produtos notáveis 8ª ano prof.: sergio wagner. os produtos produtos notáveis são assim chamados...
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Produtos Notáveis
8ª ANO
Prof.: Sergio Wagner
Os produtosProdutos notáveis são assim chamados por serem tipos fixos,
facilmente reconhecidos, de produtos.Temos abaixo alguns dos mais freqüentes:
Podemos simplificar dois dos produtos para um quadrado:
Trabalhando os produtosO primeiro caso a ser estudado é o quadrado da soma. Que é
dado por:
Podemos ver isto como de fato um quadrado, feito da soma de dois seguimentos quaisquer:
Resolvendo as áreas neste quadrado, temos:
No resultado anterior, podemos ver que os retângulos laranja, ab e ba são iguais, então agrupamos o resultado da área;
O quadrado da diferençaO segundo caso a ser estudado é análogo ao primeiro; temos
novamente um quadrado formado por dois seguimentos, mas agora o segundo seguimento é retirado do primeiro:
Para obter o quadrado (a -- b)² do quadrado a², devemos retirar algumas partes:
Retiramos:
Recolocamos o quadrado menor.
No resultado anterior, tivemos que adicionar o quadrado b² por tê-lo retirado duas vezes. Agrupamos também os dois retângulos ab. Como explicitamos a seguir.
Produto da soma pela diferença
Somamos ainda:
Agora retiramos
O último caso a ser estudado é o do produto da soma pela diferença, dado por ( a + b ) . ( a – b ).
Obtemos do quadrado o retângulo do produto:
Podemos simplificar o resultado, lembrando que o retângulo ab adicionado e o retângulo ab retirado são iguais. Temos então somente a diferença do quadrado a ² e do quadrado b ².
Simplificando os retângulos ab obtemos:
FatoraçãoOs produtos notáveis têm pouco valor de cálculo, mas são
imprescindíveis na álgebra, na forma da fatoração.Facilmente identificados, os produtos notáveis, podem
simplificar e resolver situações que seriam complexas ou até impossiveis sem o seu uso.
Fator comum em evidência
O fator comum em evidência é a fatoração inversa da propriedade distributiva da multiplicação. Como temos a seguir;
Como toda equação independe do sentido apresentado, podemos escrever a equação acima como;
Podemos visualizar a fatoração também de forma geométrica. Montando um retângulo com outros retângulos. No caso do fator comum em evidência, temos:
Trinômio do quadrado perfeitoO trinômio do quadrado perfeito é dado pelo primeiro caso de produto notável que estudamos, o quadrado da soma:
Outro exemplo do trinômio do quadrado perfeito vem do segundo caso estudado, o quadrado da diferença:
Visualizando o trinômio do quadrado perfeito, caso soma:
Visualizando o trinômio do quadrado perfeito, caso subtração:
A diferença de quadradosA diferença de quadrados advém do último caso de produto
notável estudado, o produto da soma pela diferença:
Inúmeros outros casos de produtos notáveis e suas fatorações podem ser feitas de acordo com a necessidade da prova ou trabalho que o matemático (ou qualquer pessoa) esteje tentando produzir.
Visualizando a diferença de quadrados:
Outros importantes produtos notáveis e casos de fatoração
Polinômio do segundo grau:
O polinômio do segundo grau é de grande importância para o estudo das equações e funções do segundo grau. Pois relaciona os coeficientes e as raízes de tal equação.
O cubo da soma:
O cubo da diferença:
Os polinômios do cubo perfeito:
Outro importante caso de fatoração é conhecido como a soma de cubos. Dado pela equação:
Outros casos de fatoração
O último caso que vamos mostrar é relativo ao de cima. A diferença de cubos. Dado pela equação:
Completando o QuadradoCompletar o quadrado é produzir um quadrado perfeito de um
polinômio que não é quadrado perfeito. Muito útil na resolução de equações.
Um exemplo desta poderosa técnica:
A princípio é uma equação complexa, mas se somarmos 16 a ambos os membros da equação teremos:
Podemos generalizar a técnica de completar o quadrado. Para tanto usamos uma equação genérica:
Podemos ver que nem sempre esta técnica será útil.