producto escalar y producto vectorial
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pdf de producto escalar y vectorial, bien explicado, con ejemplos. Puede resolver cualquiera de tus dudas en este tema de fรญsica o calculo vectorialTRANSCRIPT
PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO PUNTO DE 2 VECTORES Y PRODUCTO CRUZ DE DOS
VECTORES
CALCULO VECTORIAL
PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES
El producto escalar de u = (๐ข1, ๐ข2) y v = (๐ฃ1๐ฃ2) es:
๐ โ ๐ = ๐ฃ1๐ข1 + ๐ฃ2๐ข2
El producto escalar de u = (๐ข1, ๐ข2, ๐ฃ3), v = (๐ฃ1, ๐ฃ2, ๐ฃ3) es:
๐ โ ๐ = ๐ฃ1๐ข1 + ๐ฃ2๐ข2 + ๐ฃ3๐ข3
EJEMPLO: DADOS U=(2,-2), V=(5,8) Y W=(-4,3), ENCONTRAR:A) ๐ โ ๐ B) ๐ โ ๐ ๐
C) ๐ โ (2๐) D) ๐2
SOLUCION:
a) ๐ โ ๐ = ๐,โ๐ โ ๐, ๐ = ๐ ๐ + โ๐ ๐ = ๐๐ โ ๐๐ = โ๐
b) ๐ โ ๐ ๐ = โ๐ โ๐, ๐ = (๐๐,โ๐๐)
c) ๐ โ 2๐ = ๐,โ๐ โ ๐ ๐, ๐ = ๐,โ๐ โ ๐๐, ๐๐ = ๐ ๐๐ + โ๐ ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐
d) ๐2= ๐ค โ ๐ค = โ4,3 โ โ4,3 = โ4 โ4 + 3 3 = 16 + 9 = 25
ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Si ๐ es el รกngulo entre dos vectores distintos de cero u y v, entonces:
cos ๐ =๐ข โ ๐ฃ
๐ข ๐ฃ
EJEMPLO: SI U=(3,-1,2), V=(-4,0,2), W=(1,-1,-2) Y Z=(2,0,-1), HALLAR EL ANGULO ENTRE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PARES DE VECTORES:A) U Y V B) U Y W C) V Y Z
cos ๐ =๐ข โ ๐ฃ
๐ข ๐ฃ=
3,โ1, 2 โ (โ4, 0, 2)
14 20=
โ12 + 0 + 4
280=
โ8
280=
โ4
70
๐ = 118.5608ยฐ = 2.0693 ๐๐๐๐๐๐๐๐
cos ๐ =๐ข โ ๐ค
๐ข ๐ค=
3,โ1, 2 โ 1, โ1,โ2
14 6=
3 + 1 โ 4
84=
0
84= 0
๐ = 90ยฐ = ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐๐ ๐ก๐๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐
cos ๐ =๐ฃ โ ๐ง
๐ฃ ๐ง=
โ4, 0, 2 โ 2, 0, โ1
20 5=
โ8 + 0 โ 2
100=โ10
10= โ1
๐ = 180ยฐ = ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐๐ ๐ก๐๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ฃ = โ2๐ง
PROYECCION UTILIZANDO EL PRODUCTO ESCALAR
Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyecciรณn de uen v estรก dada por:
๐๐๐๐ฆ๐ฃ๐ =๐ข โ ๐ฃ
| ๐ฃ |2๐ฃ
EJEMPLO: HALLAR LA PROYECCIรN DE U EN V Y LA COMPONENTE VECTORIAL DE U ORTOGONAL A V DE LOS VECTORES U = 3I โ 5J + 2K Y V = 7I + J โ 2K.
SOLUCION:
*PARA LA PROYECCION DE u EN v ES
๐ค1 = ๐๐๐๐ฆ๐ฃ๐ =๐ข โ ๐ฃ
| ๐ฃ |2๐ฃ =
3๐ โ 5๐ + 2๐ โ 7๐ + ๐ โ 2๐
542 7๐ + ๐ โ 2๐
=3,โ5,2 โ 7,1, โ2
547๐ + ๐ โ 2๐ =
21 โ 5 โ 4
547๐ + ๐ โ 2๐ =
12
547๐ + ๐ โ 2๐
=2
97๐ + ๐ โ 2๐ =
14
9๐ +
2
9๐ โ
4
9๐
*PARA LA COMPONENTE VECTORIAL DE u ORTOGONAL A v ES EL VECTOR
๐ค2 = ๐ข โ ๐ค1 = 3๐ โ 5๐ + 2๐ โ14
9๐ +
2
9๐ โ
4
9๐ =
13
9๐ โ
47
9๐ +
22
9๐
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
Sean u = ๐ข1๐ + ๐ข2๐ + ๐ข3๐ y ๐ฃ = ๐ฃ1๐ + ๐ฃ2๐ + ๐ฃ3๐ vectores en el espacio. El producto vectorial de u y v es el vector:
๐ข ร ๐ฃ = ๐ข2๐ฃ3 โ ๐ข3๐ฃ2 ๐ โ ๐ข1๐ฃ3 โ ๐ข3๐ฃ1 ๐ + ๐ข1๐ฃ2 โ ๐ข2๐ฃ1 ๐
La demostraciรณn a esta fรณrmula se debe al siguiente caso:
๐ข ร ๐ฃ =๐ ๐ ๐๐ข1 ๐ข2 ๐ข3๐ฃ1 ๐ฃ2 ๐ฃ3
= ๐ข2๐ฃ3 โ ๐ข3๐ฃ2 ๐ โ ๐ข1๐ฃ3 โ ๐ข3๐ฃ1 ๐ + ๐ข1๐ฃ2 โ ๐ข2๐ฃ1 ๐
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO ESCALAR1. ๐ข ร ๐ฃ = โ ๐ฃ ร ๐ข
2. ๐ข ร ๐ฃ + ๐ค = ๐ข ร ๐ฃ + ๐ข ร ๐ค
3. ๐ ๐ข ร ๐ฃ = ๐๐ข ร ๐ฃ = ๐ข ร ๐๐ฃ
4. ๐ข ร 0 = 0 ร ๐ข = 0
5. ๐ข ร ๐ข = 0
6. ๐ข โ ๐ฃ ร ๐ค = (๐ข ร ๐ฃ) โ ๐ค
EJEMPLO: DADOS U=I-2J+K Y V=3I+J-2K, HALLAR CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PRODUCTOS VECTORIALES:
A) UรV B) VรU C) VรVSOLUCION:
a) ๐ข ร ๐ฃ =๐ ๐ ๐1 โ2 13 1 โ2
= 4๐ + 3๐ + 1๐ โ โ6๐ โ 2๐ + ๐
= 4๐ + 3๐ + 1๐ + 6๐ + 2๐ โ ๐ = ๐๐ + ๐๐ + ๐๐
b) ๐ข ร ๐ฃ = โ ๐ฃ ร ๐ข = โ 3๐ + 5๐ + 7๐ = โ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐
c) ๐ฃ ร ๐ฃ = ๐
EJEMPLO: HALLAR UN VECTOR UNITARIO QUE ES ORTOGONAL TANTO A U=I-4J+K COMO A V=2I+3J
SOLUCION:
๐ข ร ๐ฃ =๐ ๐ ๐๐ข1 ๐ข2 ๐ข3๐ฃ1 ๐ฃ2 ๐ฃ3
=๐ ๐ ๐1 โ4 12 3 0
= 0๐ + 2๐ + 3๐ โ โ8๐ + 0๐ + 3๐
= 0๐ + 2๐ + 3๐ + 8๐ โ 0๐ โ 3๐ = โ3๐ + 2๐ + 11๐
๐ข ร ๐ฃ = โ3 2 + 2 2 + 11 2 = 9 + 4 + 121 = 134
๐ข ร ๐ฃ
๐ข ร ๐ฃ=โ3๐ + 2๐ + 11๐
134=
โ๐๐
๐๐๐+
๐๐
๐๐๐+
๐๐๐
๐๐๐
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Para u = ๐ข1๐ + ๐ข2๐ + ๐ข3๐, ๐ฃ = ๐ฃ1๐ + ๐ฃ2๐ + ๐ฃ3๐ y ๐ค = ๐ค1๐ + ๐ค2๐ + ๐ค3๐, el triple producto escalar estรก dado por:
๐ข โ ๐ฃ ร ๐ค =
๐ข1 ๐ข2 ๐ข3๐ฃ1 ๐ฃ2 ๐ฃ3๐ค1 ๐ค2 ๐ค3
๐ข โ ๐ฃ ร ๐ค = ๐ข ร ๐ฃ โ ๐ค = ๐ฃ โ ๐ข ร ๐ค
Por lo regular estรก interpretado geomรฉtricamente en el volumen de un paralelepรญpedo.
EJEMPLO: CALCULAR EL VOLUMEN DEL PARALELEPรPEDO QUE TIENE U = 3I - 5J + K, V = 2J - 2K Y W = 3I + J + K
๐ = ๐ข โ ๐ฃ ร ๐ค =3 โ5 10 2 โ23 1 1
= 6 + 30 + 0 โ 6 โ 6 + 0 = 36
โด ๐ = 36 ๐3
BIBLIOGRAFIA
LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, โCรกlculo de varias variables. Matemรกticas 3โ, 1ra Ediciรณn, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 pรกgs.
Swokowski, Earl, โCรกlculo con geometrรญa analรญticaโ, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Ediciรณn, Estados Unidos de Amรฉrica, 1097