MATEMTICAS BSICASUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLN

CLASE #9

Productos notables

Algunos productos se usan frecuentemente y por ello es fcil memorizar el resultado.Sean a y b nmeros reales o expresiones algebraicas.1. a ba b a2 b22. a b2 a2 2ab b23. a b2 a2 2ab b24. a b3 a3 3a2b 3ab2 b35. a b3 a3 3a2b 3ab2 b3.Estos resultados pueden verificarse realizando los productos, as:3. a b2 a ba b a.a ab ba bb a2 ab ba b2 a2 4. a b3 a ba b2 a ba2 2ab b2 a.a2 a2ab a.b2 b.a

a3 2a2b ab2 a2b 2ab2 b3 a3 3a2b 3ab2 b3.

Factorizacin

Factorizar una expresin algebraica es expresarla como un producto de expresiones mssimples.En los ejemplos anteriores, desarrollamos productos de expresiones algebraicas utilizandoreiteradamente la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. Si"reversamos" este proceso hasta tener las expresiones algebraicas en trminos de productos,decimos que hemos factorizado las expresiones.

Ejemplo:

Factorizar la expresin a2 2ab b2 es escribirla como un producto de factores, es decir,a2 2ab b2 a ba b a b2.

Utilizando los productos notables podemos factorizar algunas expresiones algebraicasa2 b2 a ba ba2 2ab b2 a b2Decimos que a2 2ab b2 y a2 2ab b2 son trinomios cuadrados perfectos.a3 3a2b 3ab2 b3 a b3a3 3a2b 3ab2 b3 a b3.

Ejemplo:

16x2 9z4 4x2 3z22 4x 3z24x 3z2.Consideremos ahora algunos casos especiales de expresiones algebraicas que no puedenfactorizarse usando los productos notables:

1. Todos los trminos de la expresin algebraica tienen un factor comn.

Ejemplo:

Factorizar las expresiones:a) 2x3 16xb) 7x4y2 14xy3 21xy4c) z 22 5z 2.

Solucin:

a) Como 16 2 8 , tanto 2 como x "estn" en los dos trminos entonces, usandopropiedades de la suma y el producto, tenemos:2x3 16x 2xx2 8 2xx2 8 2x x 8 x 8 2x x 2 2La ltima igualdad es vlida porque 1 es factor de los dos sumandos.

b) 1, 7, x y y2 son factores de todos los trminos, entonces7x4y2 14xy3 21xy4 7xy2x3 2y 3y2.

c) z 2 es factor de los dos sumandos, entonces:z 22 5z 2 z 2z 2 5 z 2z 3.

2. La expresin es un trinomio (suma o resta de tres trminos) De la forma x2 bx c :

Como x rx s x2 r sx rs, para factorizar el trinomio x2 bx cdebemos hallar r y s tales que b r s y c rs.Ejemplo:Factorizar x2 6x 5.Solucin:x2 6x 5 x rx s, con r y s tales que r s 6 y rs 5.Como 5 5 1 5 51 y 6 5 1, entonces r 5 y s 1,y as:x2 6x 5 x 5x 1.

De la forma ax2 bx c con a 1 :Como px rqx s pqx2 ps qrx rs, para factorizar el trinomio

ax2 bx c, debemos encontrar p, q, r, y s tales que pq a, ps qr b y rs c.Ejemplos:a) Factorizar 6y2 11y 21.

Solucin:Podemos escribir a 6 como 6 1 3 2 61 32 y c 21 como37 3 7.Como 11 6 3 17, entonces p 6, q 1, r 7 y s 3,y as:6y2 11y 21 6y 7y 3.

b) Factorizar 3x 22 83x 2 12.Solucin:La expresin dada tiene la forma 2 8 12, donde representa a 3x 2 ,entonces, 2 8 12 6 2. y as:3x 22 83x 2 12 3x 2 63x 2 2 3x 83x 4.

3. Suma o diferencia de cubos:

a3 b3 a ba2 ab b2 (Suma de cubos)a3 b3 a ba2 ab b2 (Diferencia de cubos)

Realizando los productos indicados a la derecha, podemos comprobar las igualdades.

Ejemplo :

a) 27x3 y3 3x y 3x2 3xy y2 3x y9x2 3xy y2b) 64 125t6 4 5t2 42 45t2 5t22 4 5t216 20t2 25t4.

4. Combinacin de los casos anteriores:

Expresiones con exponentes racionales:Ejemplo:Factorizar la expresin x3/2 2x1/2 x1/2.Solucin:xq con q el menor exponente, en este caso 32 es factor de los tres trminos, entonces

x3/2 2x1/2 x1/2 x3/21 2x x2 x3/2x 12. Los polinomios con al menos 4 trminos se pueden factorizar por agrupacin,

buscando que cada agrupacin se pueda factorizar usando los casos ya descritos.Ejemplo:Factorizar la expresin 3x3 x2 6x 2Solucin:3x3 x2 6x 2 3x3 x2 6x 2 x23x 1 23x 1 3x 1x2 2.

Ejercicio:

Cmo se factorizan las siguientes expresiones?a) an 1, con n b) x4 ax2 b, con a, b .

Solucin:

Consultarla en los ejercicios de la seccin 1.3 de Stewart.

Factorice las siguientes expresiones:

2x4 4x3 14x2

z 22 5z 212x2y4 3xy5 9x3y2

x1/2 2x1/2 x3/2

3x3 2x2 18x 126y2 11y 219x2 36x 452a b2 5a b 3

x2 25/2 2xx2 23/2 x2 x2 2