prod_vect_mixte (1)

8/18/2019 prod_vect_mixte (1)

1/16

i j

B = ( i, j, k) B = ( i, j, − k)

B

(u, v, w)

( i, j) i j


2/16

( i, j, k)

i j k

( j, k, i) ( k, i, j)

i, j, k

( i, j, k)

v = x i + y j + z k ⇔ v =

x

y

z

u + v =

a

b

c

+

a

b

c

=

a + a

b + b

c + c

λu = λ

a

b

c

=

λa

λb

λc

u.v = aa + bb + cc

||u|| =√

u2 =

a2 + b2 + c2

u2

E ( i,

j,

k)

E

∧

i ∧ j = k j ∧ k = i k ∧ i = j


3/16

∀(u, v) ∈ E 2, u ∧ v = −v ∧ u

u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w

(u + v) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w

(λu) ∧ v = λ(u ∧ v)

∀u ∈ E, u ∧ u = 0

u =

x

y

z

v =

x

y

z

u ∧ v = (x i + y j + z k) ∧ (x i + y j + z k)= xy i ∧ j + xz i ∧ k + yx j ∧ i + yz j ∧ k + zx k ∧ i + zy k ∧ j= xy k − xz j − yx k + yz i + zx j − zy i= (yz − zy ) i + (zx − xz) j + (xy − yx) k

u ∧ v =

yz − yzzx − zxxy − xy

u ∧ v u v

u.(u ∧ v) = x(yz

− y

z) + y(zx

− z

x) + z(xy

− x

y)= xyz − xyz + xyz − xyz + xyz − xyz = 0

v.(u ∧ v) = 0


4/16

u ∧ v

||u ∧ v||2

= (yz

− y

z)2

+ (zx

− z

x)2

+ (xy

− x

y)2

( u.v)2

||u ∧ v||2 + (u.v)2 = ||u||2.||v||2

u.v = ||u||.||v|| cos (u, v) ||u ∧ v|| = ||u||.||v|| sin (u, v)

π

u∧v

(u, v, u ∧ v) ( i, j, k) k = i ∧ j

(u, v) w = u∧v (u, v, w)

|| w|| = ||u||.||v|| sin (u, v)

|| w

|| = airedu parallélog ramme construit sur u et v

||u ∧ v|| = ||u||.||v||. sin (u, v) = 0 ⇔ ||u|| = 0 ou ||v|| =0 ou sin (u, v) = 0

u = 0 ou v = 0 ou (u, v) = 0 ou π

0 = 0.u


5/16

P (A, u, v). n = u ∧ v

−−→AM .n = 0

−−→AM .(u ∧ v) = 0

det(−−→AM , u, v) = 0

D (A, u) M H

−−→AM ∧ u = (−−→AH + −−→HM ) ∧ u = −−→HM ∧ u

−−→AH u

−−→HM

u

||−−→AM ∧ u|| = H M.||u|| M D

d(M, D) = ||−−→AM ∧ u||

||u||

∆ = (A, u) R

||−−→AM ∧ u|| = R||u||

||−−→AM ∧ u||2 = R2||u||2

A(1, 0, −2) u =

2

30

−−→AM ∧ u =

x − 1y

z + 2

∧

230

=

−3(z + 2)2(z + 2)

3(x − 1) − 2y

∆

13(z + 2)2 + (3x − 2y − 3)2 = 52


6/16

9x2 + 4y2 + 13z2

−18x + 12y + 52z

−12xy + 9 = 0

∆ = (A, u) A θ

M

d(M, ∆)

d(M, A) = sin θ

||−−→AM ∧ u||2 = sin2 θ||u||2.AM 2


7/16

A(2, 0,−

1) u =

1

−1

0

θ = π6

−−→AM ∧ u =

x − 2y

z + 1

∧

1−10

=

z + 1z + 1

−x + 2 − y

2(z + 1)2 + (x + y − 2)2 = 12

[(x − 2)2 + y2 + (z + 1)2]

x2 + y2 + 3z2 − 4x − 8y + 6z + 4xy + 7 = 0

(x ,y ,z) ∈ [−3, 7] × [−5, 5] ×[−6, 4]

u, v, w

(u, v, w) = u.(v ∧ w)

||u||.||v ∧ w|| cos (u, v ∧ w)


8/16

u, v, w v w

h = ||u|| cos

(u, v ∧ w)

u = λv + µ w u.(v ∧ w)

||u.(v ∧ w)|| = ||u||.||v||.|| w|| sin (v, w)| cos (u, v ∧ w) = 0

u = 0 ou v = 0 ou w = 0 ou u colinéaire à v ou h = 0

u.(v ∧ w) = 0 ⇔ u, v et w coplanaires

u =

x

y

z

, v =

x

y

z

w =

x”

y”z”

u.(v ∧ w) = xy z” + yz x” + zxy” − zy x” − zy”x − z”yx

x x x” x x

y y y” y y

z z z” z z


9/16

v.(u ∧ w) = −u.(v ∧ w)u.( w ∧ v) = −u.(v ∧ w) w.(v ∧ u) = −u.(v ∧ w)

u.(v ∧ w) = v.( w ∧ u) = w.(u ∧ v)

v.( w

∧u) =

− w.(v

∧u) = +u.(v

∧ w)

f : E → R u f (u)

∀(λ, µ) ∈R2, ∀(u, v) ∈ E , f (λu + µv) = λf (u) + µf (v) u, v, λ

f (u + v) = f (u) + f (v)

f (λ u) = λf (u)

f : E × E → R (u, v) f (u, v),

∀(λ, µ) ∈ R2, ∀(u, v, w) ∈ E 3, f (λu + µv, w) = λf (u, w) + µf (v, w)∀(λ, µ) ∈ R2, ∀(u, v, w) ∈ E 3, f (u, λv + µ w) = λf (u, v) + µf ( u, w)

f : E × E × E → R (u, v, w) f (u, v, w)

∀(λ, µ) ∈ R, ∀( u, v, w, x), f (λu + µv, w, x) = λf (u, w, x) + µf (v, w, x)

∀(λ, µ)

∈ R,

∀( u, v, w, x), f (u, λv + µ w, x) = λf (u, v, x) + µf (u, w, x)

∀(λ, µ) ∈ R, ∀( u, v, w, x), f (u, v, λ w + µx) = λ(u, v, w) + µf (u, v, x)

f (v, u, w) = −f (u, v, w)f (u, w, v) = −f (u, v, w)f ( w, v, u) = −f (u, v, w)


10/16

det(u, v) = 0 ⇔ u et v colinéaires

∃λ ∈ R, u = λv ou v = λu u v

∀(λ, µ) ∈ R2, (λu + µv = 0) ⇒ (λ = µ = 0)

u.(v∧

w) = 0 ⇔

u, v et w coplanaires

∃(λ, µ) ∈ R2, u = λv + µ w ou v = λu + µ w ou w = λu + µv u, v w

∀(λ ,µ,ν ) ∈ R3, (λu + µv + ν w = 0) ⇒ (λ = µ = ν = 0)

det(u, v, w) = u.(v ∧ w)

u, v, w sont coplanaires ⇔ det(u, v, w) = 0

u, v et w sontliés ⇔ det(u, v, w) = 0

u =

x

y

z

, v =

x

y

z

, w =

x”y”z”

det(u, v, w) =

x x x”y y y

z z z”


11/16

x x

x” x x

y y y” y y

z z z” z z

x x x”y y y”z z z”

= xy z” + yz x” + zxy” − zy x” − yxz” − xzy”

M = (mij) M t =

(m̃ij) m̃ij = mji

M =

a b c

d e f

g h i

→ M t =

a d g

b e h

c f i

det

a b c

d e f

g h i

=

a b c

d e f

g h i

det(M ) = det(M t)

a b c

d e f

g h i

=

a d g

b e h

c f i


12/16

b a ce d f

h g i

= −

a b cd e f

g h i

a c b

d f e

g i h

= −

a b c

d e f

g h i

c b a

f e d

i h g

= −

a b c

d e f

g h i

d e f a b c

g h i

= −

a b cd e f

g h i

a b c

g h i

d e f

= −

a b c

d e f

g h i

g h i

d e f

a b c

= −

a b c

d e f

g h i

det(u, λu, v) = λdet( u, u, v) = 0

det(u, v, λv) = λdet( u, v, v) = 0

det(u, v, λu) = λdet( u, v, u) = 0

a b c

d e f

g h i

=

b c a

e f d

h i g

=

c a b

f d e

i g h

a b c

d e f

g h i

=

d e f

g h i

a b c

=

g h i

a b c

d e f

det(λu + µv, w, x) = λdet(u, w, x) + µdet(v, w, x)


13/16

λa + µb c d

λa

+ µb

c

d

λa” + µb” c” d”

= λ

a c d

a

c

d

a” c” d”

+ µ

b c d

b

c

d

b” c” d”

a λb + µc da λb + µc d

a” λb” + µc” d”

= λ

a b d

a b d

a” b” d”

+ µ

a c d

a c d

a” c” d”

a b λc + µda b λc + µd

a” b” λc” + µd”

= λ

a b c

a” b c

a” b” c”

+ µ

a b d

a b d

a” b” d”

det(M ) = det(M t)

λa + µb λa + µb λa” + µb”c c c”

d d d”

= λ

a a a”c c c”

d d d”

+ µ

b b b”c c c”

d d d”

a a a”

λb + µc λb + µc λb” + µc”d d d”

= λ

a a a”b b b”d d d”

+ µ

a a a”c c c”d d d”

a a a”b b b”

λc + µd λc + µd λc” + µd”

= λ

a a a”b b b”c c c”

+ µ

a a a”b b b”d d d”

a b c

d e f g h i

= a

e f

h i− b

d f

g i+ c

d e

g h

a b c

d e f

g h i

= −d

b c

h i

+ e

a c

g i

− f

a b

g h

a b c

d e f

g h i

= g

b c

e f

− h

a c

d f

+ i

a b

d e

a b c

d e f

g h i

= a

e f

h i

−d

b c

h i

+ g

b c

e f

a b c

d e f

g h i

= −b

d f

g i

+ e

a c

g i

− h

a c

d f

a b c

d e f

g h i

= c

d e

g h

− f

a b

g h

+ i

a b

d e


14/16

M 3(R)

(S )

ax + by + cz = dax + by + cz = d

a”x + b”y + c”z = d”

x A + y B + z C = D

A =

a

a

a”

B ∧ (x A + y B + z C ) = B ∧ D

B ∧ (x A + z C ) = B ∧ D

C

C.[ B ∧ (x A + z C )] = C.( B ∧ D)

x C.( B ∧ A) = C.( B ∧ D)

xdet( C, B, A) = det( C, B, D)

xdet( A, B, C ) = det( D, B, C )

ydet( A, B, C ) = det( A, D, C )

zdet( A, B, C ) = det( A, B, D)

∆det( A, B, C ) =

a b c

a b c

a” b” c”

x = 1

∆

d b c

d b c

d” b” c”

, y =

1

∆

a d c

a d c

a” d” c”

, z =

1

∆

a b d

a b d

a” b” d”

x D y

z


15/16

M 3(R) (S )

M X = D

M =

a b ca b c

a” b” c”

X =

xy

z

D =

dd

d”

M

M −1M X = M −1D

X = M −1D

M −1M = I =

1 0 00 1 00 0 1

∆ det(M )

x = 1∆

d b c

d b c

d” b” c”

, y = 1

∆

a d c

a d c

a” d” c”

, z = 1

∆

a b d

a b d

a” b” d”

x = 1

∆[(bc” − b”c)d − (bc” − b”c)d + (bc − bc)d”]

y = 1

∆[−(ac” − a”c)d + (ac” − a”c)d − (ac − ac)d”]

z = 1

∆[(ab” − a”b)d − (ab” − a”b)d + (ab − ab)d”]

x

y

z

= 1

∆

bc” − b”c −(bc” − b”c) bc − bc

−(ac”

−a”c) ac”

−a”c

−(ac

−ac)

ab” − a”b −(ab” − a”b) ab − ab

d

d

d”

1

∆

M −1

+ − +− + −+ − +

cof (M ) =

bc” − b”c −(ac” − a”c) ab” − a”b

−(bc” − b”c) ac” − a”c −(ab” − a”b)bc

− b

c −(ac

− a

c) ab

− a

b

cof (M )

cof (M )t =

bc” − b”c −(bc” − b”c) bc − bc−(ac” − a”c) ac” − a”c −(ac − ac)

ab” − a”b −(ab” − a”b) ab − ab

1

∆


16/16

M =

1 0 −10 2 3

1 −2 −5

det(M ) M

1 0 −10 2 31 −2 −5

= −10 + 0 + 0 + 2 − 0 + 6 = −2

M

cof (M ) =

−4 3 −22 −4 22 −3 2

M −1 = 1−2 −4 2 23 −4 −3

−2 2 2 =

2 −1 −1− 32

2 32

1 −1 −1

M −1

prod_vect_mixte (1)

Documents