prof. dr. bernd schmidt lehrstuhl für unternehmensforschung 1 grundlagen es wird eine wertebelegung...

Prof. Dr. Bernd SchmidtLehrstuhl für Unternehmensforschung

1

Grundlagen

Es wird eine Wertebelegung für die Optimierungsparameter so gesucht, dass die Zielfunktion ein Minimum oder Maximum annimmt.

Randbedingungen beschreiben den erlaubten Bereich für die Optimierungsparameter.

Man unterscheidet grundsätzlich zwei Vorgehensweisen: Lineare Optimierung Heuristische Suchverfahren

Modelle

Optimierung Grundlagen

Lineare Optimierung

Heuristische Suchverfahren

Projekt: Stückkosten- Optimierung

ISSOP

Optimierung für mittelständische Unternehmen


2

Lineare Optimierung

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Vorraussetzung: Zielfunktion und Nebenbedingungen müssen linear sein.

Ergebnis: Man erhält das Optimum analytisch.

Einsatzfeld: Die Einsatzmöglichkeiten sind sehr beschränkt.

Lineare Optimierung

Gesucht ist das Produktionsprogramm für die Erzeugnisse E1

und E2, die aus den Materialarten M1 und M2 hergestelltwerden können. Gegeben sind die Materialaufwandfaktorenund die Materialkontingente. Die Abgabepreise einer Einheit von E1 bzw. von E2 betragen 10,- bzw. 20,- Euro. Gesucht ist ein Produktionsprogramm, welches maximale Geldeinnahmen sichert und bei dem mindestens 50 bzw. 100 Einheiten von E1

bzw. E2 erzeugt werden.

Beispiel

3

Zielfunktion

10 * x1 + 20 * x2 = max

Nebenbedingungen

Einheit M1 pro Erzeugungseinheit

Einheit M2 pro Erzeugungseinheit

E1

E2

0,15

0,2

0,2

0,1

60

Materialmenge M1

40

Materialmenge M2

4

.

Das lineare Gleichungssystem

ZF: Z = 10 x1 + 20 x2 = max.

NB: 0,15 x1 + 0,2 x2 ≤ 60,

0,2 x1 + 0,1 x2 ≤ 40,

x1 ≥ 50,

x2 ≥ 100.

5

Die Nebenbedingungen

g1: 0,15 x1 + 0,2 x2 = 60

6

Die Zielfunktion für verschiedene Werte von C

7

Das Optimum

x1 = 50, x2 = 262,5, Z = 5750

8


9


Heuristische Suchverfahren ermitteln die optimale Werte-belegung für die Optimierungsparameter durch Trial and Error.

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


x1

x2

f(x1, x2)


10


Grundlagen:Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Optimierungs-parameter

Modell-zustands-variablen

Zielfunktions-wert

Optimierungs-algorithmus


11


Übersicht:Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

10 5

4

2 9

2

6 7

R ekom bination

M utation

8 7

9

Gradientenaufstiegs-verfahren

DeterministischeSuchverfahren

GenetischerAlgorithmus


12

Gradientenaufstiegsverfahren

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Vorgehen: Die Suchrichtung liegt in Richtung des steilsten Aufstiegs

Algorithmus: Startpunkt bestimmen Für alle Nachbarpunkte Zielfunktionswert bestimmen Punkt mit dem höchsten Zielfunktionswert als neuen

Startpunkt wählen

Bewertung: Die Wahrscheinlichkeit, auf einem lokalen Optimum

anzukommen, ist hoch Der Aufwand zur Bestimmung der Suchrichtung ist hoch Wenig geeignet

12

Gradientenaufstiegsverfahren1. Schritt

15

y

10

5

0x

151050

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

13

15

y

10

5

0x

151050


Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

14

15

y

10

5

0x

151050


Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

15

15

y

10

5

0x

151050

GradientenaufstiegsverfahrenAbbruch

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

16


17

Deterministische Suchverfahren(i) Variablenweise Enummeration

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Vorgehen:

Es werden für alle Optimierungsvariablen in fester Schrittweite die Punkte mit dem besten Zielfunktionswert gesucht

Algorithmus:

Startpunkt festlegen Reihenfolge festlegen, in der die Optimierungsvariablen bearbeitet werden Neue Punkte bestimmen, in denen die erste Optimierungsvariable variiert wird,

während die anderen fest bleiben Punkt mit dem höchsten Zielfunktionswert bestimmen und zum neuen

Startpunkt machen Von diesem neuen Startpunkt ausgehend, die anderen Optimierungsvariablen

in gleicher Weise behandeln

Bewertung:

Erhöhte Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Hoher Aufwand Wenig geeignet

17

15

y

10

5

0x

151050

Variablenweise Enummeration 1. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

18

15

y

10

5

0x

151050


Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

19

x15

15

y

10

105

5

0

0


Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

20

15

y

10

5

0x

151050

Variablenweise Enummeration Abbruch

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

21


22

Deterministische Suchverfahren(ii) Complex - Verfahren

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Vorgehen:

Sei n die Anzahl der Optimierungsvariablen Es werden n+1 Startpunkte gewählt Der Punkt mit dem niedrigsten Zielfunktionswert wird in Richtung einer

Suchachse verschoben

Algorithmus: Festlegen der Suchachse (diese verbindet den Punkt mit dem schlechtesten

Zielfunktionswert und dem Schwerpunkt aller anderen Punkte) Durch Reflexion wird der schlechteste Punkt über den Schwerpunkt hinaus

verlängert

Bewertung: Erhöhte Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Vertretbarer Aufwand Geeignetes Verfahren zur Optimierung von Simulationsvariablen

22

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

Complex - Verfahren1. Schritt

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

23

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050


Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

24

15

y

10

5

0x

151050


Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

25

15

y

10

5

0x

151050

Complex - VerfahrenAbbruch

Startpunkt

G etesteter Punkt

Bester Punkt

A lter Startpunkt

26


27

Genetischer Algorithmus

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Vorgehen:

Die Strategie orientiert sich am Vorgehen der Natur Aus sog. Elternpunkten werden zufällig Kinderpunkte erzeugt Die besten Kinderpunkte werden in der nächsten Generation zu

Elternpunkten

Algorithmus: Bestimmen von n Elternpunkten Erzeugen von m Kinderpunkten durch Rekombination Mutation der Kinderpunkte Auswahl der n besten Kinderpunkte durch Selektion Ausgewählte Kinderpunkte werden zu neuen Elternpunkten

Bewertung: Hohe Wahrscheinlichkeit, das globale Optimum zu finden Sehr hoher Aufwand zur Bestimmung der Kinderpunkte Nicht geeignet

27


10 5

4

2 9

2

6 7

Rekom bination

M utation

8 7

9

28


2. Generation

1. Generation

Eltern

Kinder

Neue Generation

Eltern

Kinder

Neue Generation

10 2

1

5 10

1,5

8 14

1,5

13 7

1,75

7,5 5 11,5 4,5 10,5 10,5

Rekom bination

5

4 5 5

M utation

Selektion

11,5 13 10,58,57,5

11,5 13

5

8,5 10,5

5

13 7

1,75

7,5 5

4

10,5 8, 5 9,5 9 10 11,5

11,5

9,25 2,75 7,5

7 9 11,510 10,5

11,5 13

5

8,5 10,5

5

10,5 11,5

9,25

10 11,5

7,5

11,5 13

5

8,5 10,5

5

13 7

1,75

7,5 5

4

Rekom bination

M utation

Selektion

29

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050

Genetischer Algorithmus 1. Schritt: Erzeugung von Kinderpunkten

Elternpunkte

K inderpunkte

Beste Punkte

30

15

y

10

5

0x

151050

15

y

10

5

0x

151050


2. Schritt: Auswahl der besten Punkte aus Eltern und Kindern

Elternpunkte

K inderpunkte

Beste Punkte

31

15

y

10

5

0

151050

15

y

10

5

0

151050

Genetischer Algorithmus 3. Schritt: Erzeugung von Kinderpunkten

Elternpunkte

K inderpunkte

Beste Punkte

32

15

y

10

5

0

151050

15

y

10

5

0

151050

Genetischer Algorithmus 4. Schritt: Auswahl der besten Punkte aus Eltern und Kindern

Elternpunkte

K inderpunkte

Beste Punkte

33


34

Stückkostenoptimierung

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Einlaufende WerkstückeEinlaufende Werkstücke

FertigstellungFertigstellung

Bearbeitung durch WerkerBearbeitung durch Werker

Optimierung: Mittlere Produktionskosten

Werkstück


35

Produktionskosten

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Fixkosten für Anlage

Fixkosten für Werker

Bearbeitungskosten für Werker

Bearbeitungskosten / Werkstück

Strafkosten bei Terminüberschreitungen


36

Werkeranzahl:

Geringe Werkeranzahl:

lange Wartezeiten Terminüberschreitung hohe Strafkosten hohe Stückkosten

Hohe Werkeranzahl:

geringe Werkerauslastung hohe Bearbeitungskosten / Werkstück hohe Stückkosten

Anschauliche Vorüberlegung

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP



37

Produktionsumfang:

Niedrige Werkstückanzahl :

geringe Auslastung der Anlage Fixkostenanteil dominiert hohe Bearbeitungskosten / Werkstück hohe Stückkosten

Hohe Werkstückanzahl:

lange Wartezeiten Terminüberschreitung hohe Strafkosten hohe Stückkosten


Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP



38


Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


Wo liegt nun das Optimum ?

Werkeranzahl ?

Werkstückanzahl ? x2

x1

z


39

Modellergebnisse

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


0

10

20

30

40

50

60

70

29 Werkeranzahl

Stück-kosten


40

0

10

20

30

40

50

60

70

Modellergebnisse

Modelle


Lineare Optimierung



ISSOP


35 Werkstückanzahl

Stück-kosten


41

Modelle

Optimierung

ISSOP


ISSOP: Intelligentes System zur Simulation und Optimierung


42

Modelle

Optimierung

ISSOP


Die wichtigsten Leistungsmerkmale von ISSOP

Entwicklung beliebiger dynamischer Modelle Erstellung beliebiger statischer Modelle Optimierung mit über 100 Freiheitsgraden und mehreren

Zielkriterien Optimierung von Einsteuerfolgen mit mehreren Zielkriterien Online-Kopplung zu verschiedenen Simulationstools (z.B. Arena,

Excel, Simple++), über offenes Interface erweiterbar Systematische Lösungssuche durch leistungsfähige

Optimierungsstrategien Lern- und Adaptationssystem mit Online-Monitor Steuerung und gezielter Einsatz der Optimierungsstrategien Berechnung von Kompromißmengen bei mehreren Zielkriterien Grafische Auswertung der Ergebnisse und Optimierungshistorie Verwendung offener Schnittstellen, komfortable WINDOWSTM –

Oberfläche Übersichtliches Benutzerhandbuch


43

Beispiel: Optimierung

1. Modellaufbau

2. Optimierung

3. Auswertung

x2

x1

z

Modelle

Optimierung

ISSOP



44

Menüstruktur

Modelle

Optimierung

ISSOP



45

Modellaufbau

Modelle

Optimierung

ISSOP



46

Statisches Modell

Modelle

Optimierung

ISSOP



47

Modelleigenschaften

Modelle

Optimierung

ISSOP



48

Optimierung

Modelle

Optimierung

ISSOP



49

Auswertung

Modelle

Optimierung

ISSOP



50

Projekt

M1M1 M2M2

M4M4

M3M3

10 Bearbeitungsstationen kein Puffer feste Bearbeitungszeiten

4 Bearbeitungsstationen kein Puffer einstellbarer Nutzungsgrad

X1, X2, X3 und X40.2 Nutzungsgrad 2.0

Modelle

Optimierung

ISSOP



51

Zielgrößen

Anschauliche Vorüberlegung:

X1 gering:

hoher Rückstau hohe Leerlaufzeiten geringe Produktionsmenge hohe Kosten / Stück

X1 hoch:

geringer Rückstau geringe Leerlaufzeiten hohe Produktionsmenge geringe Kosten / Stück

Modelle

Optimierung

ISSOP



52

Optimierung

Wo liegt das Optimum X1 für die drei Zielgrößen

- Produktionskosten- Stillstandszeiten- Durchlaufzeiten

in Abhängigkeit von X1?

Modelle

Optimierung

ISSOP


Optimierung

53


54

Optimierung

Z = g1 F1 + g2 F2 + g3 F3

Optimum bei X1 = 0,5

Modelle

Optimierung

ISSOP


prof. dr. bernd schmidt lehrstuhl für unternehmensforschung 1 grundlagen es wird eine wertebelegung...

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