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Telecomunicações 1(TEC) 1
Processos Aleatórios e Ruído• Revisões Estatística• Variável aleatória X
• Momentos mais importantes são
( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( )∫∞
∞−
=
=
≤=
dxxfxXEnOrdemdeMomentos
xFdx
dxfadeprobabiliddedensidadeFunção
xXPxFcumulativaãodistribuiçdeFunção
nn
XX
X
- média (valor esperado) n=1 µX=E[X]=- valor quadrático médio n=2 E[X2]
X
Telecomunicações 1(TEC) 2
Processos Aleatórios e Ruído
Se y=g(x) será [ ] ( )[ ] ( ) ( )dxxfxgXgEYE X∫∞
∞−
==
Momentos centrais de ordem n
( )[ ] ( ) ( )dxxfxXE X
n
Xn
X ∫∞
∞−
−=− µµ
Momento central de ordem 1 é sempre nulo
Momento central de ordem 2 é a variância
[ ] ( )[ ] ( ) ( )dxxfxXEX XXXX ∫∞
∞−
−=−== 222 var µµσ
σX chama-se desvio padrão
Telecomunicações 1(TEC) 3
Processos Aleatórios e Ruído
Obviamente
[ ] [ ] [ ][ ] 22
22222 22
X
XXXXX
XE
XEXEXXE
µ
µµµµσ
−=
=+−=+−=
Assim a variância é igual ao valor quadrático médio apenas se amédia for nula.
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Processos Aleatórios e Ruído
Momentos conjuntos de duas variáveis X e Y
• Caso geral[ ] ( )dxdyyxfyxYXE XY
jiji ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= ,
• Caso particular- corr elação - i=j=1
[ ] ( )dxdyyxxyfXYE XY∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= ,
• Correlação das variáveis X-µX e Y-µY chama-se covariância
[ ] [ ] YXXYEXY µµ−=cov
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Processos Aleatórios e Ruído• Coeficiente de correlação de X e Y
[ ])(cov
covanormalizadariância
XY
YXσσρ =
• X e Y são descorrelacionadas se cov[XY]=0
• X e Y são ortogonais se E[XY]=0 (correlação nula)
• Se X e Y tiverem média nula e forem ortogonais então são descorrelacionadas
• Se X e Y forem estatisticamente independentes são descorre- lacionadas (inverso pode não ser verdadeiro)
Telecomunicações 1(TEC) 6
Processos Aleatórios e Ruído
• Conceito de processo aleatório
Espaço de Amostras
t
t
t
tk
X1(t)
X2(t)
Xn(t)
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Processos Aleatórios e Ruído
• As funções amostra do processo são Xn(t), cada uma delas umafunção da variável tempo
• Para um instante fixo tk os valores das diversas funções amostraconstituem uma variável aleatória no conjunto das funçõesamostra
( ){ } ( ) ( ) ( ){ }knkkk txtxtxtX ,...,, 21=Instantes diferentes corresponderão a variáveis aleatórias diferentes.
Processo Aleatóri o é a designação atribuida ao conjunto destas variáveis aleatórias
Telecomunicações 1(TEC) 8
Processos Aleatórios e Ruído
• Assim para uma variável aleatória o resultadode uma experiência aleatória é um númeroenquanto para um processo aleatório o resultadode uma experiência aleatória é uma função dotempo (função amostra do processo aleatório)
Telecomunicações 1(TEC) 9
Processos Aleatórios e Ruído
• A caracterização estatística dum processo aleatório faz-se dando
( ) ( ) ( )( )ktXtXtX xxxFk
,...,, 21...21
Se deslocarmos todos os instantes de observação de um mesmo valor τ teremos
( ) ( ) ( )( )ktXtXtX xxxFk
,...,, 21...21 τττ +++
Um processo diz-se estacionári o no sentido estrito se
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )ktXtXtXktXtXtX xxxFxxxFkk
,...,,,...,, 21...21... 2121=+++ τττ
Telecomunicações 1(TEC) 10
Processos Aleatórios e Ruído
• Num processo estacionário no sentido estrito verifica-senecessariamente:
- a função de distribuição de 1ª ordem é independente do tempo
- a função de distribuição de segunda ordem só depende do intervalo de tempo entre os instantes de observação
( )( ) ( )( ) ( )xFxFxF XtXtX == +τ
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2121021 ,,,1221
ttxxFxxF ttXXtXtX ∀= −
Telecomunicações 1(TEC) 11
Processos Aleatórios e Ruído
• Um processo aleatório diz-se estacionário no sentido lato se
µX(t)=µX para todo o tRX(t1,t2)=RX(t2-t1) para todo o t1 e t2
Estas duas condições não são suficientes para garantir esta-cionaridade no sentido estrito.
Todos os processos estacionários no sentido estrito são obviamente estacionários no sentido lato.
Telecomunicações 1(TEC) 12
Processos Aleatórios e Ruído
• A média de um processo estacionário é então independente dotempo
( ) ( )[ ] ( )( ) XtXX dxxxftXEt µµ === ∫∞
∞−
Chama-se função de autocorrelação do processo aleatório X a
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )
( ) ( ) 211221
2121212121
,,
,,21
ttttRttR
seráioestacionárforprocessooSe
dxdxxxfxxtXtXEttR
XX
tXtXX
∀−=
== ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
Telecomunicações 1(TEC) 13
Processos Aleatórios e Ruído
• È costume escrever τ=t2-t1 vindo:
( )τXR
Idêntica nota-se se pode usar para a covariância.Propriedades
( ) [ ]( ) ( )( ) ( )0
0 2
XX
XX
X
RR
RR
XER
≤−=
=
τττ
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Processos Aleatórios e Ruído
• Significado físico da autocorrelação
• Mede a interdependência entre as variáveis aleatóriascorrespondentes à amplitude de um processo em instantediferentes. Se um processo for de variação rápida no tempo afunção de autocorrelação decresce rapidamente a partir daorigem.
Variação lentaVariação rápida
RX(τ)
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Processos Aleatórios e Ruído
• Exemplo: processo gera amostras dadas por
( ) ( )
( ) dissoforaemf
tfAtX c
0,2
1
,2cos
πθππ
θ
π
<<−=
Θ+=
ΘSerá
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]=+++=
=+=
θτπθπ
ττ
tftfAE
tXtXER
cc
X
2cos2cos2
Telecomunicações 1(TEC) 16
Processos Aleatórios e Ruído
• donde
( ) ( )[ ] ( )[ ]τπθτππτ cccX fEA
ftfEA
R 2cos2
24cos2
22
+++=
O primeiro termo é nulo logo
( ) ( )τπτ cX fA
R 2cos2
2
=
A potência média do processo será E[X2]=RX(0)=A2/2
Telecomunicações 1(TEC) 17
Processos Aleatórios e Ruído
• Médias temporais de funções amostra
( )
observaçãodeervalooTtTsendo
XdttxT
TT
T
X
int
)(2
1
<<−
>=<= ∫−
µ
No caso geral µX(T) é uma variável aleatória pois depende dointervalo de tempo escolhida para a observação.
Telecomunicações 1(TEC) 18
Processos Aleatórios e Ruído
• Se o processo for estacionário no sentido latoserá
( )[ ] ( ) ( )[ ]
X
T
T
X
T
T
T
T
X
dtT
dttxET
dttxT
ETE
µµ
µ
==
==
=
∫
∫∫
−
−−
2
1
2
1
2
1
Diz-se que a média temporal é uma estimativa não tendenciosa(ou não enviesada) da média de conjunto.
Telecomunicações 1(TEC) 19
Processos Aleatórios e Ruído
• A função de autocorrelação temporal de x(t) observada em -T<t<T define-se de forma idêntica por
( ) ( ) ( )∫−
+=T
T
X dttxtxT
TR ττ2
1,
RX é também uma variável aleatória.
Telecomunicações 1(TEC) 20
Processos Aleatórios e Ruído
• Um processo aleatório diz-se ergódico na média se as médias deconjunto e as médias temporais forem iguais. Nesse caso
( )( )[ ] 0varlim
lim
=
=
∞→
∞→
T
T
XT
XXT
µ
µµ
Um processo aleatório diz-se ergódico na autocorrelação se
( ) ( )( )[ ] 0,varlim
,lim
=
=
∞→
∞→
TR
RTR
XT
XXT
τ
ττ
Telecomunicações 1(TEC) 21
Processos Aleatórios e Ruído
• Para ser ergódico um processo X(t) tem de serestacionário no sentido lato.
• O conceito de estacionaridade pode estender-sea estatísticas de ordem superior.
• Os processo ergódicos que vamos estudar sãoergódicos, que se ajustam bem à repre-sentaçãodo ruído que queremos desenvolver
Telecomunicações 1(TEC) 22
Processos Aleatórios e Ruído
• Transmissão de um processo aleatório atravésde um sistema linear(fi ltro linear invariante no tempo) com resposta impulsional h(t)
h(t)X(t) Y(t)
Pode provar-se que se X(t) for estacionário no sentido lato, Y(t) também será.
Telecomunicações 1(TEC) 23
Processos Aleatórios e Ruído
• O processo aleatório à saída estará relacionado com o da entradapois
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 111111
111
111
ττµττττµ
τττµ
τττ
dthdtXEht
dtXhEtYEt
sendo
dtXhtY
XY
Y
−=−=
−==
−=
∫∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
Telecomunicações 1(TEC) 24
Processos Aleatórios e Ruído
• Se o processo for estacionário como é normalconsiderar-se em Telecomunicações
( ) ( )011 Hdh XXY µττµµ == ∫∞
∞−
A função de autocorrelação da saída para os instantes t e u será
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−= ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−222111, ττττττ dtXhdtXhEutRY
Telecomunicações 1(TEC) 25
Processos Aleatórios e Ruído
• Para o caso particular do processo ser estacionário será
( ) ( ) ( ) ( ) 212121 ττττττττ ddRhhR XY −−= ∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
Dado que RY(0)=E[Y2] obtem-se o resultado muito importante
( )[ ] ( ) ( ) ( ) 2112212 ττττττ ddRhhtYE X −= ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
que é uma constante (no caso da estacionaridade).
Telecomunicações 1(TEC) 26
Processos Aleatórios e Ruído
• Densidade Espectral de Potência
Sabemos que
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) 2112222
21
1
1
exp
τττττ
τ
τπ
τπ
ddRhdfefHtYE
anteriorressãonadosubstituin
dfefHh
Xfj
fj
−
=
=
∫ ∫ ∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
Telecomunicações 1(TEC) 27
Processos Aleatórios e Ruído• Esta expressão pode escrever-se sob a forma
( )[ ] ( ) ( ) ( ) 12
12222 1 τττττ τπ deRhdfHdftYE fj
X∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−=
Fazendo τ=τ2-τ1
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ττ
ττ
ττττ
τπ
τπ
τπτπ
deRfHdftYE
fHehdmas
deRehdfHdftYE
fjX
fj
fjX
fj
2
2
2
*222
2222
2
2
2
−∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∫∫
∫
∫∫∫
=∴
=
=
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Processos Aleatórios e Ruído• Chama-se Função Densidade Espectral de Potência do
Processo Aleatório à função
( ) ( ) ττ τπ deRfS fjXX
2−∞
∞−∫=
Ou
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ] ( )
( ) ( )fSfHfSse
fdfStYEsejaou
dffSfHtYE
XY
Y
X
2
2
2
2
)(=
=
=
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
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Processos Aleatórios e Ruído
• Isto leva-nos a uma representação dos processosno domínio das frequências com a propriedadeessencial que é a função SX é transformada deFourier de RX
• Vejamos mais algumas propriedades destarepresentação
Telecomunicações 1(TEC) 30
Processos Aleatórios e Ruído
• Esta relação fundamental entre SX e RX
( ) ( )
( ) ( ) dfefSR
deRfS
fjXX
fjXX
τπ
τπ
τ
ττ
2
2
∫
∫∞
∞−
−∞
∞−
=
=
Costuma designar-se por teorema de Wiener-Khi ntchine ou Einstein- Wiener-Khintchi ne
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Processos Aleatórios e Ruído
• Propriedades( ) ( )
( )[ ] ( )
( )( ) ( )
( )( )
fdpdeespropriedadtem
dffS
fSfp
fSfS
fS
dffStXE
dRS
X
XX
XX
X
X
XX
∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=−
=−−≥−
=−
=−
)(5
4
03
2
01
2
ττ
Telecomunicações 1(TEC) 32
Processos Aleatórios e Ruído
• Exemplos:• 1- Caso anterior ( ) ( )Θ+= tfAtX cπ2cos
Tínhamos encontrado
( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]ccX
cX
ffffA
fS
fA
R
++−=
∴=
δδ
τπτ
4
2cos2
2
2
O que ra de prever. Além disso E[X2]=A2/2.
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Processos Aleatórios e Ruído
• 2- Sequência binária aleatória
A
-A
T
De amplitude A ou -A, instante de início do primeiro impulso td é uma variável aleatória uniforme com valores entre 0 e T sendoigualmente provável a ocorrência de amplitudes positivas ounegativas num determinado intervalo de tempo T.
td
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Processos Aleatórios e Ruído
• No livro mostra-se que será
( )î
=<
−
≥
TparaT
A
TparaXRτ
τ
ττ
1
0
2
A2
τT
RX(τ)
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Processos Aleatórios e Ruído
• logo( )
( )fTcTA
deT
AfS fT
T
X
22
22
sin
1
=
=
−= −
−∫ τ
τ τπ
A2T
1/T 2/Tf
SX(f)
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Processos Aleatórios e Ruído
• Processos Aleatórios Gaussianos
Um processo aleatório diz-se Gaussiano se as suas variáveis aleatórias tem funções densidade de probabilidade gaussianas.
( )( )
( ) 2
2
2
2
2
2
2
2
1
10
2
1
y
Y
YY
y
Y
Y
eyf
ese
eyf Y
Y
−
−−
=
==
=
π
σµ
πσσµ
Esta última distribuiçãocostuma designar-se porN(0,1)
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Processos Aleatórios e Ruído
• Os processos gaussianos são muito importantesem Telecomunicações por duas razões:– mais fácil obter resultados analíticos neste caso,
– muitos dos processos aleatórios que se utilizam pararepresentar processos físicos podem seraproximados por processos gaussianos.
Telecomunicações 1(TEC) 38
Processos Aleatórios e Ruído
• A justif icação é o teorema do limite central.• Dado um conjunto de N variáveis aleatórias estatisticamente
independentes com a mesma função de distribuição média edesvio padrão, a variável soma tem distribuição gaussiana…
• Esta situação verifica-se em muitas situações em que o ruídogerado por um sistema, resulta da contribuição de um grandenúmero de variáveis independentes.
Telecomunicações 1(TEC) 39
Processos Aleatórios e Ruído
• Propriedades de um processo Gaussiano➊ Um processo X(t) quando passa através de um sistema linear
mantem-se gaussiano
➋ Considerando um conjunto de variáveis aleatórias X(t1), X(t2),
X(t3),…,X(tn) resultantes da observação de um processoaleatório X(t), se o processo X(t) é Gaussiano, a fdp de qualquerconjunto destas variáveis é conjuntamente Gaussiana
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Processos Aleatórios e Ruído
• Definindo
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )µµ
π
µµ
µ
−Σ−− −
∆=
−=
=
−−=
=
xx
nntXtX
n
tXitXkikX
itX
T
n
ik
i
exxf
seescreverpode
Xdevalorumx
tXtXiáveisconjuntovectorX
tXtXEttC
tXE
1
1
2
1
2/12/1,...,
1
2
1,....,
,...,var
,
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Processos Aleatórios e Ruído
• Sendo[ ]
( ){ }
Σ=∆Σ=Σ
==Σ==
−
deanteer
deinversa
ttCariânciadematriz
médiavector
ikX
n
mindet
,cov
,...,
1
1 µµµ
Esta propriedade signifi ca que é muito mais fácil caracterizarestatisticamente um processo Gaussiano que outro qualquer.
Telecomunicações 1(TEC) 42
Processos Aleatórios e Ruído
➌ Um processo aleatório estacionário no sentido lato é-o nosentido estrito.
➍ Se n variáveis aleatórias extraídas de um processo aleatóriogaussiano forem descorrelacionadas elas serão estatisticamenteindependentes.
Telecomunicações 1(TEC) 43
Processos Aleatórios e Ruído
• Ruído• Chama-se ruído a sinais não desejados que perturbam a
transmissão e o processamento de sinais e que sãoincontroláveis. As sua fontes podem ser externas ao sistemas(ruído atmosférico, galáctico, solar,…) ou internas (ruídotérmico de resistências, ruído gerado em dispositivosactivos,…).
• O ruído é inevitável e representa a limitação fundamental dacomunicação.
• Dois tipos mais comuns de ruídos em electrónica são o ruídoimpulsional (shot) e o ruído térmico.
Telecomunicações 1(TEC) 44
Processos Aleatórios e Ruído
• Ruído Shot• Resulta da natureza discreta da corrente. A corrente eléctrica
não é um fluxo contínuo de carga mas sim a passagem de cargasdiscretas a um determinado ritmo. Por exemplo a corrente de umfotodetector resulta da emissão de electrões sempre que incideum fotão. Os electrões são emitidos em instantes aleatórios τk,cada um gera um impulso de corrente e a corrente total resultada soma destes impulsos. Corrente pode ser modelada por umprocesso X(t) do seguinte tipo, designado “shot noise”
( ) ( )∑∞
∞−
−= kthtX τ
Telecomunicações 1(TEC) 45
Processos Aleatórios e Ruído
• À medida que o número de electrões emitido cresce N(t),número de electrões emitido em [0,t] é um processo aleatórioestocástico. Seja ν o valor médio do número de electrõesemitido por unidade de tempo. O valor médio de emissões entret e t+ to será
[ ] 0tE λν =O número de electrões emitido entre t e t+to segue a distribuiçãode Poisson com valor médio λto.
( ) ( )0
!0 t
k
ek
tkP λλν −==
Telecomunicações 1(TEC) 46
Processos Aleatórios e Ruído
• Pode provar-se que
( )∫∞
∞−
= dtthX λµ
Em que h(t) é a forma do impulso de corrente gerado pela carga.No caso de o impulso ser considerado muito estreito (Dirac) como sucede na maior parte dos dispositivos electrónicos devidoà alta velocidade, a densidade espectral de potência pode ver-se que é plana.
Telecomunicações 1(TEC) 47
Processos Aleatórios e Ruído
• Ruído Térmico• Ruído resultante da agitação dos electrões num condutor. A
tensão de ruído medida nos terminais de uma resistência emequilíbrio térmico à temperatura absoluta T (=273+TºC) emedida numa banda ∆f é dada por
[ ] 22 4 voltsfkTRvE tn ∆=
sendo k a constante de Boltzman =1,38x10-23 J/ºK
Telecomunicações 1(TEC) 48
Processos Aleatórios e Ruído
• O esquema equivalente de uma resistência com ruído
Rreal
Rs/ruído
Rs/ruído
~E[v2
tn]
E[I2tn]
[ ] [ ]1
22
22 4
−=
∆==
RGcom
ampfkTGR
VEIE
tntn
Telecomunicações 1(TEC) 49
Processos Aleatórios e Ruído
• Dado que o número de electrões em movimentonum condutor é muito elevado e que eles semovem de forma independente, a aproximaçãode considerar que o ruído térmico é umprocesso aleatório Gaussiano é válida.
Telecomunicações 1(TEC) 50
Processos Aleatórios e Ruído
• Uma gerador transmite máxima potência a umacarga quando esta´tem valor igual à suaimpedância característica valendo essa potênciaV2/4R
~
R
VRl
P( )
R
VP
RRP
RR
VRIRIVP
máx
lmáx
l
lll
4
..
2
2
22
=
=↔+
===
Telecomunicações 1(TEC) 51
Processos Aleatórios e Ruído
• Assim a potência máxima de ruído que se pode extrair de umaresistência, também chamada potência disponível será dadapor
wattsfkTPavail ∆=A densidade de potência deste ruído é também constante, isto é,depende de ∆f mas é independente do valor absoluto da fre-quência. Será SW=kT ou se considerarmos frequências + e- kT/2.Este tipo de ruído é muito importante em Telecomunicações e chama-se ruído branco por analogia com o que se passa com a luz branca que possui igual energia a todas as cores.
Telecomunicações 1(TEC) 52
Processos Aleatórios e Ruído
• Ruído Branco pode assim dizer-se que é umruído representado por uma densidade espectralde potência constante que vamos representar doseguinte modo:
( )2
oW
NfS =
O factor 2 resulta da necessidade de considerar frequências + e -No expressa-se em W/Hz.
Telecomunicações 1(TEC) 53
Processos Aleatórios e Ruído
• No caso geral, mesmo que o ruído à entrada deum receptor não provenha de uma resistência, épossível definir uma temperatura equivalente deruído Te tal que a densidade de potência deruído No seja
eo kTN =
Telecomunicações 1(TEC) 54
Processos Aleatórios e Ruído
• Propriedades do Ruído Branco
f
SW(f)No/2
τ
RW(τ)No
2δ(τ)
A autocorrelação desta forma implica que amplitudes em ins-tantes diferentes são descorrelacionadas logo independentes.
Telecomunicações 1(TEC) 55
Processos Aleatórios e Ruído
• Estritamente falando o ruído branco é irrealizável porquecontem energia infinita. Este foi aliás um paradoxo da físicaporque significava que era possível extrair energia de qualquersistema com ruído…
• Foi resolvido com mecânica quântica que mostrou que para oruído térmico existe uma alteração da lei a altas frequências
fq
SW(f)Joelho verifica-se a frequências da ópticaà temperatura ambiente e a frequências de micro-ondas a temperaturas ~ To
Telecomunicações 1(TEC) 56
Processos Aleatórios e Ruído
• Ruído Branco Filtrado• Suponhamos que ruído densidade No/2 passa por fil tro passa
baixo de banda B.
Filtro P BaixoFmáxima=B
SW(f) SN(f)
SW(f)
SN(f)
Bf
f
No/2
No/2
Telecomunicações 1(TEC) 57
Processos Aleatórios e Ruído
• A função de autocorrelação do ruído filtrado será
( ) ( )ττ τπ BcBNdfeN
R ofj
B
B
oN 2sin
22 == ∫
−
RN(τ)
NoB
1/2B
1/B3/2B τ
Filtragem introduz correlaçãoentre amplitudes em instantesdiferentes, o que não existia àentrada no ruído branco. Fisica-mente é fácil de perceber...
Telecomunicações 1(TEC) 58
Processos Aleatórios e Ruído
• Tudo isto é observável e pode ser medido no laboratório no casode sinais estacionários e ergódicos
X
Atraso τ
IntegraçãoRuído
RN(τ)
O cálculo da transformada de RN(τ) dar-nos-á as características espectrais
Telecomunicações 1(TEC) 59
Processos Aleatórios e Ruído
• Ruído filt rado por um circuito RC
C
R
Ruídobranco
Ruídofiltrado
( )
RCf
fjffRCjfH
c
c
π
π
2
1
/1
1
21
1
=
+=
+=
O cálculo da densidade de potência de ruído à saída é trivial
Telecomunicações 1(TEC) 60
Processos Aleatórios e Ruído
• Será
( ) ( )
( ) RCoN
oN
eRC
NfR
e
fRC
NfS
τ
π
−=
+=
4
21
2/2
RN(τ)
SN(f)
f
τ
No/4RC
No/2
No/4
fc=1/2πRC
Telecomunicações 1(TEC) 61
Processos Aleatórios e Ruído
• Largura de Banda Equivalente de Ruído
( ) ( ) dffHNdffHN
N oo
saída
2
0
2
2 ∫∫∞∞
∞−
==
Mesmo ruído aplicado a um fi ltro ideal (ganho constante)= H(0)teríamos ( ) ( )
( )
( )20
2
2
0
0
H
dffH
Bse
HBNidealN
N
Nosaída
∫∞
=
=
Telecomunicações 1(TEC) 62
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• Graficamente|H(f)|2
f
Iguais áreas
Para o caso do RC será BN=πfc/2=1/4RC.
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Processos Aleatórios e Ruído
• Ruído de Banda Estreita• Situação análoga aos sinais de banda estreita. Quando se estreita
o espectro ele tende para uma risca ou seja uma sinusoide.
f
SN(f)
fc-fc fc+Bfc-B-fc-B -fc+B
Telecomunicações 1(TEC) 64
Processos Aleatórios e Ruído
• Se virmos um destes processos no osciloscópio de facto parece-se com uma sinusoide modulada em ampli tude e fase.
t
Frequência instantâneavizinha de fc
Telecomunicações 1(TEC) 65
Processos Aleatórios e Ruído
• Tal como aconteceu anteriormente com os sinais é possíveldefinir este tipo de sinais em termos de:
– componentes em fase e quadratura
– envolvente e fase.
• No primeiro caso teremos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsentntftntn cQcI ππ 22cos −=
É fácil mostrar que aquelas componentes podem calcular-se do seguinte modo (analiticamente ou no laboratório).
Telecomunicações 1(TEC) 66
Processos Aleatórios e Ruído
• Extracção das componentes Regeneração do emfase e quadratura ruído de banda estreita
x
x
FiltroP Baixo
FiltroP Baixo
x
x
Σ
nI(t)
nQ(t)
2cos(2πfct)
-2sen(2πfct)
cos(2πfct)
sen(2πfct)
+
-n(t)
Telecomunicações 1(TEC) 67
Processos Aleatórios e Ruído
• Propriedades das componentes em fase e quadratura
– tem média nula,
– n(t) Gaussiana implica componentes gaussianas
– n(t) estacionário as componentes são conjuntamenteestacionárias
– Densidades espectrais de potência obtem-se fazendo
( ) ( ) ( ) ( ){ BfBparaffSffS
dissoforaoNN
cNcN
QIfSfS
≤≤−++−==
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• graficamenteSN(f)
SNI(f), SNQ(f)
Telecomunicações 1(TEC) 69
Processos Aleatórios e Ruído
– nI(t) e nQ(t) tem a mesma variância que n(t)
– se n(t) é Gaussiana e a sua densidade de potência emtorno de fc, então nI e nQ são estatisticamenteindependentes.
• Exemplo:
Filtro Passa Banda(fc, 2B)
Ruídobranco
n(t)2B << fc
No/2
Telecomunicações 1(TEC) 70
Processos Aleatórios e Ruído
• Pode calcular-se a autocorrelação do ruído à saída por
( )
( ) ( )τπτ
τ τπτπ
co
fjBf
Bf
ofjBf
Bf
oN
fBcN
dfeN
dfeN
Rc
c
c
c
2cos2sin2
2222
=
=+= ∫∫+
−
+−
−−
RN(τ)2NoB
1/2B 1/B
Telecomunicações 1(TEC) 71
Processos Aleatórios e Ruído
• O espectro e autocorrelação das componentes I e Q serão
τ
fB-B
No
RNI(τ)=RNQ(τ)=2NoBsinc(2Bτ)
Telecomunicações 1(TEC) 72
Processos Aleatórios e Ruído
• Envolvente e Fase de um ruído de Banda Estreita
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )tn
tnarctgt
tntntr
sendo
ttftrtn
I
Q
QI
c
=
+=
+=
ψ
ψπ
22
2cos
É possível deduzir as propriedades destas duas variáveis aleatórias a partir das que conhecemos de nI e nQ (ver Haykin).
Telecomunicações 1(TEC) 73
Processos Aleatórios e Ruído
• A envolvente seque a estatística de Rayleigh. Sejam R e Ψ asvariáveis aleatórias cujos valores correspondem a r e ψ.
( )
( )î
=
î
=
≥
≤≤
Ψ
−0
202
1
0
22
2
2rparae
r
dissoforaoR
para
dissofora
r
rf
f
σσ
πψπψ Variável uniformemente dis-
tribuida.
Variável segue distribuição de Rayleigh.
R e Ψ são independentes.σ2 é a variância de n(t).
Telecomunicações 1(TEC) 74
Processos Aleatórios e Ruído
• Rayleigh é uma distribuição importante em Telecomunicações
σ
eσ1
fR(r)
Mediana ponto r1 parao qual P(r<=r1)=0,5 é
r1=1,185σ.
Valor médio é µR=(π/2)1/2σValor quadrático médio E[R2]=2σ2
Variância σR2=(4-π)σ2/2
P(R>=kσ)=exp(-k2/2)
Telecomunicações 1(TEC) 75
Processos Aleatórios e Ruído
• Sinal sinusoidal mais ruído de banda estreita
• Caso muito frequente
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
( )
( ) ( ) ( )tfsentntftnA
tfsentntftntfA
tntfAtx
cQc
tn
I
cQcIc
c
I
ππ
ππππ
22cos
22cos2cos
2cos
−+=
=−+==+=
′
� ����
Se n(t) for gaussiano, n’ I(t) e nQ(t) são gaussianos e estatis-ticamente independentes.Média de n’ I(t) é A e a média de nQ (t) é nula.Variâncias de n’ I(t) e de nQ (t) são ambas iguais a σ2.
Telecomunicações 1(TEC) 76
Processos Aleatórios e Ruído
• A envolvente e a fase serão
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )tn
tnarctgt
tntntr
I
Q
QI
′=
+′=
ψ
22
Neste caso se Α#0 as variáveis aleatórias R e Ψ serão dependentes.
Telecomunicações 1(TEC) 77
Processos Aleatórios e Ruído
• A variável R obedece a uma distribuição de Rice
( )
( ) ψπ
σσ
πψ
σ
dexI
sendo
ArIe
rrf
xo
o
Ar
R
∫=
=
+−
2
0
cos
22
2
2
1
2
22
Função de Bessel de 1ªespécie modifi cada deordem 0.
Telecomunicações 1(TEC) 78
Processos Aleatórios e Ruído
• Normaliza-se fazendo v=r/σ e a=A/σ com fV(v)=σfR(r) e vem
( ) ( )avIvevf o
av
V2
22 +−=
a=0a=1
a=2a=3 a=5
Telecomunicações 1(TEC) 79
Processos Aleatórios e Ruído
• Para a=0 a distribuição de Rice coincide com a de Rayleigh
• Quanto maior for a(=A/σ) mais a f.d.p. de Rice se aproxima daGaussiana (portanto para situações em que o ruído em muitomenor que o sinal sinusoidal adicionado).
• O livro desenvolve algumas experiências por simulação muitointeressantes e importantes que eu não tenho tempo de mostrarmas sugiro que as sigam.
Telecomunicações 1(TEC) 80
Processos Aleatórios e Ruído
• Ruído na prática. Já vimos:– é aproximado por processo aleatório estacionário ergódico e
gaussiano
– à entrada é muitas vezes aproximado por um ruído branco (éassim no ruído shot e no térmico)
– interessa usar a potência disponível que, havendo adaptação,é a potência efectivamente transferida
– é sempre possível associar uma temperatura a uma fonteatravés de (B banda de observação)
kB
PT a=
Telecomunicações 1(TEC) 81
Processos Aleatórios e Ruído
• Caracterização de um sistema do ponto de vista do ruído -Temperatura equivalente de ruído Te.
QuadripoloGanho gBanda B
RuídoTemperaturaTi
Ruído à saídaPotência No
Ganho em potência disponível será a relação entre as potênciasdisponíveis à saída e à entrada. É igual ao ganho se o sistema estiver adaptado. Será
Telecomunicações 1(TEC) 82
Processos Aleatórios e Ruído
Se definirmos uma temperatura Te tal que
BgTTkNo
escreverpodemos
BgkTN
ei
e
)(
int
+=
=
�quadripolopelogeradoRuídoentradadaeprovenientRuído
io NBgkTN int+= ���
Telecomunicações 1(TEC) 83
Processos Aleatórios e Ruído
• Isto corresponde a referir o ruído do quadripolo à entrada erepresenta-lo por uma temperatura.
+ gTi
Te
Ampli ficador/fi ltrosem ruído
Quadripolo c/ ruído
No
Telecomunicações 1(TEC) 84
Processos Aleatórios e Ruído
• Temperatura equivalente de uma cadeia
G1
Te1
G2
Te2
Gn
Ten
Ti
Qual a temperatura equivalente desta cadeia? Introduzamos um diagrama em que as fontes de ruído correspondentes a cada umdos elementos esteja presente.
Telecomunicações 1(TEC) 85
Processos Aleatórios e Ruído
• Será
Ou
+ g1
Te1
+ g2
Te2
+ gn
Ten
Ti
+ g1 g2 gnTi
∏−++++ 1
1
211
...32
1 n
i
eeee
g
T
gg
T
g
TT n
Telecomunicações 1(TEC) 86
Processos Aleatórios e Ruído
• Numa cascata de quadripolos teremos portanto no caso geral,que se costuma designar fórmula de Friis:
∏−++++ 1
1
211
...32
1 n
i
eeee
g
T
gg
T
g
TT n
Resultado muito importante que revela que numa cadeia oelemento mais importante é o primeiro. De facto se este tiverganho elevado, as contribuições dos andares seguintes para oruído final são muito pequenas.
Telecomunicações 1(TEC) 87
Processos Aleatórios e Ruído
• Factor de Ruído• É uma forma alternativa um pouco mais complicada mas que,
por ser comum, temos que estudar.
• Define-se factor de ruído do seguinte modo
QuadripoloTi=To=290K
OBS: À entrada tem que estar um ruído à temperatura de referencia To,escolhida de forma a ser próximada temperatura ambiente.
To corresponde a 17ºC
Telecomunicações 1(TEC) 88
Processos Aleatórios e Ruído
• Define-se Factor de Ruído F para um quadripolo com Ti=To
o
o
N
N
entradadaeprovenientsaídaàdisponívelPotência
saídaaruídodedisponívelTotalPotênciaF
′==
Mas, pela definição de Te( )
( )1
1
log
−=
∴+=+=
=′+=
FTT
T
Te
T
TTF
o
BgkTN
BgTTkN
oe
oo
eo
oo
eoo
Telecomunicações 1(TEC) 89
Processos Aleatórios e Ruído
• Por aplicação directa da fórmula de Friis é fácilmostrar que numa cadeia será
∏−
−++−+−+= 1
1
21
3
1
21
1...
11n
i
n
g
F
gg
F
g
FFF
Telecomunicações 1(TEC) 90
Processos Aleatórios e Ruído
• Chama-se temperatura de ruído do Sistema,escreve-se Tsis, à temperatura soma de Ti comTe.
• É o ruído total referido à entrada.
Telecomunicações 1(TEC) 91
Processos Aleatórios e Ruído
• Exemplos:
• 1 - Receptor com ganho g=105, B=36MHz, sem ruído, possui àentrada temperatura de ruído gerada pela antena Tant=To=290K.Qual a potência de ruído à saída?
dBWNgN
dBWBkxNN
dBemou
WxgNN
WxxxxxBkTN
idBdBdBo
HzemBdBWem
idBi
io
anti
4,78
4,128log10290log10log10
1044,1
1044,110362901038,1
10
)(0,204
1010
8
13623
−=+=
−=+==
==
===
−
−
−−
� ���� �� �
Telecomunicações 1(TEC) 92
Processos Aleatórios e Ruído
• 2- Um receptor com F=1,5dB tem à entradauma antena com Tant=120K. Calcular Te e Tsis?
KTTT
KFTT
F
eantsis
oe
236
116)14,1(290)1(
4,110 15,0
=+==−=−=
≈=
Telecomunicações 1(TEC) 93
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• 3- Determine a temperatura de sistema doseguinte receptor
g1=100Te1=30K
g2=10F2=6dB
g3=1000F3=12dB
Tant=50K
Telecomunicações 1(TEC) 94
Processos Aleatórios e Ruído
• Teremos
( )( )
KTTT
KFTTF
KFTTF
eisis
oe
oe
931000
4350
100
8703050
435011610
8701410
32,1
3
26,0
2
3
2
=+++=+=
=−=∴≈=
=−=∴≈=
Apesar da menor qualidade dos últimos andares do receptoreles contribuem muito pouco para a degradação do sinal doponto de vista do ruído.
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Processos Aleatórios e Ruído
• 4- Considere a ligação por feixe abaixo. Qual a relaçãopotência de portadora/potência de ruído (C/N) na saída?
EmissorReceptorTe=450KB=36MHz
Pe=-25dBW
GantT=35dB
GantR=35dBTant=290K
f=11GHzl=40km
Telecomunicações 1(TEC) 96
Processos Aleatórios e Ruído
• Atenuação em espaço livre
( ) dBN
C
BkT
C
N
C
N
C
N
C
KT
dBWC
dBlfL
dBo
sis
i
sis
i
io
sis
i
kmGHzdB
0,243,1243,100
740450290
3,100353,1453525
3,145log20log204,92 1010
=−−−=
=
=
=
=+=−=+−+−=
=++=
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Processos Aleatórios e Ruído
• C é a potência da portadora. Calcula-se arelação C/N na entrada util izando o ruído Tsis
que inclui a potência ruído introduzida peloreceptor referida à entrada. Ao fazermos issoestamos a incluir toda a degradação do sinal queo receptor irá introduzir e temos por isso arelação C/N da saída.
Telecomunicações 1(TEC) 98
Processos Aleatórios e Ruído
• Factor de Ruído de uma linha com perdas– Este caso particular é muito importante pois as
linhas à entrada dos receptores tem que serconsideradas como causadoras de atenuação eafectam a qualidade dos receptores
– Consideremos uma linha em equilíbrio térmico, comtemperatura constante e igual a To, adaptada nosdois extremos como é habitual acontecer emsistemas de transmissão
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Processos Aleatórios e Ruído
• Teremos:
R RAtenuação L = g-1
Ni= KToB
No=KToB pois linha adaptada é equivalente a uma resistência de valor igual a R à temperatura To
F=No/gNi=NoL/Ni=L - Factor de ruído igual à atenuação.
To
To