prof. rndr. josef molnár, csc., přf up v olomouci univerzita třetího věku
DESCRIPTION
Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku. Mnohostěny. Rozcvička: Krychle má 9 různých rovin symetrie. Nakreslete je. Řešení. Mnohostěn. je část prostoru ohraničeného konečným počtem rovinných mnohoúhelníků. Geometrický útvar nazveme konvexní, - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/1.jpg)
Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci
Univerzita třetího věku
Mnohostěny
![Page 2: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/2.jpg)
Rozcvička: Krychle má 9 různých rovin symetrie. Nakreslete je.
![Page 3: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/3.jpg)
Řešení
![Page 4: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/4.jpg)
Mnohostěn
je část prostoru ohraničeného konečným počtem rovinných mnohoúhelníků.
![Page 5: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/5.jpg)
Geometrický útvar nazveme konvexní,právě když lze libovolné dva jeho body
spojit úsečkou, jejíž každý bod náležídanému geometrickému útvaru.
![Page 6: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/6.jpg)
Eulerova charakteristika mnohostěnu Leonhard Euler
1707 - 1783
je číslo E = s + v – h
kde s je počet stěn, v počet vrcholů a h počet hran daného konvexníhomnohostěnu.
![Page 7: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/7.jpg)
Eulerova věta
„ V každém konvexním mnohostěnu platí Eulerův vztah
s + v – h = 2
kde s je počet stěn, v počet vrcholů a h počet hran daného konvexníhomnohostěnu.“
![Page 8: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/8.jpg)
Keplerův „Kosmický pohár“
- sféra Merkuru - opsán osmistěn, který je- vepsán do sféry Venuše- sféře Venuše opsán dvacetistěn - sféra Země - dvanáctistěn - sféra Marsu - čtyřstěn - sféra Jupitera- krychle- sféra Saturnu
Johannes Kepler1571 - 1630
![Page 9: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/9.jpg)
Existuje právě pět Platónových těles
![Page 10: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/10.jpg)
Princip duality PT
![Page 11: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/11.jpg)
Deltatopy V definici PT vynecháme požadavek na stejnou
valenci vrcholů (q) a „mnohoúhelníky“ nahradíme „trojúhelníky“.
Existuje právě 8 deltatopů.
Název deltatopu v h s q = 3 q = 4 q = 5
1. čtyřstěn 4 6 4 4 0 0
2. dvojitý čtyřstěn 5 9 6 2 3 0
3. osmistěn 6 12 8 0 6 0
4. dvojitý pětiboký jehlan 7 15 10 0 5 2
5. siamský dvanáctistěn 8 18 12 0 4 4
6. 9 21 14 0 3 6
7. 10 24 16 0 2 8
8. dvacetistěn 12 30 20 0 0 12
![Page 12: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/12.jpg)
Archimédova tělesa
- lze vytvořit z PT odříznutím vrcholů nebo hran tak, aby vznikly pravidelné konvexní mnohoúhelníky.
Archimédes ze Syrakus 287 – 212 př. n. l.
![Page 13: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/13.jpg)
Hvězdicovité pravidelné mnohostěnyV definici PT jsou vynechány požadavky konvexnosti.
![Page 14: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/14.jpg)
Pravidelné antihranoly mají dvě protilehlé stěny (podstavy) tvořené shodnými pravidelnými n–úhelníky a ostatní stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky.
pravidelný šestiúhelníkový antihranol (regular hexagonal antiprisma)
![Page 15: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/15.jpg)
Platónova tělesa v biosféřeMřížovka červená Virus dětské obrny
Radiolaria (mřížovci)
![Page 16: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/16.jpg)
Poincarého zobecnění Eulerovy věty Pro mnohostěny platí
s + v - h = 2 - 2r, kde r je (topologický) rod plochy. Zjednodušeně lze říci, že hodnota rodu plochy je rovna počtu v ní existujících „průchodů“.
![Page 17: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/17.jpg)
11 pravidelných mnohostěnů rodu 2druh p g v s h
1. 3 7 12 28 42 Ikosaedr +2 tunely
2. 3 8 6 16 24 Oktaedr + 2 tunely
3. 4 5 8 10 20 Krychle + 2 tunely
4. 3 9 4 12 18 Tetraedr + 2 tun.
5. 4 6 4 6 12 Krychle + 1 tunel
6. 5 5 4 4 10 Otevřené pentagonální těleso, duální samo k sobě
7. 6 4 6 4 12 duální k 5.
8. 9 3 12 4 18 duální k 4.
9. 5 4 10 8 20 duální k 3.
10. 8 3 16 6 24 duální k 2.
11. 7 3 28 12 42 duální k 1.
![Page 18: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/18.jpg)
Domácí úkol - rozmyslet1. Najděte nekonvexní mnohostěn, který nesplňuje
Eulerův vztah. 2.Najděte nekonvexní mnohostěn, který splňuje Eulerův
vztah.3.Je dán konvexní čtrnáctistěn s devíti vrcholy. Dokažte,
že na něm existuje vrchol, ze kterého vychází aspoň 5 hran.
4.Určete počty rovin souměrnosti všech Platonových těles.
5.Na kolik částí se rozpadnou, provedeme-li všechny tyto řezy současně?
6.Kolik prvků mají grupy zákrytových pohybů Platonových těles?
![Page 19: Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc., PřF UP v Olomouci Univerzita třetího věku](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042609/568155e4550346895dc3ac7e/html5/thumbnails/19.jpg)
Literatura Březina, F. a kol.: Stereochemie a některé fyzikálně
chemické metody studia anorganických látek. UP, Olomouc 1994.
Huylebrouck, D.: Regular Polyhedral Lattices of Genus 2: 11 Platonic Equivalents? In: Bridges Conference Proceedings, Pécs 2010.
Molnár, J., Kobza, J.:Extremálne a kombinatorické úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991.
Molnár, J., Kobza, J.: Extremálne a kombinatorické úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991.
Vacík, J.: Obecná chemie. SPN, Praha 1986. Vacík, J. a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN,
Praha 1996. Zimák, J.: Mineralogie a petrografie. UP, Olomouc
1993