prof. jorge funções trigonométricas. prof. jorge função seno a cada número real x do ciclo...
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Prof. Jorge
Funções trigonométricas
Prof. Jorge
Função seno
A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real sen x, ordenada do ponto P, associado ao número x no ciclo.
Fica definida assim, a função seno, de domínio ℝ, expressa por
y = f(x) = sen x
Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, sen x).
Prof. Jorge
Variação da função y = sen x para x [0, 2]
O 0
B
A’
B’
/2
A
sen
1
Quando x cresce de 0 a /2, sen x cresce de 0 a 1.
O
B
A’
B’
/2
A
sen
1
Quando x cresce de /2 a , sen x decresce de 1 a 0.
Prof. Jorge
Variação da função y = sen x para x [0, 2]
O
B
A’
B’3/2
A
sen
–1
Quando x cresce de a 3/2, sen x decresce de 0 a –1.
O A
B
A’
B’3/2
2
sen
–1
Quando x cresce de 3/2 a 2, sen x cresce de –1 a 0.
Prof. Jorge
Gráfico da função y = sen x
0
0–110y = sen x
23/2/20x
x
y = sen x
0/2
1
–1
3/2 2
D = [0, 2] Im = [–1, 1]
Prof. Jorge
Observação
O gráfico da função seno é chamado senóide.
A senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2:
... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ...
O período da função seno é igual a 2.
Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].
Prof. Jorge
Gráfico da função y = sen x
x
y = sen x
0/2
1
–1
3/2
2
Na figura abaixo, temos dois períodos completos da senóide.
–/2––3/2
–2
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Função co-seno
A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real cos x, abscissa do ponto P, associado ao número x no ciclo.
Fica definida assim, a função co-seno, de domínio ℝ, expressa por
y = f(x) = cos x
Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, cos x).
Prof. Jorge
Variação da função y = cos x para x [0, 2]
O0
B
A’
B’
/2
A
cos
1
Quando x cresce de 0 a /2, cos x decresce de 1 a 0.
O
B
A’
B’
/2
A
cos
–1
Quando x cresce de /2 a , cos x decresce de 0 a –1.
Prof. Jorge
Variação da função y = cos x para x [0, 2[
O
B
A’
B’3/2
A
cos–1
Quando x cresce de a 3/2, cos x cresce de –1 a 0.
OA
B
A’
B’3/2
2
cos
1
Quando x cresce de 3/2 a 2, cos x cresce de 0 a 1.
Prof. Jorge
Gráfico da função y = cos x
–1
1001y = cos x
23/2/20x
x
y = cos x
0/2
1
–1
3/2 2
D = [0, 2] Im = [–1, 1]
Prof. Jorge
Observação
O gráfico da função co-seno é chamado co-senóide.
A co-senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2:
... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ...
O período da função co-seno é igual a 2.
Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].
Prof. Jorge
Gráfico da função y = cos x
x
y = cos x
0/2
1
–1
3/2 2
Na figura abaixo, temos dois períodos completos da co-senóide.
–/2––3/2–2
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Função tangente
A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real tg x, ordenada do ponto T, associado ao número x no ciclo.
Fica definida assim, a função tangente, de domínio ℝ – /2 + k, k ℤ expressa por
y = f(x) = tg x
Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, tg x).
Prof. Jorge
Variação da função y = tg x para x [0, 2]
O0
B
A’
B’
/2
A
tg
Quando x cresce de 0 a /2, tg x cresce de 0 a +.
O
B
A’
B’
/2
A
tg
Quando x cresce de /2 a , tg x cresce de – a 0.
0
Prof. Jorge
Variação da função y = tg x para x [0, 2[
O
B
A’
B’3/2
A
tg
0
Quando x cresce de a 3/2, tg x cresce de 0 a +.
OA
B
A’
B’3/2
2
tg
0
Quando x cresce de 3/2 a 2, tg x cresce de – a 0.
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Gráfico da função y = tg x
0
0∄∄0y = tg x
23/2/20x
x
y = tg x
0/2
3/2 2
D = [0, 2] Im = [–, + ]
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Observação
O gráfico da função tangente é chamado tangentóide.
A tangentóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude :
... [–2, –], [–, 0], [0, ], [, 2], ...
O período da função tangente é igual a .
Seu conjunto imagem é o intervalo [–, +].
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Gráfico da função y = tg x
x
y = tg x
0/2 3/2 2
Na figura abaixo, temos quatro períodos completos da tangentóide.
–/2
––3/2–2
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Domínio, período e conjunto imagem das funções seno, co-seno e tangente
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Resumo
Função y = sen x y = cos x y = tg x
domínio ℝ ℝ x ≠ k + /2
período 2 2
mínimo –1 –1 –
máximo 1 1 –
Imagem [–1, 1] [–1, 1] ℝ
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Exemplos
Construir o gráfico da função y = 2 sen x:
0
0
0–220y = 2 sen x
0–110sen x
23/2/20x
x
y
0/2
1
–1
3/2
2
2
–2
y = sen x y = 2sen x
p = 2
Im = ]–1, 1]
p = 2
Im = ]–2, 2]
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Exemplos
Construir o gráfico da função y = sen 2x:
0
/2
0–110y = sen 2x
23/4/40x
23/2/202x
x
y = sen x
0
/2
1
–1
3/2 2/4
3/4
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Exemplos
Construir o gráfico da função y = 1 + sen x:
1
0
1021y = 1 + sen x
0–110sen x
23/2/20x
x
y
0/2
1
–1
3/2 2
2
–2
y = sen x y = 1 + sen x
p = 2
Im = ]–1, 1]
p = 2
Im = ]0, 2]
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Domínio, imagem e períodode outras funções seno
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[–1, 0]/8ℝy = –1 + sen2 (8x)
[0, 1]ℝy = sen2 (x)
[–3, 1]2ℝy = –1 + 2sen (x + /2)
[–2, 4]ℝy = 1 + 3sen (2x)
2
4
2
Período
[–2, 2]ℝy = 2sen (2x + /2)
[–2, 2]ℝy = 2sen (x – /2)
[–1, 1]ℝy = sen (x/2)
[–1, 1]ℝy = sex (2x)
[–1, 1]ℝy = sen (x)
ImagemDomínioFunção
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Domínio, imagem e períodode outras funções co-seno
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[–1, 0]/8ℝy = –1 + cos2 (8x)
[0, 1]ℝy = cos2 (x)
[–3, 1]2ℝy = –1 + 2cos (x + /2)
[–2, 4]ℝy = 1 + 3cos (2x)
2
4
2
Período
[–2, 2]ℝy = 2cos (2x + /2)
[–2, 2]ℝy = 2cos (x – /2)
[–1, 1]ℝy = cos (x/2)
[–1, 1]ℝy = cos (2x)
[–1, 1]ℝy = cos (x)
ImagemDomínioFunção
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Domínio, imagem e períodode outras funções tangente
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ℝ/8x≠k/8 + /16y = –1 + tg2 (8x)
ℝx ≠ k + /2y = tg2 (x)
ℝx ≠ ky = –1 + 2tg (x + /2)
ℝ/2x ≠ k/2 + /4y = 1 + 3tg (2x)
/2
2
/2
Período
ℝx ≠ k/2y = 2tg (2x + /2)
ℝx ≠ k + y = 2tg (x – /2)
ℝx ≠ 2k + y = tg (x/2)
ℝx ≠ k/2+ /4y = tg (2x)
ℝx ≠ k + /2y = tg (x)
ImagemDomínioFunção