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Dicembre 2009 Modellistica Circuitale A.A 2009/2010 1

Progetto Di Filtri Attivi

Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 2Dicembre 2009

Mas

sim

o C

ampl

ani

Outline

L'amplificatore OperazionaleFiltri a singolo poloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio

integratoreFiltri a capacità commutate


Mas

sim

o C

ampl

ani

Amplificatore operazionaleRichiami 1/9

L'amplificatore operazionale è un componente fondamentale per moltissimi circuiti elettronici. Nonostante sia costituito da diversi transistor viene generalmente trattato come un singolo elemento circuitale. In questo modo è possibile semplificare il suo utilizzo in circuiti come amplificatori, filtri, buffer e convertitori. L’amplificatore differenziale viene quindi realizzato e implementato in vari modi, ma il suo comportamento può essere descritto attraverso il modello di amplificatore operazionale ideale.

Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010Dicembre 2009

Mas

sim

o C

ampl

ani

Le principali caratteristiche del modello ideale dell’amplificatore operazionale sono:

Guadagno in tensione ad anello aperto infinito.Banda passante infinita.

L’amplificatore non assorbe corrente

L’uscita non risente dalla presenza del carico

( ) ∞≤≤∞ ω=ωAV 0


∞=Rin

0=Rout


Mas

sim

o C

ampl

ani


L'amplificatore operazionale viene indicato negli schemi circuitali con il simbolo mostrato in figura.

Il morsetto di ingresso indicato con il segno – è detto morsetto invertente, il morsetto indicato con il segno + è detto morsetto non invertente. Vcc

e –Vcc

sono le alimentazioni ,

positiva e negativa, dell’amplificatore.La relazione ingresso uscita dell’amplificatore operazionale ideale è:

( ) inV12Vout VA=VVA=V −


Mas

sim

o C

ampl

ani


L’amplificatore operazionale non è mai utilizzato ad anello aperto, ma viene generalmente inserita una catena di controreazione, che permette di sfruttare tutte le sue proprietà.In figura è riportato lo schema classico della controreazione

Dove A(s) è la funzione di trasferimento del sistema a ciclo aperto (l’amplificatore operazionale nel nostro caso) e t(s) la funzione di trasferimento della catena di controreazione. Le equazioni del sistema a ciclo chiuso sono riportate nella slide successiva.


Mas

sim

o C

ampl

ani


( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )sAst

sAXsAstX

XsA

XXXsA

XXXsA

XX

ii

i

fi

i

fi

i

s

o

+=

+

+=

+=

1

( )( )

fsi

of

io

XXX

XstXXsAX

−=

==


Mas

sim

o C

ampl

ani


Le due configurazioni “classiche” dell’operazionale sono la configurazione invertente (guadagno negativo), e la configurazione non invertente. k è il guadagno a ciclo chiuse del sistema.

1

2

RR=k −

1

21RR+=k

L’espressione del guadagno a ciclo chiuso può essere facilmente ottenuta con un analisi delle correnti che scorrono nel circuito. Analizziamo per esempio la configurazione invertente (lo stesso si può fare per quella non invertente).


Mas

sim

o C

ampl

ani


1. La differenza di potenziale tra i terminali di ingresso all’operazionale è nulla.

2. v1 =0

3. La corrente che scorre su R1 è pari a v1 /R1

4. L’operazionale non assorbe corrente

5. i2 =i1

6. vo = -v1

(R2 /R1

)


Mas

sim

o C

ampl

ani


L’analisi e i risultati ottenuti precedentemente si basano sul concetto di massa virtuale. Sostanzialmente i due morsetti di ingresso dell'amplificatore hanno la stessa tensione, nonostante essi non siano cortocircuitati. Questo è vero solo nell'ipotesi in cui Av sia infinitamente grande (idealmente infinito).

∞≈≈ VV

0s A se 0

Ae=e


Mas

sim

o C

ampl

ani


Un altra configurazione molto utilizzata è la configurazione ad inseguitore di tensione (o buffer) caratterizzata da guadagno unitario. In uscita dell’operazionale viene riportata la tensione di ingresso. Vantaggio di questa configurazione dovuto all’elevata resistenza di ingresso dell’operazionale è quello di minimizzare gli effetti di carico sul generatore

io VV =


Mas

sim

o C

ampl

ani

Amplificatore operazionale

Illustreremo ora alcuni dei più significativi effetti dovuti alle non idealità negli amplificatori operazionali reali. Effetti che modificano sensibilmente il comportamento dinamico degli amplificatori operazionali. Talvolta questi possono essere trascurati sotto talune ipotesi, ma è comunque necessario tenere conto di questi fenomeni in fase di progetto di circuiti elettronici come filtri etc.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Amplificatore operazionaleRisposta in frequenza 1/6

Il guadagno dell’amplificatore operazionale ha una risposta in frequenza a singolo polo di tipo passa basso. Questo ovviamente implica che maggiore è la frequenza di funzionamento del circuito in cui è inserito l’operazionale, minore è il guadagno dell’operazionale.

f0

f0 è la frequenza di taglioft (frequenza di taglio unitario) è la frequenza per la quale il modulo della risposta in ampiezza vale 0 db, ovvero l’amplificatore ha guadagno unitario.Chiameremo A(s)l’espressione che caratterizza il guadagno finito dell’operazionale


Mas

sim

o C

ampl

ani


( )

( )

( )| |ffjωA

ωA=ωjωωA=jωAωωSe

jω+ωωA=jωA

t

t

≈

>>

00

000

0

00

Posto

Come specifiche, generalmente vengonofornite f0e ft.

Se è verificata la condizione ft>>f0 si puòavere facilmente una stimadel guadagnodell'amplificatore.Chiaramente il valore finito e di tipo passa basso del guadagno dell’amplificatore comporta delle modifiche del guadagno a ciclo chiuso degli esempi precedenti


Mas

sim

o C

ampl

ani


Analizziamo ora la risposta in frequenza dell’operazionale utilizzato in configurazione invertente. Nelle slide precedenti era stato calcolato un guadagno a ciclo chiuso pari a k=-R2/R1 considerando il modello dell’operazionale ideale.Sia A(s) il guadagno finito dell’operazionale discusso nelle slide precedenti:

( )s+ω

ks+ω

ωA=jωA0

0

0

00 =


Mas

sim

o C

ampl

ani


( )[ ]

( )[ ])(//11)/(

)()(

)()/()(//11)(

)(/)()()()()(

)()()(

12

12

1

1212

21

22

sARRRR

sVsV

sVRRsARRsV

RR

sAsVsVsAsVRsI

sAsVsV

o

io

oiooo

++−

=

−=++

+−−=−−=

La tensione al nodo 1 può essere scritta così:

)()()(1 sA

sVsV o−=

Ottenendo quindi la tensione che scorre sulla resistenza R1

:

11

)(/)()()(R

sAsVsVsI oi +=

Da cui si ottiene l’espressione per V0 e il rapporto Vo

/Vi


Mas

sim

o C

ampl

ani


Ora è possibile sostituire nell’equazione precedente il valore di A(s)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

/1/1

//1Per

/1//111

/)(//11

/

12

12

120

1200

12

0

12

12

12

RR+ωs+

RR=sVsV

RR+ARR+ωA

s+RR+A

+

RR=sARR++

RR=sVsV

t

i

o

i

o

−>>

−−

( )12

3db /1 RR+ω=ω tLa funzione di trasferimento trovata è quella di un

sistema a singolo polo con pulsazione a 3db pari a:


Mas

sim

o C

ampl

ani


Per il caso non invertente si ottiene invece:

( )( )

( )

( )120

12

12 /1per

/1/1

/1 RR+ω

RR+ωs+

RR+=sVsV

t

i

o >>

( )12

3db /1 RR+ω=ω tLa funzione di trasferimento trovata è quella di un

sistema a singolo polo con pulsazione a 3db pari a:

Il più semplice filtro passa basso (a singolo polo) può essere dunque realizzato con l'amplificatore in una delle configurazioni classiche, scegliendo opportunamente il rapporto R2 /R1


Mas

sim

o C

ampl

ani

Amplificatore operazionaleCaratteristica non lineare

L'operazionale si comporta come illustrato precedentemente se e solo se si lavora nella zona lineare della sua caratteristica. Come è possibile vedere in figura essa è limitata dalle tensioni di alimentazione.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Amplificatore operazionaleSlew Rate 1/3

Un altro effetto di non idealità che comporta distorsioni non lineari è il fenomeno dello slew rate SR. Lo SR è definito come la massima velocità di variazione della tensione di uscita dell’amplificatore.

Questa specifica è in genere fornita dai costruttori in termini di V/μs.Come esempio supponiamo di sottoporre ad un amplificatore di tensione utilizzato come buffer, un gradino di ampiezza V.

maxdtdv

SR o=


Mas

sim

o C

ampl

ani


( )τ/1 to eVV −−=

V 1-δ=iV

Essendo Vi la tensione di ingresso, un

gradino di ampiezza V:

Considerata la funzione di trasferimento del buffer pari a:

/1

1

0ωsVV

i

o

+=

Si dovrebbe ottenere in uscita la tensione Vo


Mas

sim

o C

ampl

ani


Quando il segnale di ingresso assume un valore tale da richiedere una variazione dell’uscita più rapida di quella indicata nelle specifiche si verifica Il fenomeno dello slew rate. Nell’esempio la risposta desiderata (di tipo esponenziale) viene distorta e in uscita si ottiene una retta la cui pendenza è proprio pari al valore di SR presente nelle specifiche.Lo SR è dovuto sostanzialmente ai limiti imposti dai transistori dello stato di uscita che erogano la corrente sul carico.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Amplificatore operazionaleLarghezza di banda a piena potenza 1/2

L’effetto dello slew rate può introdurre distorsione non lineare su forme d’onda di tipo sinusoidali. Nelle specifiche del costruttore viene spesso indicato il parametro fM

, detto larghezzza di banda a piena potenza, legato allo slew rate.Nel caso di onda sinusoidale lo SR può distorcerla, e trasformarla in un onda triangolare.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Amplificatore operazionaleLarghezza di banda a piena potenza 2/2

fM è definita come la frequenza per la quale una sinusoide di ampiezza pari

all’ampiezza massima che può fornire l’operazionale Vomax , mostra distorsione

per il fenomeno dello slewrate.

tVdtvd

tsenVv ii

ii ωωω cos'' ==

Segnale sinusoidale Velocità variazione del segnale

Massima ampiezza della sinusoide di pulsazione ωo.

max2 oM V

SRfπ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

o

Moo VV

ωω

max

E possibile ricavare un espressione che lega fM , la frequenza di funzionamento f0

e la tensione di ingresso V0 . In questo modo si può avere una stima di quale sia

la massima ampiezza del segnale di ingresso alla frequenza di lavoro f0 (o

viceversa).


Mas

sim

o C

ampl

ani

Amplificatore operazionaleProblemi in continua

Alcuni problemi dovuti alla non idealità dell’amplificatore differenziale, sono particolarmente rilevanti se si lavora in continua. L’effetto della tensione di offset VOS

dovuta allo sbilanciamento (sempre presente) dei circuiti integrati che compongono lo stadio differenziale dell’operazionale, può limitare fortemente l’escursione massima del segnale in ingresso allo stadio di amplificazione.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

21RRVV OSo

Una possibile soluzione, se l’applicazione non richiede di lavorare a basse frequenze, è connettere un condensatore in serie al resistore R1

,

in questo modo in uscita la tensione Vos

non verrà amplificata.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Outline

L'amplificatore OperazionaleFiltri a Singolo PoloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio



Mas

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o C

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ani

Filtri Attivi

Circuiti elettronici che implementano azioni filtranti di vario tipo sono utilizzati in moltissime applicazioni, nel campo delle telecomunicazioni, in sistemi di acquisizione dati, sistemi di potenza ecc.Per applicazioni alle alte frequenze (> 1 MHz) generalmente vengono utilizzati filtri composti da elementi passivi come induttori, capacitori e resistori. In un range di frequenza più basso (1KHz – 1MHz) i valori degli induttori diviene troppo grande, rendendo il componente difficile da rializzare (anche per ragioni economiche) e difficilmente utilizzabile.In questi casi si utilizzano circuiti in cui sono presenti amplificatori operazionali, capacitori e resistori.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo polo

Analizziamo in questa sezione i circuiti filtranti più semplici che è possibili realizzare con amplificatori operazionale. Questi circuiti sono caratterizzati dalla presenza di un unico operazionale e da una funzione di traferimento a singolo polo.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo polo

( )0

0

ω+sa=sHLP

( )0

1

ω+ssa=sHHP


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo poloI filtri a singolo polo si basano sostanzialmente sugli schemi classici con cui viene utilizzato l’amplificatore operazionale.La catena di controreazione può essere formata da due impedenze qualsiasi, non necessariamente due resistenze. In questo modo è possibile ottenere dei semplici filtri a singolo polo, con un unico stadio di amplificazione.

( )( )

( )( )sZsZ=

sVsV

1

2

i

o −


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo poloIntegratore di Miller e LPF 1/2

L'integratore di Miller è un integratore puro. Per frequenze nulle ha un guadagno infinito, e ciò lo rende instabile. Nella realizzazione pratica l'uscita satura al valore della tensione di alimentazione Vcc positiva.

( ) ( )

( )( )

( )( )

sCR=

VV

sZsZ=

sVsV

sCsZRsZ

i

o

i

o

1

1 ,

1

2

221

−

−

==


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo poloIntegratore di Miller e LPF 2/2

Con questa soluzione si stabilizza il filtro, ma l'integratore non è ideale.

( ) ( )

( )( )

( )( )

F

F

i

o

i

o

f

f

sCR+RR

=VV

sZsZ=

sVsV

RsCsCR

sZRsZ

1

/1 ,

1

2

21

−

−

+==


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo poloLPF con configurazione non invertente

Si può allo stesso modo ottenere un filtro LP utilizzando la configurazione non invertente, come mostrato in figura

( )

1

,

11

11

+=

−==

RsCVV

RVVI

sCIV

inx

xinx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

3

2

113

2 11

1 , 1RR

RsCVV

RRVV

in

outxout


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo poloEsempio progetto LPF

Scelto il valore di C, si possono facilmente determinare i valori di R e Rf in modo

tale da rispettare le specifiche. Per esempio scegliendo C=45nF, si ottiene Rf=3.38KΩ e R=667Ω.

s+CRRC

sCR+RR

=VV

FF

F

i

o

1/

1

1−=−( )

0

0

ω+sa=sHLP

CRCRω

RRωagain

ff

fDC

33

0

0

0

1021 /1102

2.0 5

⋅=⇒=⋅=

=⇒==

ππ

Si consideri il circuito in figura e si progetti un filtro LPF con guadagno in tensione pari a 5 (in modulo) e f0

=1kHz


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo poloDerivatore e HPF 1/2

Il circuito mostrato in figura è un derivatore puro, ovvero si comporta come un filtro passa alto con frequenza di taglio infinita. Anche questo filtro presenta problemi di stabilità. In generale viene posto in serie al condensatore un resistore.

( ) ( )

( )( )

( )( )

sCR=VV

sZsZ=

sVsV

RsZsC

sZ

i

o

i

o

−

−

==

1

2

21 ,1


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo poloDerivatore e HPF 2/2

Filtro passa alto a singolo polo realizzato con un unico stadio di amplificazione

( ) ( )

( )( )

( )( )

11

2

1

2

2211

/1

,1

CR+ss

RR=

VV

sZsZ=

sVsV

RsZRsC

sZ

i

o

i

o

⋅−

−

=+=


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a singolo poloHPF con configurazione non invertente

Si può allo stesso modo ottenere un filtroHP utilizzando la configurazione non invertente, come mostrato in figura

( )

inx

xinx

VRsC

RsCV

sCVVIRIV

1

,

11

11

11

+=

−==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

3

2

11

11

3

2 11

, 1RR

RsCRsC

VV

RRVV

in

outxout


Mas

sim

o C

ampl

ani

Outline




Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri del secondo ordine

In letteratura sono presenti numerosi esempi di modelli di filtri del secondo ordine (o filtri biquadraditici) ottenibili attraverso l'utilizzo di elementi attivi quali gli amplificatori operazionali.Un filtro del secondo ordine è caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento:

( )( )

( )20

021,

200

201

22

4Q11jω2Qω=pp

ω+sQω+sa+sa+sa=sH

/

/

−− m

I poli della funzione di trasferimento sono:


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri del secondo ordineLow Pass Filter

( )( )

20002

002

200 con

/ωHa

ω+sQω+sωH=sH =


Mas

sim

o C

ampl

ani

( )( ) 022

002

20 con

/Ha

ω+sQω+ssH=sH =

Filtri del secondo ordineHigh Pass Filter


Mas

sim

o C

ampl

ani

( ) ( )( )

( )QωHaω+sQω+s

sQωH=sH /con /

/0012

002

00 =

Filtri del secondo ordineBand Pass Filter


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri SABIntro 1/2

I filtri biquadratici ad amplificatore singolo SAB sono composti da un unico stadio di amplificazione.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri SABIntro 2/2

I filtri biquadratici ad amplificatore singolo SAB sono composti da un unico stadio di amplificazione, e quindi sono particolarmente adatti per applicazioni che richiedono bassi consumi di energia. D'altro canto questi filtri sono notevolmente influenzati dalla larghezza di banda finita dell'amplificatore e risultano essere molto sensibili alle tolleranze degli elementi passivi utilizzati nella catena di controreazione.Questo tipo di filtro viene dunque utilizzato in genere in applicazioni con specifiche poco stringenti con fattori di merito Q < 10.

La sintesi dei filtri SAB consiste in due passi fondamentali:

Scelta della rete di controreazione per ottenere i poli della funzione di trasferimento in modo tale da rispettare le specifiche su .Scelta dei morsetti di ingresso per determinare gli zeri della funzione di trasferimento

Qeω 0


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri SABCatena di controreazione 1/4

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )sAst

sAXsAstX

XsA

XXXsA

XXXsA

XX

ii

i

fi

i

fi

i

s

o

+=

+

+=

+=

1

( )( )

fsi

of

io

XXX

XstXXsAX

−=

==

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )sAst

sAXsAstX

XsA

XXXsA

XXXsA

XX

ii

i

fi

i

fi

i

s

o

+=

+

+=

+=

1

( )( )

fsi

of

io

XXX

XstXXsAX

−=

==


Mas

sim

o C

ampl

ani


E' possibile dimostrare che per valori elevati del guadagno dell'operazionale (teoricamente infiniti), i poli del sistema a ciclo chiuso sono gli zeri della rete di controreazione:

( ) ( )( ) sDsN=st

Le più semplici reti che hanno una coppia di radici complesse coniugate al numeratore della loro funzione di trasferimento sono le reti bridget-T

Funzione di trasferimento

della rete di controreazione

I poli del sistema a ciclo

chiuso si possono ottenere da:

( )( ) 0 Se

1 01

=st=KK

=st=sKt+

p

p

∞

−)(


Mas

sim

o C

ampl

ani



Mas

sim

o C

ampl

ani


Consideriamo la prima delle reti mostrate nella figura precedente, come detto i poli del sistema a ciclo chiuso sono gli zeri della funzione di trasferimento della catena di controreazione. E’ possibile quindi trovare due relazioni che legano le specifiche di progetto (Q e ω0

) e i componenti della rete di controreazione.

( )4321321

2200

2

RRCC1+

R1

C1+

C1s+s=ω+sQω+s ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛/

Il valore dei componenti può essere facilmente determinato se si sceglie per primo il valore delle capacità:

1

213

4321

43210

11 1−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛C

+CR

RRCC=Q

RRCC=ω

4Q con

2Q ottiene si 111

243

03

21

=mmR=RR,=Rposto

ω=RC

C=

C=

C

,/


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri SABEsempi 1/5

Determinati i poli del sistema a ciclo chiuso, dobbiamo stabilire dove applicare l'ingresso. Infatti modificando il punto su cui applicare l’ingresso si ottengono differenti zeri nella funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso. L'ingresso del sistema può essere collegato a qualunque nodo connesso a massa, in questo modo non vengono modificati i poli del sistema.Per esempio un filtro passa banda può essere ottenuto con la rete (a) con il seguente circuito:


Mas

sim

o C

ampl

ani


La funzione di trasferimento di filtri SAB può essere facilmente ottenuta con una analisi nodale.

0

0

2345

44112

=−−

=−−∑eYeY :3 Nodo

eYEYeY :2 Nodo j

3443215

31

1

2

24

)()()()(

YYYYYYYYY=

sEsVsH

Ve

++++−=

= :ottiene si imponendo


Mas

sim

o C

ampl

ani


Applicando la funzione di trasferimento trovata al circuito passa banda mostrato precedentemente si ottiene infatti:.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−

21435435

2

41

11111

1

)(

RRCCRCCRss

sCR=sH

( )

qualità di fattore 1/ con

05

001

001

43

CQR

CHQQR

CHQR

CCCQ

sssH=sH

ωω

ω

αωαω

αω

2,2

)(

2

200

200

=−

=

=

===

++

Un’altra possibile scelta dei componenti può essere la seguente


Mas

sim

o C

ampl

ani

Un filtro passa basso invece può essere ottenuto con il seguente circuito:

52434312

2

5231

1111

1

)(

CCRRRRRCss

CCRR=sH+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−


( )


0

41

43

04

25

HRR

kCRR

kH

CR

kCCCCQ

ssH=sH

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−±=

===

++

,1

14112

,

)(

220

0

200

2

200

ω

αωα

αωαω

ω



Mas

sim

o C

ampl

ani

Un esempio di filtro passa alto può essere il seguente:

43524343

1

5

2

2

4

1

111)(

CCRRCCCCC

Rss

sCC

=sH+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−


( )

C/Hqualità di fattore 1/ con

0

05

02

031

CHR

HCR

CCCQ

sssH=sH

αω

ωα

αωαω

1212

,

)(

0

4

200

2

20

+=

+=

===

++



Mas

sim

o C

ampl

ani

Outline

L'amplificatore OperazionaleFiltri a Singolo PoloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello a doppio integratoreFiltri a capacità commutate


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri di Sallen e KeyIntro 1/2

Attraverso un amplificatore operazionale in configurazione non invertente è possibile realizzare un generatore di tensione controllato in tensione (VCVS) con guadagno K


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri di Sallen e KeyIntro 2/2

La struttura dei filtri di Sallen e Key è mostrata in figura:

))1(()()()()(

321443215

41

1

2

YYKYYYYYYYYKY=

sEsVsH

+−+++++−=

= :ottiene si Ve imponendo 24


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri di Sallen e KeyEsempio 1/3

Un filtro passa basso invece può essere ottenuto con il seguente circuito:

212122211

2

2121

1111)(

CCRRK

CRK

RRCss

CCRRK

=sH+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

( )

-3K otteniamo C,1/R R imponiamo se

2 qualità di fattore 1/ con

21

02

21

21

αω

αωα

ω

αωαω

ω

===

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=

=

>====

++

0

20

20

0

200

2

200

24112

1,

)(

HC

R

CRR

HKCCCQ

ssH=sH

Per rispettare le specifiche i componenti possono essere scelti con queste equazioni di progetto

Qeω 0


Mas

sim

o C

ampl

ani


Un esempio di filtro passa alto può essere il seguente:

2121112212

2

2

111)(

CCRRK

CRK

CRCRss

Ks=sH+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+++

( )

( )

-3K otteniamo C,1/R R imponiamo se


21

00

2

01

21

αω

αω

ωαα

αωαω

===

−+=

−++=

===

++

0

2

0

2

200

2

20

184

218

)(

HCR

CH

R

CCCQ

sssH=sH


Qeω 0


Mas

sim

o C

ampl

ani


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+++++

212132211122123

2

!1

1111111)(

RRCCRK

CRK

CRCRCRCRss

sRC

K

=sH

1213

1

)( 200

200

−−

=

==

==++

−

QQK ottiene si

CRR

CCC

ss

sH=sH

011

21

ω

ωαωαω

Un esempio di filtro passa banda può essere il seguente:


Qeω 0


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri di ordine elevatoE’ possibile realizzare filtri di ordine elevato utilizzando in cascata le celle elementari studiate. Il grosso vantaggio dei filtri attivi ottenuti con operazionali è quello di poter essere connessi in cascata senza rilevanti effetti di carico.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri di ordine elevato

)()()(0)()(

)()()(

)()(

)()(

)(

12

12

112

22

1

3

sHsHsHsZosZse

sHsZsZ

sZsH

sVsV

sH

ui

ui

i

==∞=+

==

H(s) è la funzione di trasferimento del sistema complessivo costituito da due celle in cascata. Questa è data dal prodotto delle due celle se la resistenza di uscita del primo blocco è pari a 0 o la resistenza di ingresso è pari a . Essendo comunque questa una condizione di idealità, se è rispettato Zi2

>>Zu1

la funzione di trasferimento totale è

approssimabile come il prodotto delle due funzioni di trasferimento.

∞


Mas

sim

o C

ampl

ani

Outline




Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouRisonatore RLC 1/2

Il risonatore RLC può essere utilizzato per ottenere circuiti che realizzano funzioni filtranti del secondo ordine. Applicando il segnale di ingresso nei diversi punti (x,y,z), si ottengono differenti funzioni filtranti, caratterizzate tutte dagli stessi poli caratteristici del sistema.

)()()()(

12

2

sZsZsZsH

+=


Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouRisonatore RLC 2/2

)/1()/1(/1)( 2 LCCRssLCsH++

=

)/1()/1()/1()( 2 LCCRss

CRssH++

=

)/1()/1()( 2

2

LCCRssssH

++=

CRQ

LC1

1

0

0

=

=

ω

ω

In tutti i casi si ottiene:


Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouSostituzione induttore

In letteratura sono presenti molti modelli di filtri che basano il loro funzionamento sulla sostituzione dell’induttore nel classico circuito RLC, con una rete RC e amplificatori operazionali. Uno dei circuiti che garantisce le migliori prestazioni è il circuito di Antoniou; il quale risulta poco sensibile alle non idealità degli amplificatori operazionali.

2

5314

RRRRCL =

2R


Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouRisonatore RLC

Si può dunque utilizzare l’induttore così ottenuto in un classico circuito RLC. E’ possibile inoltre inserire un blocco di guadagno k ottenuto con un amplificatore operazionale in configurazione non invertente per evitare qualsiasi effetto di carico.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouEquazioni di progetto

Il Risonatore mostrato precedentemente è caratterizzato da:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

==

531

2

4

66660

25316460 /

11

RRRR

CCRRCQ

RRRRCCLC

ω

ω

Una scelta che può essere fatta per rispettare le specifiche del filtro sui parametriè la seguente:

QRRedRR=R=R=RCRC=C=C

===

6

064 /1 posto ottiene si scelta

5321

ω

Qeω 0


Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouLPF


Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouHPF


Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouBPF


Mas

sim

o C

ampl

ani

Circuito di AntoniouTabella riassuntiva


Mas

sim

o C

ampl

ani

Outline




Mas

sim

o C

ampl

ani

Configurazione ad anello con doppio integratoreIntro 1/2

In questa sezione verranno illustrati alcuni tipi di filtri attivi basati sostanzialmente su due integratori connessi in cascata. Prendiamo in considerazione la funzione di trasferimento di un filtro biquadratico di tipo passa alto.

hphpihpi

hp Vs

VsQ

VHVQsssH

VV

2

200

0200

2

20 1

)/(ωω

ωω−−=⇒

++=

L’espressione trovata per Vhp può essere facilmente descritta dal seguente schema a blocchi.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Configurazione ad anello con doppio integratoreIntro 2/2

E’ possibile verificare facilmente come l’uscita del sommatore, l’uscita del primo integratore e l’uscita del secondo integratore siano rispettivamente una funzione passa alto, una funzione passa banda e una funzione passabasso.

ihp

hp

ihp

hp

Vs)s(ωs

H)Vs-(ω

)Vs-(ωUscita

Vs)s(ωssH

s)V-(ω

s)V-(ωUscita

200

2

20022

0

220

200

200

0

0

//

/

//

/

ωω

ωω

++=

°

++=

°

:eintegrator II

:eintegrator I Si può concludere che il circuito biquadratico ad anello con doppio integratore può essere utilizzato per ottenere le azioni filtranti di tipo LP, HP e BP contemporaneamente.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Configurazione ad anello con doppio integratoreFiltro KHN 1/2

Una possibile implementazione del filtro ad anello con doppio integratore può essere ottenuta mediante il filtro biquad Kerwin-Huelsman-Newcomb (biquad KHN).


Mas

sim

o C

ampl

ani

Configurazione ad anello con doppio integratoreFiltro KHN 2/2

L’analisi diretta del circuito ci porta a scrivere:

0

02

3

1

00

2

20

1

0

132

2

132

3

2

200

0

121

11

1

ω

ω

ωω

ωω

=

=−==

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

−−=

CR1 scelto avendo

(1/Q)-2

: e , su specifiche delle funzione in progetto di equazioni semplici le ottengono si cui da

HQRR

RR

QH

VsR

RV

sRR

RRR

VRR

RRR

V

Vs

VsQ

VHV

f

hpf

hpf

if

hp

hphpihp


Mas

sim

o C

ampl

ani

Configurazione ad anello con doppio integratoreFiltro Tow-Thomas 1/3

Il filtro biquad di Tow-Thomas è un’altra possibile implementazione del filtro a doppio integratore, in questo caso tutti gli amplificatori sono utilizzati in maniera single-ended. In questo caso però non è più disponibile l’uscita passa alto del segnale.


Mas

sim

o C

ampl

ani


Per ovviare a questo problema, il filtro di Tow-Thomas può essere utilizzato con schema a feedforward. In questo modo è possibile ottenere tutte le funzioni filtranti del secondo ordine

222

22

31

12

0

11

111

RCQCRss

RRCRRr

RCs

CCs

VV

i ++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=


Mas

sim

o C

ampl

ani


Le equazioni di progetto sono molto semplici e sono riassunte in tabella, specificatii componenti possono essere facilmente scelti come indicato in tabella:

All cases C,r= arbitrario, R=1/ω0 C

LP C1 =0, R1

=∞, R3 =∞, R2

=R/Gdc

Positive BP C1 =0, R1

=∞, R2 =∞,

R3 =Qr/Gcentrobanda

Negative BP C1 =0, R2

=∞, R3

=∞,R1 =R/Gcentrobanda

HP C1 =CxGhf

, R1 =∞, R2

=∞, R3 =∞

Qeω 0


Mas

sim

o C

ampl

ani

Outline

L'amplificatore OperazionaleFiltri a singolo poloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio



Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a capacità commutate

I principali svantaggi dei circuiti fin qui mostrati sono sostanzialmente dovuti all’impossibilità che essi possano essere inseriti in un unico circuito integrato monolitico e alla necessità di precise costanti di tempo RC per rispettare le specifiche di progetto. Dobbiamo considerare inoltre che i componenti in commercio assumono solo alcuni valori standard e con ben determinate tolleranze. Una soluzione a questi problemi è data dai circuiti a capacità commutata. Essi si basano sul concetto per cui una capacità a cui è collegato un interrutore può comportarsi come una resistenza se la velocità di commutazione dell’interruttore è sufficientemente alta.

2R


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a capacità commutateSe la frequenza fc con cui viene azionato l’interruttore è molto maggiore della frequenza del segnale di ingresso (sul morsetto A), il quale durante il tempo di commutazione Tc può essere considerato costante allora è possibile scrivere:

CTCf-VC(VT

-VC(VΔQ

ccBA

c

BA

//1/1

===Δ===

eqcc

c

R scrivere possiamo cui da )fQfIf :necommutazio di frequenza

) :spostata carica di quantita

1

2c2eq C

CTCR ==τ

Il vantaggio principale è dovuto al fatto che la costante di tempo dipende da un rapporto di capacità. In questo modo l’incertezza sul valore della costante di tempo è molto minore rispetto a quella che si ottiene con un classico circuito RC.


Mas

sim

o C

ampl

ani

Filtri a capacità commutate

Segnale di clock che pilota gliinterruttori

Transistor usati comeinterruttori

progetto di filtri attivi - home - dipartimento di ... · quando il segnale di ingresso ......

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