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3D Geometria solida – Piramide - 1
Copyright© 1987-2010 owned by Ubaldo Pernigo, please contact: [email protected] Tutti i contenuti, ove non diversamente indicato, sono coperti da licenza Creative Commons Attribuzione-Non commerciale-Non opere derivate 3.0 Italia License:
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0 (Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 3.0) La riproduzione di tutto o parte dei contenuti potranno avvenire solo senza alcun scopo di lucro e dovranno riportare l’attribuzione all’autore ed un link a UbiMath e/o a quella dell’autore/i originario.
Problemi di geometra solida sulla piramide con risoluzione
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1. Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base lungo 20 cm e l’altezza misura 24 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di sughero (p.s. = 0,25 g/cm3).
2. Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 120 cm e ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3),
calcolane la sua superficie totale, il volume e il peso.
3. Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di base di 576 cm2 e l’altezza pari ai 2/3 dello spigolo di base. Calcola il volume e il peso del solido
sapendolo fatto di gesso (2 g/cm3).
4. In una piramide quadrangolare regolare il perimetro di base è di 72 cm. Calcola
la misura della superficie totale della piramide e il suo peso sapendo che la sua altezza è di 40 cm e che è fatta di vetro (ps = 2,5 g/cm3).
5. Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo
equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale della piramide.
6. Una piramide quadrangolare regolare è alta 52 cm e ha l’apotema di 48 cm. Calcola la misura dell’area totale della piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che è fatta di gesso (ps 2,3 g/cm3).
7. Una piramide quadrangolare regolare, la cui apotema è 13/24 dello spigolo di base, ha l’area di base pari a 2304 cm2. Calcola la misura dell’area totale della
piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che il peso specifico del materiale di cui è fatta è di 9 g/cm3.
8. Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una piramide di marmo
(p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24 cm. Calcola: a) la misura del perimetro e dell’area del quadrato;
b) il volume e il peso della piramide; c) l’area della superficie totale della piramide; d) l’area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo equivalente alla
piramide e avente le dimensioni di base di 8 cm e 28 cm.
9. Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base
quadrata di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 4800 g e che ha un’altezza di 9 cm.
10. Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base esagonale di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 2700 g e che ha un’altezza di 12
cm.
11. Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui perimetro è 200 cm.
Il trapezio è circoscritto ad un circonferenza lunga 48 𝜋 𝑐𝑚. Sapendo che l’area
della superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume del solido.
12. Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 900 cm2 e
l’altezza che misura 112 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di zinco (ps 7,1).
13. Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in comune; questa è un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che gli apotemi delle due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del
solido.
3D Geometria solida – Piramide - 2
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14. Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 256 m2 e l’altezza che misura 31,5 m. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo
peso sapendo che è fatta di zinco (ps 7,1).
15. Una piramide regolare quadrangolare ha il perimetro di base che misura 40 dm e l’altezza che misura 9 dm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo
peso sapendo che è fatta di sughero (ps 0,25).
16. La Piramide di Zoser (Saqqara), a 6 gradoni di granito, ha base rettangolare
(121 m per 109 m) ed è alta 60 m. Calcola la superficie totale, il volume e il peso (ps 2,3 – valore del calcare) di una piramide con queste caratteristiche.
17. Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 72 cm e ha
un peso di 11664 g. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua superficie totale e il volume.
18. Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di base di 576 cm2 e una superficie laterale di 720 cm2. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo
fatto di gesso (2 g/cm3).
19. Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di base di 1764 cm2 e l’altezza pari a 28 cm. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo fatto di un
materiale che ha un peso specifico di 0,8 g/cm3.
3D Geometria solida – Piramide - 3
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Soluzioni
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Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base
lungo 20 cm e l’altezza misura 24 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di sughero (p.s. 0,25).
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑠𝑝𝑖𝑔𝑜𝑙𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒 = 20 𝑐𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = = 24 𝑐𝑚
𝑝𝑠𝑠𝑢𝑔𝑒𝑟𝑜 = 0,25𝑔
𝑐𝑚3
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? V = ? Peso =?
Supbase = l2 = 202 = 400 cm2
aquadrato =l
2=
20
2= 10 cm
a = h2 + aquadrato2 = 242 + 102 = 676 = 26 cm
Suplaterale = pbase ∙ a = 20 ∙ 2 ∙ 26 = 1040 cm2 Suptotale = Supbase + Suplaterale = 400 + 1040 = 1440 cm2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
400 ∙ 24
3= 400 ∙ 8 = 3200 𝑐𝑚3 = 3,2 𝑑𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 3200 ∙ 0,25 = 800 𝑔
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Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di
base di 120 cm e ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua
superficie totale, il volume e il peso.
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 120 𝑐𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 20 𝑐𝑚
𝑝𝑠𝑎𝑙𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = 2,7𝑔
𝑐𝑚3
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? V = ? Peso =?
lbase =2p
4=
120
4= 30 cm
Supbase = l2 = 302 = 900 cm2
aquadrato =l
2=
30
2= 15 cm
a = h2 + aquad .2 = 202 + 152 = 400 + 225 = 625 = 25 cm
Suplaterale = pbase ∙ a =120
2∙ 25 = 60 ∙ 25 = 1500 cm2
Suptotale = Supbase + Suplaterale = 900 + 1500 = 2400 cm2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
900 ∙ 20
3= 300 ∙ 2 = 6000 𝑐𝑚3 = 6 𝑑𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 6 ∙ 2,7 = 16,2 𝑘𝑔
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3D Geometria solida – Piramide - 4
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Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di
base di 576 cm2 e l’altezza pari ai 2/3 dello spigolo di base. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo fatto di gesso
(2 g/cm3).
Piramide retta a base quadrangolare 𝑆𝑏 = 576 𝑐𝑚2
=2
3 𝑙𝑎𝑡𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑙 = 𝑆𝑏 = 576 = 24 𝑐𝑚
𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 =2
3𝑙 =
2
3∙ 24 = 2 ∙ 8 = 16 𝑐𝑚
𝑉 =𝑆𝑏 ∙
3=
576 ∙ 16
3=
192 ∙ 16
1= 3072 𝑐𝑚3
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In una piramide quadrangolare regolare il perimetro di base è di 72 cm. Calcola la misura della superficie totale della
piramide e il suo peso sapendo che la sua altezza è di 40 cm e che è fatta di vetro (ps = 2,5 g/cm3).
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 72 𝑐𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 40 𝑐𝑚
Suptotale = ?
lbase =2p
4=
72
4= 18 cm
Supbase = l2 = 182 = 324 cm2
aquadrato =l
2=
18
2= 9 cm
a = h2 + aquad .2 = 402 + 92 = 1600 + 81 = 1681 = 41 cm
Suplaterale = pbase ∙ a =72
2∙ 41 = 36 ∙ 41 = 1476 cm2
Suptotale = Supbase + Suplaterale = 324 + 1476 = 1800 cm2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
324 ∙ 40
3= 108 ∙ 40 = 4320 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 4320 ∙ 2,5 = 10800 𝑔 = 10,8 𝑘𝑔
3D Geometria solida – Piramide - 5
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Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo
equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale della piramide.
DATI: 2pbase = 81 cm
a = 21 cm Sl=?
St=?
spigolo_base = 2pbase/3 = 81/3 = 27 cm
htriangolo_base =
75,54625,1827295,1327
2
2727 22
2
2 23,38 cm
S_base= 63,3152
26,621
2
38,23*27
2
*
hb cm2
Apotema = a =
2
2
2
_2
3
38,2321
3
basetriangolohh = 22,40 cm
2 2
_2 2 23,3821 22,40
3 3
triangle basehApo h cm
Atriangolo_laterale = 2
40,2227
2
_
apotemabasespigolo = 302,40 cm2
S_laterale = 3* Atriangolo_laterale = 3*302,40 = 907,20 cm2
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 907,20 + 315,63 = 1222,3 cm2
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Una piramide quadrangolare regolare è alta 48 cm e ha l’apotema di 52 cm. Calcola
la misura dell’area totale della piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che è fatta di gesso (ps 2,3 g/cm3).
4002304270448522
2222 hal
= 20 cm
l = 2*202*2
l
= 40 cm
S_faccia =
2
1
20
2
52*04
2
*
2
*
alhb = 1040 cm2
S_base = 22 40l = 1600 cm2
S_laterale = S_faccia * 4 = 1040 * 4 = 4160 cm 2
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 4160 + 1600 = 5760 cm2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
1600 ∙ 48
3= 1600 ∙ 16 = 26688 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2668 ∙ 2,3 = 61382,4 𝑔 = 61,38 𝑘𝑔
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3D Geometria solida – Piramide - 6
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Una piramide quadrangolare regolare, la cui apotema è 13/24 dello spigolo di base, ha l’area di base pari a 2304 cm2. Calcola la misura dell’area totale della piramide, il
suo volume e il suo peso sapendo che il peso specifico del materiale di cui è fatta è di 9 g/cm3.
l = 2304quadratoA 48 cm
2p = 4*l = 4 * 48 = 192 cm
Apotema = a = 24
1348 = 26 cm
S_laterale = S_faccia * 4 = alal
242
= 2*48*4 = 384 cm 2
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 4160 + 1600 = 5760 cm2
Alt_piramide = 10057667624263
4826
2
22
2
2
2
2
la = 10 cm
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
2304 ∙ 10
3= 768 ∙ 10 = 7680 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 7680 ∙ 9 = 69,12 𝑘𝑔
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3D Geometria solida – Piramide - 7
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Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una
piramide di marmo (p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24 cm. Calcola:
a) la misura del perimetro e dell’area del quadrato; b) il volume e il peso della piramide; c) l’area della superficie totale della piramide;
d) l’area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo equivalente alla piramide e avente le dimensioni di base di 8
cm e 28 cm.
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 4800 𝑔 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 12 𝑐𝑚
𝑝𝑠𝑠𝑢𝑔𝑒𝑟𝑜 = 0,25𝑔
𝑐𝑚3
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ?
S_quadrato_base = l2 = 142 = 196 cm2
2p_quadrato_base = 4*l = 4*14 = 56 cm
𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
196 ∙ 24
3= 196 ∙ 8 = 1568 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 1568 ∙ 2,8 = 4390,4 𝑔 = 4,39 𝑘𝑔
apotema_pir = 625495767242
22
2
2
lh = 25 cm
Sl_piramide = 25282514222
4
alal
= 700 cm2
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 196 + 700 = 896 cm2
Sb_parall = a*b = 8*28 = 224 cm2
2p_base_parall = 2*(a+b) = 2*(8+28) = 2*36 = 72 cm
h_parallelepipedo = 224
1568
__
_
parallbases
piramideV = 7 cm
Sl_parall = 2p_base_parall*h_parall = 72*7 = 504 cm2
S_totale_parall = 2*Sb + Sl = 2*224+504 = 952 cm2
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Calcola la misura della superficie totale di una piramide
regolare a base quadrata di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 4800 g e che ha un’altezza di 9 cm.
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 4800 𝑔 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 12 𝑐𝑚
𝑝𝑠𝑠𝑢𝑔𝑒𝑟𝑜 = 0,25𝑔
𝑐𝑚3
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ?
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑃𝑒𝑠𝑜
𝑝𝑠=
4800
0,25= 19200 𝑐𝑚3
𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎=
3 ∙ 19200
9=
19200
3= 6400 𝑐𝑚2
𝑙𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆6400 = 80 𝑐𝑚
𝑎𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 =𝑙
2=
80
2= 40 𝑐𝑚
𝑎 = 2 + 𝑎𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜2 = 92 + 402 = 1600 + 81 = 41 𝑐𝑚
𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎 = 80 ∙ 2 ∙ 41 = 6560 𝑐𝑚2 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 6400 + 6560 = 12960 cm2
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3D Geometria solida – Piramide - 8
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Calcola la misura della superficie totale di una piramide
regolare a base esagonale di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 2700 g e che ha un’altezza di 12 cm.
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 2700 𝑔 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 12 𝑐𝑚
𝑝𝑠𝑠𝑢𝑔𝑒𝑟𝑜 = 0,25𝑔
𝑐𝑚3
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ?
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑃𝑒𝑠𝑜
𝑝𝑠=
2700
0,25= 10800 𝑐𝑚3
𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 =3 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎=
3 ∙ 10800
12=
10800
4= 2700 𝑐𝑚2
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒
6=
2700
6= 450 𝑐𝑚2
In un esagono regolare il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato dell’esagono regolare. Da cui
𝑆 =3𝑙2 3
2→→→ 𝑙 =
2𝑆
3 3=
2 ∙ 2700
3 3=
1800
3= 32,23 𝑐𝑚
𝑎𝑒𝑠𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑝
=2700
3 ∙ 32,23= 27,91 𝑐𝑚
Un esagono regolare è formato da 6 triangoli equilateri per cui un’altro modo percorribile è quello di usare il teorema di Pitagora applicato a un
triangolo equilatero di area nota: 2 = 𝑙2 − 𝑙
2
2.
𝑎 = 2 + 𝑎𝑒𝑠𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜2 = 122 + 27,912 = 922,9681 = 30,38 𝑐𝑚
𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎 = 3 ∙ 32,23 ∙ 30,38 = 2397,44 𝑐𝑚2 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 2700 + 2397,44 = 5637,44 cm2
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3D Geometria solida – Piramide - 9
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Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui
perimetro è 200 cm. Il trapezio è circoscritto ad un
circonferenza lunga 48 𝜋 cm. Sapendo che l’area della
superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume del solido.
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 200 𝑐𝑚 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 5000 𝑐𝑚2 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑡𝑎 = 48𝜋 𝑐𝑚 𝑉 =?
𝑟 =𝐶
2𝜋=
48𝜋
2𝜋= 24 𝑐𝑚
2𝑝𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 = 200 𝑐𝑚 𝑝 =2𝑝
2=
200
2= 100 𝑐𝑚
Per i poligoni irregolari circoscritti
𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 = 𝑝 ∙ 𝑟 = 100 ∙ 24 = 2400 𝑐𝑚2
Per la condizione di circoscrittibilità di un quadrilatero (uguale somma lati opposti)
𝑏1 + 𝑏2 = 𝑙 + 𝑙 = 2𝑙 = 100 𝑐𝑚 Oppure:essendo la distanza delle due basi deve pari al doppio del raggio
𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 =𝑏1 + 𝑏2
2 →→ 2𝑙 = 𝑏1 + 𝑏2 =
2𝐴
2𝑟=
2 ∙ 2400
2 ∙ 24= 100 𝑐𝑚
𝑙 =2𝑙
2=
100
2= 50 𝑐𝑚
𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 − 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 5000 − 2400 = 2600 𝑐𝑚2
Una delle due facce laterali uguali ha area pari a un quarto della laterale totale
(somma lati opposti uguale e i due lati obliqui uguali)
𝑆𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 50 =2600
4=
1300
2= 650 𝑐𝑚2
𝑎 = 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =2𝐴
𝑏=
2 ∙ 650
50=
130
5= 26 𝑐𝑚
𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝑎2 − 𝑟2 = 262 − 242 = 676 − 576 = 100 = 10 𝑐𝑚
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
2400 ∙ 10
3= 800 ∙ 10 = 8000 𝑐𝑚3 = 8 𝑑𝑚3
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che
misura 900 cm2 e l’altezza che misura 112 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di zinco (ps 7,1).
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 900 𝑐𝑚2 = 112 𝑐𝑚 𝑝𝑠 = 7,1 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ? 𝑃 =?
lbase = A = 900 = 30 cm pbase = 2l = 2 ∙ 30 = 60 cm
a = h2 + l
2
2
= 1122 + 152 = 12544 + 225 = 12769
= 113 cm Slaterale = pbase ∙ a = 60 ∙ 113 = 6780 cm2 Stotale = Supbase + Suplaterale = 900 + 6780 = 7680 cm2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
900 ∙ 112
3= 300 ∙ 112 = 33600 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 33600 ∙ 7,1 = 238560 𝑔
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3D Geometria solida – Piramide - 10
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Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in
comune; questa è un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che gli apotemi delle
due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del solido.
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 = 180 𝑐𝑚 𝑑1𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 = 72 𝑐𝑚 𝑎 = 36 𝑐𝑚 𝑉 =?
𝑙𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 =2𝑝
4=
180
4=
90
2= 45 𝑐𝑚
𝑑1
2=
72
2= 36 𝑐𝑚
𝑑2
2= 𝑙2 −
𝑑1
2
2
= 452 − 362 = 2025 − 1296 = 729 = 27 𝑐𝑚
𝑑2 = 272 = 54 𝑐𝑚
𝐴𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 =𝑑1 ∙ 𝑑2
2=
72 ∙ 54
2= 72 ∙ 27 = 1944 𝑐𝑚2
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =𝐴𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜
4=
1944
4=
972
2= 486 𝑐𝑚2
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =2𝐴
𝑏=
2 ∙ 486
45=
2 ∙ 54
5=
108
5= 21,6 𝑐𝑚
𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑖 = 𝑎2 − 2 = 362 − 21,62 = 1296 − 466,56 = 829,44
= 28,8 𝑐𝑚
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2 ∙𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙
3= 2 ∙
1944 ∙ 28,8
3= 3888 ∙ 9,6 = 37324,8 𝑐𝑚3
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Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 256 m2 e l’altezza che misura 31,5 m. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è
fatta di zinco (ps 7,1).
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 256 𝑐𝑚2 = 31,5 𝑐𝑚 𝑝𝑠 = 7,1 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ? 𝑃 =?
lbase = A = 256 = 16 cm pbase = 2l = 2 ∙ 16 = 32 cm
a = h2 + l
2
2
= 31,52 + 82 = 992,25 + 64 = 1056,25
= 32,5 cm Slaterale = pbase ∙ a = 32 ∙ 32,5 = 1040 cm2 Stotale = Supbase + Suplaterale = 256 + 1040 = 1296 cm2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
256 ∙ 31,5
3= 256 ∙ 10,5 = 2688 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2688 ∙ 7,1 = 19084,8 𝑔
3D Geometria solida – Piramide - 11
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Una piramide regolare quadrangolare ha il perimetro di base
che misura 40 dm e l’altezza che misura 9 dm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è
fatta di sughero (ps 0,25).
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 40 𝑐𝑚 = 9 𝑐𝑚 𝑝𝑠 = 0,25 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ? 𝑃 =?
lbase =2p
4=
40
4= 10 cm
Abase = l2 = 102 = 100 cm2
pbase =2p
2=
40
2= 20 cm
a = h2 + l
2
2
= 92 + 52 = 81 + 25 = 106 = 10,29 cm
Slaterale = pbase ∙ a = 20 ∙ 10,29 = 205,8 cm2 Stotale = Supbase + Suplaterale = 100 + 205,8 = 305,8 cm2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
100 ∙ 9
3= 100 ∙ 3 = 300 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 300 ∙ 0,25 = 75 𝑔
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La Piramide di Zoser (Saqqara), a 6 gradoni di granito, ha
base rettangolare (121 m per 109 m) ed è alta 60 m. Calcola la superficie totale, il volume e il peso (ps 2,3 – valore del calcare) di una piramide con queste caratteristiche.
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑎 = 121 𝑚 𝑏 = 109 𝑚 = 60 𝑚 𝑝𝑠 = 0,25 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ? 𝑃 =?
Sbase = ab = 121 ∙ 109 = 13189 m2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
13189 ∙ 60
3= 13189 ∙ 20 = 2374020 𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2374020 ∙ 2,3 = 5460246 𝑡 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 5,4 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑑𝑖 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑙𝑎𝑡𝑒
a1 = h2 + b
2
2
= 602 + (121/2)2 = 7260,25 = 85,21 m
a1 = h2 + a
2
2
= 602 + (109/2)2 = 6570,25 = 81,06 m
S1 =a ∙ a1
2=
121 ∙ 85,21
2= 5155,21 m2
S2 =a ∙ a2
2=
109 ∙ 81,06
2= 4417,77 m2
Stotale = Sbase + 2S1 + 2S2 Stotale = 13189 + 2 ∙ 5155,21 + 2 ∙ 4417,77 = 32334,96 m2
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3D Geometria solida – Piramide - 12
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Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di
base di 72 cm e ha un peso di 11664 g. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua
superficie totale e il volume.
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 72 𝑐𝑚 𝑃 = 11664 𝑔 𝑝𝑠 = 2,7 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ?
lbase =2p
4=
72
4= 18 cm
Sbase = l2 = 182 = 324 cm2
pbase =2p
2=
72
2= 36 cm
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑃
𝑝𝑠=
11664
2,7= 4320 𝑐𝑚3
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 =3 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒=
3 ∙ 4320
324=
4320
108=
2160
54=
1080
27= 40 𝑐𝑚
a = h2 + l
2
2
= 402 + 18
2
2
= 1600 + 81 = 1681
= 41 cm Slaterale = pbase ∙ a = 36 ∙ 41 = 1476 cm2 Stotale = Sbase + Sl = 324 + 1476 = 1800 cm2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
3=
324 ∙ 40
3= 108 ∙ 40 = 4320𝑐𝑚3
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Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di
base di 576 cm2 e una superficie laterale di 720 cm2. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo fatto di gesso (2 g/cm3).
Piramide retta a base quadrangolare
𝑆𝑏 = 576 𝑐𝑚2 𝑆𝑙 = 720 𝑐𝑚2
𝑆𝑓 =𝑆𝑙4
=720
4= 180 𝑐𝑚2
𝑎 =𝑆𝑓 ∙ 2
𝑙=
180 ∙ 2
24=
180 ∙ 1
12=
30
2= 15 𝑐𝑚
𝑝𝑟𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 152 − 122 = 225 − 144 = 9 𝑐𝑚
𝑉 =𝑆𝑏 ∙
3=
576 ∙ 9
3=
576 ∙ 3
1= 1728 𝑐𝑚3
3D Geometria solida – Piramide - 13
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Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di
base di 1764 cm2 e l’altezza pari a 28 cm. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo fatto di un
materiale che ha un peso specifico di 0,8 g/cm3.
Piramide retta a base quadrangolare 𝑆𝑏 = 1764 𝑐𝑚2 = 28 𝑐𝑚
𝑠 = 𝑆𝑏 = 1764 = 42 𝑐𝑚 2𝑝 = 4𝑙 = 4 ∙ 42 = 168 𝑐𝑚
𝑎 = 𝑠
2
2
+ 2 = 212 + 282 = 441 + 784 = 1225 = 35 𝑐𝑚
𝑆𝑙 = 𝑝 ∙ 𝑎 =2𝑝
2∙ 𝑎 =
168
2∙ 35 = 84 ∙ 35 = 2940 𝑐𝑚2
𝑆𝑡 = 𝑆𝑏 + 𝑆𝑙 = 1764 + 2940 = 13104 𝑐𝑚2
𝑉 =𝑆𝑏 ∙
3=
1764 ∙ 28
3=
588 ∙ 28
1= 16464 𝑐𝑚3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 16464 ∙ 0,8 = 13171,2 𝑔
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Keywords
Geometria, geometria solida, geometria 3D, piramidi, piramide, poliedri, volume, superficie totale, superficie laterale, problemi di geometria con soluzioni, Matematica, esercizi con soluzioni.
Geometry, 3D, Pyramid, Polyhedron, Volume, Volumes, Geometry Problems with solution, Math.
Geometría, 3D, Volumen, Pirámide, Poliedro, perímetro, Matemática.
Géométrie, 3D, Volume, Pyramide, Polyèdre, périmètres, Mathématique. Geometrie, 3D, Volum, Pyramide, Parallelepiped, Parallelverschiebung,
Mathematik.