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GEOMETRIA EUCLIDEA

PROF. VINCENZO LO PRESTI

CONCETTI GEOMETRICI

FONDAMENTALI

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I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

GEOMETRIA

Letteralmente geometria significa misura (metron) della

terra (geo).

Lo scopo principale della geometria è quello di studiare

e descrivere le forme che l’uomo riscontra nella natura.


GEOMETRIA

• Ricostruire i confini dei campi cancellati dalle

inondazioni dei fiumi;

• Conoscere la capacità di un vaso;

• Misurare il volume delle costruzioni.

Nelle civiltà primitive la geometria aveva un carattere

empirico e veniva utilizzata per scopi esclusivamente di

ordine pratico:

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STORIA DELLA GEOMETRIA

Nella cultura della civiltà greca la geometria nel corso dei

secoli venne sottoposta ad un processo di astrazione per

opera di matematici e filosofi greci come Talete, Pitagora,

Eudosso.

Presso la civiltà Assiro-Babilonese la geometria cominciò ad

assumere un significato astratto indipendentemente dalla

sua funzione pratica.


GEOMETRIA EUCLIDEA

Il processo di astrazione della geometria venne

profondamente influenzato da Euclide (III secolo a.c.)

che con la sua opera gli “Elementi”, articolata in ben 13

libri, espose in maniera sistematica e generalizzata tutte

le conoscenze di geometria.

Nasce quindi la geometria euclidea che per diversi secoli è

rimasta il più grande esempio di teoria matematica e di

costruzione strutturata delle mente umana.

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STRUTTURA DELLA GEOMETRIA

EUCLIDEA

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito

sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati

costruiti sui cateti

TRIANGOLO: un poligono di tre lati

POLIGONO: figura geometrica formata da una

poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata

POLIGONALE: spezzata chiusa non intrecciata


GEOMETRIA EUCLIDEA

SPEZZATA: due o più segmenti consecutivi

SEGMENTO: l’insieme dei punti di una retta compresi

tra due punti qualsiasi della retta stessa

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STRUTTURA DELLA GEOMETRIA

EUCLIDEA

CONCETTI

PRIMITIVI (elementi di base)

POSTULATI

(Regole fondamentali)

NUOVI ENTI

Da cui si deducono

mediante

definizioni

mediante

dimostrazioni

NUOVE PROPRIETA’


ENTI PRIMITIVI DELLA

GEOMETRIA EUCLIDEA

Gli enti primitivi sono quei concetti immediati che si

suppongono accettati da tutti.

Gli enti primitivi della geometria euclidea sono:

PUNTO

RETTA

PIANO

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GEOMETRIA EUCLIDEA

Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati

utilizzando la seguente simbologia:

PUNTI: con le lettere maiuscole dell’alfabeto

A

C

P

B



GEOMETRIA EUCLIDEA



RETTE: con le lettere minuscole dell’alfabeto

a

r

s

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GEOMETRIA EUCLIDEA



PIANI: con le lettere minuscole dell’alfabeto greco


POSTULATI

I postulati sono delle affermazioni che si devono accettare

a priori, cioè proprietà che si suppongono vere e che

pertanto non si dimostrano.

(Regole del gioco)

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POSTULATI DI APPARTENENZA

Primo Postulato – Per due punti distinti passa una sola retta

A B

Secondo postulato – Su di una retta ci sono almeno due punti

A B

Terzo postulato – Data una retta e un piano che la contiene

esiste un punto del piano che non appartiene alla retta


POSTULATI DI APPARTENENZA DEL

PIANO

Postulato – Per tre punti non allineati passa un solo

piano.

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Postulato – Se due punti di una retta appartengono a un

piano allora la retta giace interamente sul piano

A

B

r

P

POSTULATI DI APPARTENENZA DEL

PIANO


POSTULATI DI ORDINAMENTO

Postulato – La retta gode delle seguenti proprietà:

P B A R Q

la retta è un insieme ordinato di punti (si può fissare

sulla retta un verso di percorrenza tra i due possibili)

non esiste un primo e un ultimo punto (la retta e

illimitata)

fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto

(la retta e densa)

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PRIME DEFINIZIONI

FIGURA GEOMETRICA:

Si chiama figura geometrica un qualsiasi insieme di punti.

SPAZIO:

Si chiama spazio l’insieme di tutti i punti.


DEFINIZIONI

Semiretta

Data una retta orientata su cui viene fissato un punto

P, si chiama semiretta l’insieme formato da P e da

tutti i punti che lo seguono o che lo precedono.

P

Origine

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DEFINIZIONI

Segmento

Data una retta orientata e due suoi punti A e B, si

chiama segmento l’insieme dei punti A e B e di quelli

che sono compresi tra essi.

A Estremo

B

Estremo


DEFINIZIONI

Segmenti consecutivi

Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un

estremo in comune.

A B

C

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DEFINIZIONI

Segmenti adiacenti

Due segmenti si dicono adiacenti se oltre ad essere

consecutivi appartengono alla stessa retta

A B

C


Si chiama poligonale un insieme di segmenti consecutivi

DEFINIZIONI

Lati

Vertici

A

B

C

D

E

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POSTULATO DI PARTIZIONE

DEL PIANO

Postulato- Data una retta r su un piano , presi due punti

qualsiasi A e B del piano, se A e B appartengono alla stessa

regione il segmento AB non interseca la retta r, se A e B

appartengono a regioni diverse il segmento AB interseca la

retta r.

A’ B’

r

A

B

(Per passare da una parte all’altra si deve per forza

attraversare la retta che non può essere aggirata)


DEFINIZIONI

Semipiano

Data una retta r su di un piano , si chiama semipiano

di origine r ciascuna delle due parti in cui il piano

viene diviso dalla retta r.

Origine o

frontiera

r

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DEFINIZIONI

Angolo Date due semirette con l’origine in

comune si chiama angolo ciascuna delle

due parti in cui viene diviso il piano.

Angolo Angolo

Lati

Vertice


DEFINIZIONI

ab

Modi per indicare un angolo

a

b

V

B

A

AVB

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DEFINIZIONI

Angoli consecutivi: Quando hanno il vertice e un lato in

comune

a

b

c

V


DEFINIZIONI

Angoli adiacenti Quando sono consecutivi e i lati non

comuni appartengono alla stessa retta

a

b

c

V

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DEFINIZIONI

Angolo piatto Quando i lati sono semirette opposte.

a

b

V


DEFINIZIONI

Angolo giro Quando i lati sono semirette sovrapposte

cioè coincidenti e l’angolo coincide con

l’intero piano.

b

V

a

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DEFINIZIONI

Angolo nullo

b =0

V

a

Quando i lati sono semirette sovrapposte

cioè coincidenti e l’angolo comprende

soltanto i punti delle semirette.


Una figura geometrica può essere:

• Convessa – quando il segmento che unisce due punti qualsiasi della figura appartiene per intero alla stessa figura

concava

convessa

• Concava – quando esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non

appartiene per intero alla figura

FIGURE GEOMETRICHE CONCAVE E CONVESSE

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando

possono essere sovrapposte mediante un movimento

rigido.

F2

F1


DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando

possono essere sovrapposte mediante un movimento

rigido.

V

F1 F2

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POSTULATO SULLA CONGRUENZA

La relazione di congruenza tra figure geometriche è una

relazione di equivalenza perchè gode delle proprietà:

-Riflessiva – Ogni figura è congruente a se stessa;

-Simmetrica – Se F1F2 risulta anche F2F1

-Transitiva – Se F1F2 e F2F3 risulta anche F1F3


POSTULATO DEL TRASPORTO DEI

SEGMENTI

Dato un segmento AB e una semiretta di origine O esiste ed

è unico il punto P sulla semiretta in modo che OPAB

O

A

B

P

OPAB

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POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI

ANGOLI

Dato un angolo ab e un fascio orientato di semirette con

origine nella semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale

che cdab

a

b

O

c

d

cdab


DEFINIZIONI

Lunghezza di un segmento

Si chiama lunghezza di un segmento la caratteristica

comune che hanno un insieme di segmenti congruenti

fra loro

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DEFINIZIONI

Ampiezza di un angolo

Si chiama ampiezza di un angolo la caratteristica comune

che hanno un insieme di angoli congruenti fra loro


CONFRONTO TRA SEGMENTI

C

B

D

Il confronto tra due segmenti viene eseguito

sovrapponendoli l’uno sull’altro in modo da far

coincidere un estremo.

A

C

B

D

A

AB<CD AB>CD

C

B

D

A

AB CD

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SOMMA DI SEGMENTI

Dati due segmenti la loro somma è il segmento

che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro

A BC D

A

B

D

C

AB+CD=AD


DIFFERENZA DI SEGMENTI

Dati due segmenti AB e CD con AB>CD la

differenza AB-CD è il segmento DB che si ottiene

sovrapponendo i due segmenti facendo coincidere

gli estremi A e C.

B AC

D

C

D

B

A

AB-CD=DB

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MULTIPLO DI UN SEGMENTO

Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 si chiama

multiplo di AB secondo il numero n la somma di n

segmenti congruenti con AB.

B A

n.AB = AF

n=3

BC DE F A


SOTTOMULTIPLO DI UN SEGMENTO

Il seguente postulato (Eudosso-Archimede) ci assicura la

divisibilità di un segmento in un numero qualsiasi di

segmenti congruenti.

B A

AC = AB/3

n=3 D C

Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 esiste ed è

unico il sottomultiplo di AB rispetto al numero n

B A n=5

E C D F AC = AB/5

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PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

B A

Punto medio del segmento AB

M

Dato un segmento AB esiste ed è unico il punto che divide il

segmento in due parti congruenti. Questo punto prende il

nome di punto medio.

AMMB


CONFRONTO TRA ANGOLI

P

a

b

Q

c

d

R

f e

S

g

h

b

ac

d

O

ab<cd

f

ae

b

O

ab>ef

ag

bh

O

ab=gh

a a a

b

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SOMMA TRA ANGOLI

P

a

b

Q

c

d

b bc d

O

ad= ab+cd

a


DIFFERENZA TRA ANGOLI

P

a

b

Q

c

d

b

ac

d

O

db= ab-cd

a

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MULTIPLO DI UN ANGOLO

Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 si chiama

multiplo di ab secondo il numero n la somma di n angoli

congruenti con ab.

n=3

P

a

b

b

d

O

ad= 3 ab

a

c


SOTTOMULTIPLO DI UN ANGOLO

Il seguente postulato (Eudosso-Archiemde) ci assicura la

divisibilità di un angolo in un numero qualsiasi di angoli

congruenti.

Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 esiste ed è

unico il sottomultiplo dell’angolo ab rispetto al numero n

n=3

P

a

b

ac= ab/3

c

n=5

P

a

b

ac= ab/5

c

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BISETTRICE DI UN ANGOLO

O

a

b

c

Dato un angolo ab esiste ed è unica la semiretta che divide

l’angolo in due parti congruenti. Questa semiretta prende il

nome di bisettrice.

Bisettrice dell’angolo ab

accb


DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI

O

a

b

c → bisettrice

Si chiama angolo retto ciascuno dei due angoli in cui la

bisettrice divide l’angolo piatto.

Angolo retto

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Due angoli si dicono supplementari quando la loro

somma è un angolo piatto

P

c

d

Q a

b

b bc d

O

Se ab+cd = π gli angoli ab e cd si

dicono supplementari

a



Due angoli si dicono complementari quando la loro

somma è un angolo retto

P

c

d

Q a

b

b bc

d

O

Se ab+cd = π/2 gli angoli ab e cd si

dicono complementari

a

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Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma

è un angolo giro

O

Se ab+cd = 2π gli angoli

ab e cd si dicono

esplementari

ad

bc



Un angolo si dice acuto se

è minore dell’angolo retto

Q a

b

Se ab< π/2 ab è acuto

Un angolo convesso si dice

ottuso se è maggiore

dell’angolo retto

Q

a

b

Se ab>π/2 ab è ottuso

π/2 π/2

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