prof. jorge desigualdades e inequações em r.. prof. jorge suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam...

Prof. Jorge

Desigualdades e inequações em R.

Prof. Jorge

Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita x toda desigualdade condicional que apresenta uma das formas seguintes:

f(x) > g(x) f(x) < g(x)f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x)

Prof. Jorge

Solução e Conjunto-solução

Solução de uma inequação é cada valor real de x que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação é o conjunto de todas as soluções.

Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto solução.

Prof. Jorge

Equivalência de inequaçõesPrincípios de equivalência

Prof. Jorge

Princípios de equivalência

Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois membros de uma inequação. Isso equivale a transpor um termo de um membro para outro, invertendo o seu sinal.

3x + 5 > 2 ⇒ 3x > 2 – 5

⇒ 3x > –3 ⇒ x > –1

Troca de sinal

–3x ≤ 6 – 4x ⇒ –3x + 4x ≤ 6 ⇒ x ≤ 6

Troca de sinal

Prof. Jorge


Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade

se mantém, se k for positivo. se inverte, se k for negativo.

3x > –12 ⇒ x > –12/3 ⇒ x > – 4

Manteve o sentido

Prof. Jorge




–5x ≤ – 15 ⇒ x ≥ –15/–5 ⇒ x ≥ 3

Inverteu o sentido

Prof. Jorge


< 3 ⇒ x + 1 > 3.(–2) ⇒ x + 1 > –6

Inverteu o sentido

2

1x



⇒ x > –7

Prof. Jorge

Inequações de 2.º grau

Prof. Jorge

Inequações de 2.º grau

Há inequações, que na forma simplificada, envolvem a função de 2.º grau y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Elas são chamadas de inequações de 2.º grau e devem ser resolvidas graficamente. Veja,

ax2 + bx + c > 0ax2 + bx + c ≥ 0

ax2 + bx + c < 0ax2 + bx + c ≤ 0

Prof. Jorge

2–2

Exemplos

Resolver a inequação de 2.o grau x2 – 4 > 0.

Na função y = x2 – 4, queremos encontrar os valores de x tais que y > 0.

a) Raízes:

x2 – 4 = 0

⇒ x2 = 4

⇒ x = –2 ou x = 2.b)

Parábola:a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima.

x S = {x ∈ R/ x < –2 ou x > 2}

+ +

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver a inequação de 2.o grau x2 – 3x – 4 ≤ 0.

Na função y = x2 – 3x – 4, queremos encontrar os valores de x tais que y ≤ 0.

a) Raízes:

x2 – 3x – 4 = 0

⇒ x = –1 ou x = 4.b)

Parábola:a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima.

x4–1

S = {x ∈ R/ –1 ≤ x ≤ 4}

–

Prof. Jorge

Exemplos Mostrar graficamente que o conjunto solução da

inequação –2x2 + x – 5 < 0 é R.

a) Discriminante :

= 12 – 4.(–2).(–5) = –39

b) Parábola:

a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo.

x

y < 0 para todo x real.

–

Na função y = –2x2 + x – 5, devemos provar que y < 0 para todo x real.

= –39 < 0 ⇒ a função não tem raízes reais⇒ a parábola não corta o eixo x.

– –

Prof. Jorge

Exemplos Determinar todos os valores reais de x tais que –x2 + 6x –

9 ≥ 0.

Na função y = –x2 + 6x – 9, queremos encontrar os valores de x tais que y ≥ 0.

a) Raízes:

–x2 + 6x – 9 = 0

⇒ x’ = x” = 3.

b) Parábola:

a < 0 ⇒ parábola com concavidade para baixo.

S = {3}

x3

y = 0 apenas para x = 3Não existe x / y > 0.

Prof. Jorge

Exemplos Obter todos os valores de x tais que o gráfico de f(x) = x2

+ 4 esteja situado abaixo do gráfico de g(x) = 3x + 2.

f(x) < g(x)

a) Raízes:

⇒ x2 + 4 < 3x + 2

b) Parábola:

a > 0 ⇒ parábola com concavidade para cima.

x21

S = {x ∈ R/ 1 < x < 2}

–

⇒ x2 – 3x + 2 < 0.

x2 – 3x + 2 = 0

⇒ x = 1 ou x = 2.

Prof. Jorge

Veja os gráficos das funções

f(x) = x2 + 4 e g(x) = 3x + 2

x

y

0 1

4

2

2

f g

f(x) < g(x) para 1 < x < 2

f(x) > g(x) para x < 1 ou

x > 2 f(x) = g(x) para x = 1 ou x

= 2

Prof. Jorge

Inequações-produto e inequações-quociente

Prof. Jorge

Observe as seguintes inequações,

Na primeira, temos um produto de polinômios. Trata-se de uma inequação produto.

Na segunda temos um quociente de polinômios. Temos, no caso, uma inequação quociente.

a) (2 – x)(x2 – 1) > 0

x – 3

–x2 – x + 2

b)

≤ 0

Prof. Jorge

Inequações-produto e inequações-quociente.

Para resolver inequações como essas, vamos usar as regras de sinais da multiplicação e divisão. Em símbolos,

(+).(+) = (+) (+).(–) = (–) (–).(–) = (+)

(+)(+)

= (+)(+)(–)

= (–)(–)(–)

= (+)

Prof. Jorge

Processo geral de resolução

Fazemos o estudo dos sinais de cada expressão envolvida.

Aplicamos as regras de sinais da multiplicação ou divisão, conforme o caso. Para isso, utilizamos um esquema chamado quadro de sinais.

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver a inequação produto (2 – x)(x2 – 1) > 0.

Estudo dos sinais da função y1 = 2 – x

a) Raiz:2 – x = 0

⇒ x = 2b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ reta

descendente.

x2 –

+

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver a inequação produto (2 – x)(x2 – 1) > 0.

Estudo dos sinais da função y2 = x2 – 1

a) Raiz:x2 – 1 = 0

⇒ x = –1 ou x = 1b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ concavidade da

parábola para cima.

x1–1

–

+ +

Prof. Jorge

Quadro de sinais

–+–+y = (2 – x)(x2 – 1)

++–+y2 = x2 – 1

–+++y1 = 2 – x21–1– ∞

x2 –

+

x1–1

–

+ +

+∞

y = (2 – x)(x2 – 1) > 0.

S = {x ∈ R/ x < –1 ou 1 < x < 2}

ou S = ]–∞, –1[ ]1, 2[⋃

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver a inequação quociente

Estudo dos sinais da função y1 = –x2 – x + 2a) Raízes:

–x2 – x + 2 = 0

⇒ x = –2 ou x = 1

b) Coeficiente de x é –1 < 0 ⇒ concavidade da parábola para baixo.

x – 3

–x2 – x + 2

≤ 0

x1–2 –

+

–

Prof. Jorge

Exemplos


Estudo dos sinais da função y2 = x – 3

a) Raiz:x – 3 = 0

⇒ x = 3b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ reta

ascendente.

x – 3

–x2 – x + 2

≤ 0

x3–

+

Prof. Jorge

Quadro de sinais

–+–+y1/y2

+–––y2 = x – 3

––+–y1 = –x2 – x + 2

31–2– ∞ +∞

S = {x ∈ R/–2 ≤ x ≤ 1 ou x > 3}

ou S = [–2, 1] ]3, +∞[⋃

x

1–2 –

+

– x3–

+

x – 3

–x2 – x + 2

≤ 0

Prof. Jorge

Exemplos


Estudo dos sinais da função y2 = 2x – x2

a) Raízes:

–x2 + 2x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 2


2x – x2

–5 > 0

x20

– –

S = {x ∈ R/x < 0 ou x > 2}ou S = ]–∞, 0[ ]2, +∞[⋃

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver a inequação

Devemos obter 0 (zero) no 2º membro. Para isso vamos transpor a fração do 2º membro para o 1º.

x – 1

2 ≤ x + 1

x + 4

x – 1

2 ≤ x + 1

x + 4

⇒ x – 1

2 ≤ 0x + 1

x + 4

–

O MMC dos denominadores é (x – 1)(x + 1).

⇒(x – 1)(x + 1)

2(x + 1)

≤ 0– (x – 1)(x + 4)

⇒x2 – 1

–x2 – x + 6

≤ 0

Prof. Jorge

Exemplos


Estudo dos sinais da função y1 = –x2 – x + 6a) Raízes:

–x2 – x + 6 = 0

⇒ x = –3 ou x = 2


x2–3 –

+

–

x2 – 1

–x2 – x + 6

≤ 0

Prof. Jorge

Exemplos


Estudo dos sinais da função y2 = x2 – 1

a) Raízes:

x2 – 1 = 0

⇒ x = –1 ou x = 1

b) Coeficiente de x é 1 > 0 ⇒ concavidade da parábola para cima.

x2 – 1

–x2 – x + 6

≤ 0

x1–1

–

+ +

Prof. Jorge

Quadro de sinais

+–+–y1/y2

+–++y2 = x2 – 1

+++–y1 = –x2 – x + 6

1–1–3– ∞ +∞

S = {x ∈ R/x ≤ –3 ou –1 < x < 1 ou x ≥ 2}

x2 – 1

–x2 – x + 6

≤ 0

x

2–3 –

+

– x1–1

–

+ +

–

+

–

2

Prof. Jorge

Sistema de inequações

Prof. Jorge

Sistema de Inequações

Duas ou mais inequações que devem ser satisfeitas simultaneamente formam um sistema de inequações.

Par resolver um sistema de inequações, resolvemos cada inequação separadamente e, em seguida, calculamos a interseção das soluções obtidas.

Prof. Jorge

Exemplos

Resolver o sistema de inequações2x + 1 < 7

5x ≤ x2

Resolvendo a inequação (1)

(1)

(2)

2x + 1 < 7

⇒ 2x < 6⇒ x < 3

Prof. Jorge

Exemplos


5x ≤ x2

Resolvendo a inequação (2)

(1)

(2)

5x ≤ x2

⇒ –x2 + 5x ≤ 0

a) Raízes:

–x2 + 5x = 0

⇒ x = 0 ou x = 5


x50

– –

Solução:x ≤ 0 ou x ≥ 5

Prof. Jorge

Exemplos


5x ≤ x2

Interseção das soluções

(1)

(2)

3

0

0

5

Solução de (1)Solução de (2)Interseção

S = {x ∈ R/x ≤ 0}

prof. jorge desigualdades e inequações em r.. prof. jorge suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam...

Documents