การค�ณเวกการค�ณเวกเตอร�เตอร�

เวกเตอร�และสเกลาร�ข��นส�ง

การค�ณเวกเตอร�

1 Scalar Product or Dot product

2 Vector Product or Cross product

Scalar Product

cosABBA

ผลล�พธ�เป�น สเกลาร� ( เคร��องหมายน�าหน�าเป�น + หร�อ - ) ม�หน�วยเด�ยวก�บเวกเตอร�ท�� dot ก�น

ค�อขนาดของ

ค�อขนาดของ

ค�อม�มระหว�าง ก�บ

A

A

B B

A

B

ต�วอย�าง

N 10A

N 6B

N 4C

N 6D

N 6E

30

BA

1

AB

2

CB

3

DA

4

จงหาEB

5

? 1 BA

เฉลย N 10A

N 6B

N 60)0)(cos6(10 BA

เฉลย

? 2 AB

N 6B

N 10A

N 60)0)(cos10(6 AB

1

1

? 3 CB

เฉลย N 6B

N 4C

N 24)180)(cos4)(6( CB

? 4 DA

เฉลย

N 10A

N 6D

0)90)(cos6)(10( DA

-1

0

? 5 EB

เฉลย

N 6B

N 6E

30

)2

3)(36()30)(cos6)(6( EB

N 14.31)73.1)(18()3)(18(

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar1 ถ าเวกเตอร�ขนานก�น ท&ศไปทางเด!ยวก�น จะได ผลค�ณมากส�ด A

B

ABABABBA 0cos

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar (ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณน อยลงเร�"อย ๆ 900

A

B

cosABABBA

น�อยลง ๆ

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar (ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณน อยลงเร�"อย ๆ 900

A

B

cosABABBA

น�อยลง ๆ

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar (ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณน อยลงเร�"อย ๆ 900

A

B

cosABABBA

น�อยลง ๆ

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)3 ถ าเวกเตอร�ท*าม�มฉากก�นและก�น จะได ผลค�ณเท�าก�บศ�นย�

A

B

090cos ABABBA

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะเป,นลบมากข-�นเร�"อย ๆ

18090

A

B

cosABABBA เป,นลบมาก

ข-�น ๆ

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะเป,นลบมากข-�นเร�"อย ๆ

18090

A

B

cosABABBA เป,นลบมาก

ข-�น ๆ

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะเป,นลบมากข-�นเร�"อย ๆ

18090

A

B

cosABABBA เป,นลบมาก

ข-�น ๆ

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ scalar(ต�อ)5 ถ าเวกเตอร�ท&ศตรงข ามก�น จะได ผลค�ณเป,นลบมากส�ด

AB

ABABABBA 180cos

180

180

ความร� ตร!โกณส*าค�ญ sin)90cos(

cos)180cos(

2

1)

2

1(30sin)3090cos(120cos

cos)180cos(

cos)360cos(

เช�น

2

3)

2

3(30cos)30180cos(210cos

ผลล�พท�การ dot ของเวกเตอร�หน-"งหน�วย

1cos)1)(1(ˆˆ oii

1cos)1)(1()ˆ()ˆ( oii

1180cos)1)(1()ˆ(ˆ ii

090cos)1)(1(ˆˆ ji

ผลค�ณ ผลค�ณ scalar scalar ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน xyzxyz

i

ij

+x

-x

+y-y

+z

-z

j

j

k

k

1ˆˆ ii

1ˆˆ jj

1ˆˆ kk

1ˆˆ ii

1ˆˆ jj

1ˆˆ kk

ij ˆˆ

0)ˆ(ˆˆˆˆˆ jiijji

0)ˆ(ˆˆ)ˆ(ˆˆ jkijjk

0)ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆˆ kikjki

1)ˆ(ˆ ii

1)ˆ(ˆ jj

1)ˆ(ˆ kk

ต�วอย�าง

iA ˆ3

jB ˆ4

jiD ˆ3ˆ4

kjiE ˆˆ2ˆ4

kjiF ˆˆˆ

kC ˆ

จงหา

BA

1

CA

2

0)ˆˆ)(12()ˆ4()ˆ3( jijiBA

0)ˆ()ˆ3( kiCA

CB

3

DA

4

เฉลย = 0

)ˆ3()ˆ3()ˆ4()ˆ3()ˆ3ˆ4()ˆ3( jiiijiiDA

)ˆˆ(9)ˆˆ(12 jiii

0)12(

12

? 5 FE

kjikjiFE ˆˆˆˆ2ˆ4

kjikkjijkjii ˆˆˆ)ˆ(ˆˆˆ)ˆ)(2(ˆˆˆˆ4

124

1

= 4 +0+0+0-2 +0+0+0 -1

ค�ณสมบ�ต&การ dot ท!"น�าสนใจ

ABBA

.1

CABACBA

)( .2

3 ถ า แล ว BA

BABBAABA

ขนาดของ

A

ขนาดของ

B

4 ถ า โดยท!" และ แสดงว�า 0 BA

0A

0B

BA

5 เราสามารถหาขนาดของเวกเตอร�ใดๆ(เช�น )โดยน*ามา dot ต�วเอง

A

AAA

AAA

2หร�อ

ต�วอย�าง จงหาขนาดเวกเตอร�ต�อไปน!� kjiA ˆˆ3ˆ2

kjB ˆˆ3

jiC ˆ3ˆ2

jD ˆ3

ว&ธ!ท*า 14194)1()3()2( 222 Aว&ธ!ท!" 1ว&ธ!ท!" 2

)ˆˆ3ˆ2()ˆˆ3ˆ2(2 kjikjiAAA

194 A

14

หาขนาดของ A

หาขนาดของ A

ว&ธ!ท!" 1

1019)1()3( 22 B

ว&ธ!ท!" 2

)ˆˆ3()ˆ3( kjkjBBB

1019

เฉลย 13C 3D

Vector Product

ผลล�พธ�เป�นเวกเตอร�

ค�อขนาดของ

ค�อขนาดของ

ค�อม�มระหว�าง ก�บ

A

A

B B

A

B

ขนาด sin))(( BA

A

B

BA

A

B

BA

ท&ศ

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector1 ถ าเวกเตอร�ขนานก�น ท&ศไปทางเด!ยวก�น จะได ผลค�ณเป,นศ�นย�

00sin ABBA

A

B

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะมากข-�นเร�"อย ๆ 900

B

A

BA

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะมากข-�นเร�"อย ๆ 900

B

A

BA

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)2 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะมากข-�นเร�"อย ๆ 900

B

A

BA

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)3 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะมากส�ด 90

B

A

BA

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะลดลงเร�"อย ๆ 18090

B

A

BA

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะลดลงเร�"อย ๆ 18090

B

A

BA

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)4 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะลดลงเร�"อย ๆ 18090

B

A

BA

ข อส�งเกตเก!"ยวก�บผลค�ณ vector(ต�อ)5 ถ าเวกเตอร�ท*าม�ม ผลค�ณจะเป,นศ�นย� 180

B

A

00sin)1)(1(ˆˆ ii

?ˆˆ ji

190sin)1)(1(ˆˆ jiขนาด

i# j

k

ท&ศทาง

k

kji ˆˆˆ จะได

ผลค�ณ ผลค�ณ vector vector ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน xyzxyz

i

ij

+x

-x

+y-y

+z

-z

j

j

k

k

0ˆˆ ii

0ˆˆ jj

0ˆˆ kk

0ˆˆ ii

0ˆˆ jj

0ˆˆ kk

ij ˆˆ

0)ˆ(ˆ ii

0)ˆ(ˆ jj

0)ˆ(ˆ kk

ผลค�ณ ผลค�ณ vector vector ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน ในระบบพ&ก�ดคาร�ท&เซ!ยน xyzxyz

i

ij

+x

-x

+y-y

+z

-z

j

j

k

k

kji ˆˆˆ

kij ˆˆˆ

jki ˆˆˆ

jik ˆˆˆ

ikj ˆˆˆ

ijk ˆˆˆ

ij ˆˆ

kji ˆ)ˆ(ˆ

kij ˆ)ˆ(ˆ

jki ˆ)ˆ(ˆ

ijk ˆˆˆ

ทดสอบผลค�ณ ทดสอบผลค�ณ vector vector

i

ij

+x

-x

+y-y

+z

-z

j

j

k

k

)ˆ()ˆ( ki

ij ˆ)ˆ(

kj ˆˆ

jk ˆˆ

ij ˆˆ

j

k

i

i

kAjAiAA zyxˆˆˆ

kBjBiBB zyxˆˆˆ

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA ZyXZyX

)ˆˆˆ()ˆ(

)ˆˆˆ()ˆ(

)ˆˆˆ()ˆ(

kBjBiBkA

kBjBiBjA

kBjBiBiA

ZyXZ

ZyXY

ZyXX

)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(

)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(

)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(

kBkAjBkAiBkA

kBjAjBjAiBjA

kBiAjBiAiBiA

ZZyZXZ

ZYyYXY

ZXyXXX

)ˆˆ)(()ˆˆ)(()ˆˆ)((

)ˆˆ)(()ˆˆ)(()ˆˆ)((

)ˆˆ)(()ˆˆ)(()ˆˆ)((

kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBA

kiBAjiBAiiBA

ZZyZXZ

ZYyYXY

ZXyXXX

k j

k 0

0

i

j i 0

0)ˆ)(()ˆ)((

)ˆ)((0)ˆ)((

)ˆ)(()ˆ)((0

iBAjBA

iBAkBA

jBAkBA

yZXZ

ZYXY

ZXyX

)ˆ()ˆ(

)ˆ()ˆ(

)ˆ()ˆ(

iBAjBA

iBAkBA

jBAkBA

yZXZ

ZYXY

ZXyX

kBABAjBABAiBABABA XYyXZXXZyZZYˆ)(ˆ)(ˆ)(

ด�งน��น

Z

z

A

ˆ ˆ ˆ

BBB

AA

kji

BA

yx

yx

ต�วอย�าง

จงหาผลค�ณเวกเตอร�ตามร�ปต�อไปน!�

mr 6

NF 5

37

?Fr

Fr

หาขนาด

37sin)4)(5(sin))(( FrFr 5

3

37

4

35

mN. 12

เป,นเวกเตอร�ขนาด 12 N.m ท&ศพ� �งข-�นต��งฉากระนาบ ตอบ

Fr

,

ต�วอย�าง

จงหาผลค�ณเวกเตอร�ตามร�ปต�อไปน!�

mr 6

NF 5

37

?rF

rF

หาขนาด

37sin)5)(4(sin))(( rFrF 5

3

37

4

35

mN. 12

เป,นเวกเตอร�ขนาด 12 N.m ท&ศพ� �งลงต��งฉากระนาบ ตอบ

Fr

,

ต�วอย�าง

จงหาผลค�ณเวกเตอร�ตามร�ปต�อไปน!�

smv / 6

TB 5

Bv

หาขนาด

90sin)5)(6(sin))(( BvBv

1

smT /. 30

เป,นเวกเตอร�ขนาด ท&ศพ� �งลงต��งฉากระนาบ ตอบ

Bv

,

?Bv

smT /. 30

ต�วอย�าง

iA ˆ3

jB ˆ4

jiD ˆ3ˆ4

kjiE ˆˆ2ˆ4

kjiF ˆˆˆ

kC ˆ

จงหา

BA

1

CA

2

kkjijiBA ˆ12)ˆ(12)ˆ()ˆ()12()ˆ4()ˆ3(

jjkikiCA ˆ3)ˆ(3)ˆˆ(3)ˆ()ˆ3(

DA

3

kjiiDA ˆ9)ˆ3ˆ4()ˆ3(

FE

4

)ˆˆˆ()ˆˆ2ˆ4( kjikjiFE

)ˆˆˆ()ˆ()ˆˆˆ()ˆ2()ˆˆˆ()ˆ4( kjikkjijkjii

)0ˆˆ()ˆ20ˆ2()ˆ4ˆ40 ijikjk

)ˆ2ˆ4()ˆˆ4()ˆˆ2( kkjjii

kji ˆ6ˆ5ˆ

kjiE ˆˆ2ˆ4

kjiF ˆˆˆ

1- 1 1

1 2- 4

ˆ ˆ ˆ

kji

FE

1 1

2- 4

ˆ ˆ

ji

i2 j k4 k2 i j4

)24()4()ˆˆ2( kkjjiiFE

kjiFE 65ˆ

ค�ณสมบ�ต&การ cross ท!"น�าสนใจ

)( 1 ABBA

2 ถ า โดย แสดงว�า ขนานก�น 0 BA

0, BA

BA

,

3 ถ า เป,นสเกลาร�

m

mBA

BmA

BAmBAm

)(

)(

)()(

ค�ณสมบ�ต&การ cross ท!"น�าสนใจ ( ต�อ )

CABACBA

)( 4

CBABCACBA

)()()( 5

ACBBCACBA

)()()( 6

)()()( 7 BACACBCBA