prof. roberto cristóvão [email protected] aula 13 teste da integral e estimativa de somas
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Prof. Roberto Cristóvã[email protected] 13
Teste da Integral e Estimativa de Somas
Séries
Teorema. Se a série for convergente,
então lim 0.nna
1n
n
a
Séries
Prova: SejaEntão é ConvergenteNote que quandoassimPortanto,
na
Observação
A recíproca do Teorema não é verdadeira.Se não podemos concluir que
seja convergente.
Exemplo. A série harmônica
quando
Mas, sabemos que a série diverge.
Teste para Divergência
Se não existir ou se
Então a série é divergente.
Exemplo 8
Mostre que a série diverge.
Solução:
Assim, a série diverge pelo Teste para
Divergência.
Propriedades
Se e forem convergentes, entãotambém o serão as séries ( é cte.), e e
Exemplo 9
Calcule a soma da série
Exemplo 9
Solução:
Observação
Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série. Por exemplo: suponha que
é convergente. Como
Segue-se que a série inteira é convergente.
Observação
Similarmente, se soubermos que a série converge, então a série completa
também é convergente.
Integrais Impróprias
Definição(a) Se é contínua em
(b) Se é contínua em
[ , ),a
[ , ),b
Integrais Impróprias
(c) Se é contínua em
onde é qualquer número real.
Em todos os casos, se o limite é finito, dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe, dizemos que a integral imprópria diverge.
[ , ),
a
Exemplo 1
Determine se a integral converge ou diverge.
Solução:
Portanto, a integral diverge.
Exemplo 2
Para que valores de a integralé convergente? Solução:Sabemos do Exemplo 1 que se a
integral é divergente.
Desta forma, vamos supor Então,
Exemplo 2
Exemplo 2
Se então assim como e
Portanto,
se
e desta forma a integral converge.
Exemplo 2
Mas se então e assim quando
e a integral diverge. Resumindo, temos:
é convergente se e
divergente se
Teste da Integral
Começamos investigando as séries cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos:
Não existe uma fórmula simples para a soma Sn dos n primeiros termos.
Teste da Integral
Teste da Integral
Se excluirmos o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será
menor que a área sob a curva y =
1/x2 para x ≥ 1, que é o valor da integral:
Teste da Integral
Então, as somas parciais são limitadas.
O Teste da Integral
Suponha que seja contínua, positiva e decrescente em e seja Então, a série é convergente
a integral imprópria é convergente. Em outras palavras:
(i)Se for convergente, então
é convergente.
O Teste da Integral
(ii) Se for divergente, então
é divergente.
Obs.: Quando você usar o teste da integral lembre-se que não é necessário começar a série ou a integral em Por exemplo, testando a série
usamos
Observação
Também não é necessário que seja sempre decrescente. O que é importante é que seja decrescente a partir de certo ponto, isto é, decrescente para maior que algum inteiro
Exemplo 3
Teste a série quanto à
convergência ou divergência.
Solução:
A função é contínua,positiva e decrescente em e assim
podemos usar o Teste da Integral:
Exemplo 3
Então, a integral é convergente e, dessa forma pelo Teste da integral, a série
é convergente.
Função arco tangente
Exemplo 4
Para que valores de a série éconvergente?Solução: Se então Se entãoEm qualquer dos dois casos, e, assim, a série dada diverge pelo Teste para Divergência.
Exemplo 4
Se então a função é claramente contínua, positiva e decrescente em
Já vimos que é convergente se
e divergente se
Exemplo 4
Segue do Teste da Integral que a série
converge se e diverge se
(Para esta é a série
harmônica). A série é chamada -série.
p-série
A -série é convergente se
e divergente se
Exemplo 5
(a)A série
é convergente porque ela é uma -série
com
Exemplo 6
(b) A série
é divergente porque ela é uma -série
com
Observação
Não devemos inferir a partir do Teste da Integral que a soma da série é igual ao valor da integral. De fato,
(matemático suíço Leonhard
Euler (1707-1783)),
enquanto que
Observação
Portanto, em geral,
Exemplo 7
Determine se a série converge ou diverge.Solução:A função é positiva e contínua
para porque a função logaritmo é contínua. Mas não é obvio se
é decrescente ou não; assim calculamos a sua derivada:
Exemplo 7
Então, quando isto é,
Segue que é decrescente quando
e podemos aplicar o Teste da Integral
Exemplo 7
Como essa integral imprópria é divergente, a série também é divergente pelo
Teste da Integral.
Estimativa do Resto para o Teste da Integral
Suponha que onde é uma função contínua, positiva, decrescente para e que é convergente. Se
o resto é dado por
então
Exemplo 8
(a)Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos. Estime o erro envolvido nessa aproximação.
(b)Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?
Solução
(a)
Solução
De acordo com a estimativa do resto, temos
Por conseguinte, o tamanho do erro é no
máximo
Solução
(b) A precisão de significa que temos de encontrar um valor de tal que
Como
queremos
Solução
Resolvendo essa desigualdade, obtemos ou
Precisamos de 32 termos para garantir
precisão de
Observação
Se somarmos em cada lado da desigualdade abaixo
obteremos
porque
( )I
Exemplo 9
Use a fórmula para estimar a soma
da série
Solução:Do exemplo 8, sabemos que
( )I
Exemplo 9
De modo que
Usando obteremos
Se aproximarmos pelo ponto médio do intervalo, então o erro é no máximo metade do comprimento do intervalo.
Exemplo 9
Dessa forma,
com erro
Exemplo 9
Se compararmos o Exemplo 8 com o Exemplo 9, veremos que a estimativa melhorada na fórmula pode ser muito melhor que a estimativa
Para fazer um erro menor que tivemos que usar 32 termos no Exemplo 8, mas apenas dez termos no Exemplo 9.
( )I