prof. paulo penha€¦ · primos: os primeiros! alguns números formam outros por multiplicação....
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Números primos
Prof. Paulo Penha
Números Primos
.
Existem números que
sejam mais importantes
que outros?
Eu posso formar
qualquer
número natural.
1 + 1 = 2
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 1 + 1 = 4
E assim vai toda
vida...
BASTA ME
ADICIONAR.
Que número você vai formar?
Legal número 1!
Mas, e se usarmos a
multiplicação?
1 . 1 = 1
1 . 1 . 1 = 1
Não formo mais
nenhum!
Fico na mesma!
Daí
complicou!!!
Então na multiplicação, quais são os números
que formam os demais?
Números que formam outros pela multiplicação
1) Que números formam o número 210, com a multiplicação?
O número 6 pode ser escrito com os fatores 2 e 3.
E os números 2, 3, 5 e 7 podem ser formados por outros?
O número 35 pode ser escrito com os fatores 5 e 7.
𝟐𝟏𝟎 = 𝟔 ∙ 𝟑𝟓
𝟐𝟏𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 7
Números que formam outros pela multiplicação
2) Que números formam o número 60, com a multiplicação?
O número 4 pode ser escrito com o fator 2. Ou seja, 4 = 2 . 2
E os números 2, 3 e 5 podem ser formados por outros?
O número 15 pode ser escrito com os fatores 3 e 5.
𝟔𝟎 = 𝟒 ∙ 𝟏𝟓
𝟔𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 5𝟔𝟎 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 5
Primos: os primeiros!
Alguns números formam outros por
multiplicação. Esses números
formadores dos demais ganharam o
nome de números primos.
Primo quer dizer primeiro.
Considerando a multiplicação, os antigos gregos perceberamque os números primos eram os primeiros em importância.
Primos: os primeiros!
Os números primos não podem
ser escritos como produtos de
outros números.
Lembrando o que já vimos:
𝟐𝟏𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 7
Os números 2, 3, 5 e 7 não podem ser escritos comoprodutos de outros números.
𝟐 = 𝟏 ∙ 𝟐
𝟑 = 𝟏 ∙ 𝟑
𝟓 = 𝟏 ∙ 𝟓
𝟕 = 𝟏 ∙ 𝟕
Primos e compostos
Os números primos possuem apenas dois divisores oufatores: 1 e o próprio número.
Divisores de 6
1, 2, 3 e 6.
6 = 1 . 6
6 = 2 . 3
Os números que possuem mais de
dois divisores são chamados de
números compostos.
Divisores de 10
1, 2, 5 e 10.
10 = 1 . 10
10 = 2 . 5
Divisores de 15
1, 3, 5 e 15.
15 = 1 . 15
15 = 3 . 5
Divisores de 24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
24 = 1 . 24
24 = 2 . 12
24 = 3 . 8
24 = 4 . 6
Os números zero e 1 não são
nem primos e nem compostos.
E eu?
Números Primos: Crivo de Eratóstenes
É um dispositivo prático que permite determinar osnúmeros primos numa sequência de valores.
Vamos considerar os números naturais até 50.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Números primos menores que 50:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.
Como saber se um número é primo?
Para sabermos se um número é primo, basta dividi-losucessivamente pelos números primos menores que ele, atéque o quociente seja menor ou igual ao divisor.
Se nenhuma das divisões for exata, então o número é primo.
Exemplos:
a) 253 é primo?
É divisível por 2?
Não, pois é ímpar.
É divisível por 3?
Não, pois a soma de seusalgarismos é igual a 10, que nãoé divisível por 3.
É divisível por 5?
Não, pois não termina em 0 ou 5.
É divisível por 7?
Não, a divisão não é
exata.
É divisível por 11?
253 = 11 x 23
Logo, 253 é número composto.
2 5 3 7
4 3 3 6
1
2 5 3 11
3 3 2 3
0
Como saber se um número é primo?
b) 163 é primo?
É divisível por 2?
Não, pois é ímpar.
É divisível por 3?
Não, pois a soma de seusalgarismos é igual a 10, que nãoé divisível por 3.
É divisível por 5?
Não, pois não termina em 0 ou 5.
É divisível por 7?
Não, a divisão não é
exata. 23 > 7 continua.
É divisível por 11?
Não, a divisão não é
exata. 14 > 11 continua.
É divisível por 13?
Não, a divisão não é
exata.
Mas como 12 < 13, podemosafirmar que 163 é número primo.
1 6 3 7
2 3 2 3
2
1 6 3 11
5 3 1 4
9
1 6 3 13
3 3 1 2
7
Decomposição em fatores primos
Decompor um número natural em fatores primos significa escrevê-lo naforma de multiplicação de primos.
24 = 2 . 12 24 = 2 . 2 . 6 24 = 2 . 2 . 2 . 3
75 = 3 . 25 75 = 3 . 5 . 5
120 = 2 . 60 120 = 2 . 2 . 30 120 = 2 . 2 . 2 . 15 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5
Para facilitar o processo de decomposição em fatores primos há umprocesso prático.
24 = 23 . 3
75 = 3 . 52
120 = 23 . 3 . 5
Decomposição em fatores primosProcesso prático – Decompor 140, como exemplo.
1 4 0Escreva o número e, ao lado dele, uma reta vertical à direita
1 4 0 2
7 0
Divida pelo primeiro número primo (2). O resultado da divisão escreve embaixo do 140.
1 4 0 2
7 0 2
3 5
Continue dividindo por 2, enquanto for possível.
1 4 0 2
7 0 2
3 5 5
7
Quando não for mais possível dividir por 2, vá para o próximo número primo que seja possível a divisão. Nesse caso é o 5.
1 4 0 2
7 0 2
3 5 5
7 7
1
Agora só é possível por 7, pois é um número primo.
Quando obtemos resultado 1, finalizamos a decomposição.
Agora escrevemos o número na forma demultiplicação de fatores primos:
140 = 22 . 5 . 7
Decomposição em fatores primosProcesso prático – Outros exemplos
162 = 2 . 34 120 = 23 . 3 . 5 145 = 5 . 29
162
81
27
9
3
1
3
3
3
3
2 120
60
30
15
5
1
5
3
2
2
2 145
29
1
29
5
Exercícios1) Decomponha os números abaixo em fatores primos:
32 = 75 = 40 = 120 = 500 = 24 =
2) Qual número está representado em cada decomposição abaixo:
a) 2 . 3 . 7 . 11 =
b) 23 . 32 =
c) 2 . 11 . 13 =
d) 3 . 53 =
e) 11 . 17 =
f) 25 . 23 =
32 245001204075
ATÉ MAIS!
Referências Inspiradoras:
IMENES, L.M. Matemática
Hoje é feita assim, Antônio José Lopes (Bigode).
Matemática: Projeto Araribá, Editora Moderna.