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MATEMÁTICA DISCRETA
CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROFESSOR
WALTER PAULETTE FATEC SP 2009 02
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CÁLCULO PROPOSICIONAL
1. Proposições
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas não
ambas. As proposições podem ser divididas em proposições simples e compostas.
1.1. Proposições simples
a) Pedro é aluno do Curso de Informática.
b) A terra gira em torno do sol.
c) O leite é branco.
d) 7 é quadrado perfeito.
1.2. Proposições compostas
e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a América.
f) Bruno cursa Informática e Mariel Estatística.
g) O triângulo ABC é isóscele ou retângulo.
h) Se Pedro é estudioso, então será aprovado.
i) ABC é triângulo eqüilátero se, e somente se, é eqüiângulo.
1.3. Princípio da não contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
São verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d).
1.4. Princípio do terceiro excluído.
Toda proposição ou é verdadeira ou falsa. Sempre ocorre esses casos e nunca um
terceiro.
2. Operações lógicas
O cálculo das proposições consiste nas operações fundamentais que partem de
proposições simples para se chegar às proposições compostas. As operações que podem ser
efetuadas são: A negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional.
2.1. Conectivos
O Cálculo das proposições destaca cinco operadores lógicos, a saber:
...não...(denota-se “ ”)
... e... (denota-se “ ”)
...ou...(denota-se “ ”)
...se,... então... (denota-se “ ”)
...se, e somente se ... (denota-se “ ”)
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O primeiro operador “ ” é dito unário, pelo fato de operar sobre um só operando;
os demais são operadores binários, já que operam sobre dois operandos.
2.2. Negação
É a mais simples operação-verdade. Se a proposição A é verdadeira, então A é
falsa, se A é falsa, então A é verdadeira.
A: 2/3 é um número racional. (verdade)
A: 2/3 não é um número racional. (falso) ou
A: 2/3 é um número irracional. (falso)
Tabela verdade para a negação
2.3. Conjunção ( )
Essa operação-verdade corresponde ao termo “e” e seu símbolo é “ ”. Por meio da
conjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B
que será verdadeira somente quando A e B forem verdadeiras.
A: Recife é a capital de Pernambuco.
B: Manaus é a capital do Amazonas.
A B: Recife é a capital de Pernambuco e Manaus é a capital do Amazonas.
A B A B A B A B
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V F 0 1 0
F F F 0 0 0
Exemplo 01.
José de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V V = V)
5+2=7 e 3> 5. ( V F = F )
> 4 e 7 é número primo. ( F V = F )
> 4 e 8 é número ímpar. ( F F = F )
A A A A
V F 1 0
F V 0 1
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2.4. Disjunção ( )
Essa operação-verdade corresponde ao termo “ou” e seu símbolo é “ ”. Por meio
da disjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta
A B que será falsa somente quando A e B forem falsas.
A: Recife é a capital de Pernambuco.
B: Manaus é a capital do Amazonas.
A B: Recife é a capital de Pernambuco ou Manaus é a capital do Amazonas.
A B A B A B A B
V V V 1 1 1
V F V 1 0 1
F V V 0 1 1
F F F 0 0 0
Exemplo 02.
2+2=4 ou 5>3 ( V V = V)
4 ou 7 é número primo. ( F V =V)
4 ou 8 é número primo. ( F F =F )
2.5. Condicional ( )
Se chover, então irei ao cinema.
Se estudar, então serei aprovado.
Seja A: estudar
B: serei aprovado
A partir de duas proposições A e B, construímos uma nova proposição
A B (se A, então B) ou A implica B.
A tabela verdade é dada por:
A B A B A B A B
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V V 0 1 1
F F V 0 0 1
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Observação 01:
Da teoria dos conjuntos sabemos que A B B ou A B A , assim, se
x A B , então ,x B isto é, sempre é verdade que se x está em A B , então x
está em .B Logo, na tabela A B B é sempre verdadeira.
A B A B A B B
V V V V V V
V F F F V F
F V F F V V
F F F F V F
Observando as três últimas colunas podemos escrever:
V V = V
F F = V
F V = V
Observação 02:
Uma proposição A B é sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F),
independente do valor de B.
Observação 03:
Uma proposição A B é Verdadeira sempre que B é verdadeira.
Exemplo 03.
1) Se 2 + 2 =5, então 1 1 (verdade)
2) Se 2 + 2 =5, então 1 = 1 (verdade)
3) Se o Papa joga no Corinthians, então o Palmeiras será campeão.
3) Se o Papa joga no Corinthians, então todos os alunos de Matemática Discreta
serão aprovados.
Observação 04:
As proposições no Exemplo 03 são trivialmente verdadeiras pois, A : 2 + 2 =5 ou
A: O Papa joga no Corinthians,são falsas.
2.5. Bicondicional ( )
Encontramos com freqüência a forma:
“A se, e somente se, B ” que é definida por (A B) ( B A)
A B A B B A (A B) ( B A)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
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Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional.
A B A B A B A B
V V V 1 1 1
V F F 1 0 0
F V F 0 1 0
F F V 0 0 1
Exercícios de aplicação 01:
Escreva em linguagem corrente.
1) A: Está frio.
B: Está chovendo.
a) A:
b) A B:
c) A B:
d) A B;
e) A B:
f) A B:
g) A B:
2) Analogamente: A: Pedro é aluno de ADS
B: ADS é Curso da Fatec SP
3) Escreva em linguagem simbólica as sentenças.
p: Carolina é alta.
q: Carolina é elegante.
a) Carolina é alta e elegante.
b) Carolina é alta mas não é elegante.
c) É falso, que Carolina é baixa ou elegante.
d) Carolina não é nem baixa nem elegante.
e) Carolina é alta, ou ela é baixa e elegante.
4) Dar o valor lógico das proposições.
a) Porto Alegre é a capital do Estado do Paraná ou 10 é par. ( )
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b) Se 3 > , então 2 é racional. ( )
c) Se 3 > , então o Corinthians será campeão Paulista de 2009. ( )
d) Se 1 1, então 4 9 5 . ( )
e) 2+3=5 se, e somente se 36 6. ( )
f) 32 6 se, e somente se 2+2+2=6. ( )
2.7. Formas sentenciais
Quando estudamos as expressões numéricas, observamos expressões com as
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão organizadas com parênteses,
colchetes e chaves. Da mesma forma ocorrem as formas sentenciais usando
, , , e .
2.8. Tabelas-verdade
Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela-verdade.
Exemplo 04.
Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial
[( ) ( )] ( )A B A C B C
A B C A B A A C C B C
V V V V F V F F F
V V F V F F F V V
V F V F F V V F F
V F F F F F V V F
F V V V V V F F F
F V F V V V V V V
F F V V V V F F F
F F F V V V F V F
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Exemplo 05.
Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial
[( ) ( ] ( )A B B C A C
A B C A B B C A C
V V V V V V V
V V F V F V F
V F V F V V V
V F F F V V F
F V V V V V V
F V F V F V V
F F V V V V V
F F F V V V V
Exemplo 06.
Tabela-verdade simplificada.
( ) ( )A B A B
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F V F V V V F
Exercícios de aplicação 02:
Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial (Simplificada ou não).
1) ( ) ( )p q p q
2) [ ( )] ( )A B C A C
3) [( ) ( )] ( )A B C D D A
4) [( ) ( )] [( ) ( )]A C B C B A A C
5) [( ) ( )] [( ) ( )]A B C A A B C A
6) [( ) ( )] [( ) ( )]A B C A A B C B
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2.9. Tautologia –Contradição
Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V para quaisquer que
sejam os valores atribuídos às variáveis e se assumir o valor F diremos que é uma
contradição.
Exemplo 07. A forma sentencial que segue é uma tautologia.
( ) ( )A B A B
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F V F V V V F
Exemplo 08. A forma sentencial que segue é uma contradição.
( ) ( )A B A B
V V V F F F F
V V F F F F V
F V V F V F F
F F F F V V V
Exemplo 09.
Se a forma sentencial ( ( )) ( )A B C B C é falsa,
quais valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B e C?
( ( )) ( )A B C B C
____________________0___________ 1ª conclusão
____1______________________ 0_______2ª conclusão
__________1____0_________1_____0___ 3ª conclusão
_________0_________________________ 4ª conclusão
_0__________0_____________________ 5ª conclusão
Assim, A=0, B=1 e C=0
Exercícios de aplicação 02:
As formas sentencias que seguem são falsas, quais valores possíveis de verdade, que
podem assumir A, B, C e D?
1) [ ( )] ( )A B D A B C
2) ( ) [( ) ]A B B C C
3) ( ( ) ) (( ) ( )A B C D B E C D
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4) A B B C
5) Se a forma sentencial ( ) ( )A B C B C A é falsa, e a
sentença C B é verdadeira. Quais os valores possíveis de verdade, que podem
assumir A, B e C?
Respostas dos exercícios de aplicação 02:
1) A=B=1 e C=D=0 2) A=B=1 e C=0 3)A=B=C=D=E=1
4) A=B=0e C=1 5) A=C=0 e B=1
2.10. Implicações e equivalências lógicas (~)
Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial
Y, se a forma sentencial X Y for uma tautologia.
Exemplo 10.
Seja X: A B e Y: A B , mostremos que X ~ Y isto é
( )A B ( )A B
A B A B A B
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F F V V V V F
2.11. Equivalências lógicas Fundamentais
1E : Lei da dupla negação: ~A A
A A A
V F V
F V F
Exemplo 11. Não entendi nada desta explicação ~ entendi tudo.
A : Entendi essa explicação.
A : Não entendi essa explicação.
A: Não entendi nada essa explicação ~ A : entendi tudo.
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2E : Lei da idempotência: ~ ~A A A e A A A
A A A A V V V V
F F V F
A A A A V V V V
F F V F
3E : Lei da Comutatividade:
a) ~A B B A
A B B A V V V V V V V
V F F V F F V
F F V V V F F
F F F V F F F
b) ~A B B A
A B B A V V V V V V V
V F F V F F V
F F V V V F F
F F F V F F F
4E : Leis da associatividade:
a) ( ) ~ ( )A B C A B C
b) ( ) ~ ( )A B C A B C
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5E : Leis de De Morgan
a) ( ) ~ ( )A B A B
b) ( ) ~ ( )A B A B
Demonstração: Usaremos 1 para V e 0 para F
a) ( ) ~ ( )A B A B
A B A B 0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1
b) ( ) ~ ( )A B A B
A B A B 0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1
Mostre as propriedades que seguem usando as tabelas- verdade.
6E : Leis distributivas ou de fatoração
a) ( ) ~ ( ) ( )A B C A B A C
b) ( ) ~ ( ) ( )A B C A B A C
7E : Leis de absorção
1) ( ) ~A A B A
2) ( ) ~A A B A
3) ( ) ~ ( )A B B A B
4) ( ) ~ ( )A B B A B
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5) Se T é tautologia e F uma contradição, então
a) ( ) ~T A A b) ( ) ~T A T
c) ( ) ~F A F d) ( ) ~F A A
Mostremos a) ( ) ~T A A
T A A 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 1 0
Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas- verdade.
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E : Contrapositivo.
( ) ~ ( )A B B A
A B B A 1 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1
9E : Eliminação da condicional
a) ( ) ~ ( )A B A B
A B A B 1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
b) ( ) ~ ( )A B A B
A B A B B 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1
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E : Eliminação da Bicondicional
a) ( ) ~ ( ) ( )A B A B A B
A B A B A B 1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 1 1
b) ( ) ~ ( ) ( )A B A B B A
A B A B B A 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0 0
0 1 0 1 1 1 1
Exercícios de aplicação 03:
Nota: Nos exercícios que seguem use as leis apresentadas, indicando qual esta
sendo usada.
1)A forma sentencial ( ) ( )A B A B B é logicamente
equivalente a
A) A B b) A B c) A B d) A B
2)A forma sentencial [( ) ] ( )B C A C B é logicamente
equivalente a
a) ( )C A B b) ( )C A B c) ( )C A B
3)A forma sentencial ( ) [ ( )]A A B A B B é
logicamente equivalente a
a) ( )A B b) A B c) A B d) ( )B A
4) A forma sentencial ( ) [( ) ]A B C A B C é logicamente
equivalente a
a) ( )C A B b) ( )C A B c) ( )A B C
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5) A forma sentencial
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]A B B A A B B A C A C C
é logicamente equivalente a
a) ( )A B b) ( )C A B c) ( )A B C
Respostas dos exercícios de aplicação 03:
1)c 2) a 3) d 4) c 5)a
Observação:
Nos exercícios que seguem é importante conhecer a leitura das proposições e sua
simbologia. Assim
A B : lê-se: Se A , então B
A somente se B
A é condição suficiente para B .
B é condição necessária para A .
A B : A é condição necessária é suficiente para B .
Exemplo 12.
Indique em quais casos temos c.s, c.n e c.n.s.
a) A: n é divisível por 6 B: n número par (c.s)
b) A: x < 0 e y < 0 B: x .y > 0 (c.s)
c) A: x é ímpar B: 2x é impar (c.n.s)
d) A: x = 2 B: 2x =4 (c.s)
e) A: 2x =4 B: x = 2 (c.n)
Exemplo 13.
Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
As rosas são amarelas e os cravos brancos.
Solução:
Definindo:
A: As rosas são amarelas.
B: Os cravos brancos. Assim, podemos escrever A B
Negação de A B é ( )A B ~ A B (Leis de De Morgan)
As rosas não são amarelas ou os cravos não são brancos.
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Exemplo 14.
Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar.
Definindo:
C: estiver cansado
F: com fome
E: consigo estudar
E: não consigo estudar.
Assim, podemos escrever:( )C F E , negando:
[( ) ] ~ [ ( ) ]C F E C F E ~( )C F E .
Portanto,
Mesmo cansado ou com fome eu estudo.
Estando cansado ou com fome consigo estudar.
Exemplo 15.
Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
A temperatura diminuirá somente se chover ou nevar.
Definindo:
D: A temperatura diminuirá
C: chover
N: nevar
Assim, podemos escrever: ( )D C N , negando
[ ( )]D C N ~ [ ( )]D C N ~ ( )D C N ~ )D C N
A temperatura diminuirá mesmo não chovendo e não nevando.
Não choverá e não nevará e mesmo assim a temperatura diminuirá.
Exercícios de aplicação 04:
Dar a negação em linguagem corrente das proposições.
1) Fará sol se, e somente se não chover.
2) Bruno é aluno MD ou pesquisador.
3) Existe menina feia.
4)Todo menino gosta de futebol.
5) Nenhuma menina gosta do Corinthians.
6) Tudo que é bom engorda.
7)Todos os homens são mortais.
8)Thaís é inteligente e estuda.
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9)O Corinthians ganhará o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos
ajudarem.
Respostas dos exercícios de aplicação 04:
1) Fará sol se, e somente se chover.
2) Não é aluno Bruno MD e não é pesquisador.
3) Todas as meninas não são feias.
4) Existe menino e que não gosta de futebol.
5) Existem meninas que não gostam do Corinthians.
6) Nem Tudo que é bom engorda.( Existe coisa boa e que não engorda)
7) Existem homens que não são mortais.
8) Thaís não é inteligente ou não estuda.
9) Mesmo o juiz roubando ou os santos ajudando, o Corinthians não ganhará o
campeonato brasileiro.
2.11. Argumentos
Sejam 1 2, ,...,
nP P P e Q proposições. Denomina-se argumento a toda afirmação
de que uma dada seqüência finita de proposições 1 2, ,...,
nP P P acarreta uma proposição
final Q .
1 2, ,...,
nP P P denominam-se premissas, e Q conclusão. Lê-se
1 2, ,...,
nP P P acarreta Q ou
Q decorre de 1 2, ,...,
nP P P .
Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão, denomina-se
silogismo.
Um argumento 1 2, ,...,
nP P P Q é valido se, e somente se a condicional
1 2( ... )
nP P P Q é uma tautologia.
Exemplo 16.
Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma
falácia .
1) Sejam as Premissas:
i) Se um homem é feliz, ele não é solteiro.
ii) Se um homem não é feliz, ele morre cedo.
Conclusão:
Homens solteiros morrem cedo.
Chamando
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F: Homem é feliz
S: Solteiro
C: morre Cedo
Podemos escrever a forma simbólica (argumentação) como:
[( ) ( )] ( )F S F C S C
______1________1________1___________ 1_______ 1ª conclusão
___________1__________________________________2ª conclusão
__________0___________________________________3ª conclusão
___0__________________0_______________________4ª conclusão
____________________1________1______________1_ 5ª conclusão
__________________________________1______1____final
Portanto, a argumentação é verdadeira.
2) Sejam as Premissas:
i) Se um homem não fuma , então é atleta ou não é alcoólatra.
ii) Se um homem fuma, então tem câncer.
iii) Paulo não é atleta mas alcoólatra.
Conclusão:
Paulo tem câncer.
Chamando
F: Fuma
C: Câncer
At: Atleta
Al: Alcoólatra
( ( )) ( )t l t l
F A A F C A A C
______ 1____________________1__________ __ 1__________1ª conclusão
______________________________________1__ ___1____ 2ª conclusão
___________0______1_____________________0____________3ª conclusão
________________0____________________________________4ª conclusão
______________0______________________________________5ª conclusão
___0_________________________________________________6ª conclusão
_____1____________________1_____1_________________ 1_ 7ª conclusão
_________________________________________________1__ Verdade__
Portanto, a argumentação é verdadeira.
3) Sejam as Premissas:
i) Se eu não jogar xadrez,jogarei futebol.
ii) Se estiver machucado, não jogarei futebol
Conclusão:
Se estiver machucado jogarei xadrez.
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Chamando
X: jogar Xadrez
F: Futebol
M: Machucado
X F M F M X
______ V_____________ V_____________________ 1ª conclusão
_______________V____________________ V hip ____ 2ª conclusão
___________________V_________________________ 3ª conclusão
___________F________________F________________ 4ª conclusão
___F__________________________________________ 5ª conclusão
______V____________________________________V__6ª conclusão
_____________________________________V_______ 7ª conclusão
_______________________________V_______________Verdade
Portanto, a argumentação é verdadeira.
Exercícios de aplicação 05:
Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia .
1) Sejam as Premissas:
i) Os bebes não são lógicos.
ii) Quem consegue amestrar um crocodilo não é desprezado.
iii) Pessoas não lógicas são desprezadas.
Conclusão:
Bebes não conseguem amestrar crocodilo.
2) Sejam as Premissas:
i) O professor não erra.
ii) Andréia é distraída.
iii) Quem é distraído erra
Conclusão:
a) Andréia não é professora.
b) Nenhum professor é distraído.
3) Sejam as Premissas:
i) Gracielli é estudiosa.
ii) Todo estudioso é aprovado em Matemática discreta.
Conclusão:
Gracielli será reprovada em Matemática discreta.
Respostas dos exercícios de aplicação 05:
1) e 2) A argumentação é verdadeira.
3) A argumentação é falsa.