Prof.ssa A. Sia

Le funzioni

Prof.ssa A. Sia

Definizione:Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica. Ma che cosa è una funzione? Possiamo intenderla come un apparecchio di Input-Output. Prende un oggetto come Input e fornisce un oggetto come Output. E questo avviene secondo una precisa (univoca) relazione.Per noi "oggetto" per adesso significa "numero". Quindi una funzione per noi per ora è una macchina che prende un numero come Input e lo  trasforma in un numero come Output. Ecco una macchina del genere: Relazione

Prof.ssa A. Sia

La macchina eleva al quadrato il numero dato. L'idea è di assegnare a ciascun numero il suo quadrato. La relazione è dunque "elevare al quadrato". Così abbiamo definito una funzione. Potremmo chiamarla "funzione quadrato".

Per scrivere le funzioni in matematica esistono 2 notazioni:1. Quella con la freccia f: x -> x2

2. Quella con l’uguale f(x)= x2

Prof.ssa A. Sia

Definizione di funzione:

Dati due insiemi A e B, si dice funzione (f: A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B

1 34

5 7

16 949

25 1

A BC

D E

3 25

4 1

Si possono considerare funzioni anche per oggetti matematici diversi dai numeri. Per definire una funzione abbiamo bisogno di due insiemi che chiamiamo A e B. Noi ci occuperemo e studieremo solo funzioni numeriche ovvero funzioni reali di variabile reale

Prof.ssa A. Sia

Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal valore di un'altra grandezza, si ha una funzione. La natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di dipendenze

La grandezza... è una funzione...

posizione di un veicolo del tempo

energia di un asteroide in caduta della sua velocità

precipitazioni medie della posizione sul nostro pianeta

quantità di vernice necessaria dell'area della superficie da verniciare

importo sul libretto di risparmio (su cui sono depositati 1000 Euro) dopo un anno

degli interessi

quantità di funghi raccolti delle precipitazioni nei giorni precedenti

Prof.ssa A. Sia

Funzioni iniettive:Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A (Dominio) corrispondono elementi distinti di B (Codominio).

Si può anche scriverex1≠x2 A -> f(x1) ≠ f(x2) B

Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

Si può anche scrivere

"x1,x2 ÎA x1¹x2Þf(x1)¹ f(x2)

Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA

Funzione iniettiva Funzione non iniettiva

Prof.ssa A. Sia

Funzioni suriettiva:Una funzione da A a B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di  almeno un elemento di A. Ogni elemento del codomino deve avere almeno un corrispondente nel dominio

Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

Si può anche scrivere

"x1,x2 ÎA x1¹x2Þf(x1)¹ f(x2)

Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA

Funzione suriettiva Funzione non suriettiva

Prof.ssa A. Sia

Funzioni biettiva:Una funzione da A a B che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva viene detta  corrispondenza biunivoca.Ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e uno solo elemento del codominio

Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

Si può anche scrivere

"x1,x2 ÎA x1¹x2Þf(x1)¹ f(x2)

Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA

Funzione biettiva

Prof.ssa A. Sia

Funzioni pari dispari e periodiche

 Data una funzione y=f(x) definita nel dominio D diciamo che f(x) è pari se per ogni x del dominio f(x)=f(-x). Da un punto di vista geometrico il grafico di f è simmetrico rispetto all'asse y.

 Data una funzione y=f(x) definita nel dominio D diciamo che f(x) è pari se per ogni x del dominio f(-x) = - f(x). Da un punto di vista geometrico il grafico di f è simmetrico rispetto all‘origine.

Prof.ssa A. Sia

Sia data una funzione y=f(x), si dice che f(x) è periodica di periodo T>0 se per

ogni k intero, f(x)=f(x+kT).Il più piccolo T > 0 prende il nome di

periodo.Geometricamente la definizione data implica che il grafico di una funzione periodica si può tracciare per ripetizione del grafico ottenuto restringendo il dominio ad un qualunque intervallo di ampiezza

Prof.ssa A. Sia

Si definisce Dominio di una funzione l'insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente x per ottenere il valore della y

Prof.ssa A. Sia

Prof.ssa A. Sia

Siti utili:http://precorso.dicom.uninsubria.it/lezioni/funzioni.htm#WasisteineFunktion

http://www.ripmat.it/mate/c/cc/ccb.html