POSTOTNI RAUN

POJAM POSTOTKA UVOD

Gdje se sve javlja postotak u svakodnevnom ivotu? porez, cijene-snienje i povienje, izraun plaa, razne ankete, rezultati izbora, sportska statistika, kamate i krediti, razne statistike u zemljopisu ... PRIMJER1 Na koarkakoj utakmici prvi igra gaao je u ko 50 puta, a pogodio 32 puta. drugi igra gaao je ko 25 puta, a pogodio je 20 puta. a) Koji je igra zabio vie koeva? b) Koji je igra bolje gaao? c) Koliko bi koeva postigao svaki igra da je gaao 100 puta, uz pretpostavku da su zadrali istu efikasnost gaanja? a) Prvi igra postigao je vie koeva. b) Bolje je gaao onaj igra koji ima bolji omjer pogodaka u odnosu na broj pokuaja. 32 : 50 = 0,64 20 : 25 = 0,8 Bolje je gaao drugi igra. c) Razmatramo upravno proporcionalne veliine. 32 : 50 = x : 100 20 : 25 = x : 100 50x = 320 25x = 200 x = 64 x = 80 drugi nain: 2x50 pokuaja, 2x32 pogodaka, znai od 100 pokuaja 64 pogodka 4x25 pokuaja, 4x20 pogodaka, znai od 100 pokuaja 80 pogodaka. Da su gaali 100 puta, prvi bi igra pogodio 64 puta, a drugi 80 puta. Uobiajeno je da se omjer pogodaka u odnosu na broj pokuaja prikazuje kao postotak. Dobiveni brojevi su postotak uta svakog igaa. Prvi igra ima postotak uta 64%, a drugi 80%. U postotnom raunu razmatrane veliine usporeujemo sa 100. PRIMJER 2: Pri transportu voa doputeno je da se 5% koliine oteti. Objasni! Na 100 kg voa, smije se otetiti 5 kg. Prema podacima Svjetske zdravstvene organizacije, meu umrlima od raka plua 95% su puai. Objasni! Od 100 umrlih od raka plua, 95 su puai. Zvonko je 35% eparca potroio na sladoled. Objasni! Ako je eparac iznosio 100 kuna, Zvonko je na sladoled potroio 35 kuna. Na saobraajnom znaku nalazi se oznaka koja upozorava da je ispred nas brijeg s nagibom 10%. Objasni! Na 100 m cesta se uzdie (sputa) 10 metara. U nekom razredu ima 12% neopravdanih izostanaka. Objasni! Ako su uenici tog razreda izostali 100 sati, 12 ih je neopravdano. Kamatna stopa na tednju iznosi 4,5% godinje. Objasni! Za 100 kuna, nakon godinu dana dobije se 4,50 kuna kamata. U postotnom raunu 100 predstavlja cjelinu, a postotak dio te cjeline.

PRIMJER 3: Od ukupnog broja uenika u nekom razredu, 100% su deki. Svi uenici u razredu su deki. Na jedno pitanje u anketi 100% ispitanika odgovorilo je s DA. Svi ispitanici odgovorili su sa DA. U jednom razredu 100% izostanaka je opravdano. Svi izostanci su opravdani. Uoimo: mi ne znamo koliko je uenika u razredu, koliko je bilo ispitanika u anketi ni koliko je bilo sati izostanaka. PRIMJER 4: 71% povrine Zemlje je more. Koji postotak Zemljine povrine zauzima kopno? Kopno zauzima 29% Zemljine povrine. U jednom razredu 30% uenika su deki. Koji je postotak djevojaka u razredu? Djevojaka je 70% U jednoj koli, prema anketi 38% uenika su puai. Koji je postotak nepuaa meu uenicima te kole? Nepuaa je 62%. U jednoj trgovini 45% prometa otpada na subotu i nedjelju. Koji se postotak prometa ostvaruje u ostalim danima u tjednu? U ostalim danima ostvari se 55% prometa. Nekoj robi cijena je sniena 15%. Koji postotak od stare cijene ini nova cijena te robe? Nova cijena je 85% stare cijene. Razlikujemo cjelinu i dio cjeline. Cjelini odgovara 100, a dijelu cjeline odgovara postotak. Postotak opisuje koliko je velik dio u odnosu na cjelinu. PRIMJER 5: Koarka je na jednoj utakmici imao postotak uta 50%. to to znai? Ako je gaao ko 100 puta, pogodio je 50 puta. Ako je gaao ko 30 puta, pogodio je 15 puta. Ako je gaao ko 10 puta, pogodio je 5 puta. U nekom razredu ima 12% neopravdanih izostanaka. Objasni! Ako su uenici tog razreda izostali 100 sati, 12 ih je neopravdano. Ako su uenici tog razreda izostali 200 sati, 24 ih je neopravdano. Ako su uenici tog razreda izostali 500 sati, 60 ih je neopravdano. Ako su uenici tog razreda izostali 50 sati, 6 ih je neopravdano. Prema podacima Svjetske zdravstvene organizacije, meu umrlima od raka plua 95% su puai. Objasni! Od 100 umrlih od raka plua, 95 su puai. U hrvatskoj od raka plua svake godine umre oko 2000 ljudi. Koliko je od njih otprilike puaa? Od 1000 ih je oko 950 puaa, a od 2000 ih je oko 1900 puaa. Cijena cipela sniena je 15%. to to znai? Ako su cipele kotale 100 kuna, cijena je sniena za 15 kuna, pa sada kotaju 85 kn. Ako su cipele kotale 200 kuna, cijena je sniena za 30 kuna, pa sada kotaju 170 kn. Ako su cipele kotale 400 kuna, cijena je sniena za 60 kuna, pa sada kotaju 340 kn.

VELIINE U POSTOTNOM RAUNU Vidjeli smo da u postotnom raunu razlikujemo cjelinu i dio cjeline. Cjelini odgovara 100, a dijelu cjeline odgovara postotak. Postotak opisuje koliko je velik dio u odnosu na cjelinu. Da bismo se lake sporazumjeli, ovim veliinama dati emo nazive i oznaiti ih oznakama koje se uobiajeno koriste. Cjelinu nazivamo osnovica i oznaavamo sa S. Dio cjeline nazivamo postotni iznos i oznaavamo s P. Postotak oznaavamo s p. Osnovica je broj od kojeg raunamo postotak. Postotni iznos govori koliko iznosi p% od osnovice Odredi to je u ovim primjerima osnovica, to postotni iznos, a to postotak. Danim brojevima pridrui odgovarajue oznake: PRIMJER 6: Od 32 uenika u razredu, njih 4 moraju polagati popravni ispit, to je 12,5% uenika tog razreda. Osnovica je broj uenika u razredu. S = 32 Postotni dio je broj uenika koji idu na popravni. P = 4 p = 12,5

PRIMJER 7: U 1991 godini na podruju Hrvatske od raka bronha umrlo je 2250 osoba. Njih 2160, ili 96% bili su puai. Osnovica je ukupan broj umrlih od raka bronha S = 2250 Postotni dio je broj umrlih koji su bili puai P = 2160 p = 96 PRIMJER 8: Minuta telefonskog razgovora za simpa broj je 50 lipa, bez poreza. Porez na dodanu vrijednost (PDV) zaraunava se po stopi 22% i iznosi 11 lipa. Cijena minute razgovora kad uraunamo porez iznosi 61 lipu. Osnovica je cijena bez poreza S = 50 Postotni iznos je iznos poreza P = 11 Postotak je stopa po kojoj se zaraunava porez p = 22 to je 61 lipa? To je cijena uveana za iznos poreza, tj. osnovica uveana za postotni iznos. S + P = 61 PRIMJER 9: Cijena cipela bila je 420 kuna. No trgovina na sve artikle sada daje popust 15%. Za ove cipele popust iznosi 63 kune, i sada se mogu kupiti za 357 kuna Osnovica je prvotna cijena cipela S = 420 Postotak je postotak snienja p = 15 Postotni iznos je iznos snienja P = 63 Sniena cijena je osnovica umanjena za postotni iznos S P = 357 Buduu da cjelini (osnovici) odgovara 100, a dijelu cjeline (postotnom iznosu) odgovara postotak, za te veliine vrijedi razmjer: S : 100 = P : p ili S : P = 100 : p Pomou ovog razmjera moemo izraunati bilo koju veliinu koja se javlja u postotnom raunu. Nepoznato S: Nepoznato p: Nepoznato P:

S : P = 100 : p S : P = 100 : p S : P = 100 : p Sp = 100P Sp = 100P 100P = Sp S = 100P/p p = 100P/ S P = S p/100

PRIMJER 10: Od 28 uenika koji su pisali test, 7 ih je napisalo za odlian. Koliko je to posto? Osnovica je broj uenika koji su pisali test, a postotni iznos je broj onih koji su napisali za odlian. Trai se postotak. S = 28 Razmjer: S : P = 100 : p Formula: p = P/ S 100 P = 7 28 : 7 = 100 : p p = 7/ 28 100 p = ? 28 p = 700 p = 25 % p = 700/28 p = 25 % PRIMJER 11: U jednoj koli ima 294 djevojice, to je 56% uenika kole. Koliko ima ukupno uenika u koli? Koliko ima djeaka? Osnovica je ukupan broj uenika kole, a broj djevojica je postotni iznos. p = 56 Razmjer: S : P = 100 : p Formula: S = 100P/p

P = 294 S p = 100 P S = 100 294/56 S = ? S = 100P/p S = 525

S = 100 294/56 S = 525 Broj djeaka: S P = 525 294 = 231 Ukupno ima 525 uenika, od toga 231 djeak. PRIMJER 12: Sindikat se izborio za poveanje plaa od 6%. Za koliko e se kuna poveati plaa od 3750 kuna? Koliko kuna iznosi poveana plaa? Osnovica je plaa, a postotni iznos je iznos za koji se plaa povea. S = 3750 Razmjer: S : P = 100 : p Formula: P = S p/100

p = 6 3750 : P = 100 : 6 P = 3750 6/100

P = ? 100 P = 3750 6 P = 225

P = 3750 6/100 P = 225 Poveana plaa: S + P = 3750 + 225 = 3925 Plaa e se poveati za 225 kuna. Poveana plaa iznosi 3925 kuna. PRIMJER 13: Bruto teina robe iznosi 4750 kg, a tara je 3%. Kolika je tara, a koliko neto teina robe? Bruto = neto + tara roba s ambalaom roba ambalaa

S=4750 P=4750 3/100=142.5 Tara je 142.5kg. p=3 S-P=4750-142.5=4607.5 Neto teina robe je 4607.5kg. PRIMJER 14: Cijena hlaa sniena je sa 270 kuna na 189 kuna. Za koliko je kuna sniena cijena? Koliki je postotak snienja? Osnovica je stara cijena. Postotni iznos je iznos za koji je cijena sniena. Sniena cijena je osnovica umanjena za postotni iznos. 270 189 = 81 Cijena je sniena za 81 kunu.

S = 270 p = P/S 100

P = 81 p = 81/270 100

p = ? p = 0.3 100 p = 30 % Cijena je sniena za 30% to bismo dobili da smo raunali 189/270?

189/270 100 = 70 Sniena cijena ini 70% poetne cijene. Znai da je snienje 30%.

POSTOTAK KAO RAZLOMAK I DECIMALNI BROJ Kako izraunati postotak? Rekli smo da u postotnom raunu veliine usporeujemo sa 100. Zvonko je 35% eparca potroio na sladoled. Objasni! Ako je eparac iznosio 100 kuna, Zvonko je na sladoled potroio 35 kuna. 35% znai 35 od 100. To moemo zapisati kao razlomak 35/100

U formuli za postotni iznos imamo: P = S p/100 Postotak moemo zapisati kao razlomak s nazivnikom 100 ili kao decimalni broj. p%=p/100 PRIMJER 15: Zapii postotak kao razlomak i kao decimalni broj. 35% = 35/100 = 0,35 60% = 60/100 = 0,6 6% = 6/100 = 0,06 15% = 15/100 = 0,15 1,5%= 1,5/100= 0,015 120%=120/100= 1,2 PRIMJER 16: Razlomke i decimalne brojeve zapii kao postotke: 44/100 = 0,37 = 7/100 = 0,09 = 23/50= 0,567 = 235/100 = 1,45 = Postotak zapisan kao razlomak ili decimalni broj moemo koristiti kada raunamo koliko iznosi traeni postotak od nekog broja. Na taj nain moemo bre izraunati postotni iznos. Koliko je 64% od 50 ?

64% od 50 = 64/100 50 = 0,64 50 = 32 Koliko je 12,5% od 3740?

12,5% od 3740 = 12,5/100 3740 = 0,125 3740 = 467,5 Zadatak: Izraunaj pomou kalkulatora:

11% od 36 = 0,11 36 = 3,96 28% od 470 = 70% od 1320 = 1,5% od 80 = 140% od 90 = Neke postotke lako je izraunati na pamet. 50% = 50/100 = 1/2 50% je polovina 50% od 240 = 120 25% = 25/100 = 1/4 25% je etvrtina 25% od 240 = 60 10% =10/100 = 1/10 10% je desetina 10% od240 = 24

20% je dva puta po 10% 20% od 240 = 2 24 = 48

5% je pola od 10% 5% od 240 = 1/2 24 = 12 15% je 10% + 5% 15% 0d 240 = 24 + 12 = 36

Zadatak: Izraunaj na pamet: 10% od 345 15% od 500 20% od 65 80% od 1200 Zadatak: Pokuaj to bre i tonije procijeniti rezultat: 12% od 70 35% od 270 70% od 29 28% od 120 65% od 1125 Igra : Tko e bre i tonije procijeniti. Igra se u paru. Uenici dobivaju kartice na kojima je zapisan zadadtak (koliko je 17% od 36). Svaki uenik zapisuje na papir svoju procjenu. Zatim se rezultat provjerava kalkulatorom. Pobjednik je onaj uenik koji ima manji zbroj greaka. Koristei injenicu da je postotak razlomak s nazivnikom 100, moemo ubrzati raunanje nekih zadataka: PRIMJER 17: Sandale su kotale 220 kuna. Sada je u trgovini popust 15%. Koliko kuna treba platiti za sandale na popustu?

S = 220 P = 220 0,15 = 33 p = 15 S P = 220 33 = 187 Za sandale na popustu treba platiti 187 kuna. P = ? S P = ? No raun moemo jo skratiti! Sandalama je cijena sniena 15%. Koji postotak od stare cijene ini nova cijena? Nova cijena je 85% stare cijene.

S P = 220 0,85 = 187 PRIMJER 18: Na prodajnu cijenu 1270 kuna treba jo dodati porez na dodanu vrijednost 22%. Kolika je maloprodajna cijena (cijena s porezom)?

S = 1270 P = 1270 0,22 = 279.4 p = 22 S + P = 1270 + 279,4 = 1549,4 Maloprodajna cijena je 1549,40 kuna. P = ? S + P = ? I ovdje raun moemo skratiti! Na prodajnu cijenu dodaje se porez 22%. Koji postotak od prodajne cijene ini cijena s porezom? Cijena s porezom je 122% prodajne cijene.

S + P = 1270 1,22 = 1549,4 Sami izaberite na koji ete nain raunati ovakve zadatke!

PRIMJER 19: U nekoj trgovini roba prvo poskupi 20%, a nakon toga pojeftini 20%. Kakva je konana cijena robe u odnosu na poetnu? Uzmimo da je poetna cijena 100 kuna. Ovo je vaan primjer. Zatraimo od uenika da pogaaju, i veina e rei da e se cijena vratiti na 100 kuna. Pretpostavku treba provjeriti raunom. poskupljenje:

P=100 20/100=20, S+P=120 snienje:

P=120 20/100=24 S-P=120-24=96 Konana cijena iznosi 96 kuna i nia je od poetne cijene. Zato se cijena nije vratila na poetnu cijenu, iako se promijenila za isti postotak? Zato to se taj postotak izraunava od razliitih osnovica. PRIMJER 20: U trgovini Maja cijene su poveane 10%, a nakon toga jo 5 %. U trgovini Ana cijene su poveane odmah za 15%. Jesu li u obje trgovine cijene jednako porasle? Pretpostavimo da je poetna cijena 100 kuna. Trgovina Maja: trgovina Ana: Poetna cijena 100 poetna cijena 100 Prvo poskupljenje 10 poskupljenje 15 Cijena nakon poskupljenja 110 cijena nakon poskupljenja 115 Drugo poskupljenje 5,5 Cijena nakon drugog poskupljenja 115,5 Vie su porasle cijene u trgovini Maja (15,5%). PRIMJER 21: U trgovini Petra pletena vesta kotala je 250 kuna. Vlasnica trgovine povisila je cijenu 20%, ali je nakon mjesec dana opet snizila cijenu 20%.

a) Koliko kota vesta nakon ovih promjena? b) Za koji postotak treba sniziti cijenu veste, ako elimo da se ona vrati na poetni iznos?

a) Poetna cijena 250

Poskupljenje 250 0,2 = 50 Cijena nakon poskupljenja 250 + 50 = 300

Snienje 300 0,20 = 60 Cijena nakon snienja 300 60 = 240

Nakon ovih promjena cijena veste je 240 kuna. To je za 10 kuna manje od poetne cijene b) Cijena veste treba od 300 kuna oasti na 250 kuna. Znai, treba ju sniziti za 50 kuna.

S = 300 p = P/S 100

P = 50 p = 50/300 100 p = ? p = 16,67% Ako je cijena veste poviena za 20%, treba ju sniziti za 16,67% da bi se vratila na poetni iznos.

Izraun maloprodajne cijene Trgovina nabavlja robu u veleprodaji, po fakturnoj cijeni, a prodaje ju po maloprodajnoj cijeni. Maloprodajna cijena se izraunava tako da se na fakturnu cijenu doda iznos mare i dobije se prodajna cijena. Na prodajnu cijenu se jo doda iznos poreza na dodanu vrijednost i tako se dobije maloprodajna cijena. (Osim mare, fakturnoj cijeni se jo dodaju i trokovi, ali o tome ete vie uiti u predmetu Trgovinsko poslovanje u treem razredu.) Fakturna cijena + mara = prodajna cijena Prodajna cijena + porez = maloprodajna cijena Mara je zarada trgovca, i obino se zaraunava u nekom postotku od fakturne cijene. PRIMJER 22: Trgovina je nabavila suknje po 180 kuna. Na fakturnu cijenu treba dodati 20% mare i PDV 22%. Izraunaj maloprodajnu cijenu suknji. Fakturna cijena 180

Mara 180 0,20 = 36 Prodajna cijena 180 + 36 = 216

PDV 216 0,22 = 47,52 Maloprodajna cijena 216 + 47,52 = 263,52 PRIMJER 23: Trgovac je robu nabavio po fakturnoj cijeni 300 kuna. Na tu cijenu odluio je dodati maru u iznosu od 45 kuna. U kojem postotku je trgovac odredio maru? Po kojoj e maloprodajnoj cijeni prodavati robu? Fakturna cijena 300 postotak mare S = 300 Mara 45 P = 45 Prodajna cijena 300 + 45 = 345 p = ?

PDV 345 0,22 = 75,90 p = P/S 100

Maloprodajna cijena 345 + 75,90 = 420,90 p = 45/300 100 = 15% Trgovac je zaraunao 15% mare, i robu e prodavati po maloprodajnoj cijeni od 420,90 kuna. PRIMJER 24: Popuni tablicu:

Fakturna cijena

Mara 12%

Prodajna cijena

Porez 22% Malorodajna cijena

10.5

75

10.5

48

POSTOTNI RAUN KADA JE ZADANA VE UVEANA ILI VE UMANJENA VRIJEDNOST PRIMJER 25: Cijena neke robe bez poreza je 200 kuna. Koja je cijena te robe s porezom? (PDV 22%)

S=200 P=200 22/100=44 Porez iznosi 44 kune p=22 S+P=200+44=244 Cijena s porezom je 244 kune. P=?, S+P=? Sjetimo se, do te smo cijene mogli doi i ovako: Cijena robe zajedno s porezom je 122% cijene bez poreza:

200 1,22=244 Koristei oznake, raun moemo opisati ovako:

S+P=S+S p/100=S(1+p/100) No esto se javlja potreba da odgovorimo na ovakvo pitanje: PRIMJER 26: Cijena robe s porezom je 244 kune. Kolika je cijena bez poreza, a koliko iznosi porez? (PDV 22%) Sada je zadana cijena ve uveana za porez, a trai se cijena bez poreza. Usporedimo s prethodnim primjerom! to je u ovom zadatku zadano, a to se trai? Zadana je cijena robe s porezom, S+P Trai se cijena bez poreza, S i iznos poreza, P. S+P=244 p=22 S=?, P=?

Kako smo doli do brojke 244 u prethodnom primjeru? 200 1,22=244 Znai da sada trebamo dijeliti: 244:1,22=200 244-200=44 Cijena bez poreza je 200 kuna, a iznos poreza je 44 kune. Kako taj raun moemo iskazati matematikom formulom? S+P=S(1+p/100) S=(S+P)/(1+p/100) Ako je poznata osnovica uveana za postotni iznos, osnovicu moemo nai pomou formule: S=(S+P)/(1+p/100) PRIMJER 27: U frizersom salonu "Lana" cijena pramenova je 200 kuna. U prosincu je vlasnica uvela prigodan boini popust od 20%. Koliko treba platiti pramenove u prosincu?

S=200 P=200 20/100=40 p=20 S-P=200-40=160 U prosincu pramenove treba platiti 160 kuna. P=?, S-P=? Prisjetimo se, to smo mogli izraunati i ovako: Sniena cijena iznosi 80% poetne cijene.

200 0,80=160 Koristei oznake, raun moemo pisati ovako:

SP=SS p/100=S(1p/100)

Pitanje moemo postaviti i drugaije: PRIMJER 28: U frizerskom salonu "Lana" u prosincu je bio boini popust 20% i Marija je pramenove platila 160 kuna. Koja je cijena pramenova u tom salonu, kad nema popusta? to je sada zadano, a to se trai? Zadana je ve umanjena cijena, a trai se cijena prije smanjenja. S-P=160 S=160:0,80=200 Cijena bez snienja je 200 kuna. p=20 S=? Kako taj raun moemo iskazati matematikom formulom? SP=S(1p/100) S=SP/(1p/100) Ako je poznata osnovica uveana za postotni iznos, osnovicu moemo nai pomou formule: S=(SP)/(1p/100) PRIMJER 29: Plaa radnika poveana je 7% i sada iznosi 3481,78 kuna. Kolika je bila plaa prije poveanja? S + P = 3481,78 S = (S+P)/(1+p/100) p = 7 S = 3481,78/1,07 S = ? S = 3254 Prije poveanja plaa je bila 3254 kune. PRIMJER 30: U frizerskom salonu "Mirna" moe se plaati kreditnim karticama. Za plaanje gotovinom vlasnica daje 10% popusta. a) Ako je bojenje kose karticom plaeno 160 kuna, koliko bi tu uslugu platili gotovinom? (144) b) Ako je ianje s frizurom gotovinom plaeno 90 kuna, koliko bi trebalo platiti karticom? (100) PRIMJER 31: Trgovac je nabavio robu po fakturnoj cijeni od 150 kuna, a namjerava ju prodavati po maloprodajnoj cijeni od 240 kuna. Nai prodajnu cijenu, iznos i postotak mare za tu robu. Prodajna cijena je cijena bez PDV-a: 240/1,22 = 196,72 Iznos mare 196,72 150 = 46,72

Postotak mare 46,72/150 100 = 31,15% Prodajna cijena je 196,72 kune, mara iznosi 46,72 kune i zaraunata je u 31,15%.