prof.: sérgio wagner produtos notÁveis quadrado da soma de dois termos (a + b)² = a² + b² + 2ab...
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Prof.: Sérgio Wagner
PRODUTOS NOTÁVEIS
Quadrado da soma de dois termos
(a + b)² = a² + b² + 2ab
Exemplo:
(3 + 4)² = 3² + 4² + 2×3×4
Interpretação Geométrica
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a a²
b²ab
ab
ab
ab
a² b²
b
ba
=
+
+
+
Trinômio quadrado perfeito
Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)² = a² + b² - 2ab
Exemplo:
(7 - 5)²=7² + 5² - 2×7×5
Diferença de potências (ordem 2)
a² - b² = (a + b).(a - b)
Exemplo:
7² - 5² =(7 + 5) . (7 - 5)
Interpretação Geométrica
a² - b² = (a + b).(a - b)
a - b
a(a – b) a(a – b)
b(a – b) b(a – b)
a
b²
b
a - b
b
a
= +
Diferença entre dois quadrados
Quadrado de um trinômio
(a + b + c) ² =
= a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
= a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
Ex: (1 + 2 + 3) ² =
= 1² + 2² + 3² + 2.1.2 + 2.1.3 + 2.2.3
Interpretação Geométrica
(a + b + c) ² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
a a²
C ²
ab
ab
b
ba
b²
ac
ac
bc
bc
a²
ab
ab ac
ac
b² bc
bc
c
c C ²
+ +
+
+
+
+
=
Decorrências
(a + b – c)² =
= a² + b³ + c² + 2(ab – bc –ac)
(a – b – c)² =
= a² + b³ + c² + 2(-ab + bc –ac)
Cubo da soma de dois termos
(a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab² + b³
= a³ + b³ + 3ab(a + b)
Exemplo:
(4 + 5)³ = 4³ + 3×4²×5 + 3×4×5² + 5³
Cubo da diferença de dois termos
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
= a³ - b³ - 3ab(a – b)
Exemplo:
(4 - 5)³= 4³ - 3×4²×5 + 3×4×5² - 5³
Soma de dois cubos
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
Exemplo:
2³ + 4³ = (2 + 4)³ - 3×2×4×(2 + 4)
Soma / diferença de dois cubos na forma fatorada
a ³ + b ³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a ³ - b ³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Exemplo:
5³ + 7³=(5 + 7) (5² - 5×7 + 7²)
Diferença de potências (ordem 4)
a4 - b4 = (a - b)(a + b)(a² + b²)
Exemplo:
54 – 14 = (5 - 1)(5 + 1)(5² +1²)
Diferença de potências (ordem 6)
a6 - b6 = (a - b)(a + b)(a²+ab +b²)(a²- ab +b²)
Exemplo:
56 - 16=(5 - 1)(5 +1)(5² + 5×1+1²)(5²- 5×1+1²)
Diferença de potências (ordem 8)
a8 - b8 = (a - b)(a + b)(a² + b²)(a4 + b4)
Exemplo:
58 – 18 = (5 - 1)(5 + 1)(5² + 1²)(54 + 14)
“A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os
curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.”
Descartes