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©Prof. Lineu MialaretAula 18 - 1/22Cálculo Numérico
Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret
Aula 19: Sistemas de Equações Lineares (7)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
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No método de Gauss-Seidel, o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal. O processo iterativo consiste em sendo x(0) uma aproximação inicial, calcular x(0), x(1), x(2), ...,x(k), ... por:
Método Iterativo de Gauss-Seidel (1)
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Método Iterativo de Gauss-Seidel (2)
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Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir,
Resolver pelo Método Gauss-Seidel com
Método Iterativo de Gauss-Seidel (3)
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O processo iterativo é:
Como
Método Iterativo de Gauss-Seidel (4)
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Tem-se:
Método Iterativo de Gauss-Seidel (5)
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Método Iterativo de Gauss-Seidel (6)
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Continuando com as iterações, tem-se
Método Iterativo de Gauss-Seidel (7)
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Passos do Método de Gauss-Sedel:
Método Iterativo de Gauss-Seidel (8)
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Método Iterativo de Gauss-Seidel (9)
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Método Iterativo de Gauss-Seidel (10)
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Método Iterativo de Gauss-Seidel (11)
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Como acontece em todo processo iterativo, deve haver critérios que forneçam uma garantia de convergência.
No método de Gauss-Seidel, os seguintes critérios estabelecem condições de convergência:Critério de Sassenfeld; eCritério das Linhas.
Critério de Sassenfeld (1)
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Critério de Sassenfeld
Critério de Sassenfeld (2)
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Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,
Para esse sistema, com esta disposição de linhas e colunas, tem-se
Critério de Sassenfeld (3)
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Portanto,
E tem-se a garantia de que o Método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente.
Critério de Sassenfeld (4)
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Exemplo 3: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,
Para esse sistema, com esta disposição de linhas e colunas, tem-se
Critério de Sassenfeld (5)
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Trocando-se a 1ª equação pela 3ª equação tem-se
Onde
Critério de Sassenfeld (6)
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Trocando-se a 1ª coluna pela 3ª coluna tem-se,
Onde
Logo, a sequência é convergente
Critério de Sassenfeld (7)
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Critério das LinhasEsse critério, já estudado no Método de Gauss-Jacobi,
pode ser aplicado como critério de convergência no Método de Gauss-Seidel.
Então o Método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente.
Obs.: O Critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo que o Critério das Linhas não o seja.
Critério das Linhas (1)
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Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,
Tem-se,
Critério das Linhas (2)
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Entretanto,
Logo, o Critério de Sassenfeld é satisfeito.
Critério das Linhas (3)