procesi-tecenja

Procesi tečenja u tlu Seminarski Rad

1 A.Skejić

TEČENJE VODE U TLU

K.Terzaghi : “U inženjerskoj praksi, problem nije tlo, kao tlo, nego voda koja se nalazi u porama. Na planeti bez vode ne bi bilo potrebe za mehanikom tla”.

UVOD

Kako u prošlosti, tako i danas, pored toga što koristi, voda uveliko stvara i probleme. Borba inženjera sa vodom u tlu često je završavala, a i danas vrlo često završava pobjedom vode. U kombinaciji sa ljudskim djelovanjem, voda uzrokuje katastrofe širokih razmjera. Pokretanje masa tla (klizišta), rušenje brana, poplave, narušavanje funkcionalnosti podzemnih konstrukcija, samo su neki od slučajeva kada je zbog neadekvatnog kontrolisanja vode narušena sigurnost ljudi i nanesena velika materijalna šteta. Regulisanje, stavljanje pod kontrolu i općenito, zaštita od štetnog djelovanja vode, podrazumijeva prije svega poznavanje općih principa problematike strujanja vode kroz tlo. Ti opći prinicipi su Darcy-jev zakon i Laplace-ova jednadžba. Ipak, previše je heterogenosti u tlu i stijeni, pa svako poštivanje teoretskih principa ne vodi uvijek do sigurnog, pouzdanog i ekonomski opravdanog rješenja zbog netočnosti ulaznih podataka. Otuda, uloga iskustva stečenog kroz lokalnu praksu, u kombinaciji sa općim principima, bolje od svakog drugog pristupa, može dovesti do željenog rješenja problema. U nastavku su objašnjeni osnovni pojmovi vezani za problematiku tečenja vode u tlu.

1. Ukupni potencijal i hidraulički gradijent Pore u tlu su međusobno povezane, pa voda teče kroz tlo, krećući se pri tome od točaka sa većim potencijalom ka točkama sa manjim potencijalom. Ukupni potencijal se definiše tzv. Bernulli-jevom jednadžbom, u obliku :

Zg

vuhw

++=2

2

γ (1)

to je jednadžba koja nam govori do koje visine (h) će se podići nivo u pijezometru (slamci) kada ga stavimo u mjernu točku. Ona kaže da je ukupni potencijal izražen u jedinici dužine, a predstavlja sumu utjecaja pritiska (u), brzine kretanja vode (v) i položajnog nivoa (Z). Položajni nivo je visina u odnosu na neku zamišljenu ravan prema kojoj se sve visine posmatraju (slika 1). Ako još uvedemo pretpostavku, da je brzina kretanja vode (v) kroz tlo, jednaka nuli (zanemarujemo udio kinetičke energije), što je realna pretpostavka, onda je ukupna energija uvjetovana samo položajem – potencijalna energija) :

Zuhw

+=γ

(2)


2 A.Skejić

h

Slika 1 : Ukupni potencijal i hidraulički gradijent

Posmatrajmo nivo u pijezometru za točke A i B. Voda je prešla udaljenost L, i na tom putu, zbog trenja, izgubila dio ukupnog potencijala. Taj gubitak potencijala, predstavlja razliku obilježenu na slici 1 sa Δh. Pad nivoa (Δh) na dužini L naziva se hidraulički gradijent. Hidraulički gradijent je bezdimenzionalana veličina i govori nam koliki je odnos između ranije definisanih Δh i L.

Lhi Δ

= (3)

2. Darcy-ev zakon

Strujanje vode kroz medij tla može biti laminarno i turbulentno. Kako je brzina kretanja vode u tlu dosta mala, rijetko može doći do turbulencije, tako da se tečenja smatra laminarnim i ta pretpostavka je praktično uvijek zadovoljena. U sklopu točke 8, opisan je pristup problemima semiturbulentnog i turbulentnog tečenja. Većina proračuna vezanih za procjeđivanje vode kroz tlo vezuje se za primjenu Darcy-evog zakona. Henry Darcy (1803. – 1858.), je francuski inženjer, koji je dao značajan doprinos za razvoj oblasti mehanike fluida, a njegov zakon kaže da je : „Brzina kretanja vode kroz tlo proporcionalna je hidrauličkom gradijentu i koeficijentu vodopropusnosti“. ikv ⋅= (4)

gdje je: i – hidraulički gradijent k – koeficijent vodopropusnosti v – fiktivna brzina, jer se pretpostavlja da voda teče cijelim poprečnim presjekom, a u stvarnosti teče samo kroz pore (slika 2). Iz uvjeta da je A = Av + As, dolazi se do veze između stvarne (vstvarno) i fiktivne brzine (v) procjeđivanja :

vstvarno = v/n (5)

L

uA/γw

Δ

uB/γw


3 A.Skejić

gdje je : n – porozitet

Slika 2 : Stvarna vs. fiktivna brzina

3. Određivanje koeficijenta vodopropusnosti

Stupanj vodopropusnosti tla se definiše koeficijentom vodopropusnosti (često se ovaj koeficijent naziva Darcy-jevim koeficijentom), čija se vrijednost određuje u laboratoriji, in-situ (na terenu, na licu mjesta) ili indirektno (npr. preko empirijskih korelacija). Izražava se u cm/sec (ili nekoj drugoj jedinici brzine). Ipak, on ne predstavlja brzinu kretanja vode kroz tlo, nego brzinu procjeđivanja kojoj odgovara hidraulički gradijent od 100%. Brzina je definisana ranije sa (4) i (5). Okvirne vrijednosti ovog koeficijenta iznose :

1,0 – 100 [cm/sec], za čisti šljunak < 0,000001 [cm/sec], za glinu

Prisustvo i najmanje količine sitnozrnog materijala u vodopropusnom, granularnom materijalu značajno smanjuje vodopropusnost. Intenzitet vodopropusnosti zavisi od viskoznosti vode (koja je u funkciji temperature i neznatno oscilira) od veličine pora (što je povezano sa oblikom, te gustoćom i rasporedom čestica) i od eventualnog prisustva diskontinuiteta.

3.1. Laboratorijsko određivanje vodopropusnosti Koeficijent vodopropusnosti u laboratoriji se određuje opitima sa konstantnim i opadajućim nivoom. Svaki laboratorijski određen koeficijent vodopropusnosti treba uzeti sa rezervom, jer na taj načim ispitujemo samo mali dio ukupne zapremine tla na kojem se planira gradnja. Ipak, postoje primjeri kada je laboratorijsko ispitivanje pouzdanije od terenskog. Npr. kod ispitivanja vodopropusnosti materijala za nasip ili nasutu branu. U tom slučaju, moguće je ostvariti zbijenost uzorka koja je planirana pri izvođenju i ispitati vodopropusnost. Logika laboratorijskih opita je da se izmjere vrijednosti potrebne za primjenu Darcy-evog zakona, te da se na osnovu njih računa nepoznata veličina vodopropusnosti koristeći uvjet da je protok jednak proizvodu brzine i površine presjeka okomitog na pravac tečenja.

As – površina čvrstih čestica

A = Ukupna površina Av = Površina pora


4 A.Skejić

3.1.1. Opit sa konstantnim nivoom Pogodan za visokopropusne materijale (pijesak, šljunak). Osnovna logika opita sa konstantnim nivo-om : protok kroz uzorak jednak je prikupljenoj vodi koja je prošla kroz uzorak.

3.1.2. Opit sa opadajućim nivoom Pogodan za slabopropusne materijale (glina). Traje dugo, pa bi eventualno korištenje opita za konstantnim nivoom dalo manje točne rezultate, zbog evaporacije vode. Osnovna logika opita sa opadajućim nivo-om : smanjenje nivoa u cjevčici iznad uzorka jednaka je protoku kroz uzorak. Očito je dakle, da nije praktična primjena testa sa opadajućim nivoom za granularne materijale, jer je vrijeme potrebno za opadanje nivoa u cjevčici veoma malo pa je veća mogućnost greške. Napomena : Protok (Q) je količina vode koja prođe kroz zamišljeni poprečni presjek (površine A) u nekom vremenu (t). Ako kažemo da se voda kreće prosječnom brzinom (v), onda se protok računa prema izrazu:

tvAQ ⋅⋅= [ ]3m (6) Detalji laboratorijskog određivanja vodopropusnosti Prilikom pripreme uzoraka, ne dozvoliti segregaciju. Preporuka je da se primjenjuje destilovana voda na temperaturi nešto većoj od sobne. Naime, zrak iz vode popunjava pore i kao posljedica dolazi do smanjenja vodopropusnosti. Opit se radi na temperaturi cca 20°, čime se eliminiše korekcija koja uzima u obzir viskozitet vode (vidi, točka 5).

3.2. Terensko određivanje vodopropusnosti Kada god je to moguće, a posebno kod istražnih radova vezanih za objekte većeg značaja, preporuka je da se primjenjuju neki od terenskih opita za određivanje vodopropusnosti. U nastavku je opisana logika opita crpljenje iz bunara. Primjer kako laboratorijsko određivanje vodopropusnosti može dovesti do netačnih rezultata prikazan je slikom 3. Čest je slučaj pojave proslojaka krupnozrnog materijala u prahovitoj glini. Ti proslojci, iako debljine svega par centimetara, mogu povećati vodopropusnost i preko 100 puta. Slika 3 : Proslojci granularnog materijala u prahovitoj glini značajano povećavaju vodopropusnost

CM

k = 100 cm/sec

k = 10-5 cm/sec

Proslojci pijeska Uzorak za ispitivanje vodopropusnosti


5 A.Skejić

3.2.1. Opit crpljenjem iz bunara Osnovni princip se sastoji u crpljenju vode iz centralnog bunara uz očitanje nivoa vode u nekoliko radijalno postavljenih mjernih tačaka (tzv. probnih bunara) oko bunara iz kojeg se crpi voda. Test se nastavlja dok se ne dostignu uvjeti stacionarnog tečenja. Kao i kod laboratorijskih opita, osnova za definisanje izraza za vodopropusnost je Darcy-ev zakon, s tim da se još uvodi pretpostavka da je hidraulički gradijent konstantan u svakoj točki vodonosnog sloja i da je jednak nagibu površine vode. Detalji opita crpljenjem iz bunara Dijametar centralnog bunara treba biti dovoljno velik za umetanje crpke projektom zahtjevanog kapaciteta. Crpljenje treba obuhvatiti cijeli vodonosni sloj. Dijametar probnih bunara treba da je svega 5,0 cm do 10,0 cm, da omogući umetanje nivomjera. Primjer nivomjera koji radi na principu slanja zvučnog signala u kontaktu sa vodom je primjer jednostavnog i praktičnog načina očitanja nivoa vode u probnim bunarima. Minimalno 4 probna bunara (po dva u dva radijalna pravca) moraju biti instalirana oko centralnog, što čini ovaj opit relativno skupim.

3.3. Određivanje vodopropusnosti indirektno Pored laboratorijskih i terenskih opita, često je korisno kao kontrolu, primjeniti indirektne korelacije za određivanje stupnja vodopropusnosti. U nastavku su definisani izrazi koje su predložili Hazen i Terzaghi.

3.3.1. Hazen (1930.) Na osnovu opita rađenih na čistom pijesku u rastresitom stanju, Hazen je predložio izraz :

)(sec)/( 2

10 cmDccmk ⋅= (7) gdje je : c – konstanta koja varira od 90 do 120 (najčešće 100) D10 – efektivni dijametar u [mm] Pogađate, čak i najmanja primjesa sitnozrnog materijala (glina, prah) znatno utiče na smanjenje koeficijenta vodopropusnosti, stoga oprez!

3.3.2. Terzaghi (1943.) Iz opita konslidacije, može se odrediti koeficijent vodopropusnosti, prema :

2Ht

mkT

vwv ⋅=γ

(8)

gdje je Tv vremenski faktor za odgovarajući postotak konsolidacije; k je koeficijent vodopropusnosti; γw je zapreminska težina vode; mv je koeficijent promjene volumena


6 A.Skejić

uzorka; t je vrijeme potrebno za dostizanje određeog postotka konsolidacije, a H je dužina dreniranja. Vrijednost mv se računa prema:

01 em v

v +=

α (9)

gdje je αv koeficijent konsolidacije de/dp, dok je e0 početni koeficijent pora.

4. Uzgon i sile procjeđivanja Čest je slučaj da usljed dejstva hidrostatskog pritiska na objekte u kontaktu sa vodom dođe do oštećenja ili gubika stabilnosti. Ako nema procjeđivanja, pritisak uzgona je jednostavno proizvod visine slobodnog nivoa i zapreminske težine vode. U slučaju da postoji procjeđivanje, intenzitet izdizanja se računa iz anlize mreže tečenja što je detaljnije opisano u sklopu točke 7.

4.1. Analogija sa loptom pod vodom Na slici 4 je prikazana šema lopte pod vodom koja miruje. Posmatrajmo sile koje djeluju na loptu. U težištu lopte djeluje rezultanta njene težine, dok suprotno od težine djeluje rezultanta pritiska vode, te je lopta "prividno" olakšana za veličinu sile U. Dakle, masa lopte ostaje ista, ali rezultanta sila koje na nju djeluju je smanjena. Sila U (uzgon) jednaka je proizvodu zapremine istisnute vode (zapremine cijele lopte ako je sva u vodi) i zapreminske težine vode (γw =9,81 kg/m3). Pošto je sopstvena težina lopte skoro pa jednaka nuli (većinski se sastoji od zraka), logično da je sila uzgona veća. Dakle, nema ravnoteže, pa mora postojati kretanje. Kretanje se dešava u smjeru djelovanja rezultante (R = U - GL), pa lopta "iskače" iz vode.

GL U

Slika 4 : Analogija sa loptom pod vodom

4.2. Tlo pod vodom Povežimo sada navedeno sa onim što se dešava u tlu koje se nalazi u vodi. Ako je tlo zasićeno, onda mu je stepen zasićenosti jednak jedinici (S=1,0), pore su mu u potpunosti ispunjene vodom, pa je tako opisan medij tla, jedan složeni sustav spojenih posuda, a zapreminska težina mu je jednaka γsat. Ako je tlo pod vodom, u potopljenom stanju (djelimično ili potpuno - kao što je to bila i lopta), onda je zapremiska težina toga tla jednaka : γ’ = γsat - γw (dakle, zasićenoj umanjenoj za zapreminsku težinu vode, tj. uzgon).


7 A.Skejić

4.3. Voda struji (procjeđuje se) kroz tlo Ukoliko se voda procjeđuje kroz tlo, rezultanta sila koje djeluju na tlo može biti veća ili manja od one kada se voda ne kreće. Dakle, sada pored zapreminske težine u zasićenom stanju γsat (na osnovu koje računamo sopstvenu težinu u zasićenom stanju), zapreminske težine vode γw (na osnovu koje određujemo veličinu sile uzgona), na tlo djeluje i sila procjeđivanja. Smjer ove sile zavisi od smjera kretanja vode. Ukupno djelovanje težine i vode na element tla jediničnog volumena, tla koje je uronjeno u vodu zovemo efektivna jedinična težina i označavamo sa γ″. To je rezultanta težine jediničnog volumena tla, te uzgona i pritiska vode:

γ″ = γsat - γw ± i⋅γw (10) γ″ = γ′ ± i⋅γw (11)

gdje je: i – hidraulički gradijent Težina djeluje prema dole, uzgon prema gore, a strujni tlak u smjeru strujanja. U slučaju strujanja vode prema dole, efektivna jedinična težina postaje veća od uronjene jedinične težine. U slučaju strujanja vode prema gore, pritisak od procjeđivanja djeluje prema gore i smanjuje jediničnu efektivnu težinu. Sa porastom hidrauličkog gradijenta (i), može doći i do situacije u kojoj efektivna jedinična težina ima negativnu vrijednosti, što znači da je rezultanta težine elementa tla i djelovanja vode usmjerena vertikalno prema gore. Dakle, dešava se situacija kao sa "loptom pod vodom"

4.4. Hidraulički slom dna građevne jame

Pri izvođenju zaštitnih konstrukcija u relativno visokopropusnom pjeskovitom tlu, može doći do sloma tla neposredno uz unutarnju stranu zaštitne konstrukcije. Obično se to dešava kod pjeskovitih i prahovitih nekohezivnih tala. Taj slom je posljedica procjeđivanja usmjerenog prema gore, koje “olakšava” tlo u toj zoni. Zašto se slom dešava upravo u zoni neposrdno uz građevnu jamu? Hidraulički gradijent nije konstantan, on predstavlja odnos pada potencijala na dužini. Ta dužina je najmanja neposredno uz rub građevne jame, pa je tu hidraulički gradijent najveći. Veći gradijent znači veće brzine vode i može doći do izdizanja ili do kreiranja stanja “živog” pijeska.

5. Temperatura i viskozitet vode

Na intenzitet koeficijenta vodopropusnosti utiče i viskozitet vode, pri čemu viskozitet zavisi od temperature. Tako se podaci o vodopropusnosti prilagođavaju standardizovanim laboratorijskim uvjetima i temperaturi od 20°C. Kako ta temperatura ne odgovara svim uvjetima, potrebna je korekcija koeficijenta vodopropusnosti, prema


8 A.Skejić

principu : hladnija voda, veći viskozitet, a manja vodopropusnost. Jedinica za koeficijent viskoziteta u SI sustavu je [Ns/m2]. Tako je koeficijent viskoziteta vode čija je temperature 20°C, 1,0 Ns/m2. Korekcioni faktori koji uzimaju u obzir viskozitet vode su prikazani dijagramom:

Slika 5 : Korekcioni faktor za prilagođavanje koeficijenta vodopropusnosti referentnoj temperaturi (20°C)

6. Jednadžba kontinuiteta

Laplace je bio francuski naučnik, koji se bavio matematikom i antronomijom. Njegov doprinos u mehanici fluida je matematski model tečenja vode kroz tlo. Uz pretpostavke da je tlo izotropno, te da su voda i tlo nekopresibilni, Laplace-ova jednadžba kontinuiteta (princip kontinuiteta: zapremina vode koja dotiče, jednaka je zapremini vode koja izlazi), za 2D strujanje vode, glasi:

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yh

xh (12)

gdje je: h – ukupni potencijal. Rješenje ove diferencijalne jednadžbe predstavlja grupu međusobno okomitih krivulja koje čine tzv. strujnu mrežu. Ovako definisana jednadžba primjenjiva je i za protok elektriciteta, ali ne i za protok gasa koji je stišljiv. Također, nije primjenjiva ni za nezasićeno tlo, zbog sadržaja zraka koji je stišljiv.

6.1. Strujna mreža

Rješenje date Laplace-ove jednačine za izotropan poluprostor predstavlja familiju ortogonalnih krivih linija, koje formiraju tzv. strujnu mrežu. Poznata su numerička rješenja jednačine (12), metodom konačnih razlika i metodom konačnih elemenata, koja su programirana u sklopu software-a za rješavanje problematike procjeđivanja. Na slici 6 je prikazana strujna mreža ispod brane.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

10 15 20 25 30

Temperatura [°C]

Korekcija

kore

kcija


9 A.Skejić

Slika 6 : Strujna mreža

Strujnice su linije duž kojih putuje kapljica vode, a putuje od točaka sa višim, ka točkama sa nižim ukupnim potencijalom. Tangenta na bilo koju točku strujnice je vektor brzine kojom se kreće ta točka. Prostor između dvije strujnice se naziva strujni kanal. Ekvipotencijalne linije su linije duž kojih je ukupni potencijal jednak. Razlika između dvije susjedne ekvipotencijalne linije predstavlja pad potencijala. Graf na kome su prikazane ekvipotencijalne linije i strujnice naziva se strujna mreža (slika 6). Strujna mreža se široko primjenjuje kod analiziranja utjecaja vode na konstrukcije u kontaktu sa vodom. Primjenjuje se, između ostalog, kod određivanja sila uzgona i sila procjeđivanja. Proračun količine protoka vode kroz tlo se također oslanja na sliku strujne mreže kao ulaznog podatka. Strujna mreža se može konstruisati „ručnim“ skiciranjem. Ipak, postoje software-ski paketi koji numeričkim rješavanjem Laplace-ove jednadžbe (12) daju rješenje u obliku strujne mreže. Često je ovo rješenje beskorisno zbog svoje kompleksnosti, pa je neophodno pristupiti izboru ručnog skiciranja. Ono što u svakom slučaju vrijedi jeste da poznavanje logike i ispravnih principa konstruisanja strujne mreže mora biti poznato, bez obzira anlizira li se strujna mreža dobivena software-skim paketom ili je ona skicirana ručno. U nastavku su navedeni osnovni principi koji trebaju biti zadovoljeni u cilju pravilnog konstruisanja strujne mreže :

‐ Linije tečenja i ekvipotencijalne linije moraju se sjeći pod pravim kutom i formirati površine približno kvadratnog oblika (ukoliko ne formiranju kvadratne oblike, treba korigovati izraz za proračun protoka).

‐ Ta okomitost mora biti zadovoljena u na ulaznom i izlaznom dijelu (početna i krajnja ekvipotencijalna linija).

‐ Osnovni princip promjene zakrivljenosti mora biti zadovoljen kod prelaska vode iz tla sa jednom vodopropušnosću u tlo sa drugom vodopropušnošću (slika 7).

‐ Sve ekvipotencijalne linije imaju jednak pad potencijala ‐ Ista količina vode protiče kroz svaki strujni kanal (prostor između dvije susjedne

strujnice), ukoliko su elementi mreže kvadratni.

brana

strujnica ekvipotencijalna linija

vodonepropusno


10 A.Skejić

6.1.1. Detalji kod konstruisanja strujne mreže U nastavku se opisani detalji i pravila vezana za konstruisanja strujne reže. Pored općih principa navedenih u 6.1., postoje specijalni slučajevi, kao što su anizotropna vodopropusnost, slojevito tlo, nestacionarno tečenje itd. Tečenje kroz uslojeno tlo Osnovni princip je : veliki nagib strujnice, znači veliki gubitak energije, tj, veliki hidraulički gradijent. Pošto su gubici energije veći kod niskopropusnih materijala, očito će hidraulički gradijent kod njih biti veći. Naravno, suprotno vrijedi za visokopropusne materijale. Opisani princip je prikazan na slici 7. Kada voda teče iz tla sa manjom propušnošću u tlo sa većom propušnošću (slučaj b), pravougaonici se izdužuju, jer je potrebna manja površina da se ostvari potrebni kvantitet protoka, tj. potreban je manji hidraulički gradijent.

Slika 7 : Detalj konstruisanja strujne mreže kod uslojenog tla Anizotropno procjeđivanje Česta je pojava da je medij tla uslojen. Kao posljedica toga, horizontalna vodopropusnst je znatno veća od vertikalne, tj. uvjeti procjeđivanja su anizotropni. Princip konstruisanja strujne mreže za ovakve uvjete sastoji se u „skaliranju“ razmjere. Naime, strujna mreža se konstruiše na transformisanoj razmjeri. U slučaju da je veća horizontalna vodopropusnost nego vertikalna, horizontalne koordinate poprečnog presjeka konstrukcije i okolnog tla se crtaju umanjene za odnos hv kk / < 1,0. Protok se računa korištenjem koeficijenta vodopropusnosti definisanog sa:

vh kkk ⋅= (13) Napomena : Hidraulički gradijent se određuje prema strujnoj mreži u prirodnoj razmjeri, jer se stvarne udaljenosti na kojima se dešava pad potencijala mogu mjeriti samo na presjeku sa stvarnim dimenzijama, a ne trasformisanim.

k1

k2 k1 > k2 k2 > k1

k1

k2

(a) (b)


11 A.Skejić

6.2. Proračun protoka iz strujne mreže Na slici 8 je prikazana mreža tečenja ispod brane i definisani su pojmovi potrebni za proračun kvantiteta dotoka vode. Neka je broj kanala tečenja jednak nf, a broj padova potencijala nd, te količina protoka između dvije strujnice Δq. Tada se ukupni protok može izračunati kao q=ΣΔq=Δq⋅nf. Bilo gdje na mreži tečenja vrijedi : i=Δh/Δl, dakle, u bilo kojem kvadratu između točaka c i d prema slici 8 vrijedi :

alhkqΔΔ

=Δ (14)

Iz razloga što je mreža tečenja sačinjena iz kvadrata, širina kvadrata a, mora biti jednaka Δl, pa vrijedi :

hkaahkq Δ=

Δ=Δ (15)

Slika 8 : Mreža tečenja za procjeđivanje ispod brane Pošto je, Δh=h/nd, slijedi :

dnhkq =Δ (16)

Pa uvrštavanjem q=Δq⋅nf, slijedi :

d

f

nn

khq =Δ (17)

Jednadžba 17 je osnovna jednadžba za proračun količine dotoka vode iz razmatranja mreže tečenja. Odnos nf/nd se naziva faktor oblika. Za slučaj uslojenog tla, kada je horizontalna vodopropsnost veća od vertikalne, količina dotoka vode se računa koristeći efektivnu vodopropusnost definisanu sa hvkkk = . U slučaju da presjeci strujnica i ekvipotencijalnih linije formiraju pravougaone elemente, a ne kvadratne, potrebno je korigovati izraz (16). Korekcija se sastoji u logici da je protok manji kroz uži kanal nego kroz širi.

la

nhkqd

⋅=Δ (18)

Gdje je : l - dužina pravougaonog elementa, dok je a – širina pravougaonog elementa

brana

∆q

∆q

∆q

∆l

d

c

h q q

a


12 A.Skejić

7. Određivanje sile procjeđivanja Krećući se kroz tlo, voda gubi energiju usljed trenja sa čvrstim česticama. Kao posljedica, čvrste čestice su izložene tzv. sili procjeđivanja. Intenzitet ove sile je proporcionalan hidrauličokm gradijentu i površini poprečnog presjeka kroz koji teče voda. Slika 9 : Definicija sile procjeđivanja Prema slici 9, može se definisati sila procjeđivanja kao :

F = P1 – P2 = ∆h⋅γw⋅A = γw⋅i⋅V (19)

gdje su sile P1 i P2, jednake pritisku vode na dubinama h1 i h2 respektivno, pomnoženom sa površinom poprečnog presjeka (A) tla kroz koje se procjeđuje voda. Tako je sila procjeđivanja proporcionalana razlici u nivoima sa lijeve i desne strane (∆h) i površini poprečnog presjeka (A).

8. Semiturbulentno i turbulentno tečenje Svi do sada opisani problemi, kao početni uvjet, su koristili pretpostavku da je tečenje vode u tlu laminarno. Ostvarenost te pretpostavke definiše stupanj validnosti Darcy-jevog zakona, a samim tim i Laplace-eove jednadžbe. Granica između laminarng i turbulentnog tečenja, u mehanici fluida, se definiše Reinolds-ovim brojem. Ta granica iznosi Re = 2000. Objasnimo u nastavku osnovni princip rješavanja problema kod kojih se tečenje ne može smatrati laminarnim. Kod većih brzina procjeđivanja, kao što su otvorene kaverne u stijenama i u krupnozrnom šljunkovitom materijalu, može se pojaviti turbulentno tečenje. U tom slučaju, brzina tečenja nije direktno proporcionalana hidrauličkom gradijentu. Ne vrijedi Darcy-jev zakon, ali se uvođenjem takozvanog kvazi-koeficijenta vodopropusnosti (k') može napisati veza :

iAkCiAkq )(' == (20) gdje je k – koeficijent vodopropusnosti za laminarno tečenje pri malim hidrauičkim gradijentima, a i je hidrauličiki gradijent. Određivanje vrijednosti k', svodi se na određivanje faktora C, u funkciji od hidrauličkog gradijenta (eksperimentalna mjrenja u cilju određivanja povećanja protoka sa povećanjem hidrauličkog gradijenta).

P2 P1 A

A

q nagib = i=∆h/∆l

∆h ∆l

q

h2

h1 Površina =A

Presjek A-A


13 A.Skejić

9. Strujna mreža za nestacionarno tečenje Svi do sada opisani slučajevi konstrukcije mreže tečenja odnosili su se na problem stacionarnog tečenja, pri čemu je nivo vode smatran konstantnim u vremenu. To je do neke mjere i realna pretpostavka kod konstrukcija kao što su građevna jama i drugi slučajevi procjeđivanja oko nepropusnih građevinskih objekata. Međutim, šta se dešava kod analize mreže tečenja zemljane brane? Brzinu kretanja vode kroz porozni medij tla smo već ranije definisali izrazom (5). Kada voda teče kroz pore, dešava se promjena vlage, pri čemu u svakom trenutku, nisu sve pore ispunjene vodom. Stoga se može definisati tzv. efektivni porozitet (ne), čijim se korištenjem definiše veza :

esl n

ikv ⋅= (21)

Kažemo li da je odnos k/ne konstantan, slijedi da je brzina proporcionalana hidrauličkom gradijentu. To znači da će krivulje koje predstavljaju brzinu za različit nivo saturacije biti istog oblika kao krivulje za i. Istom logikom, Terzaghi je došao do izraza za brzinu promjene linije saturacije, koji ima isto značenje kao i izraz (21) :

anGv

dtdz

=− (22)

gdje je : v – brzina procjeđivanja, n - porozitet Ga = odnos zapremine pora ispunjenih zrakom i zapremine pora ispunjenih vodom, odnosno vrijednost : 1-S(%), gdje je S, stupanj saturacije. Dakle, kod anlalize ovakvih problema, neophodno je uvesti faktor vremena, jer se stupanj saturacije mijenja kroz vrijeme. Označimo put sa ∆l, a vrijeme sa ∆t i krenimo od definicije vremena za jednoliko pravolinijsko kretanje.

slvlt Δ

=Δ (23)

Time je definisan izraz iz kojeg se razvija strujna mreža za nestacionarno tečenje. Dakle, od početnog stanja (kada je brana suha) voda sa uzvodne strane brane postupno saturira branu, krećući se ka krajnjem stanju, kada je gornja linija saturacije strujnica koja spaja uzvodni nivo vode sa drenažom koja se postavlja u dnu nizvodne strane. Napredovanjem saturacije mijenja se intenzitet hidrauličkog gradijenta kojim su definisani nagibi strujnica za određeni stupanj saturacije. Princip : Hidraulički gradijent je obrnuto proporcionalan razmaku ekvipotencijalnih linija (i~1/∆l). Brzina procjeđivanja je proporcionalna hidrauličkom gradijentu. Vrijeme potrebno da voda pređe put ∆l, definisano je sa (23). Očito, promjena oblika linija saturacije u vremenu se može povezati sa hidrauličkim gradijentom. Nakon što nacrtamo početnu liniju saturacije, na istoj crtamo strujnu mrežu i odredimo vrijednost hidrauličkog gradijenta u nekoliko točaka (ia, ib, ic, ...) i dužine koje je prešla kapljica vode u tim točkama (La, Lb, Lc, ...). Nakon određivanja odnosa pređenih udaljenosti i hidrauličkih gradijenata (La/ia, Lb/ib, Lc/ic, ...) poredimo te odnose, ako su približno jednaki, mijenjamo oblik linije saturacije, povećavajući udaljenost L na mjestima gdje je odnos mali, ili obrnuto. Ponovo crtamo novu strujnu mrežu ako su


14 A.Skejić

odnosi približno jednaki. Nakon toga, crtamo novu liniju saturacije, koja je pomjerena za veličinu koja je proporcionalana hidrauličkom gradijentu na izabranim točkama prethodne linije saturacije. Postupak se ponavlja za potreban broj inkremenata. ZAKLJUČAK Praktična primjena opisanih principa procjeđivanja vode susreće se kod svih građevnih objekata koji su u kontaktu sa vodom. Konretno, proračun drenaža kod sancije pokosa, proračun procjeđivanja kroz zemljane brane, dreniranje konstrukcija u kontaktu sa vodom, dreniranje saobraćajnica i pločnika itd., samo su neka od područja primjene. Proračun je točan onoliko koliko su točni ulazni podaci. Ulazni podatak kod problematike tečenja je Darcy-jev koeficijent, koji definiše vodopropusnost. Vodopropusnost za različite vrste tla varira u dijapazonu od 109. Dakle, bitno je izabrati adekvatan način određivanja ovog parametra i ozbiljno pristupiti određivanju veličine istog. Sila procjeđivanja usmjerena prema dole povećava efektivnu zapreminsku težinu, pa to treba biti vodič kod izbora načina dreniranja vode. LITERATURA [1] Handy R.L.&Spanger M.G. : Geotechnical Engineering - Soil and Foundation Principles and Practice, McGraw Hill, 2007. Fifth Edition [2] Harry R. Cedergren : Seepage, Drainage, and Flow Nets, John Wiley & Sons, 1989. [3] Donald P. Coduto : Foundation Design – Principles and Practice, Prentice Hall, Second Edition [4] Sivakugan N. (2005) : Permeability and Seepage, James Cook University, Australia [5] Terzaghi K., Peck, R.B., and Mesri G. : Soil Mechanics in Engineering Practice, 3rd

Edition, John Wiley & Sons, New York, 1996.

procesi-tecenja

Documents