I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari

sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis,

sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut

diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan

memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak

pasti, dan kompetitif.

Salah satu materi yang dapat mengantar siswa untuk mampu berpikir logis, kritis,

analitis dan kreatif adalah program linier, sekaligus mengurangi anggapan bahwa program

linier itu sulit. Untuk itu guru sebagai fasilitator diharapkan mampu menciptakan suatu

kondisi pembelajaran dengan menggunakan pendekatan, strategi serta model pembelajaran

yang mampu mengantarkan siswa kepada tujuan pembelajaran.

Program linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya

yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan

meminimumkan biaya. Program Linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri,

militer, sosial dan lain-lain. Konsep dasar program linier telah ada pada jenjang pendidikan

dasar, yang dimulai pengenalan lambang bilangan yang direpresentasikan melalui gambar

benda di sekitar siswa, kemudian penjumlahan, pengurangan, perkalian serta

membandingkan banyaknya benda. Di Sekolah Menengah Pertama (SMP) konsep

diperluas melalui pembelajaran materi Sistem Persamaan Linier Satu Variabel (SPLSV),

kemudian ditingkatkan melalui materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV), di

Sekolah Menengah Atas (SMA) telah diperkenalkan sistem pertidaksamaan linier dan materi

khusus program linier yang menyajikan persoalan sehari-hari, kemudian menerjemahkan

permasalahan ke dalam model matematika, menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang

merupakan kendala atau pembatas, mencari penyelesaian optimum, menjawab

permasalahan. Metode yang digunakan adalah metode grafik dengan menggunakan uji

titiksudut dan garis selidik. Pada tingkat universitas, terdapat mata kuliah khusus program

linier yang membahas metode penyelesaian program linier yang tujuannya mencari

keuntungan maksimum dan mengeluarkan biaya minimum. Metode yang diberikan pada

universitas adalah metode grafik, metode simpleks, metode analisis dual, metode

transportasi.

Dengan melihat pengalaman dan kenyataan tersebut, tampak menarik apabila dikaji

secara khusus mengenai materi yang berkaitan dengan program linier. Pada kesempatan ini

penulis akan membahas pada materi yang berkaitan dengan program linier di satuan

121

pendidikan SMA/MA dan materi-materi yang terkait pada program linier pada satuan

pendidikan SD/MI, SMP/MTs, dan Perguruan Tinggi.

Biru = Universitas

Ungu = SMA/MA

Merah Jambu = SMP/MTsN

Abu-abu = SD/MI

122

PROGRAM LINIER

Pemrograman Linier Metode SimpleksTransportasi Analisis Dual

Bab II Kelas XII IPA

Program Linier

1. Pemodelan Matematika

2. Sistem Persamaan Linier (SPL)

3. Penyelesaian dengan metode Grafik/Metode gradien/metode titik uji sudut

4. Interpretasi Hasil optimum

PLSV, PLDV, SPLDV

1. Pengenalan Lambang Bilangan

2. operasi bilangan

3 Mengurutkan Bilangan

II PEMBAHASAN

I. TINGKAT UNIVERSITAS

A. PROGRAM LINIER

Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam

mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti

memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam

masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan

suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah

fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

a. Formulasi Permasalahan

Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan

mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas.

Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang

membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu

pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam

perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi

masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen

yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran

mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

b. Pembentukan model matematik

Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi

adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset

operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan

inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model

matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi

sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua

bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu

menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin

mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya

satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan.

Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik

dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

123

Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya

yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤

atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien

maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai

parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan

pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala

model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung

membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu

mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang

berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua

keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke

penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis

permasalahan.

Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik

sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat

dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh

karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :

Fungsi tujuan :

Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sumber daya yang membatasi :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm

x1, x2, …, xn ≥ 0

Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan

(xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk

mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan

terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol

a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang

membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya.

Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah

fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

124

Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif.

Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan

matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat

permodelan lebih mudah dan menarik.

Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting

adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi

tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi,

keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus

bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan,

koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.

B. METODE SIMPLEKS

Pada bagian terdahulu masalah program linear dengan dua peubah keputusan masih

dapat diselesaikan dengan metode grafik. Akan tetapi pada kenyataannya masalah program

linear yang dihadapi kebanyakan lebih dari dua peubah keputusan dengan berbagai macam

batasan, sehngga dipandang tidak efisien bila menggunakan metode grafik untuk mencari

penyelesaian optimumnya.

Menghadapi masalah program linear yang memiliki peubah keputusan lebih dari dua,

metode simpleks yang lebih efisien. Metode simpleks merupakan pengembangan metode

aljabar yang hanya menguji sebagaian dari jumlah penyelesaian yang layak dalam bantuan

tabel. Penggunaan dalam bentuk tabel ini membuat metode simpleks lebih siap untuk

digunakan dengan bantuan komputer.

a. Bentuk-Bentuk Masalah Program Linear

Kendala utama masalah program linear dapat berbentuk ∑i=1

k

ai x i≤ b i atau ∑j=1

k

a j x j=

b i, I = 1,2,3,4,… m (ada m banyaknya kendala, k peubah keputusan) kendala yang

berbentuk pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan beberapa cara sebagai berikut

(i) Bentuk kendala ∑j=1

k

aijxj ≤ bi. dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan st pada

ruas kiri sedimikian hingga ∑j=1

k

aij x j + st = bt dengan st ≥ 0. Dalam hal ini, st = 0, bila ∑j=1

k

aij x i

= bi dan sj > 0 bila ∑j=1

k

aij x j < bi

125

(ii) ∑j=1

k

aij x j < bi, dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan c1 pada ruas kanan

sedemikian sehingga ∑j=1

k

aij x j = b i + ti atau ∑j=1

k

aij x j=bi−t i, dengan bi ≥ 0

Sesuai dengan fungsinya, s1 disebut peubah kekurangan (slack variabel) dan t1 disebut

peubah kelebihan (surplus variabel).

Berdasarkan perubahan di atas, himpunan kendala utama akan berubah menjadi

susunan persamaan linear.

∑j=1

k

aij x j = bi, i = 1, …, m

ialah dengan memberi lambang peubah-peubah kekurangan atau kelebihan dengan xj

dimulai dari j = k + 1 samapi j = n. supaya penyelesaian susunan ini menjadi layak masih

harus dipenuhi kendala tidak negative

Xj ≥ 0, j = 1, …, n

Pada umumnya susunan persamaan linear (1) di atas termasuk jenis yang

mempunyai peyelesaian tidak terhingga banyaknya. Di antara peyelesaian (1) dicari yang

juga memenuhi kendala tidak negative (2), dan inipun pada umumnya masih tidak terhingga

banyaknya. Kemudian, diantara penyelesaian layak yang tidak terhingga banyaknya ini, kita

mencari yang mengoptimumkan fungsi tujuan, utnuk memperoleh penyelesaian yang

optimum

Untuk menyesuaikan dengan bentuyk kendala yang baru, fungsi tujuan yang semula

berbentuk

Z = ∑j=1

k

c j x j dilengkapi menjadi

Z = ∑j=1

k

c j x j dengan ck+1 = ck+2 = ck+3 …= cn = 0

Oleh karena itu, masalah program linear dapat digambarkan dalam berbagai bentuk

seperti maksimasi atau minimasi dan dengan kendala dapat pula berbentuk lebih kecil atau

sama dengan, sama dengan, atau lebih besar atau sama dengan (≤, =, ≥), maka diperlukan

suatu bentuk baku yang dapat memenuhi prosedur penyelesaian yang optimum. Bentuk

baku yang sudah umum digunakan untuk meyelesaikan model program linear dapat

dikemukakan sebagai berikut

1. bentuk baku

126

bentuk baku dari masalah program linear dengan m kendala dan n peubah,

merupakan bentuk umum program linear. Keutamaan dari bentuk baku ini adalah: (a)

fungsi tujuan berbentuk maksimum atau minimum, (b) semua kendala utama

digambarkan dalam bentuk persamaan, (c) semua peubah keputusan tidak negative, dan

(d) nilai ruas kanan setiap kendala tidak negative . dalam bentuk baku maslah program

linear dapat digambarkan bentuk soal sebagai berikut

mencari xj, j = 1, …, n

yang memenuhi ∑j=1

k

cij x j = bi I = 1, …, m

atau memaksimumkan atau meminimumkan

Z = ∑j=1

k

c j x j

Apabila fungsi tujuan diamaksimumkan maka soal disebut berpola maksimum , dan bila

fungsi tujuan diminimumkan maka soal disebut berpola minimum.

2. bentuk kanonik

bentuk kanonik mempunyai karakteristik sebagai berikut: (a) fungsi tujuan

berbentuk maksimasi atau minimasi, (b) semua kendala utama berbentuk lebih kecil atau

sama dengan (≤) untuk fungsi tujuan maksimum atau semua kendala utama berbentuk

lebih besar atau sama dengan (≥) untuk fungsi tujuan minimum, (c)semua peubah

keputusan tidak negative. Dalam bentuk kanonik masalah program linear dapat

digambarkan bentuk soal sebagai berikut:

mencari xj, j = 1,2 …n

yang memenuhi ∑j=1

k

cij x j, I = 1, … , m

x1 ≥ 0

untuk maksimumkan Z = ∑j=1

k

cij x j

hubungan dalam semua kendala utama berbentuk ¿ disebut berbentuk kanonik

maksimum

mencari xj, j = 1,2 …n

yang memenuhi ∑j=1

n

aij x j≥b, i = 1, … , m

x1 ≥ 0

untuk maksimumkan Z = ∑j=1

k

cij x j

hubungan dalam semua kendala utama berbentuk ≥ disebut berbentuk kanonik minimum

127

Contoh

Tulis bentuk baku dari soal yang berbunyi:

Mencari x,y yang memenuhi

5x + 4y ≤ 200

3x + 6y = 180

8x + 5y ≥ 160

x, y ≥ 0 kendala tidak negative

untuk meminimumkan Z = 4x + 5y

penyelesaian:

sisipkan peubah s pada kendala pertama dan peubah t pada kendala ketiga sehingga soal

menjadi:

mencari x, y, s, t yang memenuhi

5x + 4y + s = 200

3x + 6y = 180

8x + 5y - t = 160

x, y, s, t ≥ 0 kendala tidak negative

untuk meminimumkan Z = 4x + 5y + 0s + 0t

soal ini sudah berbentuk baku dengan x,y peubah asli, s peubah kekurangan dan t peubah

kelebihan

b. Tahapan-Tahapan Penyelesaian Metode Simpleks

1. Tahap pra analisis

i. mengenali masalah PL yang diajukan:

beberapa keterangan yang perlu diajukan pada tahap ini, yaitu apakah fungsi

tujuan

meminimumkan atau memaksimumkan?

Terdapat berapa banyak peubah asli?

Terdapat berapa banyakkendala utama?

ii. Konversi semua kendala kedalam bentuk baku (system persamaan)

Masukkan peubah kekurangan (slack) atau,

Masukkan peubah kelebihan (surplus) atau,

Masukkan peubah semu (artifisial)

2. Tahap analisis

128

i Tentukan pemecahan layak dasar (basis) awal

ii Sajikan data masalah PL ke dalam tabel simpleks awal

iii Tentuka kolom peubah yang akan masuk dalam dasar, kolom ini disebut kolom

kunci. Apabila masalah PL berpola maksimum keuntungan, maka penentuan

kolom kunci ini ditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang memepunyai nilai

negative terbesar (zj – cj ¸0). Dan apabila berpola minimum biaya, maka kolom

kunci ditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang mempunyai nilai positif terbesar (zj

– cj > 0)

iv Tentukan peubah yang akan keluar dasar (disebut baris kunci) dengan Ri yang

terkecil.

v Cari unsure baru yang terdapat pada baris kunci dengan cara membagi semua

unsur yang terdapat pada baris kunci dengan unsur kunci. Unsur kunci adalah

unsur yang terdapat pada persilangan pada baris kunci dengan kolom kunci.

vi Mencari unsure baru pada baris yang laindengan aturan unsure pada baris baru =

unsur pada baris lama dikurangi dengan hasil kali unsure pada kolom kunci

dengan unsur baru baris kunci.

vii Apabila penyelesaian optimum belum trcapai pada tabel yang bersangkutan, maka

ulangi kembali langkah (iii) sampai dengan ditemukannya penyelsaian optimum.

Penyelesaian optimum tercapai bila zj – cj ≤ 0 untuk semua j pada pola minimum.

Untuk mengoperasikan data-data soal dan menerapkan tahapan-tahapan di atas

disusun tabel yang kemudian disebut tabel simpleks sebagai berikut

Tabel simpleks

Maks/Min Ci

CB XB X1 X2 …. xn bn R1

CB1

CB2

.

.

.CBM

XB1

XB2

.

.

.XBM

a11

a21

.

.

.am1

a12

a22

.

.

.am2

….….….….….….

a1n

a2n

.

.

.amn

b1

b2

.

.

.bm

R1

R2

.

.

.Rm

zj Z1 Z2 …. zmn zzj - cj Z1-c1 Z2-c2 … Zn-cn

Keterangantabel:

CJ : koefisien ongkos dari fungsi tujuan dan koefisien peubah kekurangan/ kelebihan/

semu

CB : Koefisien ongkos untuk peubah dasar XB

129

XB : Peubah yang menjadi dasar dalam tabel yang ditinjau

Xj : Peubah-peubah lengkap (asli/kekurangan/kelebihan/semu)

aij : koefisien teknis

bi : suku tetap (tidak negatif) atau nilai ruas kanan setiap kendala

zj : ∑i=1

m

cBaij (hasil kali dari CB dengan kolom aij )

z : ∑i=1

m

cBbi (hasil kali dari CB dengan bi

zj - cj : selisih zj dengan cj

Apabila tabel bersangkutan belum optimal dan Xb terpilih sebagai dasar baru maka dibuat

kolom Ri yang diperoleh dengan Ri = biaek

, hanya untuk aek > 0.

c. Pemecahan awal yang layak

Penyelesaian masalh program linear dengan metode simpleks, menghendaki

adanya pemecahan awal yang layak pada awal perhitungan.tanpa adanya pemecahan awal

yang layak (dasar awal yang layak), maka tabel simpleks tidak dapat dibentuk. Hal demikian

tentu saja tidak dapat ditemui pad setiap permasalahn program linear. Untuk dapat

menyelesaikan permasalahn program linear sehingga didapat pemecahan awal yang layak.

Pendekatan dasar yangdapat ditempuh adalah dengan penambahan peubah semu (artificial

variabel).

Contoh

Tentukan x1 dan x2 tidak negative dan maksimumkan X = 4x1+5x2 yang memenuhi

5x1 + 4x2 ≤ 200

3x1 + 6x2 = 180

8x1 + 5x2 ≥ 160

X1, x2 ≥ 0

Soal diatas diuba ke bentuk baku dengan menyisipkan peubah kekurangan ke dalam

kendala ke-1 dan peubah kelebihan ke dalam kendala ke-3, sedang kendala ke-2 tidak

memerlukan karena sudah berbentuk persamaan, jadi aoal sekarang adalah

Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan

Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4

5x1+ 4x2 + x3 = 200

3x1 + 6x2 = 180

8x1 + 5x2 - x4 = 160 dan

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

130

sekarang dipeiksa apakah semua kendala utama tersebut memliki peubah dasar

yang layak?

Kendala ke-1 : memiliki peubah dasar yang layak yaitu x3

Kendala ke-2 : belum memiliki peubah dasar

Kendala ke-3 : memiliki peubah dasar tapi tidak layak, karena memuat nilai negative

untuk -x4

Oleh karena itu, tabel awal simpleks belum dapat dibuat. Untuk mendapatkan pemecahan

awal yang layak, maka kendala ke-2 dan ke-3 perlu ditambahkan peubah semu yang

bertindak sebagi peubah dasar yang layak.

Sebagai akibat, timbul syarat perlu supaya soal asli mempunyai penyelesaian optimum ialah

bahwa dalam tabel optimum peubah semu harus bernilai nol.

Denagn demikian diharapkan bahwa peubah semu segera keluar dari dasar karena koefisien

ongkosnya negative besar, sehingga soal menjadi:

Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan

Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 – Mx5 – Mx6

5x1+ 4x2 + x3 = 200

3x1 + 6x2 -x5 = 180

8x1 + 5x2 - x4 -x6 = 160 dan

x1, x2, x3, x4 , x5, x6 ≥ 0

sekarang soal sudah siap untuk dimasukan ke dalam tabel simpleks awal

C. ANALISIS PRIMAL - DUAL

Setiap persoalan program linier selalu mempunyai dua macam analisis, yaitu : analisis

primal dan analisis dual yang biasanya disebut analisis primal-dual.

Model Umum Persoalan Primal - Dual

Bentuk Primal:

Maksimumkan : ∑j=1

n

C jX j

syarat ikatan : ∑j=1

n

aij x j ≤ bi untuk i= 1, 2, 3, ...,m.

dan Xj ≥ 0, j = 1, 2, ... , n

Kalau akan dinyatakan menjadi Bentuk Dual :

131

Minimumkan : F = ∑i=1

m

b iY i

syarat ikatan : ∑i=1

m

aijY J ≥ Cj , untuk j= 1, 2, 3, ...,n.

Yi ≥ 0, I = 1,2,… m

Dimana: Zopt = ∑j=1

n

C jX j adalah samadengan Fopt = ∑i=1

m

biY i

Aturan umum dalam perumusan persoalan Program Linier menyangkut Bentuk Primal dan

Dual adalah :

Bentuk Primal Bentuk Dual

Memaksimumkan fungsi tujuanMeminimumkan fungsi tujuan, dan sebaliknya.

Koefisien fungsi tujuan (Cj )Nilai Sebelah Kanan (NSK) fungsi kendala

NSK fungsi kendala primal-primal (bi ) Koefisien fungsi tujuan

Koefisien peubah ke-j Koefisien kendala ke-j

Koefisien kendala ke-i Koefisien peubah ke-i

Peubah ke-j yang positif (≥ 0)

Kendala ke-j dengan tanda ketidaksamaan “lebihbesar daripada atau sama dengan “ (≥).

Peubah ke-j tandanya tidak dibatasiKendala ke-j yang bertanda sama dengan

Kendala ke-i yang bertanda sama denganPeubah ke-i tandanya tidak dibatasi

Kendala ke-i yang bertanda ketidaksamaan (≤) Peubah ke-i yang positif (≥)

D. METODE TRANSPORTASI

Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur

distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat-tempat yang

membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi produk ini harus diatur

sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau

beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.

Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:

132

1. Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah

Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang efisien.

2. Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil dulu. Lebih

efisien dibanding metode NWC.

Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:

1. Stepping Stone (batu loncatan)

2. Modified Distribution Method (MODI)

Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana

penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).

II. TINGKAT SMA

A. Merancang model matematika yang berkaitan dengan program linier

Program linier adalah suatu metode atau program untuk memecahkan masalah

optimasi yang mengandung kendala-kendala atau batasan-batasan yang dapat

diterjemahkan dalam bentuk system pertidaksamaan linier. Penyelesaian dari system

pertidaksamaan linier dapat disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian. Diantara

beberapa penyelesaian yang terdapat dalam daerah penyelesaian, terdapat satu

penyelesaian yang terbaik yang disebut penyelesaian optimum. Jadi, tujuan program linier

adalah mencari penyelesaian optimum yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai

minimum dari suatu fungsi. Fungsi sasaran disebut juga fungsi tujuan atau fungsi objektif.

Untuk dapat menyelesaikan program linier, terlebih dahulu kita harus terjemahkan

persoalan kedalam bahasa matematika disebut model matematika. Jadi, model matematika

adalah suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksamaan atau fungsi) yang

diperoleh dari hasil penafsiran suatu masalah program linier ke dalam bahasa matematika.

Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan

ketergantungan (fungsional) antara satu unsur dengan unsur lain. Komponen dari suatu

fungsi terdiri atas variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel adalah unsur pembentuk fungsi

yang mencerminkan/ mewakili faktor tertentu dan terdiri atas variabel bebas dan variabel tak

bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung variabel lain.

Sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya tergantung variabel lain.

Koefisien adalah bilangan yang terletak didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi.

Konstanta adalah bilangan yang membentuk sebuah fungsi tetapi tidak terkait dengan

variabel (berdiri sendiri). Sedangkan parameter adalah lambang-lambang yang mewakili

anggota sebarang dari semestanya.

Contoh:

133

Luas suatu lahan parker adalah 400 m2. Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masing-

masing adalah 8 m2 dan 24 m2. Lahan tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan.

Buatlah model matematika dari persoalan tersebut dengan memisalkan mobil yang sedang

diparkir sebanyak x dan bus sebanyak y.

Penyelesaian:

8x + 24y ≤ 400

x + y ≤ 20

Karena x dan y masing-masing menunjukkan banyak mobil dan bus, x dan y berupa

bilangan cacah. Jadi, model matematika persoalan tersebut adalah

8x + 24y ≤ 400

x + y ≤ 20

x ≥ 0, y ≥ 0

x, y € C

B. Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya

1. fungsi objektif ax + by

Tujuan yang hendak dicapai dalam suatu model matematika dinyatakan dalam bentuk

persamaan z = ax + by. Bentuk ax + by yang hendak dioptimumkan tersebut dinamakan

fungsi objektif.

2. menentukan nilai optimum fungsi objektif

Langkah-langkah untuk meyelesaikan persoalan program linier secara umum adalah:

1. Menerjemahkan permasalahan ke dalam model matematika

2. Menyelesaikan system pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas.

3. Mencari penyelesaian optimum

4. Menjawab permasalahan.

Berkaitan dengan hal tersebut, kita dapat menggunakan metode grafik yang terdiri atasa dua

macam cara, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik.

a. Metode uji titik sudut

Dengan menggunakan metode ini, nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by

ditentukan dengan menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat

pada daerah himpunan penyelesaian. Beberapa nilai yang diperoleh kemudian

134

dibandingkan. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by,

sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by.

Contoh:

Tentukan nilai optimum bentuk objektif dari model matematika berikut,

System pertidaksamaan linier dua variabel.

2x + y ≤ 30

2x + 3y ≤ 50

x ≥ 0, y ≥ 0, dengan x, y € C

Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y

Penyelesaian:

Titik potong garis dengan persamaan 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 50 dengan sumbu

koordinat dapat ditentukan dengan membuat tabel.

Tabel 2x + y = 30

x 0 15

y 30 0

(x,y) (0,30) (15,0)

Untuk 2x + 3y = 50

x 0 25

y 16 2/3 0

(x,y) (0,16 2/3) (25,0)

b. Metode garis selidik ax + by = k

Menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan uji titik sudut

memerlukan perhitungan dan waktu yang cukup lama. Untuk itu, sering digunakan

metode yang lebih sederhana, yaitu metode garis selidik yang berbentuk ax + by = k.

135

C(0,16 2/3)

(0,30)

B(10,10)

(25,0)A(15,0)O

Misalkan terdapat sutu fungsi objektif z = ax + by, dengan a dan b bilangan real. Dengan

mengambil beberapa nilai ki untuk z, yaitu k1, k2, …, kn, diperoleh n garis selidik yang

memiliki persamaan berikut

k1 = ax + by

k2 = ax + by

…

kn = ax + by

Garis-garis tyersebut mempunyai gradient yang sama, yaitu m = - a/b. dengan demikian,

garis-garis tersebut merupakan garis-garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagaian

dari garis-garis tersebut terletak pada daerah penyelesian pertidaksamaan linier (daerah

feasible) dan salah satu diantaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titik

optimum inilah yang menghasilkan nilai optimum bagi fungsi objektif z = ax + by. Garis

selidik yang berada paling kanan atau paling atas pada daerah penyelesaian

menunjukan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling kiri atau paling

baah daerah penyelesaian menunjukkan nilai minimum.

Contoh:

Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematia berikut.

System pertidaksamann linier dua variabel:

2x + y ≤ 30

2x + 3y ≤ 50

X, y ≥ 0, dengan x, y € C

Fungsi objektif memaksimumkan z = x + y

Penyelesaian:

Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k = 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita

buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0 , yaitu mengambil nilai k yang

berbeda-beda.

Dari gambar, tampak bahwa apabila nilai k makin besar, letak garis-garis x + y = k makin

jauh dari titik O(0,0). Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan nilai z

136

(0,30)

(15,0) (25,0)

(0,16 2/3)(10,10)

O

terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titk O (0,0). Nilai z

maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang memalui titik (10,10), yaitu 10 + 10 = 20 dan

nilai z minimum diperoleh Dario garis x + y = k yang melalui titik O (0,0) yaitu 0 + 0 = 0

Persamaan adalah

III. TINGKAT SMP

a. Persamaan Linear Satu Variabel

Bentuk umum persamaan linier satu variabel:

ax + c = 0

a = koefisien

x = variabel

c = konstanta

koefisien adalah bilangan yang menunjukkan faktor dari variabel

variabel adalah huruf atau lambang yang belum diketahui nilainya.

konstanta adalah bilangan tetap.

1. Sifat persamaan

Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya walaupun di tambah, di kurang, dikalikan

atau di bagi dengan suatu bilangan asalkan dilakukan pada kedua ruas.

2. Menyelesaikan persamaan linear satu variabel

Menyelesaikan suatu persamaan adalah mencari pengganti ini dari suatu variabel dengan

suatu bilangan sehingga kalimat matematika terbuka tersebut menjadi kalimat matematika

tertutup yang bernilai benar.

3. Langkah-langkah menyelesaikan persamaan linier satu variabel

Mengumpulkan suku sejenis

Variabel dan konstanta dipisahkan dan dikumpulkan masing-masing dalam satu ruas

137

Menyederhanakan tiap ruas

Menyederhanakan baik variabel maupun konstanta yang sudah terkumpul dalam

masing-masing ruas.

Membagi kedua ruas dengan koeffisien variabel

Apabila koefisien variabelnya belum -1 maka kedua ruas dibagi dengan koefisien

variabelnya sehingga diperoleh koefisien dari variabelnya -1.

Pertidaksamaan inier satu variabel

Pertidaksamaan inier satu variabel adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan

hubungan tidak sama (<, > ≤, ≥ )

Sifat pertidaksamaan:

Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya walaupun dikali/ dibagi dengan bilangan

negative asalkan tanda pertidaksamaannya dirubah arahnya.

b. Persamaan Linear Dua Variabel

1. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan atau

dalam defenisi lain persamaan (equation) adalah pernyataan yang berbentuk A = B, dimana

A disebut ruas kiri atau pihak kiri dan B disebut ruas kanan atau pihak kanan. Selama siswa

menerapkan operasi yang sama terhadap kedua ruas persamaan, maka siswa akan

memperoleh persamaan-persamaan yang setara. Siswa dapat menjumlahkan,

mengurangkan, mengalikan atau membagi kedua ruas suatu persamaan oleh nilai yang

sama dan mendapatkan suatu persamaan yang ekuivalen. Satu-satunya pengecualian yaitu

mengalikan dan membagi dengan nol, itu tidak dibolehkan.

Persamaan garis lurus pada bidang Cartesius dapat dinyatakan dalam bentuk ax +

by = c dengan a, b, c konstanta real dengan a, b ≥ 0, dan x, y adalah variabel pada

himpunan bilangan real. Perhatikan persamaan-persamaan berikut.

a. x + 5 = y

b. 2a – b = 1

c. 3p + 9q = 4

Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel.

Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada persamaan 2a – b = 1

adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3p + 9q = 4 adalah p dan q. Perhatikan

bahwa pada setiap contoh persamaan di atas,

138

banyaknya variabel ada dua dan masing-masing berpangkat satu. Persamaan linear dua

variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c R, a, b ≠0, dan x, y

suatu variabel.

2. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan persamaan x + y = 5. Persamaan x + y = 5 masih merupakan kalimat

terbuka, artinya belum mempunyai nilai kebenaran. Jika nilai x kita ganti bilangan 1 maka

nilai y yang memenuhi adalah 4. Karena pasangan bilangan (1, 4) memenuhi persamaan

tersebut, maka persamaan x + y = 5 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan

bahwa (1, 4) merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 5.

C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

a. Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan

variabelnya berpangkat satu. Sedangkan persamaan ax + by + c = 0 dengan a, b dan c € R

dan a, b ≠ 0 dinamakan persamaan linear dua variabel. Suatu konstanta tersebut mengubah

persamaan itu menjadi kalimat yang bernilai benar. Himpunan semua konstanta yang

memenuhi persamaan itu disebut himpunan penyelesaian. Persamaan-persamaan seperti

2x + 5y + 8 = 0, 2y – 6x = 9, 3m + n = 9 adalah bentuk-bentuk persamaan linear dua

variabel.

Sistem persamaan linear dua variabel dalam x dan y adalah suatu susunan x dan y

yang merupakan kesatuan-kesatuan yang masing-masing tidak berdiri sendiri, tetapi

berfungsi membentuk kesatuan secara keseluruhan yang berbentuk ax + by = c, dimana a,b

adalah koefisien dan c adalah konstanta, a dan b tidak sama dengan nol.

Jika diketahui dua persamaan linear dua variabel, yaitu:

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Maka kedua persamaan diatas dikatakan sistem persamaan linear dua variabel

dalam bentuk baku. Koordinat titik (x,y) yang memenuhi kedua persamaan itu dikatakan

penyelesaian SPLDV tersebut.

b. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV

Dalam menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear dua variabel ada beberapa

metode yang digunakan, yaitu:

Metode Grafik

Grafik dari dua persamaan adalah berupa dua buah garis. Dalam metode grafik ada

tiga hal yang perlu diperhatikan yaitu:

139

1) Jika kedua garis itu berpotongan, maka titik potongnya merupakan

penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

2) Jika kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaiannya tak berhingga.

3) Jika kedua garis itu sejajar, maka sistem persamaan tersebut tidak memiliki

penyelesaian.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 6, x,y € R

dengan metode grafik.

Jawab:

Langkah 1:

Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu X (y = 0) dan sumbu Y (x = 0).

1) x + 2y = 10

x y (x,y)

0 5 (0,5)

10 0 (10,0)

2) x + y = 6,

x y (x,y)

0 6 (0,6)

6 0 (6,0)

Langkah 2:

Menggambar grafik dari kedua persamaan linear dengan memperhatikan koordinat-koordinat

titik potongnya pada suatu sistem koordinat kartesius yaitu:

140

OX

Y

(0,6)

(2,4)

(6,0)

(0,-7)

(6,0)

x + 2y = 10

x + y = 6

Dengan melihat grafik diatas maka dapat ditentukan bahwa kedua garis dari persamaan

tersebut berpotongan pada titik (2,4). Maka himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y =

10 dan x + y = 6 adalah { (2,4) }.

Metode eliminasi

Eliminasi artinya proses menghilangkan salah satu variabel untuk menentukan nilai

variabel lainnya dan sebaliknya.

Adapun langkah-langkah yang digunakan untuk mengeliminasi variabel x atau y

adalah sebagai berikut:

1) Perhatikan salah satu variabel dari masing-masing persamaan. Jika

koefisiennya sama, perkurangkan persamaan (1) dan (2), dan jika berbeda

tanda jumlahkan.

2) Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisien dengan mengalikan persamaan-

persamaan dengan konstanta yang sesuai, kemudian lakukan operasi

penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah pertama.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara

eliminasi:

x + 2y = 10

x + y = 6, x,y € R

Jawab:

Misalnya yang pertama-tama akan dieliminasi adalah variabel y. Karena koefisiennya tidak

sama, maka persamaan (1) dan (2) diperkalikan dengan konstanta yang bersesuaian

sehingga koefisien y dari masing-masing persamaan menjadi sama.

x + 2y = 10 × 1 x + 2y = 10

x + y = 6 × 2 2x + 2y = 12 (tanda sama maka diperkurangkan)

-x = -2

x = 2

Untuk mengeliminasi variabel x, maka langsung diperkurangkan

x + 2y = 10

141

_

x + y = 6 (tanda sama maka diperkurangkan)

y = 4

Diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut

adalah { (2,4) }.

Metode substitusi

Kata “substitusi” sama artinya dengan “pengganti”, maka yang dimaksud dengan

menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah dengan metode substitusi

adalah terlebih dahulu menyatakan variabel yang satu ke variabel yang lainnya pada salah

satu persamaan, kemudian mensubstitusi (mengganti) variabel tadi ke persamaan yang

satunya lagi.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode

substitusi, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1) Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu variabel persamaan

tersebut ke dalam variabel yang lain sehingga diperoleh persamaan baru.

2) Substitusi persamaan yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang

kedua sehingga diperoleh persamaan linear satu variabel. Kemudian selesaikan

persamaan tersebut sehingga diperoleh nilai salah satu variabel.

3) Substitusi nilai yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan yang

diperoleh pada langkah pertama sehingga diperoleh nilai variabel yang kedua.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut ini:

x + 2y = 10

x + y = 6, x,y € R

Jawab:

Misalkan: x + 2y = 10 . . . (1)

x + y = 6, . . . (2)

Langkah 1

Dari persamaan (1) yaitu x + 2y = 10 dinyatakan ke dalam variabel x sehingga

diperoleh x = 10 – 2y . . . (3)

Langkah 2

142

_

Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (2), sehingga diperoleh:

(10 – 2y) + y = 6

<=> – y = 6 – 10

<=> – y = – 4

<=> y = 4

Langkah 3

Substitusikan y = 4 ke persamaan (3), diperoleh:

x = 10 – 2 (4) = 2

Dari langkah-langkah diatas maka diperoleh bahwa nilai x = 2 dan y = 4. Jadi,

himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah { (2,4) }.

Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi

Metode gabungan eliminasi dan substitusi merupakan salah satu cara untuk

menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan mengeliminasi salah satu

variabel kemudian dilanjutkan dengan mensubstitusi nilai variabel yang diperoleh ke dalam

salah satu persamaannya.

III TINGKAT SD

A. Pengenalan Lambang Bilangan

Pada satuan pendidikan SD/MI diberikan pengenalan lambang bilangan melalui

gambar.

=

=

143

=

B. Operasi Hitung

Tamu yang datang 5 orang, kemudian dating lagi tamu 3 orang

+ =

Banyaknya tamu sekarang adalah 8 orang

Indra membawa 4 permen, kemudian ia memberikan ardi 1 permen .

-

Permen indra menjadi ________

=

C. Melakukan operasi hitung perkalian

144

+ +

Ada 3 piring yang berisi jeruk. Setiap piring berisi 6 buah jeruk. Banyak jeruk seluruhnya

dapat dihitung dengan cara. 6 + 6 + 6 = 18

Bentuk 6 + 6 + 6 menunjukkan penjumlahan angka 6 sebanyak 3 kali.

Jadi, 6 + 6 + 6 dapat ditulis menjadi perkalian 3 × 6 = 18.

D. Membandingkan banyak benda

Nanang memiliki enam belas ekor burung merpati, Adit memiliki dua belas ekor burung

merpati. Manakah yang lebih banyak burung merpati Nanang atau burung merpati Adit ?

perhatikan gambar berikut

burung merpati Nanang

Burung merpati Adit

Burung merpati Nanang 16 ekor, sedangkan burung merpati Adit 12 ekor.

Jadi burung merpati Nanang lebih banyak dibanding burung merpati Adit

145

III PENUTUP

A. KESIMPULAN

Berdasarkan kajian materi di atas, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa konsep

dasar materi program linier telah diperkenalkan pada jenjang pendidikan dasar yaitu di

SD/MI yang dimulai dari pengenalan lambang bilangan yang direpresentasikan melalui

gambar yang ada di sekeliling siswa, melaukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan

pembagian serta membandingkan banyaknya benda. Di jenjang pendidikan menengah yaitu

SMP/MTs telah diperkenalkan persamaan linier satu variabel dan persamaan linier dua

variabel serta system persamaan linier dua variabel. Pada tingkat SMA/MA terdapat materi

khusus di kelas XII yaitu program linier yang membahas menerjemahkan permasalahan ke

dalam model matematika, menyelesaikan system pertidaksamaan yang merupakan kendala

atau pembatas, mencari penyelesaian optimum, menjawab permasalahan. Metode yang

digunakan adalah metode grafik dengan menggunakan uji titik sudut dan garis selidik. Pada

tingkat universitas, terdapat mata kuliah khusus program linier yang membahas metode

penyelesaian program linier yang tujuannya mencari keuntungan maksimum dan

mengeluarkan biaya minimum. Metode yang diberikan pada universitas adalah metode

grafik, metode simpleks, metode analisis dual, metode transportasi.

B. SARAN

Diharapkan kepada guru:

1. Memperdalam konsep matematika siswa, khususnya yang mengajar pada pendidikan

dasar.

2. Sebelum membelajarkan materi program linier, terlebih dahulu memperdalam materi

prasyarat.

3. Mampu menciptakan lingkungan belajar yang menyenangkan sehingga materi dapat

terserap dengan baik.

146

4. Dapat menyampaikan alternatif solusi permasalahan program linier yang lebih praktis

khususnya dalam menjawab soal ujian nasional.

DAFTAR PUSTAKA

Agus, Nunik Afianti. 2007. Mudah Belajar Matematika. Departemen Pendidikan Nasional.

Jakarta

Siswanto. 2007. Matematika Inovatif 3A konsep dan aplikasinya. Solo. Tiga Serangkai

Tiro Arif, Bernard. 2004. Pengenalan Manajemen Sains. Andira Publisher. Makassar

Wahyuni Tri dan Nuharini Dewi. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya. Departemen

Pendidikan Nasional. Usaha Makmur. Surakarta.

147