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Procesamiento Digital de Señales
Bioinformática
Fundamentos Matemáticos1.- Forma Compleja o Exponencial de la Serie de FourierII.- Transformada de FourierIII. -Transformada de Laplace
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Función periódicaUna Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T) (1)
A la constante mínima para la cual se cumple (1) se la denomina periodo de la función
Aplicando sucesivamente la propiedad se puede obtener:
f(t)=f (t + nT), donde n=0,±1, ± 2, ±3,...
2 DSP- Bioinformática
Forma Trigonométrica de la serie de Fourier
Serie Trigonométrica de Fourier:f(t) = a0 + a1cos(ω0t)+a2cos(2ω0t)+...+
+ b1sen(ω0t)+b2sen(2ω0t)+...
Donde ω0=2π/T.
Es decir,
3 DSP- Bioinformática
Coeficientes de Fourier
Si f (t) está definida en el intervalo –T/2<t<T/2 y es periódica de período T entonces los coeficientes de Fourier se calculan mediante las expresiones:
4 DSP- Bioinformática
Una expresión más compacta para la Serie Trigonométrica de Fourier
5 DSP- Bioinformática
Cálculo del ángulo de fase
6 DSP- Bioinformática
¿ Qué información nos brinda esta representación de la señal?
DSP- Bioinformática7
Su composición en frecuenciaLa señal aparece como una suma de
oscilaciones cosenoidales que se denominan componentes “armónicos”
El término n-ésimo se denomina “armónico n-ésimo”:
¿Qué información brinda a0 ?
DSP- Bioinformática8
a0 representa el valor promedio de la señal en un intervalo de longitud igual al período.
¿Cómo se representa gráficamente la información que brinda cada armónico?
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Mediante dos gráficos:
Espectro Discreto unilateral de línea
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Espectro Discreto de Magnitud (Amplitud) y Fase
Forma Exponencial o Compleja de la serie de Fourier
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Forma Exponencial de la Serie de Fourier
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Forma Exponencial de la serie de Fourier
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Forma Exponencial de la serie de Fourier
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Forma Exponencial de la serie de Fourier
Series de Fourier. 15 DSP- Bioinformática
Los coeficientes cn son números complejos, y se pueden escribir en forma polar:
Donde ,
Para n=0, c0 es un número real:
Series de Fourier. 16
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función:
Forma Exponencial de la serie de Fourier
Forma Exponencial de la serie de Fourier
Series de Fourier. 17
Solución.
Series de Fourier18
Forma Exponencial de la serie de Fourier
n distinto de 0
Espectro de amplitud
Series de Fourier. 19
Ejemplo. Para la función ya analizada:
Se encontró que
Por lo tanto,
n distinto de 0
Espectro de amplitud o magnitud
Series de Fourier20
Forma Exponencial de la serie de Fourier
Series de Fourier. 21
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:
1f(t)
t. . . -T -T /2
0
T/2 T
. . .
p
-p/2 p/2
f t ={0
−T2
<t<−p
2
1− p
2<t<
p2
0p2
<t<T2
}
Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T
Series de Fourier. 2222
Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan reales:
Gráfica de Cn para cada frecuencia nω0
Series de Fourier23
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2
0
0.2
0.4
0.6
w=nw0
cn
p=1, T=2
De la Serie de Fourier a la transformada de Fourier
Series de Fourier24
¿ Podemos obtener información de la composición en frecuencia de una señal no periódica?
De la Serie de Fourier a la transformada de Fourier
Series de Fourier. 25
Ejemplo. pulso rectangular
La expresión en el dominio t de la función es
De la Serie de Fourier a la transformada de Fourier
Series de Fourier. 26
Si el periodo del tren de pulsos aumenta:
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=2
t
f(t)
t-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=5
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=10
t
f(t)
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T=20
t
f(t)
De la Serie de Fourier a la transformada de Fourier
Series de Fourier. 27
En el límite cuando T→∞, la función tiende al pulso:
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?
-20 -10 0 10 200
0.5
1
1.5
p=1, T->∞
t
f(t)
Series de Fourier. 28
De la serie a la Transformada de Fourier
29
Transformada de Fourier30
Transformada de Fourier31
f t =1
2 π∫−∞
∞
F ω e jω td ω
F ω =∫−∞
∞
f t e− jω td t
Integral de Fourier y Transformada de Fourier
Series de Fourier. 32
Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es
-p/2 0 p/2
1f(t)
t
f t ={0 t<
−p2
1− p
2<t<
p2
0p2
<t }
Series de Fourier. 33
Integrando
Usando la fórmula de Euler
.