professor ranildo lopes · polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por...

PROFESSOR

RANILDO LOPES

Polígonos

11.1

Polígono é uma figura geométrica plana e fechada

formada apenas por segmentos de reta que não se

cruzam no mesmo plano.

Polígonos

11.1

Exemplos

Elementos de um polígono

11.2

ângulo externo

ladosconsecutivos

vértice

ângulo interno

Polígonos convexos e não convexos

Polígono convexo: uma

reta r que passa por

qualquer par de vértices

consecutivos mantém os

demais vértices no

mesmo semiplano.

11.3

Polígono não convexo: a

reta não mantém os

demais vértices no mesmo

semiplano.

Diagonais de um polígono

11.4

número de vértices: 7número de diagonais relativas a um dos vértices: 4

número de vértices: 8 número de diagonaisrelativas a um dosvértices: 5

número de vértices: 9 número de diagonais relativas a um dos vértices: 6

de um único vértice partem (n – 3) diagonais;

há n vértices, logo temos n(n – 3) diagonais;

cada diagonal tem extremidade em dois

vértices, por isso foi contada duas vezes.

11.4

Considerando um polígono com n lados, observamos que:


Exemplo

O número de diagonais de um decágono é:

Logo, o decágono tem 35 diagonais.

11.5


Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer

Exemplos

11.6

4 – 2

(Número de lados menos 2)

número de triângulos

formados: 2

Quadrilátero (4 lados)

7 – 2 (Número de lados menos 2)

número de triângulos formados: 5

Heptágono (7 lados)

10 – 2 (Número de lados menos 2)

número de triângulos formados: 8

Decágono (10 lados)

Considerando um polígono de n lados:

podemos decompor esse polígono em

(n – 2) triângulos pelas diagonais que

partem de um vértice;

sabemos que a soma das medidas dos

ângulos internos de um triângulo é

igual a 180º.

11.6


i1 + e1 = 180º

i2 + e2 = 180º

i3 + e3 = 180º

i4 + e4 = 180º

+ =

in + en = 180º

Si + Se = n ∙ 180º

11.7


Se = 360º

11.7

Considerando

Si = (n – 2) ∙ 180º, temos:


Si + Se = n ∙ 180º

(n – 2) ∙ 180º + Se = n ∙ 180º

n ∙ 180º – 360º + Se = n ∙ 180º

Se – 360º = 0

Todo polígono com quatro lados é chamado de quadrilátero.

Quadriláteros

11.8

Considere o quadrilátero ABCD abaixo, os elementos desse

quadrilátero são:

vértices: A, B, C e D

lados:

diagonais:

ângulos internos:

ângulos externos: â, b, c e d

perímetro: AB + BC + CD + DA

S = (n – 2) ∙ 180º

S = (4 – 2) ∙ 180º

S = 2 ∙ 180º = 360º

Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo

11.9

Todo quadrilátero convexo que tem os lados opostos

paralelos é um paralelogramo.

Paralelogramos

11.10

é uma das bases.

é a altura relativa ao lado .

Algumas características:

Classificação dos paralelogramos

Losangos Retângulos Quadrados

11.11

Paralelogramos

Losangos são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes.

Retângulos são paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes.

Quadrados são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes.

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

11.12

Propriedades dos paralelogramos

11.12


Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

As diagonais de um paralelogramo cruzam-se nos respectivos

pontos médios.

11.12


Existem propriedades específicas

para alguns paralelogramos:

As diagonais de um retângulo

são congruentes.

As diagonais de um losango estão

contidas nas respectivas bissetrizes

dos ângulos internos e são

perpendiculares entre si.

11.12


AC ⊥ BD

ABb ≌ CD

Todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados

paralelos é um trapézio.

Trapézios

11.13

Os lados paralelos e são as bases, é a base maior

e é a base menor.

é a altura do trapézio (segmento perpendicular às

duas bases).

Algumas características:

Classificação dos trapézios

Trapézio isósceles Trapézio escaleno Trapézio retângulo

11.14

Trapézios

Trapézios isósceles são trapézios cujos lados não paralelos são congruentes.

Trapézios escalenos são trapézios cujos lados não paralelos não são congruentes.

Trapézios retângulos são trapézios que têm um lado perpendicular às bases. Estes trapézios também são escalenos.

Os ângulos adjacentes a uma das bases de um trapézio

isósceles são congruentes.

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Propriedades dos trapézios isósceles

11.15

Área do retângulo

Área do quadrado

Áreas de quadriláteros e triângulos

11.16

A = a ∙ a = a2

A = b ∙ h

Área do paralelogramo

Área do triângulo

11.16


A = b ∙ h

Área do trapézio

Área do losango

11.16


Um polígono que tem todos os lados congruentes entre si e

todos os ângulos internos congruentes entre si é chamado de

polígono regular.

Exemplos

Polígonos regulares

11.17

Ângulos de um polígono regular

11.18

Circunferência e círculo

Circunferência é a figura geométrica

formada por todos os pontos de um plano

que distam igualmente de um ponto fixo

desse plano, denominado centro da

circunferência. A distância constante é a

medida do raio da circunferência.

Círculo é a região do plano formada

por uma circunferência e sua

região interna.

11.19

Circunferência

Círculo

Elementos de uma circunferência

Corda é um segmento cujas extremidades são dois pontos

quaisquer da circunferência.

Raio é um segmento cujas extremidades são o centro e um

ponto qualquer da circunferência.

Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da

circunferência. A medida do diâmetro (d) é o dobro da

medida do raio (r), ou seja, d = 2r.

11.20

Reta externa à circunferência

A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é maior que a medida r do raio (d > r).

11.21

Posições relativas de uma reta a uma circunferência

Reta tangente à circunferência

A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é igual à medida r do raio (d = r).

11.21


Reta secante a uma circunferência

A distância d, do centro O da circunferência à reta t, é menor que a medida r do raio (d < r).

11.21


e : raios da circunferência

: corda da circunferência

s é perpendicular a t

11.22

Se uma reta s passa pelo centro O de uma circunferência

e é perpendicular a uma reta secante dessa circunferência,

então a reta s intercepta a corda determinada pela reta

secante em seu ponto médio M.

Propriedades das retas secantes e tangentes

P e Q pertencem à reta t

P pertence à circunferência e Q é

externo à circunferência

é raio da circunferência

11.22

Propriedades das retas secantes e tangentes

Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular

ao raio da circunferência no ponto de tangência.

11.23

Propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência

Dois segmentos, e , tangentes a uma

circunferência nos pontos A e B são congruentes.

Exercício resolvido

R1. Determinar o valor de x.

Resolução

A corda é secante à circunferência de centro

O e o segmento é perpendicular à secante,

então, pela propriedade da reta secante a uma

circunferência, divide a corda pela

metade; logo, mede 9.

11.24

Temos ainda que e são

raios da circunferência, assim:

OB = OC = 15

Como o triângulo MOB é

retângulo, temos:

x2 + 92 = 152

x = 12

11.24


R1.

Resolução

R2. Determinar o valor de x, sabendo

que A e B são centros de suas

respectivas circunferências e C e D

são pontos de tangência da reta t

com as circunferências.

Resolução

Como C e D são pontos de tangência, então os segmentos

e são perpendiculares à reta t; logo, e são raios

das circunferências e medem 4 e 2, respectivamente.

Portanto, o quadrilátero ABCD é um trapézio de altura x.

11.25


Temos:

BD = EC = 2

AC = EC + AE ⇒ 4 = 2 + AE ⇒ AE = 2

AB = 4 + 4 + 2 = 10

O triângulo AEB é retângulo, então:

(AB)2 = (AE)2 + (EB)2

102 = 22 + x2 ⇒ x = 4

11.25


R2.

Resolução

Resolução

11.26


R3. Dada uma circunferência inscrita num triângulo ABC,

e considerando D, E e F como pontos de tangência dessa

circunferência com os lados , e , respectivamente,

determinar a medida do segmento , sabendo que mede

20 cm, mede 25 cm e mede 16 cm.

Temos:

AB = AD + DB ⇒ 20 = AD + x ⇒ AD = 20 – x

Pela propriedade dos segmentos tangentes a uma

circunferência, temos:

AD = AE ⇒ AE = 20 – x

BD = BF = x

Então: CF = 25 – x

R3.

Resolução

11.26


Mas: CF = CE ⇒ CE = 25 – x

Então, como AC = CE + AE, temos:

16 = (25 – x) + (20 – x) ⇒ 2x = 29 ⇒ x = 14,5

Logo, o segmento mede 14,5 cm.

11.26

R3.

Resolução


Dois pontos distintos, C e D, de uma circunferência dividem-na

em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada

arco de circunferência.

Arco de circunferência

11.27

Os pontos C e D são chamados extremidades do arco.

Indicamos o arco

menor por e o

arco maior por

Quando as extremidades de um arco dividem a circunferência

em dois arcos de mesma medida, chamamos cada arco de

semicircunferência.

11.27

Arco de circunferência

Chamamos de ângulo central de uma circunferência qualquer

ângulo cujo vértice seja o centro da circunferência.

Ângulo central

11.28

A medida, em grau, de um arco de circunferência é a medida

do ângulo central correspondente a esse arco.

Indicamos a medida do arco por: med( )

Então: med(AÔB) = med( ).

Ângulo inscrito é todo ângulo cujo vértice é um ponto da

circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência.

Ângulo inscrito

11.29

é um ângulo inscrito que

determina o arco .

O ângulo inscrito determina o arco .

O ângulo central AÔB também determina o arco .

Todo ângulo inscrito na semicircunferência é reto.

11.29

Ângulo inscrito

Ângulo excêntrico é todo ângulo cujo vértice não é um ponto

pertencente à circunferência.

Ângulo excêntrico

11.30

é um ângulo excêntrico exterior. Os ângulossão ângulos excêntricos interiores.

Medida de um ângulo excêntrico interior:

Medida de um ângulo excêntrico exterior:

11.30

Ângulo excêntrico

a)

R4. Determinar o valor de x em cada um dos casos.

11.31

c)

b) d)


a) Como x é a medida do ângulo inscrito , temos:

b) Como os arcos e medem 160º e 40º,

respectivamente, e x é a medida do ângulo excêntrico

interior, então:

R4.

Resolução

11.31


c) Como x é a medida do ângulo excêntrico exterior e os

arcos e medem 40º e 80º, respectivamente,

temos:

d) Como x é a medida do ângulo inscrito, temos:

11.31

R4.

Resolução


Resolução

Temos: med ( ) = 180º e med ( ) = 115º

Então: med ( ) = 180º – 115º = 65º

Como x é a medida do ângulo excêntrico exterior, temos:

R5. Determinar x.

11.32


Resolução

Como O é o centro da circunferência, o triângulo AOB é

isósceles, pois e são raios da circunferência, então:

med ( ) = med ( ) = 23º

Portanto:

R6. Determinar o valor de x

sabendo que O é o centro

da circunferência.

11.33


Como é ângulo central, então:

med ( ) = med ( ) = 134º

E como x é a medida do ângulo inscrito na circunferência,

temos:

R6.

Resolução

11.33


A área de um círculo, cuja medida do raio é r, é dada por:

Exemplo

Vamos determinar a área de um círculo cujo raio mede 4 cm.

Então, a área do círculo é 16 cm2.

Área do círculo

11.34

A = r2

Setor circular é a região do círculo delimitada por um

de seus ângulos centrais.

Exemplo

Vamos calcular a área do setor circular destacado.

Área de um setor circular

11.35

A coroa circular é a região compreendida entre duas

circunferências concêntricas (que possuem o mesmo

centro), que estão em um mesmo plano e que têm raios

de medidas diferentes.

Área da coroa circular

11.36

A = R2 – r2

Vamos calcular a área da coroa circular destacada.

11.36

A = ∙ 52 – ∙ 32 = 25 – 9 = 16

Exemplo

Área da coroa circular

professor ranildo lopes · polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por...

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