Prof.FabianoProf.Fabiano

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

Demonstração:

O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.

O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

,portanto:

O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética não infinita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula: A soma dos termos entre e é:

Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:

Onde: an = Último termo da P.A. a1 = Primeiro termo da P.A. n = Número total de termos da P.A. k = Índice do primeiro termo da P.A. r = Razão da P.A.

Progressão aritmética constante: Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda

progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão aritmética constante: P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0 P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0 ________________________________________________________________ Progressão aritmética crescente: Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em

que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).

Exemplos de progressão aritmética crescente: P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2 P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

Progressão aritmética decrescente: Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão

aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).

Exemplos de progressão aritmética decrescente: P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) -

razão r = -2 P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) -

razão r = -3 _____________________________________________________________________ Progressão aritmética de segunda ordem: Uma progressão aritmética de segunda ordem é considerada por

muitos matemáticos o tipo de progessão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:

Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73) Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo,

teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.