGOTIP Solució:L’àreadellogotipocuparàunasuperfíciede , .Aquest logotip de Mitsubishi es potconstruir dins d’un triangle equilàter quepodemsubdividiren9trianglesequilàters,delsqualscoloriremderoig6. Calculem en primer lloc l’àrea del triangle gran de base 6 cm i altura5,2cm.

26 5,22 15,6cm

Lapartrojaés:69

23 15,6 10,4cm

2.LALLEGUASolució:a) ElNautilusvarealitzarunviatgesubmaríde266.100km;b)LesbotesdelNap‐bufpodienrecórrer93,135km.

Obtenim la solució a partir de la relació entre les diferents unitats delongitud.

2llegües=6millesromanes →1llegua=3millesromanes Tambésabemque →1millaromana=4435m Iperconversiód’unitats →1.000m=1km

a) Per trobar la longitud del viatge del Nautilus, podrem anartransformant:

20.000llegües→20.000 3 60.000milles→→ 60.000 4.435 266.100.000m 266.100km



ElNautilusvarealitzarunviatgesubmaríde266.100km.b)LesbotesdelNap‐bufpodienrecórrer:7llegües→7 3 21milles→21 4.435 93.135m 93,135kmAixípodemdirquelesbotesdelNap‐bufpodienrecórrer93,135km.

3.QUÈPOSAREMALPLAT?Solució:Caldràposar3blaves.

Lasolucióquehempensatés:

jaquesimiremlasegonabalançapodemdeduir: 3roges=6verdes → 1roja=2verdesSimiremlaprimerabalançaespotdeduir: 4roges=6blaves → 2roges=3blavesAlatercerabalançapodemdeduirquealplatesquerrehiha: 1roja+2verdes=1roja+1roja=2rogesAmblaqualcosacaldràposar3blaves.

4.UNARESTAENPARTICULARSolució:

Lasolucióés:5 1 2 3

__

----------------------------------- 0 2 4 7

Cal posar dalt el nombre més menut que podem formar, el nombre1.234, i baix el més gran possible, 8.765, amb la finalitat d’obtenir elresultattanmenutcomsigapossible.

4 8 7 6



Per trobar la solució faremuna “adaptació” de la darrera xifra per ferpossiblelaresta,posant‐lesaldavantperòintercanviadesdefila.

5.ELSTRESBARRETS Solució:Elbarretésnegre.

L’últimdelafilapotveureelcolordelbarretdelsseuscompanys.Sinopotsaberquinéselcolordelseubarretésperquèelsaltresdosnosónblancs,perlaqualcosaosónelsdosnegresosónundecadacolor.Elsegondelafilapotveureelcolordelbarretdelprimeritambésapelquehapensatel tercer.Si tampocrespona lapreguntaésperquèveuqueelcolordelprimerésnegre.Sifórablancsabriaqueelseuésnegre.Elprimer,queconeixelquehandeduïtelsaltrescompanysdedarrere,peraquestmateixplantejamentdedueixqueelseubarretésnegre.



PROBLEMESDENIVELLA(PRIMERCICLEDESECUNDÀRIA)


1.POTÈNCIESDE7Solució:Lapotència . acabaen7.Calculemlesprimerespotènciesde7perveurequèpassaamblaseuaterminació:

7 1 7 7 7 497 343 7 2.401 7 16.8077 117.649 7 823.543 7 5.764.8017 40.353.607 ....

Lesterminacionsesrepeteixencadaquatrepotències.Hihaunarelacióentre la xifra en què acaba cada potència i el residu que resulta dedividirl´exponententre4:

4:4→residu=0→acabaen1 5:4→residu=1→acabaen7 6:4→residu=2→acabaen9 7:4→residu=3→acabaen3 8:4→residu=0→acabaen1 9:4→residu=1→acabaen7

Ladivisió2.013:4téresidu1,aleshoreslapotència7 . acabaen7.

2.ELLLADREDETARONGESSolució:Ellladrehaviafurtat15taronges.

Enlaprimeratancaendeixa7,5 0,5 7 8.Enqueden7.Enlasegonatancaendeixalameitatmésmitjade7,ésadir:3,5 0,5 3 4.Enqueden3.



Enlaterceratancaendeixalameitatmésmitjade3,ésadir:1,5 0,5 1 2.Enqueda1.Haviafurtat taronges:

Enlaprimeratancaendeixa:

212

12

Enqueden:1

21

2 Enlasegonatancaendeixa:

122

12

14

Enqueden:1

21

43

4 Enlaterceratancaendeixa:

342

12

18

Enqueden:3

41

87

8 Igualantaquestaexpressióa1iresolent:

78 1 → 8 7 → 15



3.DIAGONALSPOLIGONALS

Solució:Se’npodentraçar diagonals.

Femunestudidepolígonsinombredediagonalsquepodemtraçar‐ne:Polígon Nombrede

costats(n)Nombredediagonals(d)

Figura

Triangle n=3 d=0

Quadrilàter n=4 d=2

Pentàgon n=5 d=5

Hexàgon n=6 d=9

De cada vèrtex hem pogut traçar diagonals a tots els altres vèrtexsmenysa tres(dreta,esquerra iellmateix).De vèrtexs,podemtraçar

3 diagonals.Cadadiagonalentredosvèrtexsl’hemcomptadaduesvegades,aixíquehemdedividirentredos.Engeneral:



4.NOMBRESIMPARELLSSolució:Espodenformar12nombresimparellsdequatrexifres.

Entotalhihaurà(permutacionsde4elements):4!=24.D’aquestes24possibilitats,hihaurà12nombresparellsialtrestantsimparells.

5.PILOTESDETENNISSolució: El volum que queda lliure dins del tub és de 367,77 aproximadament.

El volum de cada pilota es pot calcular amb la fórmula per al volumd’unaesfera:

43

43

6,5452 ≅ 146,801cm

Entindre3pilotes,elvolumtotalserà:3 ≅ 440,402cm

El volum del tub es pot calcular amb la fórmula per al volum d’uncilindre:

3,5 21 ≅ 808,175cm Elvolumquequedalliuredinsdeltubésladiferènciaentreelvolumdelcilindreielqueocupenles3pilotes:

≅ 367,773cm





1.ÀREESDETRIANGLES

Solució:L’àreadeltriangleACDés ;b)L’àreadeltriangleEFCés .

Com∆ ésrectangleenBi isòsceles,sidesignemper elscostats i ,enaplicarPitàgorestenim:

2 2 → 1 1. Podem calcular l’àrea del triangle∆ devàriesformes.Per exemple, si considerem base elcostat 1ialtura 1tenimquel’àreaés .Tambépodemaplicar:

∆ ∆ ∆ 2 121 12

12

També es pot aplicar que ∆ ≅ ∆ (per ser rectangles i tindrel’angle comú)id’acítraurel’altura ilabasequeés√5.2. Tenimlasegüentcadenadesemblances:

ΔDBC ≅ ∠B ∠E 90∠Déscomú ≅ ΔAED

ΔAED ≅ ∠B ∠E 90∠Aésoposatpelsvèrtex ≅ ΔFBA

ΔFBA ≅ ∠B ∠E 90∠Féscomú ≅ ΔFEC

Amés, ΔFBA ΔDBC per ser semblants i tenir els costats i lamateixamesura:1.Pertant:



23√5 ⇒

6√5

y1

3√5 ⇒ y

3√5 2

6√5

3√5

295

2.EDATSDEFAMÍLIASolució:Elpareté37anys,ielsfills1,3,7i13anys.

Ensdiuenquelamareté42anys,aleshoressabemqueelproductedelaseuaedatmultiplicadaper ladelseumarit i lesedatsdelsseusquatrefillsserà424.242.Sidividimaquestnombreentre42obtenim10.101.Això indicaqueelproductedel’edatdelpareperlesdelsfillsés10.101.Pertantelproblemaesredueixabuscarelsdivisorsd’aquestnombre.Descomponentfactorialmenttenim:

10.101 3 7 13 37 1Ijateniml’edatdelpare(37anys)iladels4fills:1,3,7i13anys.

3.LESCAMPEROLESSolució:laprimeracamperolavaportaralmercat40ousilasegona60.

Suposem que la primera camperola tenia ous. La segona tindria:100 . Si la primera hagués tingut 100 , hauria tret d'ells 15monedes.Aixòvoldirquelaprimeracamperolavavendreelsousa:

15100



monedescadascun.D’aquestamaneraveiemquelasegonacamperolavavendreelsousa:

6 23 203

monedescadascun.Trobemaralaquantitatobtingudapercadacamperola.Laprimera:

15100

15100

Lasegona:100 2030

20 1003

Icomlesduesvanrebreelmateix,aleshores:15

10020 100

3 quedesprésdelescorresponentstransformacionsresultarà:

160 8.000 0,d'on 40, 200.L'arrelnegativano té sentit enaquest cas.Elproblemano témésqueunasolució:laprimeracamperolavaportaralmercat40ousilasegona60.

4.DIVISIBILITATPER6Solució:a)Nnoésdivisibleper6; b)Calafegir‐linoméselsegüentnombre,101.

a)És divisibleentre6?Un nombre que siga divisible per 2 i per 3 també ho és per 6. El queanemaferéscomprovarsi ésdivisibleper2iper3.

Comque acabaenzeroésobviqueésdivisibleper2. Per a saber si és divisible per3 cal que calculem la sumade les

xifresicomprovemqueaquestasumaésmúltiplede3.Per a fer‐ho, comptarem quants uns hi ha, quants dosos hi ha, etc.Emprarem la següent taulaper fer el recompte, en laqual el símbol#significa“quantitatde”.



Desde... #1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8 #91......9 1 1 1 1 1 1 1 1 110.....19 11 1 1 1 1 1 1 1 120.....29 1 11 1 1 1 1 1 1 130.....39 1 1 11 1 1 1 1 1 140.....49 1 1 1 11 1 1 1 1 150.....59 1 1 1 1 11 1 1 1 160.....69 1 1 1 1 1 11 1 1 170.....79 1 1 1 1 1 1 11 1 180.....89 1 1 1 1 1 1 1 11 190.....100 2 1 1 1 1 1 1 1 11TOTAL 21 20 20 20 20 20 20 20 20

En total:21 1 20 2 . . . 20 9 901,quenoésmúltiplede3,pertant noésmúltiplede6.b)Finsaquinnombrecalafegir‐li(seguintelmateixpatró)peraobtenirunmúltiplede3?Si afegim el nombre 101, la suma de les xifres serà 903, que sí ésmúltiplede3.

5.LAPROPIETATZSolució:

a)ElsnombresdequatrexifresquecompleixenlapropietatZson:1.005, 1.206, 1.407, 1.608, . . . . . . . . . . , 9.648, 9.849

que formen una progressió aritmètica de diferencia 201 perquè cadatermedelasuccessióésl’anteriormés201.Pertant:

201 1 1005 201 201 201 804 201 4 Pertant,cadatermeésmúltiplede201.b)Lasumadels primerstermesd’unaprogressióaritmèticaés:

9.849 201 4. 4 45. . 45 244.215



ENUNCIATS

XXIVOLIMPÍADAMATEMÀTICAFASEAUTONÒMICA


FASEAUTONÒMICA–PROVAINDIVIDUAL

1.BOTGENERACIONALEliaioJoantéquatrenéts.Cadascund'ellsésexactamentunanymajorque el que li segueix en edat. Un any Joan se n'adona que sumant lesedatsdelsseusquatrenétselresultatéslaseuaedat,queamésamésésmúltipled'11.QuantsanystenenJoanielsseusnéts,sisabemqueeliaiotémésde50anys?

2.PESADESElsenyorManueldiuqueambelsseustrespesos(1kg,3kg,9kg)i labalançapotapartarelsquilosdellentillesquevulgues,sinopassende13.



Completalasegüenttaulapercomprovarcomhadepesarelsquilosdellentilles:

PLATETA PLATETB QUILOSDELLENTILLES

3.EDUCACIÓFÍSICAAprimerahoradelmatíelsalumnesde6éAi6éB,elnombredelsqualsoscil·laentre50i100,tenenjuntsclassed'EducacióFísica.Elprofessorelsdivideixsempreenequipsde3,de5ode9i,quannohihaabsents,sempre sobra un alumne. Quants alumnes coincideixen en classed'EducacióFísica?

4.ELCAUDELDRACEnelvideojoc“ElcaudelDrac”etdonen4puntsquanagafesunapalletad'ori7puntsquanagafesundiamant.Donantperfetquepotsjugartotel temps que vullgues, quines són les puntuacions que és impossibleaconseguir?Raonalateuaresposta.

5.TRIANGLES

Quantstriangleshihaenaquestafigura?



6.ELTRIANGLEQUEPEGAVOLTES

Al cantó inferior esquerre del quadrat de 4metresdecostatestrobauntriangleequilàterde2 metres de costat. El triangle 'roda' senserelliscar,sobreelscostatsdelquadrat,perlapartinterior,mantenintsempreunvèrtexrecolçatenel costat del quadrat.Roda fins que torna al seullocoriginaldesprésdedonarunavoltacompleta.Fixa’tquèfaelpuntPquan'roda'eltriangle.DibuixalatrajectoriaquehaseguitelpuntP,ésadir,marcaelspuntsperonvapassantaldonarlavolta,icalculaladistànciaqueharecorreguteixepunt.


FASEAUTONÒMICA–PROVADEVELOCITAT

1.VARIAL'ÀREA?Si la base d'un triangle augmenta un 10% i l'altura corresponentdisminuïxun10%,quinpercentatgevariaràl'àreadeldittriangle?

2.UNENIGMAENREVESSATTres companys, de cognoms Moreno, Rojo i Rubio, es reunixen perresoldreproblemesdemates.Desobte,diulaxica:"TégràciaqueensdiguemMoreno,RojoiRubio,iqueelsnostrescabellssiguend'eixoscolors"."Sí que la té”, va dir el jove de cabell ros, “però hauràs observat queningútéelcabelldelcolorqueescorresponalseucognom.""Ésveritat!",vaexclamarPepitoRojo.SiMariLuznoéspèl‐roja,dequincoloréselcabelldeRubio?



3.QUADRATSDENATURALSCONSECUTIUSLa diferència entre els quadrats de dos nombres naturals consecutiusqualssevol,ésparellaoimparella?Justificalaresposta.

4.ANGLEEn la figura, , , l'angle ∡ mesura 75° i l'angle∡ mesura50°,quantmesural'angle∡ ?

5.TERTÚLIA

Una família està de tertúlia al voltantd’unataulaonhihadiversosobjectes.Relaciona cada vista amb allò queveuen la mare, el pare, la xiqueta i elxiquet.

6.ESPÀRRECSUn hortolà lligava els manolls d'espàrrecs amb cordes de 20 cm delongitud i els venia a3 euros.Unaltrehortolàutilitzavaun cordell dedoblelongitudiveniaelsmanollsa6euros.Quiguanyavamésdinersiperquè?



7.DISCOSUndiaMartílivapreguntaraLola:"Guardesencaraalgunsdiscos?""No”,varespondreLola,“livaigregalarlameitatméslameitatd'undisca Rocio, i lameitat dels restants aMaria, així que només emqueda elmeudiscpreferit".QuantsdiscosteniaLola?

8.PRIMERAPROVALÒGICAElpresonerd'unreihadetriarentredueshabitacions.Enunahihaunadama,ienl'altrauntigre.Sitrialaprimera,escasaambladama.Sitrialasegona(probablement)seràdevoratpeltigre.Elreiposarètolsenlesportesidónaindicacions.

I II

En aquesta habitació hi ha una dama i en l'altra un tigre.

En una d'aquestes habitacions hi ha una dama i en una d'aquestes

habitacions hi ha un tigre. ‐“Ésveritatelquediuenelsrètols?”vapreguntarelpresoner.‐“Und'ellsdiulaveritat,peròl'altreno.”‐vareplicarelrei.Quinaportahadetriarpersalvar‐se?

9.SEGONAPROVALÒGICAEl presoner d'un rei ha de triar entre dues habitacions, en una de lesqualshihaunadama,ienl'altrauntigre.Sitrialaprimera,escasaambladama.Sitrialasegona(probablement)ésmenjatpeltigre.Elreiposarètolsenlesportesidónaindicacions.En aquesta prova el rei va indicar que els rètols eren o ambdósverdadersoambdósfalsos.Acíestanelsrètols:

I II O bé hi ha un tigre en aquesta habitació o bé hi ha una dama

en l'altra habitació.

Hi ha una dama en l'altra habitació.

Quècontécadascunadeleshabitacions?



10.IGUALTATAMBFURGADENTSDesplaçantdosfurgadentslaigualtatescomplix,quins?


FASEAUTONÒMICA–PROVADECAMP

ESTACIÓ1.TRIANGLESENL'AJUNTAMENTDEBENIDORMEnlapartcentraldelafatxadadel'edificidel'AjuntamentdeBenidormtens este triangle. Al costat s'ha posat una trama de punts amb unesquemabàsic.Quants triangles rectangles pots trobar que tinguen els vèrtexs en estatramadepunts?

ESTACIÓ2.OCUPANTSEIENTSQuanvincalparcaseureunsdiesemtrobeundelsseientsocupati laresta lliures. Així em passa amb els altres. Altres vegadesme'ls trobetotsocupats,oestancomenlafoto.Dequantesmaneresdistintesempuctrobaresteracódelparc?



ESTACIÓ3.ENUNPATIINTERIORLocalitzeuestepatiinteriordelParcdeL'Aigüera.Calculeulasuperfíciedelafiguraemmarcadapelrivetexteriornegre.

ESTACIÓ4.FONTENELPARCDEL'AIGÜERA

Hihaunesquantesfontscomestaenelparc.Dóna un procediment per a calcularlaquantitatd'aiguaquecapenlapartinferior de les fonts. Descriu tot elprocediment i els càlculs querealitzes.



ESTACIÓ5.PINTANTLAZONAD'ESCACS

Esta zona per jugar als escacs s'ha quedat un pocvella,aixíquetotelqueestàpintatdeverdanemapintar‐ho una altra vegada. Quant ens costaràsabentqueelm2depinturatéunpreude1,73€?

PROBLEMESDENIVELLA

(PRIMERCICLEDESECUNDÀRIA)


1.ELVIDEOJOCL’enunciatescorresponambeldelproblema4de laprova individualdenivellC.

2.ALAPERRUQUERIADosproductespera la curadels cabells contenenel30% iel3%d’unprincipi actiu respectivament. Per al seu ús òptim, calmesclar‐los perobtenirunnouproductequetingael12%delprincipiactiu. Enquinaproporcióhemdemesclarelsdosproductes?

3.CUBAMBTRIANGLESiga un cubd’aresta2. SigaPelpuntmitjàdel’aresta .Determineu l’àrea del triangle∆ i la mesura de l’angle∡ .



4.DECOMPRESAl'eixirdecompresaunabotigadeParísportavaenelportamonedesuns15eurosenmonedesd'uneuroide20cèntims.Altornar,portavatantseuroscommonedesde20cèntimsteniaalcomençament,itantesmonedesde20cèntimscommonedesd'euroteniaabans.Enelportamonedesemquedavaunterçdelsdinersqueportavaal'eixirdecompres.Quantemvancostarlescompres?

5.CERCLESCalculalalongituddelatrajectòriacurvilíniaassenyaladaambtraçgroscontinu. Els cercles tenen els seus centres als punts A, B, C i D. Eldiàmetreéselmateixperalsquatrecercles,ival5cm.

6.DEFESTATenim sobre la taula una filera de copes. Hi ha 5 boca per amuntalternant‐seamb4queestanbocaperavall.Estractad'anardonant lavoltaalescopes,semprededuesendues,finsaaconseguirquequeden4bocaperamunti5bocaperavall.Seriescapaç?





1.NOMBRESENTRIANGLESEn els cercles d'este trianglecol·localesnouxifresdel'ualnou,sense repetir‐les,de forma talquelasumadecadacostatsiga22.

2.PRIMERAPROVALÒGICAL’enunciatescorresponambeldelproblema8delaprovadevelocitatdenivellC.

3.ENCREUATNUMÈRIC



4L’ÀREADELCATXIRULO

Sigaelquadrilàter :1, √5, 90°

Calculeul’àreadelquadrilàter .

5.IGUALTATAMBFURGADENTSL’enunciatescorresponambeldelproblema10delaprovadevelocitatdenivellC.

6.TERTÚLIAL’enunciatescorresponambeldelproblema5delaprovadevelocitatdenivellC.

7.PAREIFILLConversacióentredosmatemàtics:A:Lameuaedatésmúltipledeladelmeufill.B:Aixònoéstandifícil.Hihamoltscasos.Dóna'mméspistes.A:Ladiferènciaentrelesnostresedatsésunmúltiplede9.B:Aixònoésunapista.Ambladadainicial,aixòpassasegur.A:Ladiferènciaentrelesnostresedatsésunquadratperfecte.B:Siforesunanciàjatindrialasolució,peròséquenotenstantsanysitambécrecquenovasserunpareprecoç,Peraixòjaséladesenadelateuaedat.A:Bé,per tantambestapista jahotens: ladiferènciaéselquadratdel'edatdelmeufill.Quinesedatstenenelpareielfill?



8.UNASUMALITERALEnlasegüentsumacadalletradiferentrepresentaunaxifradiferent.A més, es dóna la circumstància que el nombre representat per laparaulaCINCésmúltiplede5,iqueelrepresentatperlaparaulaSISesmúltiplede6.Esbrinaelvalorquehadeprendrecadalletraperquèlasumasigacerta.

9.SEGONAPROVALÒGICA

L’enunciatescorresponambeldelproblema9delaprovadevelocitatdenivellC.

10.DAUSSisdausestansituatssobreterratalcommostralafigura.Encadadau,l’1 ésoposat al6, el 2 ésoposat al5, i el 3 ésoposat al4.Quinaés lamàximasumapossibledelsnombressituatsenles21caresvisibles?





ESTACIÓ1.TRIANGLESENL'AJUNTAMENTDEBENIDORML’enunciatescorresponambeldel’estació1delaprovadecampdenivellC.

ESTACIÓ2.OCUPANTSEIENTSL’enunciatescorresponambeldel’estació2delaprovadecampdenivellC.

ESTACIÓ3.FONTENELPARCDEL'AIGÜERAL’enunciatescorresponambeldel’estació4delaprovadecampdenivellC.

ESTACIÓ4.DODECÀGONENFANALSEls fanals dels jocs infantils contenen algunes de les diagonals d'undodecàgonregular.

Al'esquerratenseldodecàgonialadretalatramadelsseusvèrtexs.a. Quants triangles equilàters podries dibuixar amb els vèrtexs en els

deldodecàgon?b. Quants triangles isòscelesde formesdistinteshi ha ambels vèrtexs

eneldodecàgon?



ESTACIÓ5.FONTAMBCIRCUMFERÈNCIESLa fontmostraunesquantes circumferències.La solucióesvaadoptardesprés d'analitzar les dimensions i l'efecte estètic que tenien duessolucionsmésdistintes.Una contemplava només cinc circumferències i l'altra quinze. Quinaquantitat ‐lineal‐ de ferro s'hauria necessitat per fer la font gran quenomésesvadissenyar?





1.PERÍMETRE

Enlafiguraadjuntaelcontornexteriorestàformatperanglesrectes.Elsquatrecostatsmésllargssóndelamateixalongitud,itotsel costats demenor longitud són tambédelamateixalongitud.L’àrea de la figura és de 528 unitatsquadrades.Quinéselperímetre?

2.CREANTESPAIS

Enlafigura,ABCEFGésunahabitacióambelscantonsperpendicularstalque:

20m, 10m, .L’àreatotalés280m .Volemcrearenaquestahabitaciódosespaisd’igualàreamitjançantunaparet .CalculeuladistànciadeCaD.

3.TARGETESDESORDENADESLestargetes1,2,3,i4sónblanques.Lestargetes5,6,7i8sónnegres.Col·loca‐les perquè es complisquen totes les afirmacions (de duesmaneresdistintes).

F E

G A

B C

D



4.COMPTANTBÉ

Observeu com apareixen les lletres de laparaulaESTALMATeneldiagramasegüent.Hihamoltesmaneresde llegirestaparaula,començantamblalletraEdelaprimerafilaiarribantalalletraTdeladiagonal.Quantesmanerestrobeuentotal?

E S T A L MAT S T A LMAT T A LMA T A L MA T L M A T M A T A T T

5.DAUSDEBRADLEYEFRONS'hanpres 4 daus a, b, c i d i s'ha posat en les cares els nombres queveus. Un primer jugador tria un dau i un segon jugador tria un delsrestants.Cadascunllançaelseudauiguanyaquiobtémajorpuntuació.Analitza què passa en cada cas i digues quan et convé triar primer osegon.

Les dues següents

són de distint color.

2 Les dues següents

són negres.

1 L’anterior és del mateix color que la

següent.

3 Hi ha tantes negres abans com després.

4

L’anterior és blanca.

6 L’anterior és del mateix color que la

següent.

5 Les dos següents són

del mateix color .

7 L’anterior és negra.

8



6.L’ÀREADELQUADRILÀTER

Sigael trapezi decostatsparal·lels , .Amésamés, ésperpendiculara .Siga unpuntdelcostat talque i sónperpendiculars.Siga laintersecciódelssegments i .Si 41, 50i 9calculeul’àreadelquadrilàter .

B

D

F

E

A

C





1.UNAGRANM

Amb tres línies rectes, talla la “M” demaneraqueesformen9triangles.

2.DAUS

L’enunciatescorresponambeldelproblema10delaprovadevelocitatdenivellA.

3.ÀREADELPARAL·LELOGRAM

Sobre els costats d'un rectangle vamdibuixarpunts , , , quedivideixenels costatsenlaraó1:2,comesveuenlafigura.Calcula quina part de l'àrea total del rectangle

representaelparal·lelogram .

4.SISTEMAD’EQUACIONSNOLINEAL

Resolelsegüentsistemad’equacions: x y 1010

5.MATEMÀTIQUESAMARTS’hadescobert vida intel·ligent aMart.Allí, amésde gastar les quatreoperacionsd’ací,n’utilitzenduesmésquevénendonadesdelasegüentmanera: ∆ 5 Sabriescalcular 3∆5 2∆4 ?



6.COMPARANTÀREES

En l’hexàgon regular les diagonals, s’intersectenenelpunt .

Determineu la proporció entre les àrees delquadrilàter ieltriangle∆ .

7.AMICSENFILAÍNDIACincamics,Antonio,Blanca,Cèlia,DaríoiEugènia,escol·loquenen“filaíndia”, però tu no saps l'ordre en què estan col·locats. Es posen acomptarnúmerosde5en5:elprimerdiu5,elsegondiu10,eltercerdiu15,elquartdiu20,elcinquèdiu25,elprimerseguixamb30,elsegon35,eltercer40,etc.Icontinuencomptantde5en5.SesapqueAntoniohadit140,Blanca160,Cèlia130iDarío170.En quin ordre es troben col·locats els amics en la fila?Qui d'ells diria18.495?

8.ENGANYANTLABALANÇACincamiguesvandescobrirquepesant‐sedosados, i intercanviant‐secadavegada,podienconéixerelpesgastantunasolamoneda.Perparellespesaven129kilos,125,124,123,122,121,120,118,116y114.Caltrobararaelpesdecadascunaperseparat.

9.TERTÚLIAL’enunciatescorresponambeldelproblema5delaprovadevelocitatdenivellC.

10.IGUALTATAMBFURGADENTSL’enunciatescorresponambeldelproblema10delaprovadevelocitatdenivellC.

A B

C

E

F

D

G





ESTACIÓ1.TRIANGLESENL'AJUNTAMENTDEBENIDORML’enunciatescorresponambeldel’estació1delaprovadecampdenivellC.

ESTACIÓ2.CUBSPELSÒLObserva estos dos quadrats que tenen vèrtexs en la trama. Volemconstruir dos cubs, un xicotet i un altre gran que tinguen per vèrtexsinferiorselsques'hanmarcat.Prenmesuresdel'arestaperacalcularlasuperfícieexteriorielvolumdelcubxicotet.Mesural'arestadelcubgran.Siobtenslaproporcióentrelesarestes,espodria calcular directament la superfície exterior i el volum del cubgran?Quin és cub més gran que es pot construir en el recinte? Dóna lesdimensionsdelabase.

ESTACIÓ3.FONTENELPARCDEL'AIGÜERA

L’enunciatescorresponambeldel’estació1delaprovadecampdenivellC.



ESTACIÓ4.DODECÀGONENFANALSL’enunciatescorresponambeldel’estació4delaprovadecampdenivellA.

ESTACIÓ5.ALTURADEL'HOTELJuntalParcdel'Aigüeraestrobal'HotelPrincePark.Buscaunmètodepercalcularl'alturadel'hotelicalcula‐la.Noméshihaunacondició:toteslesmesuresleshasdeprendredinsdelparc.



SOLUCIONS

XXIVOLIMPÍADAMATEMÀTICAFASEAUTONÒMICA



1.BOTGENERACIONALSolució:L’avité66anysielsseusnéts,15,16,17i18anys.

Sidesignemamblalletra l’edatdelmenordelsnéts,podemescriurelasumadelesquatreedatscom:

1 2 3 4 6 2 2 3 Aquestnombreésmúltiplede2.Comtambéésmúltipled’11,hohauràdeserelfactor2 3.Si pensem ara en l’edat de l’avi, els primersmúltiples d’11, parells imajorsque50són66,88i110.Peraunaedatde66anys,tenimque2 3 33 → 15.Lasoluciócorresponentésqueelsnétstenen15,16,17i18anys.Pera88anystrobarem 20,5.Noconsideraremaquestapossibilitat.110 anys és una edat molt provecta, però si teniu curiositat, podreucomprovarqueeneixecaselsnétstindrien26,27,28i29anys.



2.PESADESSolució:

PLATETA PLATETBQUILOSDELLENTILLES

1 0 13 1 3 1 23 0 3

3 1 0 3 1 49 3 1 9 4 59 3 9 3 6

9 1 3 10 3 79 1 9 1 89 0 9

9 1 0 9 1 109 3 1 12 1 119 3 0 9 3 12

9 3 1 0 9 3 1 13

3.EDUCACIÓFÍSICASolució:Hiha91alumnesquefanclassed’EducacióFísica.

Busquemunmúltiple comú a 3, 5 i 9 comprés entre 50 i 100. Comelmcm(3,5,9)=45,eixemúltiplebuscatés90.Pertant,són91elsalumnesquedonenclassed'EducacióFísica

4.ELCAUDELDRACSolució:Són imposiblesd’aconseguir lessegüentspuntuacions:1,2,3,5,6,9,10,13i17.

Podem classificar els nombres en 0:múltiple de 4; 1:següent a unmúltiplede4;2:duesunitatsmajorqueunmúltiplede4;3:tresunitatsmajorsqueunmúltiplede4.



Totselsnombresnaturalspertanyenaunaisolsunad’aquestesquatreclasses. Deu resultar evident que si un nombre n d’una d’aquestesclassesespotaconseguireneljoc,totselsnombresmajorsquenidelamateixa classe que n es podran aconseguir afegint la puntuació 4 unnombre determinat de vegades. Així, el problema es redueix adeterminarquinéselprimernombredecadaunad’aquestesclassesquees pot aconseguir amb les regles de puntuació del joc. En la taulasegüent s’indica com es pot aconseguir cada un d’aquests nombres, iapareixenrequadratselsquenoespodenaconseguir:

Classe0 Classe1 Classe2 Classe3

0=0·4+0·7 1 2 34 5 6 7=0·4+1·78 9 10 1112 13 14=0·4+2·7 1516 17 18 1920 21=0·4+3·7 22 23

5.TRIANGLESSolució:Hiha56triangles.

Ambelssegmentsinteriorsdecada un dels quatre trianglesrectangles isòsceles en quèdivideixen la figura les duesdiagonals, se’n poden formar12triangles:

Això fa un total de 48. Calafegir a eixa quantitat elsquatretrianglesconsideratsalprincipi, i quatre més: els que es poden formar amb cada parell decostatsconsecutiusdelquadratiladiagonaloposadaalvèrtexcomú.



6.TRIANGLEQUEPEGAVOLTES

Solució:ElpuntPharecorregut m.

ElpuntPrecorreenprimerllocl’arcqueenla figura uneix el punts P1 i P2. En P2 fa decentre de gir i després continua per l’arcP2P3.EnP3elmovimentcanviadecentre(elcentre, que era el punt mitjà del costat,passa a ser el vèrtex del quadrat) i P esdesplaçaperl’arcP3P4.EnP4ésPnovamentel centre de gir i després recorre l’arc P4P5durant el gir que té centre en el vèrtexsuperior esquerre del quadrat. Quan ParribaaP5elmovimentcanvianovamentdecentredegir,quearaseràelpuntmitjàdelcostatesquerredelquadrat:Pdescriul’arcP5P6.AmbPenP6larotaciódeltriangleesfaambcentreenPieltriangletornaalaposicióoriginal.

En l’ordredescrit, lasumade lesamplitudsdelsarcsquerecorrePés:120°+120°+30°+30°+120°=420°.Comqueelradid’aquestsarcscoincideixambelcostatdeltriangle,delongitud2m,lalongituddelatrajectòriaés °° 2 π 2 πm.





1.VARIAL'ÀREA?Solució:L’àreadisminuiràun1%.

Suposemuntriangledebase ialtura sobreeixecostat.L’àreaés:

2 Si augmentem la base un 10%, aquesta valdrà 1,1 , i si disminuïml’alturaun10%valdrà0,9 .Pertant,lanovaàreaserà:

′2

1,1 0,92 0,99 2 0,99

És a dir, la àrea de trianglemodificat ha disminuït un1% respecte del’àreadeltriangleoriginal.

2.UNENIGMAENREVESSATSolució:Ésroig.

Segonslainformaciódequèdisposem,sabemquePepitoRojonoéspel‐roig,jaque“ningútéelcolorqueescorresponalseucognom”.Amésamés,ensdiuenqueM.Luztampocéspèl‐roja.Pertant,perdescarthadeserRubioelpèl‐roig.

3.QUADRATSDENATURALSCONSECUTIUSSolución:Ésimparell.

Efectivament,ésimparell,jaque: 1 2 1 2 1

expressió que correspon a un nombre imparell (2 és parell per sermúltiplededos,isilisumemunesconvertixenimparell).



4.ANGLESolució:L’anglemesura95°.

5.TERTÚLIASolució:

1.Mare: Vistasuperioresquerra.2.Pare: Vistasuperiordreta.3.Xiqueta: Vistainferioresquerra.4.Xiquet: Vistainferiordreta.

6.ESPÀRRECSSolució:L’hortolàquemésdinersguanyaéseldelacordamenuda.

Perpodercompararlaquantitatd’espàrrecsquevencadahortolàhemde tindre en compte la superfície que poden abraçar amb cada corda,queescorresponamblasuperfícied’unacircumferència.

Amblacordade20cm(queéslalongituddelacircumferència),elradiserà:

202

10 cmEspotabraçarunasuperfície:

10 100 cm Amblacordade40cm:



402

20 cm → 20 400 cm que resulta ser quatre vegadesmés gran que la superfície de la cordamenuda.Si amb la corda gran es pot abraçar quatre vegades el nombred’espàrrecsqueamblacordamenudail’hortolànoméselsvenaldobledepreu,estàclarquequiguanyamésdinerséseldelacordamenuda.

7.DISCOSSolució:Lolatenia5discosabansdelrepartiment.

Raonamentpertempteig:Delasegüentafirmació:“livaigregalarlameitatméslameitatd’undisca Rocio” es pot deduir que el nombre de discos que tenia Lolaoriginalmenthadeserimparell(d’altramanera,tindríemundiscpartitperlameitat,iaixònotésentit).A partir d’ací, cal anar provant amb els nombres imparells fins quetrobemaquellquecompliscalescondicionsdelproblema.Enaquestcas,la solució és 5. Comprovació: va regalar lameitat (2,5)més lameitatd’undisc(0,5),ésadir,3discos,aRocio.Enquedendos,ivenlameitat(undisc)aMarta.Efectivament,aLolanomésliquedaundisc,queéselseudiscpreferit.Raonamentalgebraic:Siga el nombre de discos que tenia Lola al principi. Regala a Rocio:

x2

12

12

Li’nqueden:1

21

2 Delsqueliqueden,regalalameitataMarta:

122

14

Ialrematli’nquedaun:1

21

4 1Resolent: 2 2 1 4 → 2 2 1 4 → 5



8.PRIMERAPROVALÒGICASolució:Had’escolllirlaportaambelcartellII.

Sielprimercartellfóracert,elsegontambéhoseria.Aixònopotser,jaquesegonsl’enunciat,unn’hadeserfals.Pertant,elprimerésfalsielsegonéscert.Aleshores,had’escollirlaportaambelcartelII.

9.SEGONAPROVALÒGICASolució:En laprimerahabitacióhihaun tigre i en la segonaunadama.

Si lesdues foren certes, esdonariaun cas imposible. Si lesdues forenfalses,tindríemuncasposible.Pertant,enlaprimerahabitacióhihauntigreienlasegonaunadama.

10.IGUALTATAMBFURGADENTSSolució:Unapossiblesolucióés:

PROBLEMESDENIVELLA

(PRIMERCICLEDESECUNDÀRIA)


1.ELVIDEOJOCLasolucióescorresponambladelproblema4delaprovaindividualdenivellC.



2.ALAPERRUQUERIASolució:Laproporcióésd’1a2.

Simesclen litresdelproducteal30%,iylitresal3%ivolemquesigadel12%lamescla,obtenimlasegüentigualtat:

0,30 0,03 0,12Operant,tenim: 0,30 0,03 0,12

0,30 0,12 0,12 0,03Aleshores: 0,18 0,09Ipertant:

0,090,18

12

Per tant, hem demesclar en la proporció 1:2 (per cada part del 30%duespartsdel3%).

3.CUBAMBTRIANGLE

Solució:L’àreadel triangleés √ . .L'angle téaproximadament38,94d'amplitud.

Eltriangle∆ ésisòsceles.SigaQelpuntmitjàdel’aresta : Aplicant el teoremadePitàgores al triangle rectangle∆ : √22 22 2√2L’àreadeltriangle∆ és:

22 2√22 2√2u. s.

L’anglenoespotobtenirsenseutilitzartrigonometria:

2arctan 2arctan 12√2 ≅ 38,94°



4.DECOMPRESSolució:Lescompresvancostar9,60€.

Tenia14,40€alprincipi(14monedesd’1€i2de20cèntims)i4,80€entornar(2monedesd’1€i14de20cèntims):Siabansde lacompratenia monedesd’1€i monedesde0,20€, laquantitattotalespotexpressarcom 0,20 .Enacabantlaquantitatdedinersrestantera 0,20 ,igualalatercerapartdelsdinersinicials.Pertant:

0,20 0,20 → 7 Provantamb 1 → 7,iamb 2 → 14.

5.CERCLESSolució:Lalongituddelatrajectòriaésaproximadament31,42cm.

Traçant les línies del dibuix es veu que cada arc és 1/6 de lacircumferència.Pertant, la longitudtotalés ladeduescircumferènciescompletes.

2 2 2,5 10 31,42cm

6.DEFESTASolució:Ésimposible.

Si canviem dues copes amb lamateixa orientació, la paritat no canviamai.Tindremunnombreimparelldecopesbocaperamuntiunnombreparell(quepotserzero)decopesbocaperavall.Sicanviemduescopesambdiferentorientaciótampoccanvialaparitat.Elnombredecopesbocaperamuntielnombredecopesbocaperavallromaneninalterables.





1.NÚMEROSENTRIANGLESSolució:Ésimposible,notésolució.

Lasumadelsnombresde l’1al9és45.El totalde les tressumesdelscostatsdeltriangleés66.Ladiferència66–45=21hadeserigualalasumadelstresnombressituatsenelsvèrtexsdeltriangle,jaquecadaund’ells intervé en dues sumes. Les úniques combinacions possibles són4+8+9=5+7+9=6+7+8= 21, que apareixen representades en lafigurasegüent:

En el primer triangle la suma 8+9=17 s’ha de completarnecessàriamentamb2+3,jaquelacombinació1+4noéspossibleperestarel4enunvèrtex.Però lasuma8+4=12s’hadecompletaramb3+7, cosa que resulta impossible si el 3 ja s’ha utilitzat en la sumaconsideradaenprimerlloc.Enelsegontrianglelasuma7+9=16solsespotcompletaramb2+4,ila suma 5+9=14, sols amb 2+6. Caldria repetir el 2. No es potcompletartampoc.En el tercer triangle el 9 no es pot col·locar en cap dels tres costats,perquèlasumadelcostatelegitexcediriade22.

2.PRIMERAPROVALÒGICALa solució es correspon amb la del problema 8 de la prova develocitatdenivellC.



3.ENCREUATNUMÈRICSolució:

4.L’ÀREADELCATXIRULOSolució:L’àreadelcatxiruloés2u.s.

Elquadrilàterésunestel,lesseuesdiagonalssónperpendiculars.Laseuaàreaés: SigaMlaintersecciódelesdiagonals.Aplicant el teorema de Pitàgores al trianglerectangle∆ :

1 1 √212

√22

AplicantelteoremadePitàgoresaltrianglerectangle :

√5 √223√22

3√22

√22 2√2

L’àreadel’estelABCDés:

22√2 √2

2 2u. s.

C

B

D

A

M



5.IGUALTATAMBFURGADENTSLa solució es correspon amb la del problema 10 de la prova develocitatdenivellC.

6.TERTÚLIALa solució es correspon amb la del problema 5 de la prova develocitatdenivellC.

7.PAREIFILLSolució:Elpareté42anysielfill6.

Elsprimersmúltiplesde9quadratsperfectessón36i81.Enelprimercaselfillté6anysielpare6+36=42anys.Enelsegoncaselfilltindria9anysielpare9+81=90anys.L’enunciatdeixaclarqueelparenoésunancià.Pertantsolsésvàlidalaprimerasolució.

8.UNASUMALITERALSolució:

9.SEGONAPROVALÒGICA

La solució es correspon amb la del problema 9 de la prova develocitatdenivellC.

10.DAUSSolució:Lamàximasumaés89.

Anomenemelssisdauscomesmostraacontinuació:

5 7 1 5 + 4 7 4

6 1 8 9



La màxima suma guanyadora exposadas’obté quan la suma de les caresexposadesencadadauésmàxima.EldauP té 5 cares exposades. La suma d’eixescaresésunmaximquanl’1estàocult,pertant,lamàximasumaexposadaeneldauPés2+3+4+5+6=20.Cadascun dels daus Q i S té 3 caresexposades. Dos d’elles son oposades unade l’altra, per tant tenen una suma de 7. Per tant, per amaximizar lasuma exposada en eixos daus, els posicionem amb el 6 com la caraexposada no emparellada (està situada al costat esquerre delmuntó).Cadascund’aquestosdaustéunasumamaximaexposadade6+7=13.Cadascun dels daus R i U té 4 cares exposades. Dos d’aquestes sónoposades una de l’altra, per tant tenen una sumade 7. És a dir, per amaximitzarlasumaexposadaenaquestosdaus,elsposemambel6iel5comacaresexposadesnoemparellades(enlapartsuperioridretadelmuntó).Cadascund’aquestosdaustéunasumamaximaexposadade5+6+7=18.El dau T té 2 cares exposades, les quals són oposades una de l’altra.Aleshores,téunasumade7.Pertant,lasumamàximapossibledelescaresexposadesés:20+13+13+18+18+7=89.



1.PERÍMETRESolució:Elperímetredelafiguraésde144unitatsdelongitud.



Com que tots els costats més curts són de lamateixa longitud, la figuraespotsubdividiren33quadratsxicotets,comesmostraalafigura.Cadascun d’aquestos quadrats té d’àrea528/33=16unitatsd’àrea, i lalongituddecadacostatés√16 4En total trobem 36 costats i un perímetre de364=144unitatsdelongitud.

2.CREANTESPAISSolució:LalongituddelsegmentCDésaproximadament13,33m.

Siga 20

L’àreadetotaldel’habitacióés:

280 20 10 10 Resolentl’equació,s’obté 8.Aleshores, 12.L’àreadeltrapeziABCDéslameitatdel’àreadel’habitació:

22802

102 12 140403 13,33m

3.TARGETESDESORDENADESSolució:2‐5‐3‐7‐4‐1‐6‐8enfila.

DesignemlestargetesambB1,B2,B3,B4,N5,N6,N7iN8.



B1 indica que hi ha dues targetes negres seguides, i B4 que no podenhaver tres targetes negres consecutives. Per tant N5, que ha d’estarentredues targetesdelmateix color, had’estar entreduesblanques; iN7 ha de precedir dues targetes blanques. Aleshores sols hi ha unaparelladetargetesnegres:comN8éslasegüentd’unatargetanegra,laparellaésN6‐N8.TenimestablidajalaseqüènciaB1‐N6‐N8.D’una altra banda, les úniques targetes que podrien ocupar la vuitenaposiciósónN6iN8.Lesdeméshandetenirtotesalgunaquelessegueix.ComN8vadarreredeN6,tenimquelestresúltimessónB1‐N6‐N8.Si pensem ara en la primera posició, les úniques targetes que podenocupar‐la,descartadaB1,sónB2iN7, jaque lesaltresfanreferènciaauna targetaanterior.SiésN7,acontinuacióhand’anarduesblanques.EntreaquestesnopotestarB4perquè tindriamésnegresdarrerequedavant.LesduesblanqueshauriendeserB2iB3.TindríemN7‐B2‐B3oN7‐B3‐B2.LasegonacombinaciónopotserperquèB3had’estarentredues del mateix color. Però, per la mateixa raó, N7‐B2‐B3 hauria decontinuar amb una blanca. En eixe cas seria B4, que no compliria lacondicióqueté impresa.Arribema laconclusióque laprimeratargetanopotserN7.ProvemambB2:B2had’estarseguidadeduestargetesdediferentcolor.SabemjaquelablancanopotserB4.HauràdeserB3.LanegranopotserN7perqueenelparelldeblanquesque liseguiriahauriad’estarB4.Pertant les tresprimeressónB2‐N5‐B3(B3nopotestarentreduesdediferentcolor).Per la condició que ha de complir B3, la següent és negra: N7. I escompletaambB4.Definitivament:B2‐N5‐B3‐N7‐B4‐B1‐N6‐N8.Si pensem d’ordenar‐les en una seqüència circular, ja no n’hi hauràprimera ni última i la condició que ha de complir B4 queda un pocimprecisa.EnqualsevolposiciódeB4 respecte les fitxesnegresespotconsiderar que té “tantes negres abans com després”. Tanmateix, siacceptemaquestapossibilitat,l’ordenacióanteriorcontinuasentvàlida:



Ise’npodentrobaralmenysaquestesduesmés,derivadesdel’anterior,on s’han intercanviat B2 i B4 en la primera variant, i B2 i B3 en lasegona:

4.COMPTANTBÉSolució:

Traçanttoteslesrutesdelectura:1 7 21 35 35 21 7 1

128

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7

1 3 6 10 15 21

1 4 10 20 35

1 5 15 35

1 6 21

1 7

1



5.DAUSDEBRADLEYEFRONSolució: Convé escollir sempre en segon terme, ja que sempre espodràtrobarundauqueguanyeaunaltreescollitprèviament.

Enefecte,sielprimerjugadortriaeldaub,elsegonjugadorpottriareldaua,ambelqualtéprobabilitat2/3d’obtenirun4iguanyaral3que,ambtotaseguretat,obtindràelprimer.Si el primer jugador tria el dau c, el segonhauràdetriar‐neelb.Sielprimerobtéun2,guanyaràelprimer,queobtindràun3.Iaixòpassatambéambprobabilitat2/3.Si el primer tria el dau d, el segon hauràd’escollir‐ne el c. La probabilitat que elprimer obtinga un 1 en llançar el dau d és1/2. És a dir, des del punt de vista de la probabilitat, en la meitatd’ocasions la puntuaciódel dau c serà amb seguretatmajor que la deldaud.Sitenimencomptequeenl’altrameitatdepossibilitats(eixirun5 en el dau d) encara té probabilitat 1/3 de guanyar amb un 6, laprobabilitattotaltornaaser1/2+1/2·1/3=2/3.Finalment,sielprimerjugaambeldaua,elsegonpotjugarambeldaud.Eneldaualaprobabilitatd’obtenirun0és1/3i,eneixecasguanyaelsegon jugadorambqualsevolresultatqueobtingaeneldaud.Enaltrecas(elprimerobtéun4,succésquetéunaprobabilitatde2/3),elsegonté encara una probabilitat d’1/2 de traure un 5 i guanyar. En total, latercerapartdelespossibilitats,méslameitatdelesduestercerespartsrestants:1/3+1/2·2/3=2/3.Com veiem, elegit un dau pel primer jugador, el segon té semprel’oportunitat d’escollir‐ne un que oferisca una probabilitat de 2/3 deguanyar. Aquests daus, la invenció dels quals es deu al reconegutestadísticBradleyEfron,mostrenunexempledenotransitivitatenunarelaciódecaràcterprobabilístic:aguanyaab,bguanyaac,cguanyaadi,tanmateix,dguanyaaa.

0

0 4

4

4

4

3

3 3

3

3

3

2

2 2

6

2

6

5

1 1

5

1

5

a) b)

c) d)



6.L’ÀREADELQUADRILÀTERSolució:L’àreadelquadrilàterés960u.s.

AplicantelteoremadePitàgoresaltrianglerectangle :41 9 40

AplicantelteoremadePitàgoresaltrianglerectangle :50 40 30

Elstriangles , sónsemblants.AplicantelteoremadeTales:

→ 30509

Aleshores: 15.AplicantelteoremadePitàgoresaltrianglerectangle :

15 9 12Elstriangles , sónsemblants.AplicantelteoremadeTales:

→ 129 9 30Aleshores: 52ElquadrilàterFECDésuntrapezirectangle.Laseuaàreaés:

252 12

2 30 960u. s.





1.UNAGRANMSolució:

2.DAUSLa solució es correspon amb la del problema 10 de la prova develocitatdenivellA.

3.ÀREADELPARAL·LELOGRAMSolució:Elparal·lelogram representaels5/9de lasuperfícietotal.

Dels 9 rectangles en què es divideix elrectangle ABCD, el paral·lelogram PQRSn’ocupa5.Pertantrepresentaels5/9delasuperfícietotal.

4.SISTEMAD’EQUACIONSNOLINEALSolució: . , .Es tracta d’un sistema d’equacions no lineal, per tant sabem que elmètodeméshabitualperresoldre’léseldesubstitució.Anomenemlesequacionsdelasegüentmanera:



10 110 2

Podemraonar,alavistade(2),que 0.Podemaïllar en(2):10

Isubstituïmaquestvaloren(1):10 10 → 10 10 → 1 → 1

Desfemelcanvi:1 10 1.000

5.MATEMÀTIQUESAMART

Solució:Elresultatdel’operacióés .

Anem a calcular, primer, els valors de 3∆5 i 2∆4 , i després fareml’operacióquequeda.

3∆5 5 5 1002∆4 5 4 25 16 9

Nomésensquedatrobar:

3∆5 2∆4 100 9 1009103

6.COMPARANTÀREESSolució:Laraódeproporcionalitatentrelesduesàreesés5:1.

Si ens fixem en la superfície del quadri‐làter, ens adonarem que la podem dividiren5partsiguals,cadascunadelesqualsescorresponambl’areadeltriangleBGC,talicommostralafigura.Pertant,podemconclourequelaraóentrelesàreesés5:1.



7.AMICSENFILAÍNDIASolució: L’ordre en què es trobaran els amics és el següent: Cèlia,Blanca,Antonio,DaríoiEugènia.Daríodirà18.495.

Segonslesdadesdel’enunciat,laseqüenciadelsnombresquevandientels5amicséslasegüent:

Amic1 Amic2 Amic3 Amic4 Amic55 10 15 20 2530 35 40 45 5055 ... ... ... ...

Com es pot observar, si estudiem el residu de la divisió entre 25 delnombrequediucadaamic,obteniml’ordrecorresponent:

Amic1 Amic2 Amic3 Amic4 Amic5Residu 5 10 15 20 0

Pertant: Antonio Blanca Cèlia Darío

Nombre 140 160 130 170Residu 15 10 5 20Ordre 3r 2n 1r 4t

Perdescart,Eugèniaseràquiocuparàlacinquenaposicióenlafila.Peresbrinarquihaditelnombre18.145hemdeferelmateix,dividir‐loper25iestudiar‐neelresidu.Comelresidués20,sabemqueésDaríoquihaditelnombre.

8.ENGANYANTLABALANÇASolució:Elspesosdemanatssón65kg,64kg,60kg,58kgi56kg.

Anomenaremalpesdecadaamigaambunalletrailesescriuremdeméspesamenys: éselpesde l’amigaméspesada, iaixísuccessivamentfinsarribara queescorresponalpesdel’amigaméslleugera.



Toteslesamiguesespesen4vegades(unaambcadaamiga).Pertant,lasumadetoteslespesadesresultaràser4vegadeslasumadelspesosdelesamigues:

129 125 124 123 122 121 120 118 116 1141.2124 1.212

1.2124 303

Jasabemqueentreles5amiguespesen303kg.Lapesadamésgrancorresponaladelesamiguesméspesades,ésadir,

i la pesada més menuda correspon a la de les amigues méslleugeres, :

129; 114Agafantlarelacióanterior:

303129 114 303 → 303 243 60

Jasabemelpesd’unadelesamigues:60kg.Percorrespondènciaentrepesosipesades,tenimque:

116 → 116 60 56kg114 → 114 56 58kg125 → 125 60 65kg129 → 129 65 64kg

9.TERTÚLIALa solució es correspon amb la del problema 4 de la prova develocitatdenivellC.

10.IGUALTATAMBFURGADENTSLa solució es correspon amb la del problema 10 de la prova develocitatdenivellC.



ACTUALITZEUELSVOSTRESCORREUSELECTRÒNICS...!!!

ATENCIÓ,SOCIS!!Per tal d’actualitzar la nostra base de dades, usdemanemqueensinformeudelespossiblesvariacionsen les vostres dades, especialment en les vostresadrecesdecorreuelectrònic.Ésimportanttindreaquestainformacióperaunmillorfuncionamentdelasocietat.Éssuficientqueenvieuuncorreuelectrònica:

[email protected]àciesperlavostracol·laboració.

CONTACTEUAMBNOSALTRES...!!!

Si vols enviar‐nos solucions de problemes oberts, propostes deproblemesodetemes,comentarisisuggeriments,potsenviarunacartaal’adreça:

SEMCV"AL‐KHWARIZMI"PROBLEMAOBERTAPARTAT22.04546071VALÈNCIA

Tambépotsenviarunmissatgealcorreuelectrònic:

[email protected]

ESPEREMLESVOSTRESCOL·LABORACIONS!!!



Espiral numérica, Begoña Contell Gonzalo, de l’IES Ramón Llull. València. 1r Premi Apartat I - XIII Concurs

B A S E S

http://www.semcv.org 1. LaSocietatd’EducacióMatemàticadelaComunitatValenciana"Al‐Khwarizmi"convocaelXIV

ConcursdeFotografia“Matemàticaalavista”ambdosapartats:Apartat I:Poden participar totes les alumnes i tots els alumnes que cursen actualment

estudisdePrimària,Secundària,FPA,FP,CiclesformatiusiBatxillerat.ApartatII:Potparticiparqualsevolpersonanoinclosaenl’apartatanterior.

2. Les fotografies, originals, en color o en blanc i negre, enpaper, tindran una grandària d'almenys 10 15 per a l’apartat I, i almenys 18 24 per a l’apartat II. Cada fotografia espresentarà muntada sobre cartolina amb un títol o peu de foto visible. El títol posarà demanifest lacondiciómatemàticadelconcurs.Cadasèrie—tresomésfotossobreunmateixtema—s’identificaràambtítolúnic,sibécadafotoportaràsubtítol.

3. Elterminidepresentaciódefotografies acabaràel dia 24/02/2014.Lesfotografies–muntadesiambeltítolvisible–nomostrarandadesdequiconcursa.Elnombredefotosquepot presentar cada participant és 5, i 2 sèries. S'aportaran, clarament, dades personals il'apartat(oapartats)aquèesconcursa.Siestenenlesfotografiesenformatdigital,espregaques'envienalcorreudereferència.

4. Elspremis,quecontemplaranlafotografiaielseupeudefoto,seran:ApartatI:1r:150€ 2n:100€ 3r:75€.4tTrespremisigualsde30€ Millorsèrie:150€.ApartatII:(Premiaunafotografiaounasèrie)1r:250€2n:150€

5. Lesfotografiesrebudess'exposaranenlaUniversitatJaumeI de Castelló durant la celebració de les XI Jornadesd'Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana Al‐Khwarizmi,elmarçdel2014.Elspremiseslliuraraneldia8,abans d'acabar les Jornades. Posteriorment, les fotografiesdel concurs, junt amb altres de concursos previs, podranexhibir‐seenalgunscentresquehosol•liciten.

6. Laparticipacióimplical’acceptaciódelesbases.Eljuratquedecidirà el concurs estarà compost almenys per tresmembresde laSocietatorganitzadora.Laseuadecisióseràinapel·lable.

7. Tota fotografia premiada passarà a ser propietat de laSocietat a tots els efectes. Les fotografies participants podranaparéixerenlespublicacionsdelaSEMCV.Peraqualsevolconsulta,caldràdirigir‐sealcoordinadordelaSocietatperaaquestconcurs:SalvadorCaballeroRubio,e‐mail:[email protected]:Concursdefotografia"Matemàticaalavista"

IESAntonioJoséCavanillesAvdelAlcaldeLorenzoCarbonell,32‐3403007Alacant

XIV CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”



Volsfer‐tesoci?Omplilasegüentbutlletad’inscripcióiensl’enviesalanostraseu.Animaalsteuscompanysoinscriualteucentrealanostrasocietat.

INSCRIPCIÓ I DOMICILIACIÓ BANCÀRIA

Cognoms:.......................................................................Nom:....................................DNI/NIF:......................................Domiciliparticular: Població:.............................................................................................C.P.:...............Carrer:.............................................................Telèfon:................................................Correu‐e:.....................................Centredetreball: Nom:..........................................................................................................................Carrer:.....................................................Població:..................................C.P.:............Telèfon:.............................................Correu‐e:...........................................................Entitatbancària(oneslliuraràelcobramentdequotes):Nom:..........................................................................................................................Carrer:.....................................................Població:..................................C.P.:...........CodiCompteClient: Entitat Oficina D.C. NºCompte||||||||||||||||||||||||

.............................................a............de........................................de2013. (signatura)Eltitulardelcompte:..........................................................................................................................................DNI:........................................................

SOCIETAT D’EDUCACIÓ MATEMÀTICA DE LACOMUNITATVALENCIANA " "Al-Khwarizmi

Facultat de Magisteri “Ausiàs March” Departament de Didàctica de la Matemàtica Apartat 22.045 46071VALÈNCIA

Esta revista es publica amb el suport de l’Acadèmia Valenciana de la Llengua

Trobaràs tota la informació en la nostra web.

Visiteu-la: www.semcv.org

Societat d'Educació Matemàtica de la

Comunitat Valenciana

"Al-Khwarizmi"

problemes olÍmpics...fotografia “matemÀtica a la vista” “desorden fractal”. daniel pozo....

Documents