PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS

Professor : Valner Brusamarello

(brusamarello.valner@gmail.com)

OBJETIVO E PROGRAMA DA DISCIPLINAObjetivo: Propiciar ao aluno os conhecimentos da teoria fundamental do processamento digital de sinais, permitindo-lhe as condições básicas para a realização de projetos e pesquisas científicas na área.

O Programa está composto das seguintes unidades: 0. Apresentação Disciplina1. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto2. Análise de Fourier de Tempo Discreto3. A Transformada Z4. Desenvolvimento e aplicações com MATLAB5. A Transformada Discreta de Fourier6. Desenvolvimento e aplicações com LabVIEW7. Estruturas de Filtros Digitais8. Projeto de Filtros FIR9. Projeto de Filtros IIR10. Aplicações e arquiteturas de processadores de DSP*

BIBLIOGRAFIABibliografia Básica[1] Diniz, P. S. R.; Barros da Silva, E. A. & Lima Netto, S. (2002): Processamento Digital de Sinais – Projeto e Análise de Sistemas. Bookman –Artmed Editora, Porto Alegre, RS.[2] Monson Hayes (2006): “Processamento Digital de Sinais – Coleção Schaum”. Bookman – Artmed Editora, Porto Alegre, RS.[3] Oppenheim & Schaffer (1989): Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall, Inc, NJ-Oppenheim & Schaffer (1999): Discrete-Time Signal Processing. 2.ed. Prentice-Hall, Inc, NJ.

Bibliografia Complementar[1] Proakis & Monalakis (1989): Introduction to Discrete-Time Signal Processing. Mac Millan Press, Inc.[2] Van den Enden & Werhockx (1989): Discrete-Time Signal Processing: An Introduction. Prentice-Hall Inc, NJ.[3] Notas de aula disponibilizadas pelo professor da disciplina.

PROCESSAMENTO DE SINAISProcessamento analógico :

Processamento digital :

Sinal analógico de

entrada

Sinal analógico de

saída

Processador analógico de

sinais

Processador digital de

sinaisD/AA/D

Sinal analógico de entrada

Sinal analógico de saída

VANTAGENS DO PROCESSAMENTO DIGITALFlexibilidade (reprogramável em tempo real)Portabilidade (software)Estabilidade (indep. do ambiente)Exatidão (tolerância de componentes X nº de bits)Maior imunidade a ruído (0 ou 1)Transportabilidade (processamento “off-line”)Operações mais sofisticadas (ex. Cancelador de eco)Custo reduzido (VLSI e flexibilidade)

Limitação: Altas freqüências (microondas)

CATEGORIAS DO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS

Sinal digital (digitalizado)

Geralmente é uma operação no tempo. Ex.: remoção de ruído, separação de bandas

de frequência, etc

Medidas – geralmente no domínio frequência. Ex.:

análise espectral de sinais, análise de sinal de voz, ect

ANÁLISE FILTRO DIGITAL

Sinais de tempo discretoSinais e sistemas podem ser contínuos ou discretos no tempo e na amplitude.. O gráfico 1 corresponde a um sinal totalmente contínuo no tempo e na amplitude. O gráfico 2 corresponde a um sinal contínuo na amplitude e discreto no tempo. O gráfico 3 é contínuo no tempo porém só pode assumir alguns valores de amplitude bem determinados, e portanto é um sinal discreto na amplitude.O gráfico 4 representa um sinal discreto no tempo e na amplitude, pois sópode assumir alguns valores de amplitude em intervalos de tempo bem definidos.

Sinais de tempo discretoPara representar sinais amostrados no tempo é muito comum simplificar a notação de amostragem do sinal analógico utilizando apenas o índice “n” para indicarem qual amostra estamos trabalhando. Por exemplo, se um sinal X(t) é amostrado a uma freqüência de amostragem Fs=100Hz, e estamos na amostra 50, representamos isto por X[50], o que significa dizer que, com relação ao tempo, estamos medindo o sinal X(50*0.01).Trabalhamos considerando as amostras igualmente espaçadas no tempo.

Sinais de tempo discretoUma sequência indexada de números reais ou complexos.É uma função de uma variável de valor inteiro n.n representa o número de amostras espaçadas no tempo. Assim x[n] éuma representação no tempo.Indefinida para valores de n “não inteiros”Obtidos com um conversor AD.O tempo entre uma amostra e outra é definido pela frequência de aquisição fsampling

Sequências complexasUm sinal em tempo discreto pode apresentar valor complexo.

BREVE REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Pergunta: Na álgebra básica, de onde “NASCEM” os números complexos?

Resposta: Das raízes das equações de 2.º grau, sempre que b2 < 4ac !

( )

)2 ,2 ,1( 22)()2 ,2 ,1( 22)(

:funções das 0)( raízes asencontar Vamos :)quadro! no(fazer Exemplo

2

2

00

−=−=−=−−−=−

===++=

==

cbaxxxfcbaxxxf

xfxx

raizes_complexas.m

jbaz += :o)(cartesian complexo Plano

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∠+=→

abbaz arctan :PolarCartesiano 22

θ∠= rz : (polar) complexo Plano

)sen()cos(

θθ

rbra

==

)sen()cos( : CartesianoPolar θθ jrrz +=→

jbaz −=* Conjugado? →

θ−∠= rz*Conjugado? →

Relação entre a forma polar e a → forma cartesiana? (desenhar no quadro!)

BREVE REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

IDENTIDADE DE EULEREm 1748, na publicação Introductio in AnalysinInfinitorum, o matemático Leonhard Euler (1707–1783)estabeleceu a equação (identidade) que seria uma das mais importantes para o estudo da teoria de telecomunicações:

1 , )sen()cos( −=+= jje j θθθ

Para se ter uma idéia da importância desta equação, basta lembrar que no núcleo da Série e da Transformada de Fourier, tanto para sinais contínuos como discretos, estápresente uma exponencial complexa.

[ ] (FASOR) !)sen()cos( θθθ jrezjrz =⇒+=

Tema de casa - Só com a identidade de Euler, prove: (Obs.: Pode–se usar os resultados já provados para provar os seguintes...)

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ])sen()sen(21))cos(sen( 6.

)cos()cos(21))cos(cos( .5

)cos()cos(21))sen(sen( .4

)2cos()(sen)(cos ; 1)(sen)(cos .3

)2cos(121)(sen ; )2cos(1

21)(cos .2

2)sen( ;

2)cos( .1

2222

22

βαβαβα

βαβαβα

βαβαβα

θθθθθ

θθθθ

θθθθθθ

++−=

++−=

+−−=

=−=+

−=+=

−=

+=

−−

jeeee jjjj

Tema de casa - Usando as identidades de n.º 4 a 6, prove:

)cos()(sen2)2(sen 12.))cos(sen())cos(sen()sen( .11))cos(sen())cos(sen()sen( .10

)(sen)(cos)2cos( 9.))sen(sen())cos(cos()cos( 8.))cos(cos())sen(sen()cos( .7

22

θθθαββαβααββαβα

θθθ

βαβαβαβαβαβα

=+=+−=−

−=

−=++=−

Expansão em séries de Taylor de f(x) centrada em a:

com | x − a | < R , onde

Considerando f(x)=ex com a=0

Para qualquer x no intervalo

Em x=1

EXPANSÃO EM SÉRIES

EXPANSÃO EM SÉRIE – EXERCÍCIO

!8!6!4!21)cos(

!9!7!5!3 )sen(

: são )cos( e )sen( para série em expansões as queprove anterior, slide do 1 n.o de sidentidade nas e

acima série em expansão na base Com :Exercício!5!4!3!2

1!

8642

9753

5432

0

xxxxx

xxxxxx

xx

xxxxxnxe

n

nx

+−+−=

+−+−=

+++++==∑∞

=

FREQÜÊNCIAS POSITIVAS E NEGATIVAS (?!)

Hz. em , (rad/s) 2 )( :horário

sentido no girandoFasor )( :horário-antisentido no girandoFasor

ccc

c

c

ftfondett

tt

πωωθ

ωθ

=−=

=

fasor_girando.m

Sequências Fundamentais{ }

⎩⎨⎧

≠=

=−⎩⎨⎧

≠=

=

↑

0

00 , 0

, 1)(

0 , 00 , 1

)(

0,0,......,0,0,1, :unitário Impulso 1.

nnnn

nnnn

n δδ

{ }

⎩⎨⎧

<≥

=−⎩⎨⎧

<≥

=

↑

0

00 , 0

, 1)(

0 , 00 , 1

)(

1,1,......,0,0,1, :unitárioDegrau 2.

nnnn

nnunn

nu

Sequências Fundamentais

Sequências FundamentaisÉ muito importante notar que quando se fala de freqüências que vão de 0 à 2 πradianos estamos falando em freqüências normalizadas. Todos os sinais ao serem representados apenas pelo número de sua amostra (x[0], x[1]...), sofrem uma normalização, pois se não soubermos qual foi a freqüência de amostragem utilizada para gerar a seqüência, então não podemos dizer qual a freqüência real do sinal analógicoque originou tal seqüência. Por sofrer esta normalização, todos os sinais podemser tratados da mesma forma e são representados completamente por freqüências nesta faixa de valores independentemente da freqüência do sinal analógico original.

TIPOS DE SEQÜÊNCIAS

R∈∀= ananx n ; , )( :real lExponencia .3

radianos. em freqüência a é e atenuação denominado é onde

; , )( :complexa lExponencia .4

0

0

)( 00

ωσ

ωσ nenx nj ∀= +

; , )cos()( :Senoidal .5 0 nnnx ∀+= θω

SequênciasExemplo de um sinal contínuo e discreto.

Se ts=0,05, então fo=1 kHz.

SequênciasExemplo: x1[n], x2[n] e x[n]= x1[n]+x2[n]

lfundamentaNN

nNnxnxnxnx

período de chamadoé acima relação a satisfaz que 0) ( inteiromenor O

, )()( se periódica é )( seqüênciaA :))(~( Periódica .6

>∀+=

SequênciasA sequência pode ser infinita ou finita, designada em um intervalo [N1,N2].

x1 [n] e x2[n] são aperiódicas.X3[n] é periódica com período N=16.

Sequências simétricasUm sinal de valor real é dito par se:E é dito ímpar se:Qualquer sinal pode ser decomposto em:Para encontrar a parte par:Para encontrar a parte ímpar:

Amplitude, Magnitude, PotênciaAmplitude: pode ser positivo ou negativo.Magnitude: O quanto o valor se afasta de zero (sempre positivo).Potência: A potência de um sinal é proporcional a sua amplitude ao quadrado. Considerando uma constante unitária, temos o valor relativo de potência! Devido ao fato de elevar ao quadrado a amplitude, é fácil distinguir dois sinais com amplitudes diferentes:

Operações sobre sequênciasTransformações da variável independenteFrequentemente manipula-se o índice nf(n) é uma função de nTransformações mais comuns:

Deslocamento: Se no for positivo, o sinal édeslocado no amostras a direita (atraso):

Inversão: faz o espelhamento do sinalEscalamento de tempo: down-sampling:

Up-sampling:

Operações sobre sequências

OPERAÇÕES SOBRE SEQÜÊNCIAS

{ } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )Adição: É feita somando-se amostras de mesmo índice

x n x n x n x n+ = +

{ } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )Multiplicação: Produto das amostras de mesmo índice

x n x n x n x n⋅ =

Escalamento: escalamento da amplitude de x[n] por uma constante c.

OPERAÇÕES SOBRE SEQÜÊNCIAS

2

1

1 2 2( ) ( ) ... ( 1) ( )n

n nSoma de amostras: x n x n x n x n

=

= + + − +∑

2

1

1 2 2( ) ( ) ( 1) ( )n

n

Produto de amostras : x n x n x n x n= × × − ×∏

2*( ) ( ) ( )xn n

Energia : E x n x n x n∞ ∞

=−∞ =−∞

= =∑ ∑

12

0

1 ( )N

xn

Potência do sinal : P x nN

−

=

= ∑

Simbologia

SÍNTESE DE SEQÜÊNCIAS )()()( :impulsospor Síntese knδkxnx

k−=• ∑

∞

−∞=

O impulso ou amostra unitária pode ser utilizada para decompor um sinal arbitrário x[n] em uma soma de amostras unitárias ponderadas e deslocadas:

A SÉRIE GEOMÉTRICA

{ }

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠∀−−

=

<−

→≥=

∑

∑

−

=

∞

=

1 ,

1 , 1

1

1 para , 1

1 : 0 , )(

1

0n

0n

α

ααα

α

αα

αα

N

nnx

NN

n

nn

CORRELAÇÃO ENTRE SEQÜÊNCIAS

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

−=

−=

nxx

nxy

knxnxkr

knynxkr

)()()( : açãoAutocorrel

)()()( : cruzada Correlação

SISTEMAS de Tempo Discreto

Um sistema é aditivo se:

[ ])()( nxTny =

[ ]

[ ] [ ] [ ])( , )( , ,

)()()()(

linear é

2121

22112211

nxnxaanxTanxTanxanxaT

T

∀+=+

⋅

É um operador matemático que transforma um sinal de entrada em outro sinal – de saída.

e homogêneo se:

se for aditivo e homogêneo simultaneamente:

SISTEMAS LINEARESAplicando na decomposição de x[n]:

Como os coeficientes x[k] são constantes, usamos a propriedade de homogeneidade:

Definindo hk[n] como sendo a resposta do sistema a uma amostra unitária no tempo n=k

Somatório de superposição.

Lienaridade

Exemplo de sistema linear

b) seno 1 Hz, fs=32 Hz.c) seno 3 Hz.d) soma dos dois sinais, e demostraçãode que o sistema élinear.

Exemplo de sistema não linear

Se a e b representam os sinais de 1 e 3 Hz:

a2 e b2 geram componentes em (0 e 2 Hz) e (0 e 6 Hz). O termo ab 2 e 4 Hz:

Sistemas sem memóriaUm sistema é dito sem memória se a saída no tempo n-no depender apenas da entrada nesse tempo, assim podemos determinar y[no] a partir de x[no] apenas.

Sem memória: Com memória:

Sistemas Invariantes ao deslocamentoSe um deslocamento na entrada de no amostras corresponder a um deslocamento de no amostras na saída.Ou seja temos uma saída y[n-no] para uma entrada x[n-no]Para testar a invariância ao deslocamento é preciso testar y[n-no] para T{x[n-no]} A resposta y[n] para a entrada x[n]:Teste:

Outro exemplo: seja

Porém paraO que é diferente de ou seja esse é um sistema variante no tempo.

Invariância ao deslocamento

Sistemas invariantes ao tempoA entrada na letra c) está defasada de 4 amostras.

Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (ou ao deslocamento)

[ ]

[ ] )( )( de Desloc. )(

)( de Desloc. )( )(

knyLknxknx

knyknyLnx

−→⋅→−→→

−→→→⋅→

[ ]

)()()(

)()()()(

nhnxny

knhkxnxLITnyk

∗≡

−== ∑∞

−∞=

Se h[n] for a resposta do sistema LTI a amostra unitária , então a resposta a δ[n-k] será h[n-k]

Resposta de um sistema ao impulsoSe conhecermos a resposta ao impulso de um sistema, podemos caracterizar a saída do mesmo para qualquer entrada.

CAUSALIDADE E ESTABILIDADE

Sistema estável (BIBO): Entrada limitada ⇒ Saída Limitada

0)(limcausal sist. Se )(

, , )()(

=⇒∞<⇔

∀∞<⇒∞<

∑∑∞

=∞→

∞

∞− NnN nhnh

yxnynx

Sistema causal: Saída não depende de valores futuros da entrada. Se para qualquer no a resposta no tempo no depender apenas dos valores de entrada até no.

∑∑∞

=−∞=

−=−=⇒

<=

0)()()()()(

0 , 0)(

k

n

kknxkhknhkxny

nnh

Ex. sistema causal Ex. sistema não causal

Resposta ao impulso absolutamente somável.

EstabilidadeUm sistema LTI com resposta a amostra unitária h[n]=anu[n], será estável sempre que |a|<1:

Um exemplo de sistema instável:

Veja que nesse caso a resposta é ilimitada!

ConvoluçãoA relação entre a entrada e a saída de um LTI é dada pela soma de convolução.

Tabela útil – séries comuns

ConvoluçãoExemplo

ConvoluçãoX[k]h[-k]=y[0]=1Deslocando h[-k] a direita

temos h[1-k].X[k]h[1-k]=y[1]=3.X[k]h[2-k]=y[2]=6.X[k]h[3-k]=y[4]=5.X[k]h[4-k]=y[4]=3.X[k]h[5-k]=y[5]=0.

Convolução

Seja o sinal de entrada x[n]

Convolução

Convolução

Convolução

Convolução utilizada para um filtro passa-baixas e um filtro passa-altas. O sinal de entrada é a soma de um seno com uma rampa ascendente. A resposta ao impulso em a) é um arco suave, fazendo com que passem a saída apenas componentes de baixa frequência. No caso b) apenas as componentes de alta frequência é que passam a saida.

Convolução

O atenuador inversor (a) gira o sinal de “cabeça para baixo” e reduz sua amplitude. Em (b) temos o derivador da sequência.

Equação de diferençasUm sistema linear e invariante ao deslocamento também pode ser descrito por uma equação de diferenças com coeficientes constantes.

a[k] e b[k] são constantes que definem o sistemaSe tiver um ou mais termos diferente de zero é recursivaPara um LSI, não recursivo com a[k]=0 a resposta a amostra unitária:

Se h[n] tem comprimento finito, então o sistema é FIR (Finite Impulseresponse).Se a[k]≠0 a resposta a amostra unitária é geralmente infinita e o sitemaé IIR (Infinite Inpulse Response)

SISTEMAS FIR E SISTEMAS IIR

)()()(

: (IIR) infinita impulsiva resposta terácontrário, Caso

)()()( e 0 , 0)(

:se (FIR) finita impulsiva resposta terácausal LIT sistema Um

0

0

∑

∑

∞

=

=

−=

−=⇒><=

k

M

k

knxkhny

knxkhnyMnnnh

EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS

∑∑

∑∑

==

==

−−−=

∀−=−

N

ll

M

mm

M

mm

N

ll

lnyamnxbny

nmnxblnya

10

00

)()()(

:por eequivalent forma deou

, )()(

:pordescritoser podediscretoLITSistemaUm

Equações de diferençasSolução homogênea + solução particular

A solução homogênea é encontrada resolvendo a equação de diferenças homogênea.

A solução pode ser determinada fazendo yh=zn. E substituindo:

Equações de diferençasSe os coeficientes a(k) forem reais, essas raízes ocorrem em conjugados complexos.Se zi for uma raiz de multiplicidade m e as restantes m-p raízes forem distintas a solução homogênea é:

Para determinar a solução particular é necessário encontrar a yp[n] que satisfaz a equação de diferenças para a x[n] dada. Veja tabela

Equações de diferençasExemplo sabendo que

determinar a solução deSolução particular:

Para a solução homogênea:

RESPOSTA NATURAL E RESPOSTA FORÇADA

0 , )()1()(

)()1()1()0()1()(

)1()0()1()1()0()1()0()1()0(

)()1()( :Exemplo

0

1

11

2

≥−+−=

+−++++−=

++−=+=

+−=+−=

∑=

+

−+

nknxyny

nxnxxxyny

xxyxyyxyy

nxnyny

n

k

kn

nnn

αα

αααα

ααα

αα

Z-1α

+x(n) y(n)

y(n-1)