MECÀNICA II

PROBLEMES DE VIBRACIONS

PRIMAVERA 2010

2 de 27

1.- Anàlisi de senyals

1.1. Dibuixa l’espectre de freqüències ideal pel senyal:

f(t)=3*sin(2.π.2.t)+6.cos(2. π.4.t)+5

1.2. Es vol mesurar una senyal de vibració que es preveu que tindrà una amplitud de

l’ordre de 1 m/s2 amb un acceleròmetre de sensibilitat 1,028 V/(m/s2). L’equip

d’adquisició de dades permet escollir entre diferents rangs dinàmics d’entrada : ±0,316

V, ±1 V, ±3,16 V o ±10 V. Quin creus que és el més adequat? Digues perquè.

Rta: ±3,16 V

1.3. Es vol fer l’espectre freqüencial de les vibracions d’un motor, a tal efecte s’ha fixat

una freqüència de mostreig de 5kHz. S’intueix a priori que apareixerà un pic a 1000Hz

i un altre a 1005Hz i se’ls vol poder distingir clarament. Respon justificadament.

a) Quina serà la màxima freqüència per la qual s’obtindrà l’espectre?

b) Quin valor de block size escolliries si aquest ha de ser una potència de 2?

Rta: No es produeix aliasing si fmax≤ 1953.125 Hz

Agafant ∆f=5Hz obtenim N=210

1.4. Observa aquest senyal i digues quina freqüència de mostreig s’ha utilitzat per

obtenir-lo, explica com has deduït el valor.

Rta: fm=100 Hz

1.5. Si s’augmenta la freqüència de mostreig d’una mesura, s’obtindrà:

3 de 27

més resolució

més mostres de la senyal per segon

menys mostres de la senyal per segon

una freqüència màxima més petita

1.6. En l’ espectre freqüencial d’una senyal no purament periòdica, es volen distingir

dos pics que estan molt propers, quina d’aquestes accions no ens ajudaria a

aconseguir-ho:

augmentar el blocksize alhora de fer l’anàlisi de Fourier

canviar la finestra a rectangular alhora de fer l’anàlisi de Fourier

tornar a mesurar utilitzant un sensor amb més sensibilitat

tornar a mesurar reduint la freqüència de mostreig

1.7. Sobre unes dades adquirides a una freqüència de mostreig de 50 kHz s’aplica

anàlisi de Fourier utilitzant un blocksize de 8192 mostres. Quina resolució freqüencial

s’obtindrà?

Rta: ∆f=6.1035 Hz

1.8. Si l’acceleròmetre de l’esquema següent està perfectament calibrat, calcula quin

serà el valor d’acceleració en dB que proporcionarà l’equip.

dB

0,1 m/s2

Rta: Prenent aref =10-6 m/s2 obtenim |Acceleració|dB = 20 dB

1.9. La sensibilitat d’un acceleròmetre és de 0,01 [v] / [m/s2], però per error se li ha

definit, a l’equip d’adquisició de dades, una sensibilitat de 0,0001 [v] / [m/s2]. En el

registre acceleració-temps procedent d’aquest acceleròmetre es veurà que la magnitud

de l’acceleració és:

4 de 27

100 cops major del que realment és

10 cops major del que realment és

10 cops menor del que realment és

100 cops menor del que realment és

2.- Oscil.lacions lliures sense esmorteïment

2.1.- Un bidón de petróleo, parcialmente

lleno, flota en el mar. Suponiendo que el

bidón flota oscilando verticalmente,

determínese la frecuencia del movimiento

oscilatorio. La densidad del agua del mar es

ρa

Sol.: ohh

gf

21

2.2.- El sistema mecánico que se ilustra en la

figura P2.1 está constituido por dos poleas de masa despreciable, un muelle de

constante de recuperación k y una masa suspendida m. Determinar la frecuencia

natural del sistema cuando realiza pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de

equilibrio estático. Los rozamientos son despreciables.

Sol.:m

kn 4

5 de 27

2.3.- En la figura P3.1 se ilustra el denominado péndulo vertical. El dispositivo consiste

en una masa m fijada en el extremo de una barra vertical de masa despreciable. Dicha

barra vertical está articulada en el punto O, a una distancia c desde la masa m, a la

bancada fija. En el otro extremo de la barra vertical, a una distancia b del punto O,

están montados sendos resortes idénticos de constante de recuperación k cada uno

de ellos.

Determinar la frecuencia natural de vibración, para pequeñas amplitudes alrededor de

la posición de equilibrio.

Sol.: c

g

mc

kbn

2

22

2.4.- Un vehículo de masa M está montado sobre una suspensión como la que se

ilustra en la figura P4.1. Las constantes de recuperación de los resortes son iguales y

valen k N/m. Determinar la frecuencia natural del sistema.

Sol.: m

k

ba

an

6 de 27

2.5.- Un disco homogéneo de masa m y

radio r, está suspendido por medio de

tres hilos de igual longitud ℓ, distribuidos

uniformemente por la periferia del disco.

Se gira el disco, un ángulo pequeño

alrededor del eje vertical aa que pasa por

su centro, y se abandona éste al

movimiento libre. Determinar el periodo

del movimiento oscilatorio del disco.

Sol.: g

l

l

gn

22

2.6.- Supóngase una guía recta de lados

paralelos que gira, en un plano horizontal,

alrededor de su punto medio. Por el interior

de la guía puede deslizar un bloque de masa

m. Dicho bloque está unido, mediante un

resorte de constante de elasticidad k, al punto

medio de la guía. Llamando ro a la longitud

natural del resorte y suponiendo que la guía

gira con velocidad angular constante ω,

determinar la pulsación natural del sistema.

Sol.: 2 m

kn

2.7.- Determinar la pulsación natural de las

pequeñas oscilaciones del sistema que se ilustra en

la figura P7.1. El dispositivo consiste en un disco de

masa m que esta dispuesto sobre una correa sin que

se produzca deslizamiento entre la periferia del disco

y la propia correa. En la parte vertical derecha se ha

dispuesto un resorte de constante de recuperación k.

Sol.: m

kn 3

22

7 de 27

2.8.- Determinar la pulsación natural de las

pequeñas oscilaciones, alrededor de la

posición de equilibrio, del sistema mecánico

que se ilustra en la figura P8.1. El bloque es

de masa m, el cable es inextensible y las

poleas carecen de masa frente a la del bloque.

Sol.: m

kn 2

2.9.- Un motor de velocidad variable, está rígidamente unido a una viga BC. El rotor se

halla ligeramente desequilibrado y produce una vibración en la viga, cuya pulsación es

la del motor. Cuando la velocidad del motor es menor que 600 rpm o mayor que 1200

rpm, se observa que, una pequeña masa A, se mantiene en contacto con la viga. Pero

para velocidades comprendidas entre estos dos valores, el objeto baila separándose

de la viga como si flotara perdiendo el contacto. Determínese la amplitud de las

oscilaciones del movimiento cuando el motor gira a 600 o 1200 rpm.

Sol.: mmrpmx

mmrpmx

o

o

62,0)1200(

5,2)600(

2.10.- Determinar la pulsación natural de las pequeñas oscilaciones del péndulo que

se ilustra, constituido por una barra rígida de masa despreciable, una lenteja de masa

m y un resorte de constante de recuperación k.

Sol.: 2

2

ml

kh

l

gn

8 de 27

2.11.- Determinar la frecuencia natural de

oscilación del líquido de un manómetro en

U. Plantear el problema por el método

energético y por el método vectorial (2ª

Ley de Newton). La columna líquida es de

una longitud total L.

Sol.: l

gn

2

2.12.- Una partícula esférica de masa m se encuentra apoyada en una superficie

horizontal lisa. El movimiento de la esfera está restringido por dos hilos de longitud ℓ1 y

ℓ2. Los hilos están unidos a la esfera por uno de sus extremos, y a sendas bancadas

fijas por el otro. . Si se desplaza levemente la esfera de su posición de equilibrio en

sentido transversal a los hilos y se abandona, Determinar la frecuencia natural de las

pequeñas oscilaciones. En el equilibrio la tensión en los hilos es T.

Sol:

21

11

llm

Tn

2.13.- Un bloque de masa 0,5 kg (m) que puede

moverse en una guía vertical, se encuentra en

reposo suspendido de un resorte de constante

de recuperación 200N/m. Desde una altura de

4 m cae sobre el bloque una pequeña esfera de

masa 0,3 kg (me). El choque es perfectamente

elástico (e=1). Determinar la posición del

bloque, en función del tiempo y=y(t), a partir del

impacto.

Sol:

t

m

k

k

gmty e cos1)(

9 de 27

2.14.- Las dos masas de la figura deslizan sobre superficies horizontales lisas. Los

muelles están siempre sometidos a tracción, las poleas son de masa despreciable

frente a la de los bloques y los cables son indeformables. Determínese la frecuencia

de oscilación del sistema.

Sol: 214

5

mm

kn

2.15. Determineu l’equació del moviment d’una massa m suspesa per un fil de massa

negligible.

Sol: 0 l

g

2.16. El sistema de la figura se mueve en

un plano vertical y el disco rueda sin

deslizar, y se muestra en la posición de

equilibrio. La masa de la barra OA es

despreciable, la barra AB y el disco son

homogéneos y de masa m cada uno de

ellos. El muelle tiene una rigidez conocida

k. Las barras tienen longitud . Determinar

la frecuencia propia del sistema para

pequeñas oscilaciones alrededor de la

posición de equilibrio.

Sol:

2

2

sin211

sin12

m

k

10 de 27

2.17. El dispositivo de la figura está situado en un plano vertical en la posición de

equilibrio. La barra homogénea AB tiene longitud 2 y masa m. Su extremo B está

articulado a un collar que puede deslizar, sin rozamiento, por la guía vertical BO. El

otro extremo, A, está unido por un pasador al centro de un disco homogéneo, de masa

m y radio r, que rueda sin deslizar. El resorte OB tiene una rigidez k conocida.

Determinar la frecuencia propia del sistema para pequeñas oscilaciones alrededor de

la posición de equilibrio

2.18. El dispositivo de la figura se muestra en su posición de equilibrio. Consta de un

disco 1 que rueda sin deslizar en el punto C.

En el centro del disco se ha dispuesto un

resorte de constante k. En este mismo

punto, el disco está unido por medio de una

articulación de pasador a la barra 2, cuyo

extremo opuesto desliza, sin rozamiento, por

el interior de una guía vertical. El sólido 4 se

cuelga del extremo B de la barra 2 mediante

un cable inextensible que pasa por una

polea fija 3. Tanto el disco como la polea

tienen radio r, la barra tiene longitud . Los

cuatro sólidos tienen masa m cada uno de

ellos. Determinar la ecuación del movimiento

del sistema

Sol: m

kn 19

12

11 de 27

Oscil.lacions lliures amb esmorteïment

3.1.- Escribir la ecuación diferencial del

movimiento del sistema que se ilustra,

constituido por una varilla, de masa

despreciable y longitud b, articulada en O

a la bancada. En la varilla se fija una masa

puntual, m, y un amortiguador viscoso, de

constante c, a una distancia a de la

articulación. En el extremo de la varilla se

instala un resorte lineal de constante de

recuperación k . Determinar la frecuencia

de oscilación amortiguada y el

amortiguamiento crítico del sistema.

Sol.: m

k

a

bn

2

2

2

2

m

c

ma

kb kma

bcc 2

3.2.- Supóngase un sistema mecánico de masa m y cuya rigidez y amortiguamiento

viscoso equivalentes son k y c respectivamente. Si se comprueba experimentalmente

que la amplitud de las oscilaciones se reduce a la mitad al cabo de t segundos,

determínese el factor de amortiguamiento del sistema.

Sol.: k

m

t

2ln

3.4.- Determinar la pulsación natural y el

factor de amortiguamiento del dispositivo

que se ilustra en la figura P4.1. La barra

vertical es de masa despreciable.

Al tratarse de un sistema unidimensional

se elegirá como coordenada de referencia

el ángulo θ girado por el brazo vertical,

entorno del punto O.

Sol.: 2

112

2

23

)(2 mlmglkl

cl

12 de 27

3.5.- Un bloque de 5 kg se encuentra en reposo en un plano inclinado sin rozamiento,

tal como se ilustra en la figura P5.1. En un instante determinado se desplaza el bloque

50 mm hacia arriba, desde la posición de equilibrio, y se suelta con una velocidad

hacia debajo de 1,25 m/s. En estas condiciones determinar:

a) El período del movimiento amortiguado.

b) La ecuación que describe la posición del bloque en función del tiempo.

c) El tiempo transcurrido hasta que la amplitud se reduce a un 1% del valor inicial.

Sol.: a) m

ksiendoT n

n

22

b) 022

xm

kx

m

cx

c) st 92,0

3.6.- En el dispositivo que se ilustra

en la figura P6.1, determinar el

factor de amortiguamiento del

sistema y el valor que debe darse a

la distancia a para que el

amortiguamiento sea crítico. Todos

los contactos son lisos y los valores

numéricos de los parámetros del

sistema son:

m1 = 10 kg , m2 = 15kg

c = 600 Ns/m

k = 2 kN/m

a = 0,1 m , b = 0,2 m

Sol.: nbmam

cb

)(2 22

21

2

ma 188,0

13 de 27

3.7.-Un niño de 30 kg. de peso oscila, arriba y abajo,

en un columpio elástico. Se observa que la amplitud

de oscilación disminuye en un 3% al cabo de 6,5

segundos. Durante este intervalo de tiempo se han

contado cinco oscilaciones completas. Determínese

el coeficiente de amortiguación y la constante

recuperadora de los resortes.

Sol.: mNk 41.3501069.9 4

3.8.- La bancada de una prensa de gravedad tiene

una masa M=2000 kg, presenta una rigidez

equivalente de 9,8 MN/m y un amortiguamiento

viscoso de constante c=28 kNs/m. El punzón, de

una masa m=500 kg cae desde una altura de 1,2 m

y el coeficiente de restitución del choque es de

0,35.

Determinar:

a) La velocidad de la bancada tras el impacto.

b) Amplitud máxima del movimiento de la

bancada.

Nota: El coeficiente de restitución del choque se define como : am

aM

dm

dM

r vv

vvC

Siendo a: antes, d: después del impacto.

3.9.- Un parachoques hidráulico consta de dos unidades, cada una de las cuales

dispone de un resorte en paralelo con un amortiguador viscoso. El resorte tiene una

rigidez de 3·104

N/m, mientras que el amortiguador viscoso ofrece una resistencia al

movimiento cuya constante de proporcionalidad es de 1,2·105

Ns/m. El parachoques,

en reposo, se halla precomprimido una distancia de 0,3 m.

Si un tren de 100 T, que se está moviendo a 2 m/s, choca con el dispositivo, sin que se

produzca rebote, determínese la distancia que se moverá el tren hasta detenerse.

14 de 27

Sol.: md 641,0 3.10.- En el mecanismo plano que

se ilustra, el casquillo C está

articulado a la bancada en el punto

P. El movimiento de rotación del

casquillo comprime un muelle plano

dispuesto entorno al punto P. La

constante de recuperación del

resorte es 2 Nm/rad. Por el interior

del casquillo se introduce una barra

AGB rígida, uniforme, de masa 2,4

kg y de longitud 0,5 m. Dicha barra se fija al casquillo en una posición en la que el

centro de masas G se halla a una distancia x del punto de articulación P. En el punto

G de la barra se instala un amortiguador viscoso de coeficiente c=27 N/(m/s), el

amortiguador apoya su otro extremo en la bancada justo en la vertical del punto G.

El mecanismo queda en equilibrio estático de manera que el muelle se comprime lo

necesario para que la barra quede en posición horizontal. Suponiendo pequeñas

oscilaciones de la barra alrededor de su posición de equilibrio, determinar:

El periodo y el decremento logarítmico de las oscilaciones amortiguadas,

sabiendo que x=0,12 m.

Valor que debería adoptar x para que el movimiento fuera críticamente

amortiguado.

Sol: mx

srad

n

1718.0

47.065,23

15 de 27

3.11.- La figura ilustra una puerta de seguridad, de masa 200kg, que puede moverse

por unas guías verticales. La puerta se mantiene en su posición normal, abierta,

mediante un pasador P. En una situación de emergencia el pasador libera la puerta

que cae libremente una altura de 0,35 m hasta adherirse a un dispositivo

amortiguador. Este dispositivo esta constituido por sendos conjuntos de muelle y

amortiguador situados a los lados de la puerta. Los resortes, inicialmente en su

longitud natural, tiene constantes idénticas que valen, cada una de ellas, 3,6 kN/m; los

amortiguadores viscosos, también iguales, tienen una constante, cada uno de ellos, de

1,2 kN/(m/s). La puerta queda cerrada en el momento de máxima compresión del

dispositivo.

Determinar el tiempo que

transcurrirá desde que el pasador

abandona la puerta hasta que ésta

queda cerrada y determinar también

la máxima compresión del sistema

de amortiguamiento.

Sol: mx

st

1606.06

1

3.12.- Escribir la ecuación diferencial del

movimiento del sistema que se ilustra,

constituido por una varilla, de masa

despreciable y longitud b, articulada en O

a la bancada. En la varilla se fija un

resorte lineal de constante de

recuperación k y un amortiguador viscoso,

de constante c, a una distancia a de la

articulación. En el extremo de la varilla se

instala una masa puntual, m. Determinar

la frecuencia de oscilación amortiguada y

el amortiguamiento crítico del sistema.

Sol: 02

2

2

2

mb

ka

mb

ca

2

2

2

2

22 a

kmbc

mkb

acc

16 de 27

3.13.- Una barra esbelta y uniforme de

masa 3kg y longitud 0,15 m, está en

equilibrio en la posición horizontal que se

representa. Cuando se desplaza levemente

de la posición de equilibrio y se abandona a

su movimiento libre, se observa que la

amplitud de cada oscilación es un 90% de

la amplitud del pico anterior. Si la constante

de recuperación del resorte es 400 N/m

determinar:

El valor del coeficiente de amortiguamiento

El periodo del movimiento amortiguado resultante.

Sol: sT 36275.00167.0

3.14. Determinar les constants de la sol.lució a un sistema massa molla amb

condicions d’esmorteïment sobrecrític. Les condicions inicials són:

0

0

)0(

)0(

xx

xx

Proposeu unes condicions inicials que donin un moviment d’aquest tipus:

Sol:

)11

(2

1

)11

(2

1

222

221

o

n

oo

o

n

oo

XXXA

XXXA

q(m)

t(s)

17 de 27

3.15. Determinar les constants de la sol.lució a un sistema massa molla amb

condicions d’esmorteïment crític. Les condicions inicials són:

0

0

)0(

)0(

xx

xx

Sol: noo

o

XXA

XA

2

1

18 de 27

4.- Vibracions Forçades

4.1.- Se utiliza un sistema de masas

excéntricas con objeto de provocar

oscilaciones forzadas en una masa sísmica.

Variando la velocidad de giro del sistema, se

llega a obtener que, a la frecuencia de

resonancia, la amplitud del movimiento es de

xR=15,24 cm. Cuando la velocidad de giro

aumenta de forma considerable, la amplitud

es de 0,2032 cm. Determinar el factor de

amortiguamiento del sistema.

Sol.: 3106,6

4.2.- Una estructura vertical soporta un ventilador

centrífugo. Cuando gira a 400 rpm, se observa una

amplitud máxima horizontal de 4,5 mm. Cuando la

velocidad de giro es de 500 rpm la amplitud pasa a

ser de 10 mm. En el paso de 400 a 500 rpm no se

observan condiciones de resonancia. Para disminuir

esta vibración se propone colocar un bloque de

hormigón que doble la masa del sistema.

Determínese, en estas nuevas condiciones, la

amplitud del movimiento a 400 y 500 rpm.

Considérese que el amortiguamiento es

despreciable.

Sol.: mrpmx

mrpmx

o

o

3

3

1078,5)500(

1052,9)400(

19 de 27

4.3.- Dos discos de masa despreciable y radio r se lastran con una masa mo cada uno.

En una primera experiencia se conectan mediante una barra de masa 4mo. Hallar el

período de las pequeñas oscilaciones entorno de θ=0.

En otra experiencia, se montan como se

indica en la figura P8 y se hacen girar en

sentido contrario, una de otra, con una

velocidad angular de 900 rpm. Los valores

de los parámetros conocidos son: r=10 cm,

mo=900g y la masa total del dispositivo que

es de 180 kg.

Cuando el dispositivo está en

funcionamiento se observan oscilaciones

verticales de 20 mm de amplitud. Cuando

las masas mo ocupan la posición más alta el

sistema pasa por su posición de equilibrio

estático.

Determínese, para una velocidad de giro de 1200 rpm, la frecuencia natural del

sistema, el factor de amortiguamiento y la amplitud.

Sol: g

rT

32

Sol:

mx

rpmn

31025,2

05,0

900

4.4.- Un elemento de máquina, que pesa 2 kg, realiza un movimiento vibratorio en el

seno de un medio viscoso. Determínese el coeficiente de amortiguamiento del medio

si se sabe que cuando se aplica una excitación armónica de valor máximo 2,5 N, la

amplitud de resonancia es de 12 mm y el período de 0,2 s. Encontrar asimismo cuál

seria la amplificación que se presentaría si la fuerza de excitación tuviera un

frecuencia de 4 Hz.

Sol.: 05277.0

7,2ox

x

20 de 27

4.5.- Un bloque esta montado sobre un resorte lineal de constante k=500 N/m y un

amortiguador viscoso. Cuando se desplaza de la posición de equilibrio y se deja

oscilar libremente se puede determinar que el período de oscilación es de 1,8 s y la

relación entre dos amplitudes sucesivas es de 4,2:1. Determínese la amplitud de

vibración del bloque cuando el sistema se somete a una oscilación forzada F=9cos3t.

Sol.: mx 0376,0

4.6. Supóngase un sistema mecánico tal como

el que se ilustra en la figura. El sistema está

constituido por un cilindro de diámetro d (15

cm.), en cuyo interior puede moverse un

émbolo de masa m (704 gr). Dicho émbolo

actúa sobre un resorte de constante de

recuperación k (250N/m). Uno de los lados del

cilindro está sometido a una presión que varia

periódicamente con el tiempo, de modo que la

función P(t) es triangular de período T (1 s) y

valor máximo P0 (7kg/cm2), tal como se ilustra

en la gráfica. El amortiguamiento reducido del

sistema es ζ=0,05. Determínese la amplitud

de las vibraciones del émbolo (de

desplazamiento y aceleración). ¿Cómo se

podría mejorar el diseño del sistema con el fin de reducir la amplitud de las vibraciones

del mismo?

Sol:

185,01044,0

56,1101,11

075,0105,27

107,24

2

...)5cos()3cos()cos()(

53

5

33

3

13

1

30

5533110

x

x

x

x

txtxtxxtx

4.7. Se desea instalar una máquina rotativa de peso 500 kg y que gira a 1500 rpm. Se

decide utilizar apoyos elásticos cuya constante lineal equivalente es de 1075 N/cm.

Sabiendo que la fuerza centrifuga de excitación es de Fc =5.w2 (N), determinar la

fuerza y la amplitud de oscilación que se transmitirán a la bancada, en caso de que el

amortiguamiento sea

21 de 27

a) Sin amortiguamiento. b) Con un factor de amortiguamiento de 0,07 c) Con un factor de amortiguamiento de 0,4

Sol:

a) mQNFTT 01,045,10840088,0 0

b) mQNFTT 01818,065,195401584,0 0

c) mQNFTT 0868,0558,933007563,0 0

4.8. El rodete de un ventilador centrifugo pesa 50 Kg y gira a 1000 rpm. El par

desequilibrado alcanza un valor de 200 N.cm y el amortiguamiento viscoso equivalente

del sistema tiene un factor de amortiguamiento de ζ=0,4. Si la transmisión máxima

aceptable, a la bancada, es del 10% de la fuerza, ¿cuál debe ser la rigidez del resorte

lineal equivalente que se emplee?.

Sol:

4.9. En una furgoneta-laboratorio se instala un equipo de medida delicado. El

dispositivo se monta sobre aisladores de bajo amortiguamiento, los aisladores se

deforman 0,3 cm bajo un peso de 25 kg. La frecuencia de vibración del vehiculo es de

2000 rpm. ¿Cuál es el porcentaje de movimiento transmitido al instrumento?

Sol: 8% 08,0T

4.10. Una máquina, que trabaja 2400 rpm, está montada sobre un bloque de inercia. El

sistema total pesa 907 N y se reparte de manera uniforme. Se desea seleccionar

cuatro resortes iguales sobre los que sustentar la masa sísmica para que exista un

aislamiento del 90%.

Sol:

22 de 27

4.11. Un motor que gira a 1200 rpm arrastra un ventilador que gira a 600 rpm. Ambos

elementos están montados en una base común. La carga está distribuida de modo que

el peso por apoyo es:

- Los dos apoyos bajo el motor a 181,4 N

- Los dos apoyos bajo el ventilador a 90,7 N

Se trata de determinar el conjunto de cuatro resortes que permitirán conseguir un 85%

de aislamiento.

4.12. Una máquina grande se instala

sobre una base de hormigón. La

menor de las frecuencias de

excitación es de 60 Hz. Suponiendo

que la máxima presión que puede

resistir el soporte es de 7.104 Pa y a

partir de los datos de la gráfica de la

figura P3, determínese el material

más apropiado para conseguir un

aislamiento mínimo del 80 %. El

coeficiente de amortiguamiento es

de 0,05.

Sol: Hzfn 2,24

4.14. Un primer modelo de suspensión de un

vehículo consiste en intercalar un resorte de

constante k entre la masa del chasis y la

rueda. Una aproximación más exacta incluye

un amortiguador viscoso entre la dicha masa

y el centro de la rueda y la elasticidad de los

neumáticos, considerando, además, que la

rueda tiene una masa M. Suponiendo una

trayectoria rugosa de carácter sinusoidal, de

longitud de onda L, que es recorrida a una

velocidad v. Determínese el desplazamiento del chasis y la velocidad más

desfavorable. Para cada uno de los dos modelos.

Solución para el primer modelo:

23 de 27

m

kLv

mvkL

YkLX

2

4 22

2

Solución para el segundo modelo:

222

21

)(

nn

o

o

KK

YK

X

4.15. El dispositivo de la figura está en

equilibrio en la posición indicada. El bloque,

de masa m, esta suspendido de un disco

cuyo momento de inercia respecto del centro

O es I.

a) Pulsación de las pequeñas oscilaciones

del sistema si no hay amortiguamiento.

b) Factor de amortiguamiento

c) Amplitud θ de las oscilaciones forzadas del

dispositivo si el soporte efectúa oscilaciones

dadas por y=Yocosωt. (OA =r, OB=b

AÔB=90º)

Solución:

a) 2

2

mrI

krn

b) 22

2

2 mrIkr

cb

c) 2222222

cb)mrI(kr

cb

24 de 27

4.16. Se desea instalar un ascensor

eléctrico, con el motor en la sala de

máquinas superior y capacidad para 6

personas. Las características de la

instalación son: a. Peso del conjunto

cabina, contrapeso y ocupantes:1800 kg.

b. Peso del motor: 300 kg • Velocidad

angular del motor: • 375 rpm (arranque) y

1500 rpm (funcionamiento). Recciones

dinámicas en los apoyos: 1050

kg/soporte. Escoger uno de los aislantes

sugeridos.

25 de 27

5.- 2 gdl

5.1. Determineu les pulsacions naturals del doble pèndul de la

figura. Suposeu les masses concentrades en les boles

indicades.

Sol: sradL

g

L

g/86,1

4

321

5.2. Determineu les pulsacions naturals del

sistema indicat. Suposi’s que la longitud

natural de la molla és zero.

Sol:

l

mgkk

l

mgk

l

mg

l

mgkk

l

mgk

l

mg

42

2

1

2

42

2

1

2

2

2

2

1

5.3. La figura muestra la disposición de las constantes elásticas k1 y k2 equivalentes a

la rigidez de los trenes de aterrizaje del avión considerado, de masa m y momento de

inercia J0 alrededor de su centroide. Considerando l1=l, l2=2l, k1=k, k2=5k, y el radio de

giro igual a 5l, obtener las frecuencias naturales y la forma de los modos de vibración

para un modelo de 2 grados de libertad.

k1 k2

C.G.

l1 l2

26 de 27

Sol:

22

22

2221

45100)21150(2115050

45100)21150(2115050

mmmm

k

mmmm

k

5.4. El perfil representado en la figura, de masa m, está suspendido de un muelle de

rigidez lineal k y rigidez torsional kt, en el interior de un túnel de viento. El centro de

gravedad está situado a una distancia e del punto O. El momento de inercia del perfil

alrededor del eje que pasa por O es J0. Obtener las frecuencias naturales del perfil.

Sol: Ambas frecuencias se obtienen de 012

12224 kkkmekJmkemmJ oo

5.5. Para el estudio de las vibraciones simétricas de un avión, el fuselaje puede ser

modelado como una masa central M0 y las alas pueden ser modeladas como barras

rígidas con masas en sus extremos de valor M. El comportamiento a flexión de las alas

se representa con la rigidez torsional K entre el fuselaje y el ala. Obtener las

ecuaciones del movimiento del avión.

kt

k

C.G

.

O

e

M M

x

M0

K

l

27 de 27

5.6. Un absorbidor de vibracions és un sistema massa molla que s’implanta en un sòlid

sotmès a una força que varia a una freqüència . Determinar la k de l’absorbidor de

massa m que s’aplica a la bancada que es mostra a la figura. Interpreteu el resultat.

Sol: 2mk

5.7. Determinar les pulsacions naturals del

sistema que es mostra a la figura. La deformació

inicial del sistema és x0.

Resposta:

Després de linealitzar les equacions, resulta en

un sistema desacoblat, amb les equacions del

moviment corresponents:

00

20

kxxcxm

mgxmx