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Programa de Topologıa General

Enrique Artal Bartolo

Jose Ignacio Cogolludo Agustın

Curso 2005/2006

Departamento de Matematicas, Universidad de Zaragoza, Campus

Plaza San Francisco s/n, E-50009 Zaragoza SPAIN

E-mail address : [email protected],[email protected]

Indice general

Capıtulo 1. Topologıa en Rn 5

Tema 1. Distancia euclıdea y continuidad 5

Tema 2. Entornos metricos de un punto y abiertos de Rn 9

Capıtulo 2. Espacios topologicos y espacios metricos 15

Tema 1. Definicion y primeros ejemplos 15

Tema 2. Espacios (seudo)metricos y (seudo)metrizables 22

Capıtulo 3. Posicion de un punto con respecto a un conjunto 31

Tema 1. Cerrados 31

Tema 2. Entornos 35

Tema 3. Subespacios 39

Tema 4. Clausura 43

Tema 5. Interior 46

Tema 6. Exterior, frontera, aislado y derivado 48

Tema 7. Aplicaciones abiertas y cerradas 50

Capıtulo 4. Bases 55

Tema 1. Bases de entornos 55

Tema 2. Bases de abiertos 59

Tema 3. Subbases 65

Capıtulo 5. Axiomas de numerabilidad y convergencia de sucesiones 67

Tema 1. Separabilidad 67

Tema 2. Primer axioma de numerabilidad 69

Tema 3. Segundo axioma de numerabilidad 70

Tema 4. Convergencia de sucesiones 71

Capıtulo 6. Axiomas de separacion 75

Tema 1. Axiomas de separacion: conceptos basicos 75

Capıtulo 7. Construccion de topologıas 81

Tema 1. Topologıas iniciales: imagen inversa y producto finito 81

Tema 2. Productos numerables 88

3

4 INDICE GENERAL

Tema 3. Topologıas finales: cociente 92

Tema 4. Topologıas finales: identificacion y suma topologica 98

Capıtulo 8. Axiomas de recubrimiento 103

Tema 1. Compacidad 103

Tema 2. Compacidad y sucesiones 109

Tema 3. Compacidad y espacios Lindelof 111

Tema 4. Espacios localmente compactos 113

Tema 5. Compactificacion de Alexandroff 115

Capıtulo 9. Espacios de Baire 117

Tema 1. Espacios de primera y segunda categorıa 117

Tema 2. Espacios de Baire 119

Capıtulo 10. Espacios conexos 121

Tema 1. Definicion y primeros ejemplos 121

Tema 2. Conexion local 126

Tema 3. Conexion por caminos 130

Tema 4. Conexion local por caminos 135

Apendice A. Generalidades de teorıa de conjuntos 137

Tema 1. Conceptos basicos 137

Tema 2. Aplicaciones 140

Tema 3. Operaciones extendidas de conjuntos 146

Tema 4. Propiedades de los numeros reales 152

Tema 5. Cardinales 153

Apendice. Indice alfabetico 159

CAPıTULO 1

Topologıa en Rn

Tema 1. Distancia euclıdea y continuidad

A lo largo de los proximos temas iremos reescribiendo algunos de los conceptos

topologicos ya conocidos por el alumno para adaptarlos al concepto general de

topologıa. Recordemos, por ejemplo, la definicion de una aplicacion continua en R:

Definicion 1.1.1 (continuidad(1)). Sea f : A → R una funcion, A ⊂ R.

Diremos que f es continua en x0 ∈ A si se cumple la propiedad siguiente:

∀ε > 0,∃δ > 0 tal que si x ∈ A y |x− x0| < δ, entonces |f(x)− f(x0)| < ε.

Diremos que f es continua si lo es en x0 para todo x0 ∈ A.

En esta definicion aparece implıcito el concepto de distancia en R. Vamos a

definir la aplicacion d : R× R→ R tal que si x, y ∈ R, se tiene d(x, y) := |x− y|,(a esta aplicacion la llamaremos mas adelante distancia). Ası podemos reescribir

la Definicion 1.1.1 continuidad(1) del siguiente modo:

Proposicion 1.1.2 (continuidad(2)). Sea f : A → R una funcion, A ⊂ R,

entonces f es continua en x0 ∈ A si y solo si se cumple la propiedad siguiente:

∀ε > 0,∃δ > 0 tal que si x ∈ A y d(x, x0) < δ, entonces d(f(x), f(x0)) < ε.

Observemos que la funcion distancia d verifica las siguientes propiedades:

(D1) ∀x, y, d(x, y) ≥ 0.

(D2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

(D3) ∀x, y, d(x, y) = d(y, x).

(D4) ∀x, y, z, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) (desigualdad triangular).

El siguiente paso sera obtener una funcion que describa la distancia entre

dos puntos de Rn := {(x1, . . . , xn) | x1, . . . , xn ∈ R}. Para ello utilizaremos una

generalizacion del teorema de Pitagoras.

5

6 1. TOPOLOGIA EN Rn

Definicion 1.1.3. Llamaremos distancia euclıdea en Rn a la aplicacion d2n :

Rn × Rn → R dada por

(x, y) := ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) 7→ d2n(x, y) :=

√√√√n∑

j=1

(xj − yj)2.

Ejercicio 1.1. ♠ Probar que la distancia euclıdea d2n en Rn verifica las pro-

piedades (D1), (D2), (D3) y (D4).

Ayuda. Para probar (D4) conviene observar que d2n(x, y) =

√〈x− y, x− y〉,

donde 〈u, v〉 =∑n

i=1 uivi, es un producto escalar 1 y aplicar el siguiente resultado

de algebra lineal.

Teorema 1.1.4 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Sea V un espacio vecto-

rial sobre R y 〈−,−〉 : V × V → R un producto escalar sobre V . Entonces, si

v, w ∈ V se tiene

|〈v, w〉| ≤√〈v, v〉

√〈w,w〉.

Ahora estamos en disposicion de extender la definicion de continuidad de fun-

ciones a Rn del siguiente modo:

Definicion 1.1.5 (continuidad(3)). Sea f : A → R (A ⊂ Rn) una funcion

y x0 ∈ A, entonces f es continua en x0 si:

∀ε > 0,∃δ > 0 tal que si x ∈ A y d2n(x, x0) < δ, entonces d2

1(f(x), f(x0)) < ε.

Analogamente, diremos que f es continua si lo es en x0 para todo x0 ∈ A.

Ejemplo 1.1.6. Las proyecciones πk : Rn → R (k = 1, ..., n), definidas por

πk(x1, ..., xn) = xk son continuas.

Observaciones 1.1.7. Pronto tendremos herramientas para demostrar las

siguientes afirmaciones.

(1) Toda aplicacion lineal f : A → B con A ⊂ Rn y B ⊂ Rm es continua.

(2) Las aplicaciones polinomicas, racionales, trigonometricas, o composicio-

nes, sumas, productos o fracciones de las anteriores son continuas sobre

su dominio.

(3) Las aplicaciones x 7→ + k√

x (k par) son continuas en (0, +∞). Las aplica-

ciones x 7→ k√

x (k impar) son continuas en R.

El siguiente paso consistira en extender la definicion de continuidad a aplica-

ciones de Rn en Rm.

1Recordemos que un producto escalar en un espacio vectorial real V es una forma bilineal,simetrica, definida positiva.

TEMA 1. DISTANCIA EUCLIDEA Y CONTINUIDAD 7

Definicion 1.1.8 (continuidad(4)). La aplicacion f : A → B, (A ⊂ Rn y

B ⊂ Rm) es continua en x0 ∈ A si:

∀ε > 0, ∃δ > 0 t.q si x ∈ A y d2n(x, x0) < δ, entonces d2

m(f(x), f(x0)) < ε.

Se dice que f es continua si lo es para todo x ∈ A.

Observacion 1.1.9. Toda aplicacion f : A → B, (A ⊂ Rn y B ⊂ Rm) queda

determinada por m funciones fi : A → R, i = 1, . . . , m, tales que si x ∈ A,

f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)) ∈ B. Utilizando esta notacion se podrıa haber definido

la continuidad del siguiente modo.

Definicion 1.1.10 (continuidad(4a)). Diremos que f es continua en x =

(x1, ..., xn) si la funcion fi es continua en x, i = 1, . . . , m. Analogamente, f es

continua si lo es para todo x ∈ A ⊂ Rn.

Ejercicio 1.2. ♠ Demuestra que las Definiciones 1.1.8 y 1.1.10 son equiva-

lentes.

Ejercicio 1.3. ♠ Demuestra que si f : A → B es continua en x0 ∈ A ⊂ Rn

y g : B → C es continua en f(x0) ∈ B ⊂ Rm, entonces g ◦ f : A → C ⊂Rs es continua en x0. Con este resultado se comprueban las afirmaciones de las

Observaciones 1.1.7.

A continuacion vamos a introducir un tipo de subconjuntos de Rn que nos

permitiran dar un salto cualitativo en las definiciones anteriores.

Definicion 1.1.11. Sea x0 ∈ Rn, definimos los siguientes subconjuntos de Rn:

(1) Dado ε > 0 la bola (abierta) de centro x0 y radio ε es

Bn(x0; ε) := {x ∈ Rn | d2n(x, x0) < ε}.

(2) Dado ε ≥ 0 la bola cerrada (o disco) de centro x0 y radio ε es

Dn(x0; ε) := {x ∈ Rn | d2n(x, x0) ≤ ε}.

(3) Dado ε ≥ 0 la esfera de centro x0 y radio ε es

Sn(x0; ε) := {x ∈ Rn | d2n(x, x0) = ε}.

Observacion 1.1.12. Observa que, por definicion:

(1) Bn(x, ε1) ⊂ Bn(x, ε2) si y solo si ε1 ≤ ε2,

(2) Bn(x0; ε) ∩ Sn(x0; ε) = ∅ y

(3) Bn(x0; ε) ∪ Sn(x0; ε) = Dn(x0; ε).


Este tipo de conjuntos permiten reescribir la condicion de continuidad de un

modo que nos aproxima mas al lenguaje de la topologıa.

Proposicion 1.1.13 (continuidad(5)). Si f : A → B es una aplicacion con

A ⊂ Rn y B ⊂ Rm, entonces f es continua en x0 ∈ A si:

∀ε > 0,∃δ > 0 tal que si x ∈ A ∩ Bn(x0; δ), entonces f(x) ∈ B ∩ Bm(f(x0); ε);

o equivalentemente si,

∀ε > 0,∃δ > 0 tal que f(A ∩ Bn(x0; δ)) ⊂ B ∩ Bm(f(x0); ε).

Ejercicio 1.4. ♠ Vamos a probar un resultado sobre la continuidad de apli-

caciones definidas a trozos. Supongamos que A1, A2 ⊂ Rn, que B ⊂ Rm y que A1

y A2 cumplen las siguientes propiedades:

(1.1)∀a1 ∈ A1 \ A2 se tiene que d2

n(a1, A2) := ınf{d2n(a1, x) | x ∈ A2} > 0

∀a2 ∈ A2 \ A1 se tiene que d2n(a2, A1) := ınf{d2

n(a2, x) | x ∈ A1} > 0

(es decir, todo punto de A1 que no este en A2 se encuentra a una distancia positiva

de A2, y viceversa). Demuestra que si f1 : A1 → B y f2 : A2 → B son aplicaciones

continuas tal que f1(a) = f2(a), ∀a ∈ A1 ∩ A2, entonces la aplicacion

f : A := A1 ∪ A2 → B

x 7→

f1(x) si x ∈ A1

f2(x) si x ∈ A2,

es tambien continua.

TEMA 2. ENTORNOS METRICOS DE UN PUNTO Y ABIERTOS DE Rn 9

Tema 2. Entornos metricos de un punto y abiertos de Rn

Vamos a introducir los conceptos de entorno de un punto y abierto para entender

aun mas lo esencial de la definicion de continuidad.

Definicion 1.2.1. Sea x ∈ Rn y sea Ux ⊂ Rn. Diremos que Ux es un entorno

metrico de x en Rn si existe ε > 0 tal que Bn(x; ε) ⊂ Ux. Si x ∈ Ux ⊂ A ⊂Rn, diremos que Ux es un entorno metrico de x en A si existe ε > 0 tal que

Bn(x; ε) ∩ A ⊂ Ux.

A menudo utilizaremos la notacion Ux ⊂ A para indicar entorno metrico de x

en A.

Ejemplos 1.2.2.

(1) Por definicion, el propio conjunto Bn(x; ε) es un entorno metrico del centro

x. Analogamente, si x ∈ A, entonces A ∩ Bn(x; ε) es entorno metrico de

x en A.

(2) El disco Dn(x; ε) de radio positivo (ε > 0) es tambien entorno metrico

de su centro x, ya que x ∈ Bn(x; ε) ⊂ Dn(x; ε). Analogamente, si x ∈ A,

entonces A ∩ Dn(x; ε) es entorno metrico de x en A.

(3) El conjunto B := B1(x1; ε)×B1(x2; ε)×...×B1(xn; ε) es entorno metrico en

Rn del punto x := (x1, ..., xn). El motivo es que la bola Bn(x; ε) ⊂ B. Para

ver esto, basta probar que si y = (y1, ..., yn) ∈ Rn cumple d2n(x, y) < ε,

entonces (x1−y1)2 + ...+(xn−yn)2 < ε2, por lo tanto (xi−yi)

2 < ε2 para

todo i = 1, ..., n (ya que todos los sumandos son no negativos). Por tanto,

si d2n(x, y) < ε, entonces |xi − yi| = d2

1(xi, yi) < ε, es decir, yi ∈ B1(xi; ε)

para todo i = 1, ..., n, luego y ∈ B. Analogamente, si x ∈ A ⊂ Rn,

entonces A ∩B es entorno metrico de x en A.

(4) En general, si Ux0 ⊂ Rn es entorno metrico de x0 y ademas x0 ∈ A ⊂Rn entonces Ux0 ∩ A es entorno metrico de x0 en A. El motivo es que

como existe ε > 0 tal que Bn(x; ε) ⊂ Ux0 , entonces tambien se tiene que

Bn(x; ε) ∩ A ⊂ Ux0 ∩ A, es decir, que Ux0 ∩ A es entorno metrico de x0

en A.

(5) El conjunto [−1, 1] es entorno metrico de 0 (por el apartado 2), pero no es

entorno metrico de 1 ya que para cualquier ε > 0, 1 + ε2∈ B1(1; ε), pero

1 + ε26∈ [−1, 1], por lo tanto B1(1; ε) 6⊂ [−1, 1]. Analogamente, [−1, 1]

tampoco es entorno metrico de −1 en R. En cambio, si consideramos

[−1, 1] ∩ Z = {−1, 0, 1}, entonces este es entorno metrico de 0 en Z (por

el apartado 4 ya que es entorno metrico de 0 en R) y tambien es entorno


metrico de 1 en Z. El motivo para esto ultimo es que si tomamos ε = 1

se tiene que B1(1; ε) ∩ Z = {1} ⊂ [−1, 1] ∩ Z = {−1, 0, 1}. Analogamente

[−1, 1] ∩ Z es entorno metrico de −1 en Z.

(6) En general el intervalo A = [a, b] es entorno metrico de c ∈ R si y solo

si a < c < b. Sea c ∈ R tal que a < c < b, entonces basta tomar

ε = mın{c − a, b − c}. En tal caso c ∈ B1(c; ε) ⊂ A. Recıprocamente,

si c > b o bien c < a, (es decir, si c 6∈ A) entonces es obvio que A no

puede ser entorno metrico de c. Por ultimo, basta ver que A no es entorno

metrico ni de a ni de b, pero esto es inmediato ya que para cualquier ε > 0

se tiene que a − ε2∈ B1(a; ε) pero en cambio a − ε

26∈ A (analogamente

b + ε2∈ B1(b; ε) pero en cambio b + ε

26∈ A).

A partir del concepto de entorno metrico podemos reescribir una vez mas la

definicion de aplicacion continua del siguiente modo.

Proposicion 1.2.3 (continuidad(6)). Sea f : A → B una aplicacion (A ⊂Rn y B ⊂ Rm), sea x0 ∈ A, entonces f es continua en x0 si: ∀V f(x0) ⊂ B (entorno

metrico de f(x0) en B), ∃Ux0 ⊂ A (entorno metrico de x0 en A) de modo que

f(Ux0) ⊂ V f(x0).

Como vimos en el Ejemplo 1.2.2(4), hay conjuntos que no son entornos metricos

de todos sus puntos como es el caso de [−1, 1], mientras que otros, como [−1, 1]∩Zsı son entornos metricos de todos sus puntos en Z. Esta propiedad recibe un nombre

especial en topologıa y es uno de los conceptos mas basicos en este curso.

Definicion 1.2.4. Sea U ⊂ Rn, diremos que U es un abierto de Rn si U es

entorno metrico de x en Rn para todo x ∈ U . Analogamente, si U ⊂ A ⊂ Rn,

diremos que U es un abierto de A si U es entorno metrico de x en A para todo

x ∈ U .

Ejemplos 1.2.5.

(1) Los intervalos abiertos (a, b) ⊂ R son conjuntos abiertos en R. El motivo es

el siguiente: sea x ∈ (a, b), entonces tomemos ε := mın{d21(a, x), d2

1(b, x)}.Veamos que B1(x; ε) ⊂ (a, b), es decir, que si d2

1(x, y) < ε, entonces y ∈(a, b). Supongamos que y ≥ b > x, entonces

d21(x, y) = y − x = (y − b) + (b− x) = d2

1(y, b) + d21(b, x) ≥ d2

1(y, b) + ε ≥ ε,

lo cual contradice d21(x, y) < ε. Por otro lado, si y ≤ a < x, entonces

d21(x, y) = x− y = (x− a) + (a− y) = d2

1(x, a) + d21(a, y) ≥ ε + d2

1(a, y) ≥ ε,

lo cual contradice de nuevo d21(x, y) < ε.


(2) Las bolas abiertas Bn(x; ε) son conjuntos abiertos en Rn. El motivo es el

siguiente: consideremos x = (x1, ..., xn) y sea y = (y1, ..., yn) ∈ Bn(x; ε),

es decir, r := d2n(x, y) < ε). Sea δ := ε − r > 0. Veamos que Bn(y, δ) ⊂

Bn(x, ε). Sea z ∈ Bn(y, δ); es decir, d2n(y, z) < δ). Por tanto, por la desi-

gualdad triangular

d2n(x, z) ≤ d2

n(x, y) + d2n(y, z) < r + δ = ε,

por lo que z ∈ Bn(x, ε). Con un razonamiento similar, los discos no son

conjuntos abiertos, pero sus complementarios, es decir, los conjuntos {x ∈Rn | d2

n(x, x0) > ε}, sı lo son.

(3) Supongamos que U ⊂ Rn es abierto, entonces U ∩ A es un abierto de

A dado que U es entorno metrico de x para todo x ∈ U y por el Ejem-

plo 1.2.2(4), U ∩ A es entorno metrico en A para todo x ∈ U ∩ A.

(4) En cambio el intervalo [a, b) no es abierto en R ya que no es entorno

metrico de a ∈ [a, b). El motivo es que no existe ε > 0 tal que (a− ε, a +

ε) ⊂ [a, b) (ya que a− ε2∈ (a− ε, a + ε) pero a− ε

26∈ [a, b)).

Las siguientes son observaciones sencillas pero importantes. Las cuatro ultimas

tienen una importancia especial y seran el punto de partida del proximo capıtulo,

ofreciendonos una definicion del concepto de topologıa.

Observaciones 1.2.6. Sea A ⊂ Rn, entonces

(1) Si Ux ⊂ Rn es un entorno metrico de x en A y V ⊃ Ux, entonces V es

tambien un entorno metrico de x en A.

(2) Si U ⊂ Rn es un abierto de A y x ∈ U , entonces U es un entorno metrico

de x en A.

Ademas:

(T1) Tanto ∅ como A son abiertos en A. En el caso de ∅ el motivo es que,

como la condicion de ser abierto (Definicion 1.2.4) es sobre los elementos

de dicho conjunto, ası pues, si el conjunto no tiene elementos cumple la

propiedad tautologicamente2. Para el caso de A, de hecho se tiene que

2Para entender esto mejor, podrıamos releer Definicion 1.2.4 diciendo que para que un con-junto U ⊂ A no fuera abierto de A deberıa existir x ∈ U de modo que U no sea entorno de x enA. En tal caso, ∅ no tiene ningun elemento del que no sea entorno (porque no tiene elementos) ypor tanto debe ser abierto. En general, supongamos que P es una propiedad sobre un conjunto(en nuestro caso ser abierto) que esta escrita en funcion de elementos de dicho conjunto (en nues-tro caso que el conjunto sea entorno de todos sus elementos). Entonces un conjunto U cumplela propiedad P si no podemos encontrar los elementos de U que incumplan la propiedad pedida,a esta situacion se la denomina tautologica. Esto no tiene porque ocurrir solo con el conjunto


∀ε > 0 y ∀x ∈ A, Bn(x; ε) ∩ A ⊂ A, y por tanto A es entorno metrico de

x en A.

(T2) Si {Uλ}λ∈Λ es una familia de abiertos de A, entonces⋃

λ∈Λ Uλ es un abierto

de A ya que si x ∈ ⋃λ∈Λ Uλ entonces x ∈ Uλ0 para cierto λ0 ∈ Λ. Como Uλ0

es abierto, entonces existe ε > 0 tal que Bn(x; ε) ∩ A ⊂ Uλ0 ⊂⋃

λ∈Λ Uλ

y por tanto⋃

λ∈Λ Uλ es entorno metrico de x en A. Como esto ocurre

∀x ∈ ⋃λ∈Λ Uλ entonces es un abierto en A.

(T3) Si U, V son dos abiertos de A, entonces U ∩ V es un abierto de A ya

que si x ∈ U ∩ V entonces x ∈ U y x ∈ V . Como ambos son abiertos,

son entornos de x en A y ası existen ε1, ε2 > 0 tal que Bn(x; ε1) ∩ A ⊂U y Bn(x; ε2) ∩ A ⊂ V . Tomando ε := mın{ε1, ε2} > 0 se tiene que

Bn(x; ε)∩A ⊂ Bn(x; ε1)∩A ⊂ U y Bn(x; ε)∩A ⊂ Bn(x; ε2)∩A ⊂ V . Por

tanto Bn(x; ε)∩A ⊂ U ∩V (Ejercicio A.1(3)) y ası U ∩V es entorno de x

en A. Como esto ocurre ∀x ∈ U ∩ V , se tiene que U ∩ V es abierto en A.

(T3b) Si {Ui}ni=1 es una familia finita de abiertos de A, entonces

⋂ni=1 Ui es un

abierto de A. Esto se prueba por induccion sobre n. Si n = 0, 1 no hay

nada que probar, si n = 2 ya esta probado en (T3) y si n > 2 entonces

supongamos que el resultado es cierto para n− 1 y veamos que es cierto

para n, es decir, tenemos que {Ui}ni=1 es una familia finita de abiertos de

A, tomamos⋂n

i=1 Ui = (⋂n−1

i=1 Ui) ∩ Un. Por un lado (⋂n−1

i=1 Ui) es abierto

por la hipotesis de induccion, ası pues (⋂n−1

i=1 Ui) ∩ Un tambien es abierto

por ser interseccion de 2 abiertos.

Ejercicio 1.5. ♠ Sean A, B ⊂ Rn definamos el siguiente conjunto

A + B = B + A := {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.Demuestra que si A es abierto, entonces A + B es tambien abierto.

Con las primeras dos observaciones sera inmediato reescribir una vez mas la

definicion de continuidad, esta vez a la luz del concepto de conjuntos abiertos.

Proposicion 1.2.7 (continuidad(7)). Sea f : A → B una aplicacion (A ⊂Rn y B ⊂ Rm). Entonces f es continua en A si y solo si: ∀V abierto de B, f−1(V )

es abierto de A.

Ejercicio 1.6. ♠ Todo intervalo abierto de R es un conjunto abierto.

En general es difıcil describir de una manera sencilla como son los abiertos

de Rn. Desde luego, por las observaciones anteriores sabemos que tanto las bolas

vacıo, por ejemplo, la propiedad que todos sus elementos pares sean mayores que 10 la cumpleel conjunto {1, 13} diremos que de manera tautologica.


abiertas, hipercubos como uniones de estos son abiertos, pero al tomar uniones

arbitrarias perdemos la intuicion de que aspecto tienen los abierto de Rn. El uni-

co caso en el que se puede dar una descripcion razonable es en el caso de R.

Dedicaremos el final del capıtulo a probar el siguiente resultado:

Teorema 1.2.8. Un subconjunto de R es abierto si y solo si es union contable

de intervalos abiertos disjuntos.

Dicho resultado es consecuencia de los siguientes teoremas:

Teorema 1.2.9. Entre cualesquiera dos numeros reales distintos a y b existe

un numero racional.

Teorema 1.2.10. Sea F := {Uλ | λ ∈ Λ} una familia de intervalos disjuntos

de R, #Uλ > 1, ∀λ ∈ Λ, entonces F es contable.

Teorema 1.2.11. Un subconjunto A ⊂ R de numeros reales es un intervalo si

y solo si para todo par de elementos a, b ∈ A tal que a < b se tiene que [a, b] ⊂ A.

Teorema 1.2.12. Sea F := {Uλ | λ ∈ Λ} una familia de intervalos de R de

modo que⋂F 6= ∅, entonces

⋃F es un intervalo. Ademas, si todos los intervalos

Uλ son abiertos, entonces⋃F es tambien un intervalo abierto.

CAPıTULO 2

Espacios topologicos y espacios metricos

Tema 1. Definicion y primeros ejemplos

Como queda anunciado al final del capıtulo anterior ampliaremos la definicion

de abierto de un conjunto utilizando las tres propiedades (T1), (T2) y (T3) (o

equivalentemente (T1), (T2) y (T3b)) que satisfacen los abiertos de A ⊂ Rn.

Sea X un conjunto y sea T un subconjunto de P(X), es decir, una coleccion de

subconjuntos de X.

Definicion 2.1.1. Diremos que (X, T ) es un espacio topologico (o que T es

una topologıa sobre X) si se cumplen las propiedades siguientes:

(T1) ∅, X ∈ T .

(T2) Si {Uλ}λ∈Λ es una familia de elementos de T , entonces⋃

λ∈Λ Uλ ∈ T .

(T3) Si U, V ∈ T , entonces U ∩ V ∈ T .

(T3b) Si {Ui}ni=1 es una familia finita de elementos de T , entonces

⋂ni=1 Ui ∈ T .

A los elementos de T se les llama abiertos de (X, T ) (o T -abiertos).

Observese que la propiedad (T3) es equivalente a (T3b) por induccion (razo-

namiento analogo al de la Observacion 1.2.6(T3b)).

Veremos algunos ejemplos de espacios topologicos:

Ejemplos 2.1.2.

(1) (Rn, Tu) donde Tu := {U ⊂ Rn | U abierto en Rn} (donde abierto aquı se

refiere al concepto de abierto del capıtulo pasado). Esto quedo probado

en las Observaciones (T1), (T2) y (T3) de 1.2.6.

(2) Si A ⊂ Rn, (A, Tu) donde Tu := {U ⊂ A | U abierto en A}. Esto tambien

quedo probado en las Observaciones 1.2.6.

Las topologıas definidas en los apartados anteriores se denominan topo-

logıas usuales. Siempre que hablemos de un subconjunto de Rn sin espe-

cificar su topologıa supondremos que se trata de la usual.

(3) (R,S) donde S := {U ⊂ R | ∀a ∈ U,∃b > a tal que [a, b) ⊂ U}. Este

espacio topologico se llama recta de Sorgenfrey.

(4) (R, T→) donde T→ := {(a, +∞) | a ∈ R} ∪ {∅,R}.(5) (X,P(X)) se denomina espacio topologico discreto asociado a X.

15

16 2. ESPACIOS TOPOLOGICOS Y ESPACIOS METRICOS

(6) (X, {∅, X}) se denomina espacio topologico indiscreto asociado a X.

(7) Sea X un conjunto y sea x ∈ X. Definimos Tx := {U ⊂ X | x ∈ U}∪{∅}.Entonces (X, Tx) es el espacio topologico de punto incluido.

(8) Sea X := {0, 1}. Llamamos espacio topologico de Sierpinski a (X, T ) con

T := {∅, {0}, X}.(9) Sea f : X → Y una aplicacion entre conjuntos. Supongamos que (Y, TY )

es un e.t. Entonces f−1TY := {f−1(V ) | V ∈ TY } es la topologıa imagen

inversa de f sobre X.

(10) Sea f : X → Y una aplicacion entre conjuntos. Supongamos que (X, TX)

es un e.t. Entonces fTX := {V ⊂ Y | f−1(V ) ∈ TX} es la topologıa

imagen directa de f sobre Y .

Ejercicio 2.1. ♠ Demuestra que los Ejemplos 2.1.2(3)-(10) son verdadera-

mente topologıas, es decir, que cumplen las propiedades (T1)-(T3) de la Defini-

cion 2.1.1.

Ejercicio 2.2. ♠ Sea (X, T ) un e.t: demuestra que (X, T ) es el espacio

discreto asociado a X si y solo si los puntos de X son abiertos, es decir, si {x} ∈ T ,

∀x ∈ X.

Ejercicio 2.3. ♠ Comprueba que todo abierto usual es tambien un abierto

de Sorgenfrey (es decir Tu ⊂ S) en cambio, existen abiertos de Sorgenfrey (por

ejemplo [0, 1)) que no son abiertos usuales (es decir, Tu ( S). Comprueba tambien

que (a, b] ⊂ R no es abierto de Sorgenfrey.

Ejercicio 2.4. ♠ Demuestra el siguiente analogo al Teorema 1.2.8 para la

recta de Sorgenfrey: Un subconjunto de R es abierto en la recta de Sorgenfrey si

y solo si es una union disjunta y contable de intervalos abiertos por la derecha

(se entiende por intervalo abierto por la derecha a uno que sea abierto o bien

semiabierto por la derecha).

El concepto de aplicacion continua admite una extension a espacios topologicos

cualesquiera utilizando el analogo de la version de continuidad (7) en la Proposi-

cion 1.2.7.

Definicion 2.1.3 (continuidad(8)). Sean (X, TX) y (Y, TY ) e.t. y sea f :

X → Y una aplicacion. Diremos que f es continua (o (TX , TY )-continua) si ∀U ∈TY se tiene que f−1(U) ∈ TX .

Ejercicio 2.5. ♠ Sea (X, TX) e.t, demuestra que la identidad 1X : X → X

es (TX , TX)-continua.

TEMA 1. DEFINICION Y PRIMEROS EJEMPLOS 17

Ejemplo 2.1.4. Conviene destacar que si consideramos dos topologıas T1 y

T2 distintas sobre el mismo conjunto X, entonces puede ocurrir que la identidad

no sea continua. Por ejemplo, sobre R podemos considerar las topologıas usual Tu

y de Sorgenfrey S. Veamos que la identidad 1R : (R, Tu) → (R,S) no es (Tu,S)-

continua. Para ello haremos lo siguiente: en primer lugar U := [0, 1) ∈ S, pero

1−1R (U) = [0, 1) 6∈ Tu (Ejemplo 2.3).

Ejemplo 2.1.5. Considera la aplicacion f1 : (R, Tu) → (R, Tu) definida por

f1(x) := x2, y observa que es continua (Observacion 1.1.7(2)).

Si anadimos abiertos en el conjunto inicial la aplicacion seguira siendo conti-

nua, por ejemplo, consideremos f2 : (R,S) → (R, Tu) dada por la misma formula

f2(x) := x2. Hemos anadido abiertos en el conjunto inicial ya que Tu ⊂ S (Ejer-

cicio 2.3). Veamos que f2 es tambien continua. Si tomamos un abierto U ∈ Tu

sabemos que f−11 (U) = f−1

2 (U) ∈ Tu ⊂ S, y por tanto f2 tambien es continua.

Lo mismo ocurre si quitamos abiertos en el conjunto final, por ejemplo, con-

sideremos f3 : (R, Tu) → (R, T→) dada por la misma formula f3(x) := x2. Hemos

reducido los abiertos del conjunto final ya que claramente T→ ⊂ Tu. Si toma-

mos un abierto U ∈ T→ entonces tenemos que tambien U ∈ Tu y por tanto

f−13 (U) = f−1

1 (U) ∈ Tu, ası pues f3 tambien es continua.

Ejercicio 2.6. ♠ Consideremos R con las topologıas Tu, S y T→. Acabamos

de ver en el Ejemplo 2.1.5 que la aplicacion f : (R, T1) → (R, T2) definida por

f(x) := x2 es continua si

T1 = T2 = Tu,

T1 = S y T2 = Tu, o

T1 = Tu y T2 = T→,

Estudia el resto de casos.

Ejercicio 2.7. ♠ Sea (Y, TY ) un e.t. y f : X → Y una aplicacion. Conside-

remos en X la topologıa imagen inversa f−1TY . En tal caso f es una aplicacion

entre espacios topologicos. Demuestra que f es (f−1TY , TY )-continua.

Ejercicio 2.8. ♠ Sea f : X → Y una aplicacion. Consideremos:

(1) (X, TX) es un e.t. cualquiera e (Y, TY ) es el e.t. indiscreto de Y .

(2) (X, TX) es el e.t. discreto de X e (Y, TY ) en un e.t. cualquiera.

Si se cumplen alguna de las dos condiciones entonces f es automaticamente

continua.

Proposicion 2.1.6. Si (X, TX), (Y, TY ) y (Z, TZ) son e.t. y f : X → Y y

g : Y → Z aplicaciones continuas, entonces g ◦ f es una aplicacion continua.


Ejercicio 2.9. ♠ Sea (X, T ) un e.t. y consideremos {0, 1} con la topologıa

discreta. Sea A ⊂ X; demuestra que la aplicacion caracterıstica de A (ver Ejerci-

cio A.15) es continua si y solo si tanto A como X \ A son abiertos.

Las aplicaciones continuas sirven para comparar espacios topologicos. La no-

cion de isomorfismo topologico recibe un nombre especial.

Definicion 2.1.7. Sean (X, TX) e (Y, TY ) e.t. Diremos que una aplicacion

continua f : X → Y es un homeomorfismo si es biyectiva y f−1 : Y → X tambien

es continua. Diremos que X e Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo

entre ellos (y lo escribiremos X ≈ Y ).

El objetivo fundamental de la topologıa es estudiar y clasificar los espacios

topologicos. El principal problema es poder decidir cuando dos espacios topologicos

son homeomorfos o no. Las siguientes son propiedades basicas de homeomorfismos.

Propiedades 2.1.8 (homeomorfismos). Sean (X, TX), (Y, TY ), (Z, TZ) e.t. y

h1 : X → Y , h2 : Y → Z homeomorfismos. Entonces:

(1) 1X : X → X es un homeomorfismo de (X, TX) en sı mismo (es importante

resaltar que estamos considerando las mismas topologıas en el dominio y

en la imagen).

(2) h−11 : Y → X es tambien homeomorfismo.

(3) h := h2 ◦ h1 : X → Z es tambien homeomorfismo.

(4) Si f : X → Y es una aplicacion biyectiva, entonces son equivalentes:

(a) f es homeomorfismo.

(b) ∀V ⊂ Y , V es abierto si y solo si f−1(V ) es abierto.

(c) ∀U ⊂ X, U es abierto si y solo si f(U) es abierto.

(d) La aplicacion f : TX → TY , definida por f(U) := f(U), es una

biyeccion.

Ejercicio 2.10. ♠ Demuestra que f : X → Y es homeomorfismo si y solo si

f−1 : Y → X es homeomorfismo.

Observacion 2.1.9. De las Propiedades 2.1.8(1)-(3) se deduce que en la fa-

milia de todos los espacios topologicos se puede definir la relacion de equivalencia

ser homeomorfo a. Las clases de equivalencia se llaman clases de homeomorfismo.

Supongamos que P es una propiedad predicable sobre espacios topologicos1.

1Una propiedad es predicable sobre espacios topologicos si tiene sentido preguntarse si unespacio topologico concreto la cumple, por ejemplo, tener cardinal finito, que todo abierto seaa la vez cerrado o que todo elemento sea abierto son propiedades predicables sobre espacios


Definicion 2.1.10. Diremos que P es una propiedad topologica si se cumple

lo siguiente:

Si (X, TX) verifica P y (X, TX) ≈ (Y, TY ) ⇒ (Y, TY ) verifica P .

Es decir, si siempre que la posea un espacio topologico la poseen todos los espacios

topologicos homeomorfos a el.

Observacion 2.1.11. Toda propiedad que se exprese exclusivamente en fun-

cion de abiertos es topologica.

Precisamente el objeto de la topologıa es el estudio y la clasificacion de espacios

topologicos en funcion de sus propiedades topologicas.

Observacion 2.1.12. Observa que todos los intervalos cerrados [a, b] con a, b ∈R, a < b son homeomorfos entre sı. En efecto, consideremos la aplicacion

fa,b : ([0, 1], Tu) → ([a, b], Tu)

x 7→ (b− a)x + a.

Por la Observacion 1.1.7(1), fa,b es continua, biyectiva y su inversa es f−1a,b (x) = x−a

b−a

que tambien es continua. Por lo tanto es homeomorfismo. Si [a, b] ≈ [0, 1] para todo

a, b ∈ R con a < b entonces, por la propiedad transitiva, dos intervalos cerrados

[a1, b1] y [a2, b2] son homeomorfos entre sı ya que [a1, b1] ≈ [0, 1] ≈ [a2, b2].

Ejercicio 2.11. ♠ Demuestra que todos los intervalos abiertos de R son ho-

meomorfos entre sı.

Ejemplo 2.1.13. La propiedad que contenga numeros reales positivos es pro-

piedad predicable de un espacio topologico, en cambio no es propiedad topologica

como demuestra el hecho de que (0, +∞) la cumple, (−∞, 0) no la cumple y en

cambio (0, +∞) es homeomorfo a (−∞, 0) (Ejercicio 2.11).

Ejercicio 2.12. ♠ Demuestra que el cuadrado y el cırculo son homeomorfos.

En otras palabras, sean A := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} y B := [−1, 1]× [−1, 1] ⊂R2, demuestra que existe una aplicacion continua, biyectiva y con inversa continua

entre A y B con la topologıa usual.

Ejercicio 2.13. ♠ Sea X e.t. discreto (resp. indiscreto) y sea Y un espacio

topologico. Demuestra que Y ≈ X si y solo si Y tiene la topologıa discreta (resp.

indiscreta) y X e Y tienen el mismo cardinal.

topologicos, en cambio que por dos puntos distintos pase una unica recta no es predicable sobreespacios topologicos (a menos que dicho espacio tenga una estructura geometrica adicional).


Observacion 2.1.14. En general es un problema muy difıcil decidir si dos

espacios topologicos son homeomorfos o no. Las propiedades topologicas permiten

estudiar las propiedades que cumplen en comun espacios homeomorfos entre sı y

tambien distinguirlos (es decir, demostrar que dos espacios topologicos no son

homeomorfos).

Como los homeomorfismos son en particular aplicaciones biyectivas, dos es-

pacios topologicos homeomorfos deben tener el mismo cardinal. Por la Propie-

dad 2.1.8(d), tambien debe coincidir el cardinal de las familias de abiertos. Por

ejemplo, el espacio topologico discreto de dos elementos (con cuatro abiertos) no

es homeomorfo al Espacio de Sierpinski (con tres abiertos) del Ejemplo 2.1.2(8).

Ejercicio 2.14. ♠ En este ejercicio consideraremos las topologıas definidas

en los Ejemplos 2.1.2(4) y (7).

(1) Demuestra que (R, Tx) ≈ (R, Ty) para cualquier x, y ∈ R (de hecho es-

te resultado es cierto en general para la topologıa de punto incluido de

cualquier conjunto, es decir, (X, Tx) ≈ (X, Ty) ∀ x, y ∈ X).

(2) Demuestra que (R, T→) 6≈ (R, Tx) (Indicacion: Comprueba que el cardi-

nal de los conjuntos abiertos ha de ser invariante por homeomorfismo).

Terminamos esta seccion dando ejemplos de espacios topologicos con la topo-

logıa usual y estudiando posibles homeomorfismos.

Ejemplo 2.1.15. Dado n ∈ N, denotaremos por Bn (resp. Dn,Sn−1) al conjunto

{x ∈ Rn | d2n(0, x) < 1(resp. ≤ 1, = 1)}.

Generalizando lo hecho en el Ejercicio 2.11, podemos ver que Bn es homeomorfo

a Rn; basta comprobar que f : Rn → Bn,

f(x) :=1

1 + ‖x‖ x

es un homeomorfismo. Veremos que es mas difıcil demostrar que Bn,Dn,Sn no

son homeomorfos. De la misma manera es difıcil demostrar que Rn y Rm no son

homeomorfos si n 6= m.

La aplicacion estereografica muestra que Sn menos un punto es homeomorfo

a Rn. La definicion geometrica es la siguiente. Consideremos el polo norte PN :=

(0, . . . , 0, 1) ∈ Sn e identifiquemos Rn con el subespacio H de ecuacion xn+1 = 0

de Rn. Dado P ∈ Sn \ {PN}, su imagen es la interseccion de la recta determinada

por P y PN con H. En ecuaciones, tenemos g : Sn \ {PN} → Rn,

g(x) :=1

1− xn+1

(x1, . . . , xn).


Ejercicio 2.15. ♠ Demuestra que f y g son homeomorfismos.


Tema 2. Espacios (seudo)metricos y (seudo)metrizables

Una familia muy importante de espacios topologicos proviene de generalizar el

concepto de distancia estudiado en el Capıtulo 1. Esta generalizacion de distancia

va a dar lugar a la construccion espacios metricos y pseudometricos. Como en el

caso de abiertos, tomaremos ciertas propiedades que cumplen las distancias sobre

Rn y las utilizaremos como caracterizacion de distancia.

Definicion 2.2.1. Sea X un conjunto. Una aplicacion d : X ×X → R es una

funcion distancia (o una metrica) sobre X si verifica las condiciones (D1), (D2),

(D3) y (D4) del Tema 1 del Capıtulo 1. En tal situacion el par (X, d) se denomina

espacio metrico.

Ejemplos 2.2.2. Veremos algunos ejemplos de espacios metricos:

(1) (Rn, d2n) es un espacio metrico. Lo mismo se aplica a los subconjuntos

de Rn.

(2) Definimos d∞n : Rn × Rn → R de manera que si x = (x1, . . . , xn) e y =

(y1, . . . , yn) entonces d∞n (x, y) := maxni=1 |xi − yi|. El par (Rn, d∞n ) es un

espacio metrico.

(3) Definimos d1n : Rn × Rn → R de manera que si x = (x1, . . . , xn) e y =

(y1, . . . , yn) entonces d1n(x, y) :=

∑ni=1 |xi − yi|. El par (Rn, d1

n) es un

espacio metrico.

(4) Sea X un conjunto no vacıo. Definimos δ : X ×X → R de manera que si

x, y ∈ X con x 6= y, se tiene δ(x, y) = 1, y si x ∈ X, δ(x, x) = 0. El par

(X, δ) es un espacio metrico.

(5) Sea C0(I,R) el conjunto de todas las funciones continuas reales del inter-

valo I := [0, 1]. Definimos las siguientes funciones

ρ1(f, g) :=

∫ 1

0

|f(x)− g(x)|dx;

ρ0(f, g) := maxx∈I

|f(x)− g(x)|.Los pares (C0(I,R), ρ0) y (C0(I,R), ρ1) son espacios metricos.

Ejercicio 2.16. ♠ Demuestra que los Ejemplos 2.2.2 son espacios metricos.

En algunas ocasiones puede interesar debilitar una de las propiedades para

definir lo que se llama seudodistancia.

Definicion 2.2.3. Una aplicacion d : X × X → R es una funcion seudodis-

tancia (o una seudometrica) sobre X si verifica las condiciones (D1), (D2b), (D3)

y (D4), donde

TEMA 2. ESPACIOS (SEUDO)METRICOS Y (SEUDO)METRIZABLES 23

(D2b) ∀x se tiene d(x, x) = 0.

El par (X, d) se llama espacio seudometrico.

Observacion 2.2.4. Observese que todo espacio metrico es tambien seu-

dometrico y que un subconjunto de un espacio (seudo)metrico es tambien (seu-

do)metrico con la restriccion de la aplicacion.

Ejemplos 2.2.5. Veamos dos ejemplos de espacios seudometricos que no son

metricos.

(1) Sea X un conjunto con mas de un elemento. Sea D : X × X → Rla aplicacion dada por D(x, y) := 0, ∀x, y ∈ X. El espacio (X,D) es

pseudometrico pero no metrico.

(2) Consideremos la aplicacion

d : R2 × R2 → R((x1, y1), (x2, y2)) 7→ |x1 − x2|.

El espacio (R2, d) es pseudometrico, pero no metrico

Nuestro objetivo ahora sera mostrar como podemos obtener un espacio to-

pologico a partir de un espacio metrico o pseudometrico. Para ello reconstruiremos

de manera generalizada lo hecho en el Capıtulo 1 para el caso de Rn. Por ejemplo,

sea (X, d) un espacio pseudometrico y sean x0 ∈ X y ε > 0.

Definicion 2.2.6. Llamaremos bola (abierta) de centro x0 y radio ε al sub-

conjunto

(2.1) Bd(x0; ε) := {x ∈ X | d(x, x0) < ε}.

Analogamente a la Definicion 1.1.11 se definen las bolas cerradas o discos y las

esferas.

Observacion 2.2.7. Uno de los intereses de definir otras metricas en Rn es que

a menudo son mas faciles de utilizar, por ejemplo observa que si x = (x1, ..., xn),

entonces

Bd∞n (x; ε) = {(y1, ..., yn) ∈ Rn | max{|x1 − y1|, ..., |xn − yn|} < ε}= {(y1, ..., yn) ∈ Rn | |x1 − y1| < ε, ..., |xn − yn| < ε}= (x1 − ε, x1 + ε)× ...× (xn − ε, xn + ε),

es decir, que una bola del producto es un producto de bolas, cosa que no ocurre con

la distancia euclıdea d2n, en la que un cırculo no es el producto de dos intervalos.


Ejercicio 2.17. ♠ Describe el lugar geometrico en R2 de las bolas Bd12((0, 0); ε),

Bd22((0, 0); ε) y Bd∞2 ((0, 0); ε). Observa que esto es suficiente para entender todas

las bolas en R2 para dichas metricas ya que Bd((x, y); ε) = {(x, y)}+Bd((0, 0); ε),

donde d = d12, d

22 o d∞2 (la suma de conjuntos A + B esta definida en el Ejerci-

cio 1.5).

Ejercicio 2.18. ♠ Demuestra que y ∈ Bd(x, ε) ⇔ x ∈ Bd(y; ε) y por tanto

y 6∈ Bd(x, ε) ⇔ x 6∈ Bd(y; ε).

Ejercicio 2.19. ♠ Demuestra que si d1 y d2 son distancias en X de modo

que d1(x, y) ≤ d2(x, y) ∀x, y ∈ X, entonces Bd2(x; ε) ⊂ Bd1(x; ε).

Analogamente al caso de Rn (ver Definicion 1.2.1) se pueden definir entornos

(seudo)metricos de un punto en espacios seudometricos del siguiente modo:

Definicion 2.2.8. Sea (X, d) espacio seudometrico y sea x ∈ X. Diremos que

Ux ⊂ X es un entorno seudometrico de X si ∃ε > 0 tal que Bd(x; ε) ⊂ Ux.

De este modo podemos obtener una topologıa a partir de una seudometrica.

Proposicion 2.2.9. Si (X, d) es un espacio (seudo)metrico y si consideramos

la familia

T (d) := {U ⊂ X | U es entorno (seudo)metrico de x ∀x ∈ U} =

= {U ⊂ X | ∀x ∈ U∃ε > 0 tal que Bd(x; ε) ⊂ U},entonces el par (X, T (d)) es un espacio topologico (llamado el espacio topologico

inducido por el espacio (seudo)metrico (X, d)).

Ejercicio 2.20. ♠ Sea (X, d) un espacio seudometrico, sea x0 ∈ X y sea

ε > 0. Demuestra que si tomamos x ∈ Bd(x0; ε) y 0 < ε′ ≤ ε− d(x, x0), entonces

Bd(x; ε′) ⊂ Bd(x0; ε). Deduce de esto que Bd(x0; ε) ∈ T (d), es decir, que las bolas

abiertas son conjuntos abiertos de (X, T (d)).

Observacion 2.2.10. Observaremos que la topologıa inducida por la metrica

d2n en Rn es la topologıa usual. De la misma forma, la topologıa discreta sobre X

es inducida por δ (Ejemplo 2.2.2(4)) y la topologıa indiscreta por la seudometrica

D (Ejemplo 2.2.5(1)).

Observacion 2.2.11. La condicion de continuidad dada en la Definicion 1.1.8

para aplicaciones f : A → B con A ⊂ Rn, B ⊂ Rm podrıamos reescribirla para el

caso general de aplicaciones entre espacios (seudo)metricos f : (X, dX) → (Y, dY )

del siguiente modo:

(2.2)

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si x ∈ X y dX(x, x0) < δ, entonces dY (f(x), f(x0)) < ε.


Como parece razonable esperar, una aplicacion f : (X, dX) → (Y, dY ) es continua

(es decir, ∀V ∈ T (dY ), f−1(V ) ∈ T (dX)) si y solo si ∀x0 ∈ X se cumple la

condicion 2.2. Eso lo recogemos en los siguientes dos equivalentes resultados:

Proposicion 2.2.12 (Continuidad(9)). Sean (X, dX), (Y, dY ) espacios seu-

dometricos. La aplicacion f : X → Y , es continua si y solo si ∀x0 ∈ X se

tiene (2.2).

Lo mismo ocurre con la Proposicion 1.1.13, dando lugar a la siguiente conse-

cuencia:

Proposicion 2.2.13 (Continuidad(9a)). Sean (X, dX) e (Y, dY ) espacios

seudometricos. La aplicacion f : X → Y es continua si y solo si ∀x0 ∈ X se tiene

que:

∀ε > 0,∃δ > 0 tal que si x ∈ BdX(x0; δ), entonces f(x) ∈ BdY

(f(x0); ε);

o equivalentemente si,

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que f(BdX(x0; δ)) ⊂ BdY

(f(x0); ε).

Demostraremos unicamente este ultimo resultado, ya que ambos son equiva-

lentes; la demostracion es identica a la de la Proposicion 1.1.13 cambiando A y

B por X e Y , d2n y d2

m por dX y dY , y por ultimo Bn(x0, δ) y Bm(f(x0); ε) por

BdX(x0, δ) y BdY

(f(x0); ε).

Ejemplo 2.2.14. Sea f : (X, dX) → (Y, dY ) una aplicacion entre espacios (seu-

do)metricos tal que dY (f(x1), f(x2)) ≤ dX(x1, x2) ∀x1, x2 ∈ X. Tales aplicaciones

se denominan aplicaciones contractivas. Veamos que toda aplicacion contractiva es

continua. Para ello, basta observar que si dY (f(x1), f(x2)) ≤ dX(x1, x2) entonces

f(BdX(x; ε)) ⊂ BdY

(f(x); ε) ya que si x′ ∈ BdX(x; ε), entonces dX(x, x′) < ε, con

lo cual dY (f(x), f(x′)) ≤ dX(x, x′) < ε y por tanto f(x′) ∈ BdY(f(x); ε) ∀x ∈ X.

Por la Proposicion 2.2.13, esto prueba que f es continua.

Ejercicio 2.21. ♠ Sea f : (X, dX) → (Y, dY ) una aplicacion entre espa-

cios (seudo)metricos tal que existe k ∈ R>0 cumpliendo que dY (f(x1), f(x2)) ≤k · dX(x1, x2) ∀x1, x2 ∈ X. Tales aplicaciones se denominan aplicaciones lipschit-

zianas. Demuestra que toda aplicacion lipschitziana es continua.

Ejercicio 2.22. ♠ Utiliza la propiedad triangular para demostrar que si d es

una seudometrica, entonces tambien verifica la siguiente propiedad

d(x, y) ≥ |d(x, z)− d(z, y)| ∀x, y, z ∈ X.


Ejercicio 2.23. ♠ Sea (X, T (d)) un espacio seudometrico y sea x0 ∈ X.

Demuestra que la aplicacion dx0 : X → R, definida por dx0(x) := d(x, x0), es una

aplicacion continua.

Ejercicio 2.24. ♠ Consideremos (X, T (d)) espacio seudometrico. Si A ⊂ X

podemos definir dA : X → R del siguiente modo dA(x) := d(A, x) donde d(A, x) :=

ınf{d(x, y) | y ∈ A}. Demuestra que dA es una funcion continua.

Definicion 2.2.15. Un espacio topologico (X, T ) es metrizable (resp. seudo-

metrizable) si existe una metrica (resp. seudometrica) d sobre X tal que T = T (d).

Observacion 2.2.16. La propiedades ser (seudo)metrizable son topologicas.

En efecto, sea (X, TX) un espacio topologico (seudo)metrizable y sea (Y, TY )

un espacio homeomorfo a X. Elegimos dX (seudo)metrica tal que T (dX) = TX

y f : Y → X homeomorfismo. Definimos dY : Y × Y → R, dY (y1, y2) :=

dX(f(y1), f(y2)), y1, y2 ∈ Y . Dado que f es biyeccion, se comprueba facilmen-

te que dY es una (seudo)metrica. Ademas, f(BdY(y; ε)) = BdX

(f(y); ε). Con esta

igualdad y dado que f es homeomorfismo, se verifica facilmente que TY = T (dY ),

por lo que Y es (seudo)metrizable.

Nos interesaremos a continuacion por el problema de existencia y unicidad

de metricas o seudometricas que inducen una topologıa dada, es decir, decidir si

un espacio es o no (seudo)metrizable, y en caso positivo, caracterizar las posibles

(seudo)metricas que lo inducen.

Ejercicio 2.25. ♠ Probar que el espacio topologico de Sierpinski (Ejem-

plo 2.1.2(8)) (X, T ) no es (seudo)metrizable. Extender la demostracion al caso

espacio topologico (X, Tx) del punto incluido, #X > 1 y demuestra que este espa-

cio no es discreto ni indiscreto.

Definicion 2.2.17. Sea (X, d) espacio seudometrico y ∅ 6= A ⊂ X. Conside-

remos el siguiente subconjunto de R:

L(A) := d(A,A) = {r ∈ R | ∃x, y ∈ A tal que d(x, y) = r}.

Diremos que A es un subconjunto acotado de X si existe sup(L(A)). En tal caso

llamaremos a diam(A) := sup(L(A)) el diametro de A en X. Si tal supremo no

existe denotaremos diam(A) := +∞ y diam(∅) := −∞.

Observacion 2.2.18. Los intervalos abiertos de R son espacios metricos, ver

Observacion 2.2.4; por el Ejercicio 2.11, todos ellos son homeomorfos entre sı. Sea


I ⊂ R un intervalo abierto. Si I = (a, b) ⊂ R, a < b, observa que

diam I =

b− a si a, b ∈ R∞ si no.

Por tanto, ser acotado no es una propiedad topologica y tampoco lo es la magnitud

del diametro.

Tambien observa que el diametro de (X, d) depende de la seudometrica d. Por

ejemplo, si consideramos la circunferencia S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1} ⊂ R2

centrada en (0, 0) y de radio 1 podemos considerar en ella varias metricas: una

da en la cual la distancia entre dos puntos sea la longitud del menor arco de

circunferencia que los une, tambien otra en la cual la distancia entre dos puntos

es la longitud de la cuerda que los une (es decir, la metrica usual d22) y por ultimo

las distancias d12 y d∞2 . Observa que diamd(S1) = π, mientras que diamd2

2(S1) = 2

¿Cuanto valen diamd∞2 (S1) y diamd12(S1)?

Observacion 2.2.19. Por definicion, es obvio que si A ⊂ B son subconjuntos

acotados no vacıos de X, entonces diam(A) ≤ diam(B).

Ejercicio 2.26. ♠ Sea (X, T (d)) un espacio seudometrico. Demuestra que X

es espacio metrico si y solo si ∀A ⊂ X acotado, diam(A) = 0 ⇔ A es unipuntual.

Ejercicio 2.27. ♠ Sea {In := [an, bn]}n∈N una familia de intervalos cerrados

acotados y encajados (In ⊂ Im si n ≥ m) de R de modo que lımn→∞ diam(In) = 0,

entonces I :=⋂

n∈N In es unipuntual.

Definicion 2.2.20. Diremos que dos seudometricas d1 y d2 sobre un mismo

conjunto X son topologicamente equivalentes si inducen la misma topologıa sobre

dicho conjunto, es decir, si T (d1) = T (d2).

Se tiene la siguiente caracterizacion de seudometricas topologicamente equiva-

lentes:

Proposicion 2.2.21. Las seudometricas d1 y d2 son topologicamente equiva-

lentes si y solo si:

(MTE1) ∀x ∈ X y ∀ε1 > 0, existe ε2 > 0 tal que Bd2(x; ε2) ⊂ Bd1(x; ε1);

(MTE2) ∀x ∈ X y ∀ε2 > 0, existe ε1 > 0 tal que Bd1(x; ε1) ⊂ Bd2(x; ε2).

Observacion 2.2.22. Observa que las condiciones (MTE1) y (MTE2) equiva-

len a pedir que la aplicacion identidad 1X : (X, d1) → (X, d2) sea homeomorfismo.

En particular (MTE2) corresponde a la condicion de que 1X : (X, d1) → (X, d2)

sea continua (Proposicion 2.2.13) y (MTE1) corresponde a la condicion de que

1−1X : (X, d2) → (X, d1) sea continua.


Definicion 2.2.23. Se dice que dos seudometricas d1, d2 sobre un mismo con-

junto X son equivalentes si cumplen las siguientes condiciones:

(ME1) ∀ε1 > 0, existe ε2 > 0 tal que ∀x ∈ X se tiene que Bd2(x; ε2) ⊂ Bd1(x; ε1);

(ME2) ∀ε2 > 0, existe ε1 > 0 tal que ∀x ∈ X se tiene que Bd1(x; ε1) ⊂ Bd2(x; ε2).

Observacion 2.2.24. Es importante observar que en (MTE1), el real positivo

ε2 depende de x y ε1. Lo mismo ocurre para (MTE2). Sin embargo para (ME1) y

(ME2), solo depende de ε1.

Proposicion 2.2.25. Equivalencia de seudometricas implica equivalencia to-

pologica.

Sin embargo, los conceptos de metricas equivalentes y topologicamente equiva-

lentes no coinciden. Puede ocurrir que dado x ∈ X y dado ε1 > 0 existe ε2(x, ε1) >

0 (es decir, que depende de x y de ε1) tal que Bd2(x; ε2(x, ε1)) ⊂ Bd1(x; ε1) (Condi-

cion (MTE1)), pero que no seamos capaces de encontrar un ε2(ε1) > 0 que cumpla

la propiedad Bd2(x; ε2(ε1)) ⊂ Bd1(x; ε1) para cualquier x ∈ X (Condicion (ME1)).

Esto aparece expresado en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 2.28. ♠ Sea X ={

1n

}n∈N; definamos d1 y d2 metricas del siguiente

modo:

d1

(1

n,

1

m

)= |n−m|

y

d2

(1

n,

1

m

)=

∣∣∣∣1

n− 1

m

∣∣∣∣ .

Demuestra que:

(1) T (d1) y T (d2) son ambas la topologıa discreta, es decir, T (d1) = T (d2) =

Td, y por tanto d1 y d2 son topologicamente equivalentes.

(2) Se cumple (ME2), pero no (ME1).

Ejercicio 2.29. ♠ Decimos que una aplicacion f : (X, dX) → (Y, dY ) entre

espacios seudometricos es uniformemente continua si

∀ε > 0, existe δ > 0 tal que ∀x ∈ X se tiene que f(BdX(x; δ)) ⊂ BdY

(f(x); ε).

Demuestra que (X, d1) y (X, d2) son metricas equivalentes si y solo si la aplicacion

identidad 1X : (X, d1) → (X, d2) es uniformemente continua.

Ejercicio 2.30. ♠ En la Observacion 2.2.18 insistıamos en que la propie-

dad de ser acotado no es una propiedad topologica. De hecho, veremos en este

ejercicio que dado un espacio (seudo)metrico (X, d) existe una (seudo)metrica da

topologicamente equivalente a d de modo que (X, da) sea acotado (de hecho tal que

diamda X ≤ 1). (Indicacion: Considera da := d1+d

).


El siguiente resultado permite concluir que dos pseudometricas que puedan

estimarse entre sı son equivalentes:

Proposicion 2.2.26. Si dos seudometricas d1 y d2 verifican d2 ≤ c1d1 y d1 ≤c2d2 para ciertas constantes c1, c2 > 0, entonces son equivalentes.

Observacion 2.2.27. Si d1 y d2 son (seudo)metricas topologicamente equiva-

lentes sobre X y V x es un entorno seudometrico de x en (X, d1), entonces existe

ε1 > 0 tal que Bd1(x; ε1) ⊂ V x. Como Bd1(x; ε1) ∈ T (d1) = T (d2) tenemos que tal

que Bd1(x; ε1) es entorno seudometrico de x en (X, d2). Por tanto, existe ε2 > 0

tal que Bd2(x; ε2) ⊂ Bd1(x; ε1) ⊂ V x, por lo que V x es un entorno seudometrico de

x en (X, d2).

Ejemplo 2.2.28. Las metricas d1n, d

2n, d∞n sobre Rn son equivalentes. Es facil

ver que se tiene:

d2n ≥ d∞n ≥ 1√

nd2

n y d1n ≥ d∞n ≥ 1

nd1

n;

luego, estas tres metricas son equivalentes y, por lo tanto, topologicamente equi-

valentes. De esto se deduce el siguiente interesante resultado (se puede probar

directamente, pero es bastante tedioso):

Dado x ∈ Rn, ε > 0 e y ∈ Bd2n(x; ε), entonces Bd2

n(x; ε) es un

entorno de y en (Rn, d2n), y por la Observacion 2.2.27 tambien lo

es de y en (Rn, d∞n ), es decir, existe ε′ > 0 tal que (y1 − ε′, y1 +

ε′)× ...× (yn − ε′, yn + ε′) ⊂ Bd2n(x; ε) (es decir, dada una esfera

y un punto en ella, podemos incluir dentro de la esfera un cubo

centrado en dicho punto) y viceversa, es decir, dado x ∈ Rn, ε > 0

e y ∈ Bd∞n (x; ε) = (x1 − ε, x1 + ε) × ... × (xn − ε, xn + ε), existe

ε′ > 0 tal que Bd2n(x; ε′) ⊂ (x1 − ε, x1 + ε)× ...× (xn − ε, xn + ε)

(es decir, dado un cubo y un punto en el, podemos incluir dentro

de el una esfera centrada en dicho punto).

Observese que la Proposicion 2.2.26 es un caso particular del siguiente resul-

tado:

Ejercicio 2.31. ♠ Si una aplicacion f : (X, dX) → (Y, dY ) entre espacios seu-

dometricos es lipschitziana (Ejercicio 2.21), entonces es uniformemente continua

(Ejercicio 2.29).

Ejercicio 2.32. ♠ Sea U1 ⊂ Rn un abierto de Rn y U2 ⊂ Rm un abierto de

Rm. Demuestra que

U1 × U2 := {(x1, ..., xn, xn+1, ..., xn+m) | (x1, ..., xn) ∈ U1, (xn+1, ..., xn+m) ∈ U2}


es un abierto de Rn+m.

Ejercicio 2.33. ♠ Utilizar el Ejemplo 2.2.28 para probar que las Definicio-

nes 1.1.8 y 1.1.10 son equivalentes.

Ejercicio 2.34. ♠ En cambio las distancias ya vistas ρ0 y ρ1 del Ejem-

plo 2.2.2(5), definidas en el espacio C0(I,R), no son topologicamente equivalentes.

CAPıTULO 3

Posicion de un punto con respecto a un conjunto

Tema 1. Cerrados

Definicion 3.1.1. Sea (X, T ) e.t. y sea C ⊂ X; diremos que C es un cerrado

de (X, T ) (o un T -cerrado) si X \ C es un T -abierto.

Observacion 3.1.2. Es importante destacar que ser cerrado no es lo contrario

de ser abierto, sino que el complementario sea abierto. De hecho existen ejemplos,

como veremos a continuacion, de conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados o

que no son ni abiertos ni cerrados.

Ejemplo 3.1.3. Consideremos a, b ∈ R (a < b) y los siguientes conjuntos en

(R, Tu):

(1) R y ∅ son cerrados (y abiertos).

(2) [a, b] es cerrado (y no es abierto).

(3) (a, b) no es cerrado (y es abierto).

(4) (a, +∞) y (−∞, b) no son cerrados (y sı abiertos).

(5) [a, b) y (a, b] no son cerrados (ni abiertos).

(6) [a, +∞) y (−∞, b] son cerrados (y no abiertos).

Ejercicio 3.1. ♠ En un espacio topologico discreto todos los subconjuntos son

cerrados.

Ejercicio 3.2. ♠ Demuestra que [a, b) ⊂ R es un conjunto abierto y cerrado

en la topologıa S de Sorgenfrey.

Ejercicio 3.3. ♠ Sea (X, d) un espacio seudometrico y (X, T (d)) es su espa-

cio topologico asociado, entonces para todo x0 ∈ X y ε ≥ 0 se tiene:

(1) Dd(x0; ε) es cerrado.

(2) Sd(x0; ε) es cerrado.

Demuestra ademas que {x} es cerrado ∀x ∈ X si y solo si d es una metrica.

31

32 3. POSICION DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO

Observacion 3.1.4. Dado que la aplicacion distancia no tiene por que alcan-

zar todos los valores reales positivos, la bola abierta y la bola cerrada pueden

coincidir y, por lo tanto, una bola abierta puede ser un conjunto cerrado y una

bola cerrada puede ser un conjunto abierto. Por ejemplo, si δ es la metrica discreta

y x ∈ X, se tiene que Bδ(x; 12) = Dδ(x; 1

2) y ası, tanto Bδ(x; 1

2) como Dδ(x; 1

2) son

abiertos y cerrados.

Reformularemos una vez mas la definicion de aplicacion continua desde el punto

de vista de los conjuntos cerrados.

Proposicion 3.1.5 (continuidad(10)). Sean f : X → Y una aplicacion y

(X, TX) e (Y, TY ) e.t. Entonces, f es continua si solo si ∀C ⊂ Y TY -cerrado se

tiene que f−1(C) es TX-cerrado.

Propiedades 3.1.6. Si f : X → Y es una aplicacion biyectiva, entonces son

equivalentes:

(1) f es homeomorfismo.

(2) ∀D ⊂ Y , D es cerrado si y solo si f−1(D) es cerrado.

(3) ∀C ⊂ X, C es cerrado si y solo si f(C) es cerrado.

(4) La aplicacion f : CX → CY , definida por f(C) := f(C), es una biyeccion.

Observacion 3.1.7. Observese que la Propiedad 3.1.6(4) para cerrados es

analoga a la Propiedad 2.1.8(c) para abiertos. Es decir, si dos familias de abiertos

estan en biyeccion, las familias de cerrados tambien. Una variante parecida de esta

idea es que si T1 y T2 son dos topologıas sobre X de modo que T1 ⊂ T2, entonces

CT1 ⊂ CT2 . En efecto, si C ∈ CT1 , entonces X \ C ∈ T1 ⊂ T2 y por tanto C ∈ CT2 .

Ejercicio 3.4. ♠ Sea f : R\{a1, ..., ar} → R una aplicacion que sea continua

y de modo que en los puntos ai, la aplicacion f tenga asıntotas verticales; es

decir, ∀M > 0 ∃ε > 0 de modo que ∀x ∈ (ai − ε, ai + ε) se tiene que |f(x)| >

M . Intuitivamente, que cerca de ai, las imagenes se hacen todo lo grande que

queramos. Demuestra que

Γf :={(x, f(x)) | x ∈ R \ {a1, ..., ar}

} ⊂ R2

(tambien llamado el grafo de f) es un cerrado de R2.

Propiedades 3.1.8 (Cerrados). Sea (X, T ) e.t. y denotemos por CT ⊂ P(X)

la coleccion de los T -cerrados de X, entonces CT satisface las siguientes propieda-

des:

(C1) ∅, X ∈ CT .

(C2) Si {Cλ}λ∈Λ es una familia de elementos de CT , entonces⋂

λ∈Λ Cλ ∈ CT .

TEMA 1. CERRADOS 33

(C3) Si C1, C2 ∈ CT , entonces C1 ∪ C2 ∈ CT .

(C3b) Si {Ci}ni=1 es una familia finita de elementos de CT , entonces

⋃ni=1 Ci ∈ CT .

Estas propiedades se deducen esencialmente de las leyes de Morgan, ver Propie-

dades A.1.3(8) y Propiedades A.3.3(5). Analogamente al caso de abiertos, (C3) es

equivalente a (C3b).

Del mismo modo se cumple el recıproco.

Proposicion 3.1.9. Sea X un conjunto cualquiera y C ⊂ P(X) una familia

de subconjuntos de X que verifica (C1), (C2) y (C3), entonces existe una unica

topologıa T sobre X cuya familia de T -cerrados es C (es decir CT = C).

A veces es mas sencillo describir la familia de cerrados que la propia topologıa

(es decir, la familia de abiertos). Este es el caso en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.1.10. Sea X un conjunto cualquiera y sea Ccf ⊂ P(X) la coleccion

de los subconjuntos finitos de X y el espacio total:

(3.1) Ccf := PF (X) ∪ {X},ver Ejercicio A.26. Veamos que Ccf verifica las tres propiedades (C1), (C2) y (C3):

(C1) Es consecuencia de que ∅ ∈ PF (X) y de que X ∈ Ccf por definicion (3.1).

(C2) Sea {Cλ}λ∈Λ una familia de elementos de Ccf. Si Cλ = X ∀λ ∈ Λ, entonces⋂λ∈Λ Cλ = X ∈ Ccf. En otro caso

⋂λ∈Λ Cλ esta contenido en un conjunto

finito, y por tanto es finito (Proposicion A.5.4).

(C3) Sean C1, C2 ∈ Ccf. Si alguno es el total, entonces C1 ∪ C2 = X ∈ Ccf.

En otro caso ambos son finitos, y por tanto su union es finita por la

Propiedad A.5.18(2).

Por la Proposicion 3.1.9 existe una unica topologıa (a la que llamaremos topologıa

cofinita de X) cuyos cerrados sean la familia Ccf.

Analogamente podemos razonar si sustituimos finito por contable. En tal caso

obtenemos la llamada topologıa conumerable.

Ejercicio 3.5. ♠ Demuestra que (R, Tcf) 6≈ (R, Tcn). (Indicacion: Com-

prueba que el cardinal de los conjuntos cerrados debe ser invariante por homeo-

morfismo).

Ejercicio 3.6. ♠ Sea C ⊂ Rn un cerrado de Rn. Demuestra que C × Rm es

un cerrado de Rn+m. Deduce de esto que si C1 ⊂ Rn un cerrado de Rn y C2 ⊂ Rm

un cerrado de Rm entonces C1 × C2 := {(x1, ..., xn, xn+1, ..., xn+m) | (x1, ..., xn) ∈C1 ∧ (xn+1, ..., xn+m) ∈ C2} ⊂ Rn+m es un cerrado de Rn+m.


Veamos como los cerrados se pueden utilizar para determinar propiedades to-

pologicas.

Ejercicio 3.7. ♠ Demuestra que (R, Tu) 6≈ (R,S).

Para probar el ejercicio utilizamos el resultado siguiente.

Lema 3.1.11. En (R, Tu) no existen subconjuntos propios abiertos y cerrados.

TEMA 2. ENTORNOS 35

Tema 2. Entornos

El concepto de entorno (seudo)metrico de un punto como conjunto que contiene

una bola centrada en dicho punto resulto fundamental para la definicion de abier-

tos en espacios (seudo)metricos. Recordemos que la utilidad de estos era definir

un abierto como aquel conjunto que es entorno (seudo)metrico de todos sus ele-

mentos. En el contexto general de espacios topologicos esta definicion de entorno

(seudo)metrico carece de sentido (puesto que no hay bolas en espacios topologi-

cos en general) y ademas podrıa pensarse que su utilidad tambien desaparece en

principio ya que los abiertos son el dato de partida de los espacios topologicos. En

todo caso existe un concepto mas general de entorno de un punto que generaliza

el ya conocido y que tambien caracteriza los abiertos como aquellos conjuntos que

son entornos de todos sus elementos. En este tema profundizaremos en el concep-

to de entorno de un punto y veremos de que forma los entornos caracterizan una

topologıa.

Definicion 3.2.1. Diremos que Ux ⊂ X es un entorno de x en (X, T ) (o que

Ux es un T -entorno) si existe V ⊂ X abierto tal que x ∈ V ⊂ Ux. Como en el

caso euclıdeo, la notacion Ux ⊂ X siempre indicara que estamos tratando con un

entorno de x en X.

Ejemplo 3.2.2. Veamos que todo punto de un espacio topologico tiene al

menos un entorno. Consideremos (X, T ) un e.t. y x ∈ X un punto cualquiera.

Como X ∈ T (Definicion 2.1.1(T1)) entonces existe un abierto (el propio X) que

contiene a x y que esta contenido en X, ası pues X es entorno de x ∈ X.

Ejercicio 3.8. ♠ En la Definicion 1.2.1 introdujimos el concepto de entorno

metrico de un punto para el caso de Rn y posteriormente, en la Definicion 2.2.8,

para el caso general de espacios seudometricos. Demuestra que si (X, T (d)) es un

espacio seudometrico, y si x ∈ Ux ⊂ X, entonces Ux es entorno seudometrico de

x si y solo si Ux es entorno de x.

Ası pues, a partir de ahora, utilizaremos el termino entorno en espacios seu-

dometricos para referirnos a cualquiera de los dos conceptos equivalentes.

Conviene observar que el hecho de ser entorno no es una propiedad intrınseca

de un conjunto, sino que depende del conjunto X y de la topologıa que se considera

en tal conjunto. Una muestra de esto se describe en los proximos dos ejercicios.

Ejercicio 3.9. ♠ Consideremos R con la topologıa usual. Demuestra que A =

[a, b] es entorno de c ∈ R si y solo si a < c < b. Sin embargo, A es entorno en A

de todos sus puntos.


Ejercicio 3.10. ♠ Un subconjunto A ⊂ R es entorno de x ∈ A en (R, Tcf)

si y solo si A ∈ Tcf y x ∈ A. Demuestra un resultado analogo para la topologıa

conumerable. Como consecuencia de esto demuestra que el intervalo A = [a, b] no

es entorno de ningun elemento en la topologıa cofinita o conumerable.

Como anunciamos al principio del tema, los abiertos de una topologıa se pueden

caracterizar como los conjuntos que son entorno de todos sus elementos.

Proposicion 3.2.3. Sea (X, T ) e.t. y U ⊂ X. Entonces son equivalentes:

(1) U es abierto.

(2) ∀x ∈ U , U es entorno de x.

Puesto que los entornos caracterizan los abiertos de una topologıa y estos

caracterizan las aplicaciones continuas, parece razonable pensar que los entornos

caracterizan las aplicaciones continuas.

Proposicion 3.2.4 (continuidad(11)). Sean f : X → Y una aplicacion y

(X, TX), (Y, TY ) e.t. Entonces f es continua si y solo si ∀x ∈ X y ∀V f(x) ⊂ Y

entorno de f(x) ∈ Y se tiene que f−1(V f(x)) ⊂ X es un entorno de x ∈ X.

Por ultimo, y al igual que hicimos para familias de abiertos y de cerrados,

vamos a extraer las propiedades esenciales de la familia de entornos de un espacio

topologico.

Propiedades 3.2.5 (Entornos). Sea x ∈ X, denotemos por E(x) ⊂ P(X) la

familia de todos los T -entornos de x, entonces

(N1) E(x) 6= ∅.(N2) ∀Ux ∈ E(x), x ∈ Ux.

(N3) ∀Ux1 , Ux

2 ∈ E(x), Ux1 ∩ Ux

2 ∈ E(x).

(N4) ∀Ux ∈ E(x) y ∀A ⊂ X tal que Ux ⊂ A, A ∈ E(x).

(N5) ∀Ux ∈ E(x), existe V x ∈ E(x) tal que ∀y ∈ V x se tiene que Ux ∈ E(y).

Observacion 3.2.6. Por induccion sobre la propiedad (N3), podemos probar

que la interseccion finita de entornos de x es un entorno de x.

Estas propiedades son esenciales en el sentido de que una familia de conjuntos

que las verifique define una unica topologıa que tenga a dicha familia como familia

de entornos. Esto aparece reflejado en el siguiente resultado.

Proposicion 3.2.7. Sea X un conjunto cualquiera y supongamos que para

cada x ∈ X, E(x) ⊂ P(X) es una familia de subconjuntos de P(X) que cumple

las propiedades (N1)-(N5). Entonces existe una unica topologıa T sobre X tal que

E(x) ⊂ P(X) es la familia de los T -entornos de x para cada x ∈ X.

TEMA 2. ENTORNOS 37

Observacion 3.2.8. Una interpretacion util de la Proposicion 3.2.7 es la si-

guiente: supongamos que T1 y T2 son dos topologıas de X. Consideremos E1(x)

y E2(x) las familias de entornos de x en T1 y en T2 respectivamente. Entonces

E1(x) = E2(x) para cualquier x ∈ X si y solo si T1 = T2. Es mas, E1(x) ⊂ E2(x)

para cualquier x ∈ X si y solo si T1 ⊂ T2. En otras palabras, si probamos que

todo entorno de x en T1 es entorno de x de T2, entonces todo abierto de (X, T1)

es abierto de (X, T2).

En algunas ocasiones, describir entornos de puntos es mas comodo que describir

toda una familia de abiertos o de cerrados. Por ejemplo, la definicion de la recta de

Sorgenfrey, ver Ejemplo 2.1.2(3), esconde la descripcion de los entornos de dicha

topologıa.

Ejemplo 3.2.9. Diremos que Ux ⊂ R es un entorno de Sorgenfrey de x ∈ Ux

si ∃y > x tal que [x, y) ⊂ Ux. La familia de entornos de Sorgenfrey de R verifica

las propiedades (N1)-(N5) y S aparece definida como la familia de subconjuntos

de R que son entorno de Sorgenfrey de todos sus elementos. En particular, [a, b)

es un entorno de a en S (mientras que no lo es en Tu).

Ejemplo 3.2.10. Consideremos el conjunto de numeros enteros Z y para cada

numero entero n ∈ Z denotemos por D(n) el conjunto de divisores enteros de n,

es decir,

D(n) := {m ∈ Z | ∃k ∈ Z tal que n = km}.Definamos la siguiente familia de subconjuntos de numeros enteros

E(n) := {U ⊂ Z | D(n) ⊂ U}.Dicha familia satisface claramente las propiedades (N1)-(N5) y por lo tanto de-

fine una unica topologıa en Z que los tiene por sistemas de entornos. En esta

topologıa un conjunto es abierto si es entorno de todos sus elementos, es decir, si

contiene todos los divisores de cada elemento suyo. Por tanto el conjunto {−1, 1}es abierto, en cambio {1, 2, 4} no lo es, ya que no es entorno del 1, puesto que

D(1) = {−1, 1} 6⊂ {1, 2, 4} (de hecho no es entorno de ningun elemento suyo).

El conjunto de todos los primos enteros (es decir, aquellos numeros enteros p de

modo que D(p) = {±1,±p}) tambien forman un abierto. Por ultimo observese

que un conjunto C es cerrado en esta topologıa si y solo si su complementario

contiene todos los divisores de cada elemento suyo, es decir, si ∀n 6∈ C se tiene

que D(n) ∩ C = ∅. Esta propiedad es equivalente a que ∀n ∈ C, M(n) ⊂ C

(donde M(n) := {kn | k ∈ Z} es el conjunto de los multiplos enteros de n). Por

tanto, C ⊂ Z es cerrado en esta topologıa si contiene a los multiplos de todos sus

elementos.


Ejercicio 3.11. ♠ Demuestra que las familias E(n) satisfacen las propiedades

(N1)-(N5).

TEMA 3. SUBESPACIOS 39

Tema 3. Subespacios

El punto de partida de este tema es un espacio topologico (X, T ) y un sub-

conjunto A ⊂ X de X. El objetivo sera convertir el conjunto A en un espacio

topologico (utilizando la topologıa T ) de manera que, por ejemplo, la inclusion

iA : A ↪→X sea continua. Por el Ejercicio 2.8, si consideramos la topologıa discre-

ta sobre A ya se tiene que iA es continua. Sin embargo, buscamos una topologıa

optima que cumpla esta condicion, y como la discreta no discrimina quien debe

ser abierto vamos a buscar la que posea menos abiertos y satisfaga que iA es con-

tinua. En realidad, lo que vamos a hacer es generalizar lo que ya se ha hecho para

subconjuntos de Rn.

Definicion 3.3.1. Tomemos un subconjunto cualquiera A ⊂ X. La topologıa

de subespacio de A es TA := {U ∩ A | U ∈ T }. Diremos que (A, TA) es un

subespacio topologico de (X, T ). Llamaremos X-abiertos (o abiertos absolutos) a

los elementos de T y A-abiertos (o abiertos relativos) a los elementos de TA. El

mismo criterio se aplicara a otros conceptos (cerrados, entornos, . . . ).

Ejercicio 3.12. ♠ Demostrar que (A, TA) es un e.t.

Ejemplo 3.3.2. Sea U ⊂ A abierto en X (es decir, U ∈ TX), entonces U =

U∩A y por definicion se tiene que U es un abierto relativo en A (es decir, U ∈ TA).

En otras palabras, todo abierto de X contenido en A es un abierto en el subespacio

A. Conviene observar que no todos los abiertos de A son abiertos de X contenidos

en A. Por ejemplo, si X = R y A = R≥0, entonces U = [0, a) = (−∞, a) ∩ A es

interseccion de un abierto de R con A y por tanto, U es abierto de A. En cambio,

U no es abierto en R (Ejemplo 3.1.3(5)).

Se tienen las siguientes propiedades basicas de subespacios. Para ello conside-

remos (X, TX) e (Y, TY ) espacios topologicos, A ⊂ X y A′ ⊂ Y . Entonces:

Propiedades 3.3.3 (Subespacios).

(1) Si A ⊂ B ⊂ X, entonces TA = (TB)A.

(2) C ⊂ A es A-cerrado si y solo si existe C ⊂ X, X-cerrado, tal que C =

C ∩ A.

(3) Sea x ∈ A; V ⊂ A es A-entorno de x si y solo si existe V ⊂ X, X-entorno

de x, tal que V = V ∩ A.

(4) Si A es X-abierto (resp. X-cerrado), entonces V ⊂ A es A-abierto (resp.

A-cerrado) si y solo si V es X-abierto (resp. X-cerrado).


(5) La inclusion iA,X : A ↪→ X es continua. De hecho, si T es la topologıa

de X, entonces T |A = i−1A,XT (la topologıa imagen inversa de iA,X del

Ejemplo 2.1.2(9)).

(6) Si f : X → Y es una aplicacion continua, entonces f |A : A → Y es

continua.

(7) Si f : X → A′ es una aplicacion continua, entonces g := iA′,Y ◦f : X → Y

es continua.

(8) Supongamos que f : X → Y es una aplicacion continua, que f(X) ⊂ A′

y que h : X → A′ es la unica aplicacion tal que f = iA′,Y ◦ h. Entonces h

es continua.


(1) Combinando las Propiedades 3.3.3(5) y (8) se tiene que si f : X → Y es

continua, A′ ⊂ Y y A := f−1(A) entonces f : A → A′, definida como f ,

es tambien continua.

(2) Observese que las definiciones dadas en el Capıtulo 1 para la continuidad

de aplicaciones f : A → B (A ⊂ Rn y B ⊂ Rm) (Definicion 1.1.8), entorno

metrico de x en A ⊂ Rn (Definicion 1.2.1) y abierto en A ⊂ Rn (Defi-

nicion 1.2.4) corresponden a las definiciones equivalentes de continuidad,

entorno y abierto en los subespacio topologicos (A, Tu|A) y (B, Tu|B).

De hecho, el Ejemplo 1.2.2(4) es un caso particular de la Observa-

cion 3.3.3(3) y el Ejemplo 1.2.5(3) es un caso particular de la Observa-

cion 3.3.3(4).

Por ultimo, ahora que hemos estudiado los subespacios de un espacio to-

pologico, podemos dar un criterio util para probar que una aplicacion es continua

basandonos en su restriccion a subespacios. Este criterio formaliza la continuidad

por trozos.

Proposicion 3.3.5 (continuidad(12)). Sean (X, TX) e (Y, TY ) e.t. y sea

f : X → Y una aplicacion. Supongamos que la familia {Aλ}λ∈Λ de subconjuntos

recubre X (es decir,⋃

λ∈Λ Aλ = X). Denotemos por fλ := f |Aλ : Aλ → Y a la

restriccion. Supongamos que:

(1) Aλ ∈ TX , o bien

(2) Aλ ∈ CX y Λ finito.

Entonces f es continua ⇔ fλ es continua ∀λ ∈ Λ.

Ejercicio 3.13. ♠ Demuestra que el cuadrado y la circunferencia son homeo-

morfos.

TEMA 3. SUBESPACIOS 41

Ejercicio 3.14. ♠ Demuestra que X := { 1n}n∈N es un subespacio discreto de

(R, Tu), en cambio Y := X ∪ {0} no es discreto.

Ejercicio 3.15. ♠ Si U ⊂ R, definamos (−U) := {−x ∈ R | x ∈ U}.Demuestra que Tu|R≥0

= {U ⊂ R≥0 | U ∪ (−U) ∈ Tu}.Ejercicio 3.16. ♠ Sean A ⊂ R, B ⊂ R y f : A \ {a1, ..., an} → B una

aplicacion continua con un numero finito de asıntotas verticales en {a1, ..., an}(Ejercicio 3.4). Demuestra que Γf ⊂ A×B (el grafo de f) es un cerrado relativo

de A×B ⊂ R2.

Observacion 3.3.6. Supongamos que f : A \ {a1, ..., an} → B es una aplica-

cion como en el Ejercicio 3.16; entonces Γf ⊂ A×B es cerrado relativo en A×B.

Supongamos ahora que A y B son cerrados en R, entonces A × B es cerrado en

R2 (Ejercicio 3.6). Por tanto, por la Propiedad 3.3.3(4), se tiene que el grafo Γf

de f , es cerrado en R2.

Definicion 3.3.7. Sea P una propiedad predicable de espacios topologicos.

Diremos que una propiedad topologica P es hereditaria si se cumple lo siguiente:

Si (X, T ) verifica P y A ⊂ X no vacıo ⇒ (A, T |A) verifica P .

La inclusion iA,X de un subespacio topologico no vacıo A propiamente conte-

nido en el ambiente X no es homeomorfismo ya que no es biyectiva. En cambio

podrıamos decir que no esta muy lejos de serlo. Bastarıa cambiar el conjunto

imagen al que nos referimos. Esta idea inspira la siguiente definicion.

Definicion 3.3.8. Sean X e Y e.t. y sea f : X → Y una aplicacion. Diremos

que f es un homeomorfismo sobre la imagen si la aplicacion inducida f : X →f(X) es un homeomorfismo.

Ejemplo 3.3.9. Si (X, TX) es un e.t. y A ⊂ X, entonces iA,X : A → X es

homeomorfismo sobre la imagen dado que iA,X no es mas que la identidad en A,

es decir, iA,X = 1A, que es homeomorfismo (Propiedad 2.1.8(1)).

Ejemplo 3.3.10. En el tema de espacios seudometricos (Observacion 2.2.4) ya

dimos un metodo para construir un subespacio topologico a partir de uno dado.

En particular, supongamos que (X, d) es un espacio seudometrico y que A ⊂ X,

entonces la restriccion de d a A (d|A o mas propiamente d|A×A) es tambien un es-

pacio seudometrico, por lo tanto podemos construir T (d|A) que sera una topologıa

para A. En este tema tenemos una construccion alternativa, que consiste en partir

de T (d), la topologıa inducida por d en X, y considerar en A la topologıa de su-

bespacio, en notacion, T (d)|A. Comprobemos que ambas construcciones dan lugar


a la misma topologıa, es decir, que T (d|A) = T (d)|A. De hecho basta probar que si

x ∈ U ⊂ A, entonces U es entorno de x en (A, T (d|A)) si y solo si U es entorno de

x en (A, T (d)|A) (Observacion 3.2.8). La observacion clave en esta demostracion

es que Bd|A(x; ε) = Bd(x; ε)∩A y por tanto, una bola en la seudometrica d|A cen-

trada en x es tambien entorno de x en la topologıa T (d)|A (ya que es interseccion

de Bd(x; ε) que es entorno de x en X con A, Propiedad 3.3.3(3)).

TEMA 4. CLAUSURA 43

Tema 4. Clausura

Sea (X, T ) e.t. y A ⊂ X; denotemos por CT (A) a la familia de cerrados que

contienen a A, es decir,

CT (A) := {C ∈ CT | A ⊂ C}.Como A ⊂ X y X es un cerrado, entonces CT (A) es no vacıo. Por tanto definiremos

la siguiente interseccion

Definicion 3.4.1. Llamaremos clausura de A o adherencia de A en X al

conjunto

A :=⋂CT (A).

Los elementos de la clausura de A en X se llaman puntos adherentes a A en X o

simplemente puntos adherentes a A si el espacio topologico se da por sobreenten-

dido.

Observacion 3.4.2. La clausura del conjunto A no esta definida de manera

intrınseca a A, sino que depende de la topologıa T de X escogida o del supracon-

junto X. Si es necesario especificar el espacio topologico (X, T ) donde tomamos

la clausura de A, escribiremos Adh(X,T )(A) = AdhX(A) = AX

.

Propiedades 3.4.3 (Clausura). Sean (X, T ) e.t. y A ⊂ X, entonces:

(1) A es cerrado.

(2) Si C es un cerrado y C ⊃ A, entonces C ⊃ A.

(3) A ⊂ A. Es decir, A es el menor cerrado que contiene a A.

(4) Sean A,B ⊂ X tal que A ⊂ B, entonces A ⊂ B.

(5) A es un cerrado si y solo si A = A (en particular ∅ = ∅ y X = X).

(6) (A) = A.

(7) A ∪B = A ∪B.

(8) A = {x ∈ X | (X \ A) no es entorno de x}.(9) A ∩B ⊂ A ∩B.

Observacion 3.4.4. Una consecuencia util de estas propiedades es que si

A ⊂ B ⊂ A, entonces A = B. Para probarlo basta utilizar la Propiedad 3.4.3(4)

para ver que A ⊂ B ⊂ (A)Prop.3.4.3(6)

= A.

Ejercicio 3.17. ♠ Calcula la clausura del conjunto A = (a, b) en la topologıa

usual de R y en la topologıa de la recta de Sorgenfrey.

Observemos que, si bien se tiene A ∩B ⊂ A ∩ B (Propiedad 3.4.3(9)), en

general no se da la igualdad, como se prueba en el siguiente ejercicio.


Ejercicio 3.18. ♠ Sea A = (0, 1) y B = (1, 2). Calcula A ∩B y A ∩B en la

topologıa usual.

Observacion 3.4.5. Observa que la Propiedad 3.4.3(7) no es cierta para unio-

nes infinitas. Unicamente se tiene⋃

λ∈Λ Aλ ⊂⋃

λ∈Λ Aλ (siguiendo la misma demos-

tracion que en el caso finito), pero el otro contenido no es cierto en general como

muestra el siguiente ejercicio.

Ejercicio 3.19. ♠ Sea An := ( 1n+1

, 1n) ⊂ R y A := ∪nAn. Calcula A y ∪nAn

en la topologıa usual.

Ejercicio 3.20. ♠ Calcula la clausura del conjunto A+ := { 1n}n∈N ⊂ R y

A− := {− 1n}n∈N ⊂ R en la topologıa usual (R, Tu), en la de Sorgenfrey (R,S), en

la topologıa conumerable (R, Tcn) y en la cofinita (R, Tcf).

Ejercicio 3.21. ♠ Caracteriza las clausuras de subconjuntos de X con la

topologıa cofinita y conumerable.

Ejercicio 3.22. ♠ Si T1 y T2 son topologıas en X tal que T1 ⊂ T2, entonces

A ⊂ Adh(X,T2)(A) ⊂ Adh(X,T1)(A).

Podemos caracterizar la clausura de un subconjunto del siguiente modo. Intui-

tivamente, los puntos adherentes a un subconjunto son los puntos cercanos.

Proposicion 3.4.6. Sea A ⊂ X, entonces las siguientes afirmaciones son

equivalentes:

(1) x ∈ A.

(2) ∀U ⊂ X abierto tal que x ∈ U se tiene que U ∩ A 6= ∅.(3) ∀V x ⊂ X entorno de x en X se tiene que V x ∩ A 6= ∅.

Ejercicio 3.23. ♠ Consideremos (X, d) espacio seudometrico, A ⊂ X y dA

la aplicacion definida en el Ejercicio 2.24. Demuestra:

A = {x ∈ X | dA(x) = 0}.Observacion 3.4.7. Siguiendo en la lınea de la Observacion 3.1.4 observese

que no es cierto en general que Bd(x; ε) = Dd(x; ε). Por ejemplo, si d = δ es

la distancia discreta en X se tiene que Dδ(x; 1) = X y en cambio, dado que

Bd(x; 1) = {x} es un cerrado (Ejercicio 3.3), se tiene que Bd(x; 1)Prop. 3.4.3(5)

= {x} ⊂X = Dδ(x; 1). Ası pues, si X tiene mas de un elemento, Bd(x; 1) $ Dδ(x; 1).

En cambio, para cualquiera de las metricas d := d1n, d2

n, d∞n de Rn sı se cumple

que Bd(x; ε) = Dd(x; ε). Se puede hacer una demostracion directa de este resultado

usando la Proposicion 3.4.6 o bien algo mas sutil, pero con algo mas de maquinaria

tecnica (Ejercicio 3.45).

TEMA 4. CLAUSURA 45

Definicion 3.4.8. Un subconjunto A es denso en X si A = X.

Utilizando la caracterizacion de la clausura de un conjunto podemos dar una

util caracterizacion de densidad.

Proposicion 3.4.9. El conjunto A ⊂ X es denso en (X, T ) si y solo si ∀U ∈ Tno vacıo, se tiene que U ∩ A 6= ∅.

Ejercicio 3.24. ♠ Demuestra que Q es denso en (R, Tu) y en (R,S).

Ejercicio 3.25. ♠ Sea f : X → Y aplicacion continua y sobreyectiva entre

espacios topologicos, y sea D ⊂ X un conjunto denso; demuestra que f(D) ⊂ Y

es denso.

Ejercicio 3.26. ♠ Sea A ⊂ Y ⊂ X. Demuestra que AY

= AX ∩ Y . En

particular A es denso en Y si y solo si Y ⊂ AX.

Como hicimos con cerrados y entornos, tambien podemos entresacar las pro-

piedades de la clausura que determinan la topologıa.

Definicion 3.4.10. Sea X un conjunto. Un operador de Kuratowski de X es

una aplicacion K : P(X) → P(X) que cumple:

(K1) K(∅) = ∅.(K2) A ⊂ K(A), ∀A ⊂ X.

(K3) K(K(A)) = K(A), ∀A ⊂ X.

(K4) K(A) ∪K(B) = K(A ∪B), ∀A,B ⊂ X.

Observacion 3.4.11. Observemos que la clausura es un operador de Kura-

towski.

Proposicion 3.4.12. Sea X un conjunto y sea K un operador de Kuratowski

de X. Existe una unica topologıa T en X tal que A = K(A), ∀A ⊂ X.

Terminamos este tema con la relacion entre clausura y aplicaciones continuas.

Proposicion 3.4.13. Sea f : X → Y una aplicacion; entonces, f es continua

si y solo si ∀A ⊂ X se tiene f(A) ⊂ f(A).


Tema 5. Interior

En este tema desarrollaremos un concepto analogo al de clausura pero referido a

abiertos contenidos en un conjunto dado. Sea (X, T ) e.t. y sea A ⊂ X. Denota-

remos por T (A) a la familia de abiertos contenidos en A, es decir,

T (A) := {U ⊂ X | U ⊂ A, U abierto en X}.Dado que ∅ ∈ T y ∅ ⊂ A, se tiene que T (A) es siempre una familia no vacıa

de abiertos, por tanto tiene sentido definir la union de esta familia como sigue

Definicion 3.5.1. Llamaremos interior de A en X al siguiente conjunto:

Int(A) :=⋃T (A).

Los elementos de Int(A) se denominan puntos interiores de A en (X, T ) o simple-

mente puntos interiores de A si el contexto permite sobreentender quien es X y

quien la topologıa T .

Observacion 3.5.2. Como ocurre con la clausura, el interior del conjunto A

tampoco esta definido de manera intrınseca a A, sino que depende de la topo-

logıa T de X escogida. Escribiremos Int(X,T )(A) = IntX(A) cuando sea necesario

especificar el espacio topologico (X, T ) donde tomamos el interior de A.

Propiedades 3.5.3 (Interior).

(1) Int(A) es abierto.

(2) Si U es un abierto y U ⊂ A, entonces U ⊂ Int(A).

(3) Int(A) ⊂ A. Es decir, Int(A) es el mayor abierto contenido en A.

(4) Sean A,B ⊂ X tal que A ⊂ B, entonces Int(A) ⊂ Int(B).

(5) A es un abierto si y solo si A = Int(A).

(6) Int(Int(A)) = Int(A).

(7) Si A, B ⊂ X, entonces Int(A) ∩ Int(B) = Int(A ∩B).

(8) Int(A) = {x ∈ A | A es entorno de x}.(9) X \ Int(A) = X \ A.

(10) X \ A = Int(X \ A).

(11) Int(A) ∪ Int(B) ⊂ Int(A ∪B).

Ejercicio 3.27. ♠ Calcula el interior del conjunto A = [a, b] en la topologıa

usual (R, Tu) y en la de la recta de Sorgenfrey (R,S).

El siguiente ejercicio muestra que, si bien se tiene Int(A)∪Int(B) ⊂ Int(A∪B)

(Propiedad 3.5.3(11)), en general no se da la igualdad.

TEMA 5. INTERIOR 47

Ejercicio 3.28. ♠ Comprueba que A = [0, 1] y B = [1, 2] no verifican la

igualdad Int(A) ∪ Int(B) = Int(A ∪B) con respecto a la topologıa usual.

Ejercicio 3.29. ♠ Caracteriza los interiores de subconjuntos de R con la

topologıa cofinita y conumerable.

Por ultimo, caractericemos un punto interior de un subconjunto del siguiente

modo.

Proposicion 3.5.4. Sea A ⊂ X y x ∈ A, entonces las siguientes afirmaciones

son equivalentes:

(1) x ∈ Int(A).

(2) ∃U ⊂ X abierto tal que x ∈ U ⊂ A.

(3) ∃V x ⊂ X entorno de x en X tal que V x ⊂ A.

Ejercicio 3.30. ♠ Si T1 y T2 son topologıas en X tal que T1 ⊂ T2, entonces

Int(X,T1)(A) ⊂ Int(X,T2)(A) ⊂ A.


Tema 6. Exterior, frontera, aislado y derivado

Como en estos ultimos temas, partiremos de un espacio topologico X y de un

subconjunto A ⊂ X. En este tema definiremos los conceptos de exterior, frontera,

aislado y derivado del conjunto A. Dichos conceptos clasifican los puntos de X por

su situacion respecto de A.

Definicion 3.6.1. Llamaremos exterior de A en X a Ext(A) := Int(X \ A).

Los elementos de Ext(A) se dicen puntos exteriores a A.

Propiedades 3.6.2 (Exterior).

(1) Ext(A) es un conjunto abierto.

(2) X = Ext(A)∅∪A.

(3) Int(A) ∩ Ext(A) = ∅.Un resultado analogo al probado para interiores de conjuntos provee una ca-

racterizacion del exterior de A ⊂ X.


son equivalentes:

(1) x ∈ Ext(A).

(2) ∃U ⊂ X abierto tal que x ∈ U y U ∩ A = ∅.(3) ∃V x ⊂ X entorno de x en X tal que V x ∩ A = ∅.

Ejercicio 3.31. ♠ Calcula Ext(Z) en (R, Tcf) y en (R, Tcn).

Definicion 3.6.4. Llamaremos frontera de A en (X, T ) al subconjunto

Fr(A) := {x ∈ X | x 6∈ Int(A) ∧ x 6∈ Ext(A)}Los elementos de Fr(A) se dicen puntos frontera de A.

Veamos las propiedades elementales de la frontera.

Propiedades 3.6.5 (Frontera).

(1) Fr(A) es cerrado.

(2) Fr(A) = Fr(X \ A).

(3) Fr(A) = X \ A ∩ A.

(4) A = Fr(A)∅∪ Int(A).

(5) X = Int(A)∅∪Ext(A)

∅∪Fr(A).

Tambien podemos dar una caracterizacion de los puntos frontera de A en

terminos de abiertos o entornos.

TEMA 6. EXTERIOR, FRONTERA, AISLADO Y DERIVADO 49


son equivalentes:

(1) x ∈ Fr(A).

(2) ∀U ⊂ X abierto tal que x ∈ U , se tiene que ∅ $ U ∩ A $ U .

(3) ∀V x ⊂ X entorno de x en X, se tiene que ∅ $ V x ∩ A $ V x.

Ejercicio 3.32. ♠ Calcula la frontera de A = { 1n} y de B = A ∪ {0} en

(R, Tu).

Ejercicio 3.33. ♠ Demuestra las siguientes igualdades:

(1) Int(A) = A \ Fr(A)

(2) A = A ∪ Fr(A)

Definicion 3.6.7. Llamaremos aislado de A en X al subconjunto

Ais(A) := {x ∈ X | ∃U ⊂ X abierto tal que U ∩ A = {x}}.Los elementos de Ais(A) se dicen puntos aislados de A.

Propiedades 3.6.8 (Aislado).

(1) Ais(A) ⊂ A.

(2) Ais(A) = {x ∈ X | ∃V x ⊂ X entorno de x tal que V x ∩ A = {x}}.(3) Los puntos aislados de A son abiertos relativos de A.

Ejercicio 3.34. ♠ Calcula los puntos aislados de Z en (R, Tcf) y en (R, Tcn).

Definicion 3.6.9. Llamaremos derivado de A en X al subconjunto

A′ := {x ∈ X | ∀U ⊂ X abierto tal que x ∈ U se tiene (U \ {x}) ∩ A 6= ∅}.Los elementos de A′ se dicen puntos de acumulacion de A.

Propiedades 3.6.10 (Derivado).

(1) A′ = {x ∈ X | ∀V x ⊂ X entorno de x se tiene (V x \ {x}) ∩ A 6= ∅}.(2) A = Ais(A)

∅∪A′.

(3) X = Ais(A)∅∪A′ ∅∪Ext(A).

Ejercicio 3.35. ♠ Calcula el conjunto derivado de A = { 1n} y de B = A∪{0}

en (R, Tu).

Ejercicio 3.36. ♠ Sea A ⊂ X. Demuestra que si A ∩ A′ = ∅, entonces A =

Ais(A). Demuestra tambien que si, ademas, A′ = ∅, entonces A = A = Ais(A), es

decir, A es cerrado.


Tema 7. Aplicaciones abiertas y cerradas

Hasta ahora nos hemos centrado en propiedades de puntos con respecto a con-

juntos, y las unicas propiedades de aplicaciones que conocemos (aparte de la con-

tinuidad) no tienen que ver con espacios topologicos, sino con conjuntos, como

son la inyectividad y la sobreyectividad. Vamos a dedicar este capıtulo a estudiar

propiedades de otras aplicaciones que tienen que ver con espacios topologicos, es

decir, enunciadas en terminos de abiertos.

Definicion 3.7.1. Consideremos (X, TX) e (Y, TY ) e.t. y una aplicacion f :

X → Y . Diremos que f es abierta (resp. cerrada) si ∀A ∈ TX (resp. A ∈ CTX), se

tiene que f(A) ∈ TY (resp. f(A) ∈ CTY).

La siguiente es una caracterizacion del concepto de aplicacion abierta en termi-

nos de entornos:

Proposicion 3.7.2. Sea f : X → Y aplicacion. Entonces las siguientes afir-

maciones son equivalentes:

(1) ∀x ∈ X y ∀V x entorno de x ∈ X, se tiene que f(V x) es entorno de

f(x) ∈ Y ,

(2) La aplicacion f es abierta.

Ejercicio 3.37. ♠ Sea f : X → Y una aplicacion y X un espacio seudometri-

co (X, d). Demuestra que f es abierta si y solo si para todo x0 ∈ X existe ε > 0

tal que f(Bd(x0; δ)) es un entorno de f(x0) para cualquier 0 < δ ≤ ε.


(1) Todo homeomorfismo es abierto y cerrado (la demostracion aparece en la

Proposicion 3.7.4).

(2) Si el punto y0 ∈ Y es cerrado en Y , entonces la aplicacion constante

fy0 : X → Y definida por fy0(x) := y0, ∀x ∈ X, es cerrada ya que

fy0(C) =

∅ si C = ∅{y0} si C 6= ∅

que en ambos casos son conjuntos cerrados en Y .

(3) Utilizando aplicaciones afines es facil comprobar que existen aplicaciones

continuas que son abiertas y no cerradas (en general si es sobreyectiva y

la dimension del espacio final es menor que la del inicial) y cerradas que

no son abiertas (en general siempre que la dimension del espacio final es

mayor que la del inicial). Por ejemplo:

TEMA 7. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS 51

(a) La aplicacion entre espacios topologicos usuales f1 : R2 → R definida

por f1(x, y) = x es abierta pero no es cerrada:

Abierta. Usemos el Ejercicio 3.37. Para ello sea ε > 0 cualquiera

y definamos U := Bd∞((x, y); ε) = (x− ε, x + ε)× (y− ε, y + ε)

(Ejemplo 2.2.28). Observa que f1(U) = (x − ε, x + ε) es un

entorno de x = f1(x, y). Ası pues f1 es aplicacion abierta.

No cerrada. Consideremos C := {(x, 1x) | x ∈ R \ {0}}, que un

cerrado por ser grafo de la aplicacion continua g : R \ {0} → Rdefinida por g(x) = 1

xcon asıntota vertical en 0 (Ejercicio 3.4).

Como f1(C) = R \ {0} no es cerrado (ya que su complemen-

tario {0} no es abierto) hemos probado que f no es aplicacion

cerrada.

Observese que la misma demostracion del apartado (a)) prueba que

la proyeccion fi : Rn → R, fi(x1, ..., xn) := xi es abierta. Es mas

cualquier aplicacion lineal Rn → R no nula es abierta, ya que se

obtiene como composicion de un homeomorfismo y una proyeccion.

(b) La aplicacion f2 : R → R2 definida por f2(x) = (x, 0) no es abierta

ya que f2(R) = R×{0} no es abierto en R2. En cambio sı es cerrada

ya que, si C es un cerrado de R, entonces f2(C) es el grafo de la

aplicacion continua f : (C, Tu) → (R, Tu), definida por f(x) := 0.

Ası pues f2(C) es un cerrado de C × R (Ejercicio 3.16), pero como

C y R son cerrados en R entonces f2(C) es de hecho cerrado en R2

(Observacion 3.3.6).

(4) La composicion de aplicaciones abiertas (resp. cerradas) es abierta (resp.

cerrada). Esto es inmediato ya que, si f : X → Y y g : Y → Z son

abiertas y U ⊂ X es abierto en X, entonces f(U) ⊂ Y es abierto en Y y

por tanto g ◦ f(U) = g(f(U)) ⊂ Z es abierto en Z (analogamente para

aplicaciones cerradas).

(5) Si las aplicaciones f1 : A → B1 y f2 : A → B2 (A ⊂ Rn, B1 ⊂ Rn1

y B2 ⊂ Rn2) son abiertas, entonces f : A → B := B1 × B2 es una

aplicacion abierta. Para ver esto basta tomar un abierto U ⊂ A, entonces

f(U) = f1(U)× f2(U) que es abierto en B (Ejercicio 2.32).

Ejercicio 3.38. ♠ Demuestra que una aplicacion biyectiva entre espacios to-

pologicos es cerrada si y solo si es abierta

Ejercicio 3.39. ♠ Demuestra que la aplicacion f3 de la Figura 1(a) no es

abierta ni cerrada, mientras que f4, de la Figura 1(b), es tanto abierta como

cerrada.


(a) (b)

Figura 3.1.

y = 0

y = 1

x = −1 x = 1

x = 0

f3 : R \ {±1} → Rx 7→ x2

x2−1

y = 0

x = 0

f4 : R → Rx 7→ x3

Ejercicio 3.40. ♠ Sean (X, TX) e (Y, TY ) e.t. y sea f : X → Y una aplica-

cion. Supongamos que A ⊂ X es abierto (resp. cerrado). Demuestra que si f es

abierta (resp. cerrada), entonces f |A es abierta (resp. cerrada).

Ejercicio 3.41. ♠ El hecho de que una aplicacion sea abierta depende no solo

de la formula que define la aplicacion sino tambien de los conjuntos inicial y final.

Por ejemplo, demuestra que la aplicacion f1 : R → R f1(x) := x2 no es abierta,

mientras que f2 : R→ R≥0 f2(x) := x2 sı lo es.

Ejercicio 3.42. ♠ Sean (X, TX) e (Y, TY ) e.t. y sea f : X → Y una apli-

cacion. Supongamos que la familia {Aλ}λ∈Λ de subconjuntos recubre X (es decir,⋃λ∈Λ Aλ = X). Denotemos por fλ := f |Aλ : Aλ → Y a la restriccion. Demuestra

que:

(1) Si fλ es abierta ∀λ ∈ Λ, entonces f es abierta.

(2) Si Λ finito y fλ es cerrada ∀λ ∈ Λ, entonces f es cerrada.

Ejercicio 3.43. ♠ Sea f : X → Y una aplicacion continua y abierta entre

espacios topologicos. Demuestra que si B ⊂ Y , entonces f−1(B) = f−1(B).

Ejercicio 3.44. ♠ Denotemos por d := d2n la distancia euclıdea en Rn y sea

dx0 : Rn → R≥0 la aplicacion distancia a x0 ∈ Rn (definida en el Ejercicio 2.23).

Demuestra que dx0 es abierta.

Ejercicio 3.45. ♠ Utiliza los Ejercicios 3.43 y 3.44 para probar que

Bd(x0; ε) = Dd(x0; ε),

TEMA 7. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS 53

donde d := d2n es la distancia euclıdea en Rn (ver Observacion 3.4.7).

Veamos la relacion entre las aplicaciones abiertas, las cerradas y los homeo-

morfismos.

Proposicion 3.7.4. Sea f : X → Y una aplicacion biyectiva. Son equivalen-

tes:


(2) f es continua y abierta.

(3) f es continua y cerrada.

Ejemplo 3.7.5. Consideremos la aplicacion f2(x) = x2 del Ejercicio 3.41.

Sabemos que f2 es continua, suprayectiva y abierta. Si tomamos A = R≥0 es claro

que f2|A : A → A es biyectiva y continua. Veamos que es abierta. Sea U ⊂ A

A-abierto, entonces existe V ∈ Tu de modo que U = V ∩ A. Dado que f2|A es

inyectiva se tiene que f2|A(U) = f2(V ∩A) = f2(V )∩f2(A) = f2(V ) que es abierto

en A dado que f2 es abierta. Por lo tanto, la Proposicion 3.7.4(2) nos asegura que

f2|A es un homeomorfismo.

Los homeomorfismos sobre la imagen se caracterizan tambien con aplicaciones

abiertas.

Proposicion 3.7.6. La aplicacion f es un homeomorfismo sobre la imagen si

se cumplen las tres condiciones siguientes:

(1) f es inyectiva;

(2) f es continua;

(3) f es abierta sobre la imagen, es decir, ∀U ⊂ X abierto, f(U) es abierto

en f(X).

Ejercicio 3.46. ♠ Demuestra que la aplicacion f : R → R2 definida por

f(x) = (x, 0) es un homeomorfismo sobre la imagen.

Ejercicio 3.47. ♠ Sea f : X → Y homeomorfismo y A ⊂ X, demuestra que

f |A : A → f(A) (Ejercicio A.14) es tambien homeomorfismo.

Ejercicio 3.48. ♠ Considera el conjunto S de la Figura 3.2.

Formalmente podemos ver esta figura de dos formas distintas. Una, como ima-

gen de la siguiente aplicacion definida a trozos:

f(x) :=

(2πx, 0) si x ∈ [− 1π, 1

π]

(1− cos 1x, sen 1

x) si x ∈ [ 1

π, +∞)

(−1 + cos 1x,− sen 1

x) si x ∈ (−∞,− 1

π]


Figura 3.2. Figura ocho

(−2, 0)

(2, 0)

y otra, como subconjunto de R2. En cada caso obtenemos una topologıa: a la de

S como subespacio de R2 la denotaremos por Tu|S, mientras que a la de S como

imagen de f la denotaremos por fTu. Comprueba que Tu|S 6= fTu.

CAPıTULO 4

Bases

Tema 1. Bases de entornos

Comenzaremos considerando un e.t. X y un punto x ∈ X. La idea de este capıtulo

es definir bases de entornos, es decir, familias de entornos de x que de alguna

manera codifiquen todas las propiedades que tiene la familia E(x) de todos los

entornos de x. El motivo es que a menudo trabajar con bases de entornos es

mas sencillo (digamos que al menos no es mas complicado) que utilizar todos los

entornos.

Definicion 4.1.1. Diremos que una familia Bx de entornos de x es una base

de entornos de x (o un sistema fundamental) si ∀V x entorno de x ∃Bx ∈ Bx tal

que Bx ⊂ V x. Los elementos de Bx se llaman entornos basicos.

Ejemplos 4.1.2.

(1) La familia E(x) de todos los entornos de x es una base de entornos ya que

si V x es entorno de x, entonces es claro que existe un elemento de E(x)

(el propio V x) contenido en V x.

(2) Analogamente, la familia TX(x) := E(x)∩TX de todos los entornos abier-

tos de x es una base de entornos, ya que si V x es entorno de x, entonces

(por definicion) existe un abierto U de modo que x ∈ U ⊂ V x. Por ser U

abierto y contener a x, entonces es un entorno de x (Proposicion 3.2.3),

luego U ∈ TX(x) y cumple U ⊂ V x.

(3) Sea (X, d) un espacio seudometrico y x ∈ X. Las siguientes familias son

bases de entornos de x:

(a) Bx := {Bd(x; ε) | ε > 0}.Esto se deduce de la definicion de entorno en un espacio seudometri-

co. V x es entorno de x si existe ε > 0 tal que Bd(x; ε) ⊂ V x, que es

exactamente decir que Bx es base de entornos de x.

(b) BxK := {B(x; ε) | K > ε > 0} donde K ∈ R esta fijo.

De nuevo, si V x es entorno de x, entonces existe ε′ > 0 tal que

Bd(x; ε′) ⊂ V x, tomando ε := 12mın{ε′, K} > 0 podemos asegurar

55

56 4. BASES

que Bd(x; ε) ⊂ Bd(x; ε′) ⊂ V x donde Bd(x; ε) ∈ BxK y por tanto Bx

K

es base de entornos de x.

(c) BxK := {B(x; ε) | K > ε > 0} donde K ∈ R esta fijo.

Sea V x entorno de x. Como BxK es base de entornos, existe un K >

ε′ > 0 de modo que Bd(x; ε′) ⊂ V x. Tomando K > ε = ε′2

> 0

tenemos que Bd(x; ε) ⊂ Bd(x; ε′) ⊂ V x donde Bd(x; ε) ∈ BxK , luego

BxK es base de entornos de x.

(d) BxA := {B(x; ε) | ε ∈ A} donde A ⊂ R>0 e Inf(A) = 0. Por ejemplo

podemos tomar como A el conjunto de los racionales positivos o

cualquier sucesion de numeros positivos que converja a 0.

Sea V x entorno de x, entonces existe ε′ > 0 tal que Bd(x; ε′) ⊂ V x.

Como Inf(A) = 0 entonces existe ε ∈ A de modo que 0 < ε < ε′,ası pues B(x; ε) ∈ Bx

A y ademas B(x; ε) ⊂ B(x; ε′) ⊂ V x, es decir, BxA

es base de entornos de x.

(4) Un espacio X es discreto si y solo si Bx := {{x}} es base de entornos

de x, ∀x ∈ X. El motivo es el siguiente: si X fuera discreto {x} es entorno

de x (por ser {x} abierto y contener a x) y ademas todo entorno de x

debe contener a {x} (por definicion). Recıprocamente, si Bx := {{x}} es

base de entornos de x ∀x ∈ X, entonces {x} debe ser entorno de x (por

definicion) y por tanto el propio {x} es abierto, ası pues X es discreto

(Ejercicio 2.2).

(5) Del Ejemplo 3.2.9, deducimos que Ba := {[a, b) | b > a} es base de

entornos de a para la topologıa de Sorgenfrey.

El comentario al principio del capıtulo tiene su explicacion en la siguiente lista

de caracterizaciones de conceptos topologicos en terminos de bases de entornos.

Ejercicio 4.1. ♠ Supongamos que (X, TX) e (Y, TY ) son e.t, que f : X → Y

es una aplicacion y que BxX , Bf(x)

Y son bases de entornos de x ∈ X y f(x) ∈ Y

respectivamente. Demuestra las siguientes caracterizaciones:

(1) U ⊂ X es entorno de x ∈ U ⇔ existe B ∈ BxX tal que B ⊂ U .

(2) U ⊂ X es abierto ⇔ ∀x ∈ U , existe B ∈ BxX tal que B ⊂ U (Proposi-

cion 3.2.3).

(3) f es continua en x ∈ X ⇔ ∀BY ∈ Bf(x)Y f−1(BY ) es entorno de x (Pro-

posicion 3.2.4).

(4) x ∈ A ⇔ ∀B ∈ BxX se tiene que B ∩ A 6= ∅ (Proposicion 3.4.6).

(5) x ∈ Int(A) ⇔ ∃B ∈ BxX tal que B ⊂ A (Proposicion 3.5.4).

(6) x ∈ Ext(A) ⇔ ∃B ∈ BxX tal que B ∩ A = ∅ (Proposicion 3.6.3).

(7) x ∈ Fr(A) ⇔ ∀B ∈ BxX se tiene que ∅ $ B ∩ A $ B (Proposicion 3.6.6).

TEMA 1. BASES DE ENTORNOS 57

(8) x ∈ Ais(A) ⇔ ∃B ∈ BxX tal que B ∩ A = {x} (Propiedad 3.6.8(2)).

(9) x ∈ A′ ⇔ ∀B ∈ BxX se tiene que (B \ {x}) ∩A 6= ∅ (Propiedad 3.6.10(1))

(10) f es abierta ⇔ ∀x ∈ X y ∀BX ∈ BxX , se tiene que f(BX) es entorno de

f(x) (Proposicion 3.7.2).

El siguiente resultado nos sera muy util a la hora de probar que ciertas familias

son bases de entornos.

Proposicion 4.1.3. Sea X e.t. y sea x ∈ X. Sean Bx una base de entornos

de x y Dx una familia de entornos de x. Entonces, Dx es una base de entornos si

y solo si ∀B ∈ Bx existe D ∈ Dx tal que D ⊂ B.

Observacion 4.1.4. Observese que, por la Proposicion 4.1.3, si Bx es base de

entornos de x y E(x) ⊃ Bx ⊃ Bx, entonces tambien Bx es base de entornos de x.

Propiedades 4.1.5. Sea X un conjunto y sea {Bx}x∈X ⊂ P(P(X)) de modo

que cada Bx es una base de entornos de x, para cada x ∈ X. Entonces se satisfacen

las siguientes propiedades para cualquier x ∈ X:

(BE1) Bx 6= ∅.(BE2) ∀Bx ∈ Bx, x ∈ Bx.

(BE3) ∀Bx1 , Bx

2 ∈ Bx, existe Bx3 ∈ Bx tal que Bx

3 ⊂ Bx1 ∩Bx

2 .

(BE4) ∀Bx ∈ Bx, ∃W x ∈ Bx tal que ∀y ∈ W x existe By ∈ By cumpliendo

By ⊂ Bx.

Lo interesante de estas propiedades es que caracterizan la topologıa en la cual

la familia {Bx}x∈X es una familia de bases de entornos. En otras palabras, proba-

remos el siguiente resultado.

Proposicion 4.1.6. Sea X un conjunto cualquiera y {Bx}x∈X ⊂ P(P(X))

una familia que verifica (BE1), (BE2), (BE3) y (BE4), entonces existe una unica

topologıa T sobre X tal que Bx es base de entornos de x, ∀x ∈ X.

Ejemplo 4.1.7. Sea X := R∅∪{∗}, donde ∗ /∈ R. Sean

Bx := {(x−ε, x+ε) ⊂ R | ε > 0}, x ∈ R, B∗ := {(−ε, 0)∪{∗}∪(0, ε) ⊂ X | ε > 0}.Veamos que son bases de entornos de una topologıa. Ya sabemos que si x ∈ R,

Bx verifica (BE1)-(BE4). Las propiedades (BE1)-(BE4) se demuestran inmediata-

mente para B∗. La topologıa en X se denomina recta de dos orıgenes.

Estudiaremos como se comportan las bases de entornos con respecto a aplica-

ciones continuas o abiertas.

58 4. BASES

Proposicion 4.1.8. Sea f : X → Y aplicacion continua y abierta entre es-

pacios topologicos y sea Bx base de entornos de x ∈ X. Entonces fBx := {f(B) |B ∈ Bx} es base de entornos de f(x).

Ejercicio 4.2. ♠ Sea Bx base de entornos de x en un e.t. (X, T ). Sea U ∈ Tabierto de X tal que x ∈ U . Entonces demuestra que la familia

Bx(U) := {B ∈ Bx | B ⊂ U}es tambien una base de entornos de x en X.

Ejercicio 4.3. ♠ Sea Bx base de entornos de x en un e.t. (X, T ). Sea A ⊂ X

tal que x ∈ A. Entonces demuestra que la familia

BxA := {B ∩ A | B ∈ Bx}

es una base de entornos de x en (A, T |A).

Ejercicio 4.4. ♠ Sea X un e.t, U ⊂ X abierto y x ∈ U , entonces toda base

de entornos de x en U es base de entornos de x en X.

Ejercicio 4.5. ♠ Sea a ∈ R, demuestra que la familia de intervalos semia-

biertos BaA := {[a, a + ε) | ε ∈ A} donde A ⊂ R>0 e Inf(A) = 0 es una base de

entornos de a ∈ R en la topologıa de Sorgenfrey.

TEMA 2. BASES DE ABIERTOS 59

Tema 2. Bases de abiertos

Analogamente al capıtulo anterior, nuestro objetivo es construir familias de

abiertos que codifiquen de alguna manera toda la informacion de la topologıa de

un espacio topologico.

Definicion 4.2.1. Sea X e.t. y B una familia de abiertos de X. Diremos que

B es una base de abiertos de X (o simplemente base de X) si ∀U ⊂ X abierto

existe una subfamilia {Bλ}λ∈Λ ⊂ B, tal que U =⋃

λ∈Λ Bλ (por convenio, la union

de una familia vacıa es el vacıo).

Podemos dar una condicion necesaria y suficiente para que una familia de

abiertos sea de hecho una base de abiertos.

Proposicion 4.2.2. Si B es una familia de abiertos de X, entonces B es una

base de X si y solo si ∀U ⊂ X abierto y ∀x ∈ U existe un abierto B ∈ B tal que

x ∈ B ⊂ U .

Utilizando esta propiedad de las bases de abiertos, observaremos entre otras

cosas, que las propiedades de aplicaciones que pueden definirse en funcion de

abiertos tambien pueden definirse en funcion de bases de abiertos.

Ejercicio 4.6. ♠ Sean X e Y espacios topologicos, f : X → Y una aplicacion,

A ⊂ X, BX base de abiertos de X y BY base de abiertos de Y , entonces:

(1) La familia B(x) := {B ∈ BX | x ∈ B} es base de entornos de x ∈ X.

(2) f es continua si y solo si ∀B ∈ BY , f−1(B) es abierto en X.

(3) f es abierta si y solo si ∀B ∈ BX , f(B) es abierto en Y .

(4) A es entorno de x ∈ X si y solo si ∃B ∈ BX tal que x ∈ B ⊂ A.

(5) x ∈ A si y solo si ∀B ∈ BX tal que x ∈ B se tiene que B ∩ A 6= ∅.(6) x ∈ Int(A) si y solo si ∃B ∈ BX tal que x ∈ B ⊂ A.

(7) x ∈ Fr(A) si y solo si ∀B ∈ BX tal que x ∈ B se tiene que B ∩ A 6= ∅ y

B ∩ Ac 6= ∅.(8) x ∈ Ais(A) si y solo si ∃B ∈ BX tal que B ∩ A = {x}.(9) x ∈ A′ si y solo si ∀B ∈ BX tal que x ∈ B se tiene que (B \{x})∩A 6= ∅.

(10) A es denso en X si y solo si ∀B ∈ B tal que B 6= ∅ se tiene B ∩ A 6= ∅.Observacion 4.2.3. Es inmediato probar una especie de recıproco del Ejerci-

cio 4.6(1). Si para cualquier x ∈ X tenemos Bx una base de entornos abiertos de

x, entonces BX :=⋃

x∈X Bx es una base de abiertos de X.

Ejercicio 4.7. ♠ Si (X, T (d)) es un espacio seudometrico, entonces el con-

junto de las bolas abiertas (ver (2.1)):

B := {Bd(x; ε) | x ∈ X ∧ ε ∈ R+},

60 4. BASES

es una base de abiertos de X.

Ejercicio 4.8. ♠ Sea X e.t. discreto. Demuestra que Bd,X := {{x} | x ∈ X}es base de X.

Toda base de abiertos B de X satisface las siguientes propiedades:

Propiedades 4.2.4 (Base de abiertos).

(B1)⋃

B∈B B = X.

(B2) ∀B1, B2 ∈ B y ∀x ∈ B1 ∩B2 existe B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩B2.

De nuevo, lo interesante de estas propiedades es que una familia de conjuntos

que satisfaga (B1) y (B2) determina de manera unica una topologıa que tenga a

dicha familia como base de abiertos. Es decir, se tiene lo siguiente.

Proposicion 4.2.5. Sea X un conjunto cualquiera y B ⊂ P(X) una familia de

subconjuntos de X que satisface (B1) y (B2), entonces existe una unica topologıa

en la cual B es una base de abiertos.

Ejercicio 4.9. ♠ Sea B base de abiertos de una topologıa T y consideremos

T ′ otra topologıa de modo que B ⊂ T ′, entonces T ⊂ T ′. Por eso diremos que la

topologıa que “genera” B (es decir, de la cual B es base) es la “menor” topologıa

que tiene a B por abiertos.

Ejercicio 4.10. ♠ Demuestra que la familia E := {(−a, b) ⊂ R | a, b ∈ Q>0}satisface las propiedades (B1) y (B2). Estudia la topologıa que engendra en Rdicha familia calculando el interior, clausura, frontera, exterior, puntos aislados y

conjunto derivado de A = Z.

La siguiente caracterizacion es muy util para probar que ciertas familias de

abiertos son base de abiertos.

Proposicion 4.2.6. Sea X un espacio topologico, B una base de abiertos y B′una familia de abiertos de X, entonces B′ es una base de X si y solo si ∀B ∈ By ∀x ∈ B existe B′ ∈ B′ tal que x ∈ B′ ⊂ B.

Observacion 4.2.7. Supongamos que B es base de abiertos de X, y que B′es una familia de abiertos tal que B ⊂ B′, entonces obviamente ∀B ∈ B y ∀x ∈ B

existe B′ ∈ B′ (por ejemplo B′ = B) tal que x ∈ B′ ⊂ B, por tanto B′ es tambien

una base de abiertos de X (Proposicion 4.2.6).

Ejercicio 4.11. ♠ Demuestra que tanto B := {(a, b) ⊂ R | a < b, a, b ∈ R}como B := {(p, q) ⊂ R | p < q, p, q ∈ Q} son bases de abiertos para (R, Tu).


Ejercicio 4.12. ♠ Extenderemos el resultado del Ejercicio 4.11 a Rn del si-

guiente modo: demuestra que tanto

Bn := {(a1, b1)× ...× (an, bn) ⊂ Rn | ai < bi, ai, bi ∈ R, i = 1, ..., n}como

Bn := {(p1, q1)× ...× (pn, qn) ⊂ Rn | pi < qi, pi, qi ∈ Q, i = 1, ..., n}son bases de abiertos para (Rn, Tu).

Ejercicio 4.13. ♠ Demuestra que Qn es denso en Rn.

Ejercicio 4.14. ♠ Demuestra que si B es una base de abiertos de X y A ⊂ X,

entonces BA := {B ∩A | B ∈ B} es una base de abiertos de A (se entiende que A

posee la topologıa inducida como subespacio de X).

Ejemplo 4.2.8. El plano de Moore-Niemytzki es un ejemplo de topologıa gene-

rada por una base de abiertos. Se define el plano de Moore-Niemytzki como el se-

miplano real superior H := {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0} con la topologıa M que tiene por

base de abiertos la familia B := {B((a, b); r), B((a, b); b) | (a, b) ∈ H, 0 < r ≤ b},donde

B((a, b); r) := {(x, y) ∈ R2 | (x− a)2 + (y − b)2 < r2}y

B((a, b); b) := B((a, b); b) ∪ {(a, 0)}.

��

��

��

��

Figura 4.1. Plano de Moore-Niemytzki

H

B((a, b); r)

B((a, b); b)

Para poder asegurar que existe una unica topologıa que tiene a B como fa-

milia de abiertos, debemos comprobar que B cumple las propiedades (B1) y (B2)

(Proposicion 4.2.5):

(B1) Veamos que⋃B = H:

(⊆) Es facil comprobar que cualquier B ∈ B cumple que B ⊂ H, por lo

tanto⋃B ⊂ H (Ejercicio A.16(4)).

62 4. BASES

(⊇) Sea (a, b) ∈ H. Supongamos que b > 0, entonces (a, b) ∈ B((a, b); b) ∈B. Supongamos ahora que b = 0, entonces (a, 0) ∈ B((a, 1); 1) ∈ B,

por lo tanto H ⊂ ⋃B.

(B2) Sean B1, B2 ∈ B y (a, b) ∈ B1 ∩B2. Consideremos varios casos:

(1) Supongamos que b > 0:

(a) Si B1 = B((a1, b1); r1) y B2 = B((a2, b2); r2). En tal caso, tome-

mos K := R2 \ (B1 ∩B2) (cerrado en R2 con la topologıa usual

ya que B1 ∩ B2 ∈ Tu). Definamos ε := dK((a, b)) (observese

que ε > 0 ya que (a, b) 6∈ KProp. 3.4.3(5)

= K, por el Ejercicio 3.23).

Ası pues, B((a, b); ε)∩K = ∅, es decir, existe B := B((a, b); ε) ∈B tal que B

Ejer. A.2(3)⊂ R2 \KProp. A.1.3(8)(a)

= B1 ∩B2.

(b) Supongamos ahora que solo uno de los dos son bolas del tipo

B, por ejemplo, B1 = B((a1, b1); b1) y B2 = B((a2, b2); r2). En-

tonces tenemos que (a, b) ∈ B((a1, b1); b1) ∩B2 ⊂ B1 ∩B2, por

lo tanto podemos aplicar el apartado anterior para probar que

existe B := B((a, b); ε) ∈ B tal que B ⊂ B((a1, b1); b1) ∩ B2 ⊂B1 ∩B2.

(c) Si B1 = B((a1, b1); b1) y B2 = B((a2, b2); b2), entonces tenemos

que (a, b) ∈ B((a1, b1); b1)∩B((a2, b2); b2) y de nuevo, aplicando

el primer caso se tiene que existe B := B((a, b); ε) ∈ B tal que

B ⊂ B((a1, b1); b1) ∩ B((a2, b2); b2) ⊂ B1 ∩B2.

(2) Si b = 0, entonces B1 y B2 tienen que ser necesariamente del tipo

B1 = B((a, b1); b1) y B2 = B((a, b2); b2). En tal caso, basta observar

que un conjunto tiene que estar contenido en el otro, por ejemplo,

B1 ⊂ B2 y por tanto existe B := B1 tal que B ⊂ B1 ∩B2.

Por tanto B genera una unica topologıa que denotaremos porM. Consideremos

ahora L := R× {0}. Veamos que L ⊂ H es un cerrado de M. Para ello probemos

que U := H \ L ∈ M. Utilizando el Ejercicio 4.6(4) basta comprobar que U es

entorno de todos sus elementos ya que si (x, y) ∈ U , entonces (x, y) ∈ B((x, y); y) ⊂U donde B((x, y); y) ∈ B, que es una base de abiertos.

Veamos tambien que M|L es la topologıa discreta. Esto es consecuencia de

que M|L := {L ∩ V | V ∈ M} y que para cualquier (x, 0) ∈ L se tiene que

B((x, y); y) ∩ L = {(x, 0)} ∈ M|L (Ejercicio 2.2).

Veamos tambien que M|U es la topologıa usual en U (en notacion Tu|U). Sea

(x, y) ∈ U , entonces B(x,y) := {B((x, y); r) | 0 < r ≤ y} es una base de entornos

abiertos de (x, y) en Tu|U ya que B((x, y); r) ∈ Tu|U y B(x,y) contiene a la familia

B(x,y)y := {B((x, y); r) | 0 < r < y} que es base de entornos de (x, y) en Tu|U


(Observacion 4.1.4 y Ejemplo 4.1.2(3)(b)). Como las bases de entornos determinan

la topologıa, entonces Tu|U = M|U (a menudo se resumira diciendo que U hereda

de M la topologıa usual).

Ejercicio 4.15. ♠ Sea H := {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0} y sea

B := {B((a, b); r) | (a, b) ∈ H, 0 < r ≤ b} ∪ {B((a, 0); r) | a ∈ R, 0 < r},donde

B((a, 0); r) := {(x, y) ∈ H | y > 0, (x− a)2 + y2 < r2} ∪ {(a, 0)}.Demuestra que B es base de una topologıa D que llamaremos plano del semidisco.

Determina las topologıas heredadas en el semiplano abierto y en el eje {y = 0} y

demuestra que este es cerrado en H.

��

��

��

��

Figura 4.2. Plano del semidisco

H

B((a, b); r)

B((a, 0); r)

Terminaremos el capıtulo probando que algunas aplicaciones envıan bases de

abiertos a bases de abiertos.

Ejercicio 4.16. ♠ Consideremos X e Y espacios topologicos, f : X → Y

una aplicacion continua, abierta y suprayectiva y B una base de abiertos de X,

entonces fB := {f(B) | B ∈ B} es base de abiertos de Y .

Como la Propiedad 2.1.8(d) da una caracterizacion de homeomorfismo en

terminos de abiertos, a partir de ella se puede obtener una caracterizacion de

homeomorfismos en terminos de bases.

Proposicion 4.2.9. Sean X e Y e.t. BX una base de X, BY una base de Y

y f : X → Y una biyeccion, entonces son equivalentes:


(2) fBX es base de abiertos de Y .

(3) f−1BY es base de abiertos de X.

64 4. BASES

Terminamos con un ejemplo importante de topologıa obtenida a partir de una

base de abiertos.

Ejemplo 4.2.10. Sean X, Y dos espacios topologicos. ¿Como construir una

topologıa natural en el producto cartesiano X × Y ? Lo natural serıa considerar

B := {U × V | U abierto de X, V abierto de Y }.Es inmediato comprobar que B no es una topologıa en X × Y . Sin embargo, es

facil ver que es base de una topologıa. La propiedad (B1) es inmediata. Para la

propiedad (B2), consideremos Ui × Vi ∈ B, i = 1, 2, y

(x, y) ∈ (U1 × V1) ∩ (U2 × V2) = (U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2);

como este ultimo elemento esta en B, hemos visto que se cumple (B2). A la topo-

logıa obtenida se le denomina topologıa producto.

Ejercicio 4.17. ♠ Sean X,Y dos espacios topologicos y sean BX , BY bases

de abiertos para ambos. Denotemos

B′ := {BX ×BY | BX ∈ BX , BY ∈ BY }.Demuestra que B′ es base de la topologıa producto de X × Y .

Ejercicio 4.18. ♠ Demuestra que la topologıa usual de Rn+m coincide con la

topologıa producto de Rn × Rm.

TEMA 3. SUBBASES 65

Tema 3. Subbases

Podemos simplificar todavıa mas el conjunto de abiertos que de alguna forma

genera una topologıa. En este tema presentaremos las subbases como la unidad de

informacion mas reducida capaz de determinar de manera unica una topologıa.

Definicion 4.3.1. Sea X e.t. y S una familia de abiertos. Diremos que Σ es

subbase de X si la familia

B(Σ) :={⋂

{Si | i ∈ I} | I conjunto finito y Si ∈ Σ}

es una base de abiertos para X (se admite por convenio que la interseccion de la

familia vacıa es X).


(1) Por la propiedad (T3b) de topologıas, si {Si}i∈I es una familia finita de

abiertos, entonces⋂

i∈I Si es tambien abierto, por lo tanto si Σ es una

familia de abiertos, B(Σ) es tambien una familia de abiertos.

(2) Para I = ∅ se tiene que X ∈ B(Σ).

(3) Para #I = 1 se tiene que Σ ⊂ B(Σ) (es decir, los abiertos de una subbase

son elementos de la base que generan).

Ejercicio 4.19. ♠ Demuestra que

Σ := {(p, +∞) | p ∈ Q} ∪ {(−∞, q) | q ∈ Q}es subbase de (R, Tu).

Ejercicio 4.20. ♠ Demuestra que Σ := {Sλ | λ ∈ Λ} es subbase de (X, T ) si

y solo si ∀U ∈ T y ∀x ∈ U existen Sλ1 , ..., Sλr ∈ Σ tal que x ∈ Sλ1 ∩ ...∩Sλr ⊂ U .

Las subbases todavıa son capaces de determinar la continuidad de una apli-

cacion y de determinar clausuras, interiores, y demas conjuntos asociados a una

topologıa. Es decir, se tiene lo siguiente:

Proposicion 4.3.3 (continuidad(13)). Sean X, Y espacios topologicos, f :

X → Y una aplicacion y S una subbase de Y . Entonces, f es continua si y solo

si f−1(S) es abierto ∀S ∈ Σ.

Como anunciamos al principio del tema, una familia cualquiera de subconjun-

tos de X determina la topologıa que los tiene por subbase.

Proposicion 4.3.4. Sea X un conjunto y S ⊂ P(X). Entonces existe una

unica topologıa en la cual S es subbase.

66 4. BASES

Ejercicio 4.21. ♠ Sea S subbase de una topologıa T y consideremos T ′ otra

topologıa de modo que S ⊂ T ′, entonces T ⊂ T ′. Por eso diremos que la topologıa

que “genera” o “engendra” S es la “menor” topologıa que tiene a S por abiertos.

Ejercicio 4.22. ♠ Estudia la topologıa que engendra en R la siguiente familia

de conjuntos N := {[n, n + 1] | n ∈ Z}. Calcula el interior, clausura, frontera,

exterior, puntos aislados y conjunto derivado de A = Z.

Ejercicio 4.23. ♠ Sea (X, TX) e.t. y S subbase de X. ¿Son ciertas las si-

guientes afirmaciones?

(1) A ⊂ X es denso en X si y solo si A ∩ S 6= ∅ ∀S ∈ S.

(2) f : X → Y es aplicacion abierta si y solo si f(S) ∈ TY ∀S ∈ S.

CAPıTULO 5

Axiomas de numerabilidad y convergencia de sucesiones

En este capıtulo estudiaremos dos importantes propiedades topologicas que

estan relacionadas con el mınimo cardinal de las bases de abiertos de una topologıa.

Tema 1. Separabilidad

Definicion 5.1.1. Sea X un espacio topologico; diremos que X es separable

si posee un subconjunto denso y contable.

A continuacion veremos algunos ejemplos:

Ejemplos 5.1.2.

(1) Si X es contable, entonces es separable ya que X es un subconjunto de

X a lo contable y denso (X = X).

(2) R es separable, pues Q es denso (Ejercicio 3.24) y es numerable (Ejem-

plo A.5.21(1)).

(3) Rn es separable, pues Qn es denso (Ejercicio 4.13) y es numerable (al ser

producto finito de conjuntos numerables, por la Propiedad A.5.19(2)).

(4) La recta de Sorgenfrey es separable ya que Q tambien es denso en esta

topologıa (Ejercicio 3.24).

(5) La recta real discreta no es separable ya que todo punto es abierto y un

conjunto denso debe cortar a todo abierto no vacıo (Proposicion 3.4.9).

Por lo tanto el unico conjunto denso es el total, que no es contable. Este

mismo razonamiento tambien implica que un espacio topologico X dis-

creto es separable si y solo si es contable.

(6) La recta real cofinita es separable, ya que Z es denso en esta topologıa. De

hecho, todo espacio topologico cofinito es separable. Por el apartado (1)

basta suponer que X es infinito no numerable. Ademas por el Ejerci-

cio 3.21, todo subconjunto infinito de X es denso. Por lo tanto, todo

conjunto infinito numerable de X es denso y X posee tales subconjuntos,

ver Teorema A.5.15.

(7) La recta real conumerable no es separable, ya que todo subconjunto con-

table de R es cerrado y por tanto no puede ser denso en R ya que R67

68 5. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Y CONVERGENCIA DE SUCESIONES

tiene cardinal no numerable (Ejemplo A.5.21(2)). Esto mismo ocurre en

general si X es infinito no numerable y tiene la topologıa conumerable.

Proposicion 5.1.3. La separabilidad es una propiedad topologica.

Observacion 5.1.4. Esta proposicion muestra que caracterısticas debe tener

una propiedad topologica: estar basada en el concepto de abierto (o conceptos

que nazcan de el) y en aquellos que son respetados por las biyecciones, como los

cardinales.

Ejemplos 5.1.5.

(1) La separabilidad no es hereditaria. Un ejemplo tıpico de este hecho es el

plano de Moore-Niemytzki (Ejemplo 4.2.8). Veremos que el eje horizontal

no lo es. Veamos en primer lugar que D := {(a, b) ∈ Q2 | b > 0} ⊂ Hes denso. Para ello basta observar que todo elemento B de la base B :=

{B((a, b); r), B((a, b); b) | (a, b) ∈ H, 0 < r ≤ b} contiene una bola del tipo

B((a, b); r) contenida en U := {(a, b) ∈ R2 | b > 0}. Como B((a, b); r)

es abierta en la topologıa usual y en ella Q2 es denso (Ejercicio 4.13),

entonces B((a, b); r)∩Q2 6= ∅ y esta interseccion esta en U , por lo que B∩D ⊃ B((a, b); r)∩D % ∅. Por tanto, D es denso en M (Ejercicio 4.6(10)).

En cambio el eje horizontal L := {(x, 0) | x ∈ R} hereda la topologıa

discreta (Ejemplo 4.2.8) y su cardinal es no numerable (#L = #R); por

tanto (L,M|L) no es separable (Ejemplo 5.1.2(5)).

(2) Si X es separable y U ⊂ X es abierto, entonces U es separable. Esto es

una consecuencia inmediata de la Propiedad 3.3.3(4). Si A ⊂ X es denso

y #A ≤ ℵ0, entonces #(A∩U)Ejer. A.5.12(1)

≤ #A ≤ ℵ0. Veamos que A∩U es

denso en A; sea V un U -abierto no vacıo, es decir un X-abierto contenido

en U . Por tanto (A ∩ U) ∩ V = A ∩ V 6= ∅.Ejercicio 5.1. ♠ Estudia si las topologıas de los Ejercicios 4.10 y 4.22 son

separables o no.

TEMA 2. PRIMER AXIOMA DE NUMERABILIDAD 69

Tema 2. Primer axioma de numerabilidad

Definicion 5.2.1. Diremos que un e.t. X es primero numerable (en notacion

ian) si todo x ∈ X posee una base contable de entornos.

Proposicion 5.2.2. La propiedad “ser primero numerable” es una propiedad

topologica.

Veremos algunos ejemplos y propiedades de espacios primero numerables:

Ejemplos y Propiedades 5.2.3.

(1) Un espacio discreto es ian. Esto es consecuencia del hecho de que Bx :=

{{x}} es base de entornos de x (Ejemplo 4.1.2(4)).

(2) X seudometrizable ⇒ X ian.

(3) Un espacio cofinito es ian si y solo si es contable (es decir: (X, Tcf) es

ian ⇔ #X ≤ ℵ0).

(4) Un espacio conumerable es ian si y solo si es contable (es decir: (X, Tcn)

es ian ⇔ #X ≤ ℵ0).

(5) Primero numerable se conserva por aplicaciones continuas abiertas y su-

prayectivas. Esto es consecuencia inmediata de la Proposicion 4.1.8.

Ejercicio 5.2. ♠ Demuestra que si (Y, TY ) es ian y f : X → Y es una apli-

cacion, entonces (X, f−1TY ) (ver Ejemplo 2.1.2(9)) es ian y, por tanto, primero

numerable es una propiedad hereditaria.

Ejercicio 5.3. ♠ Demuestra que la recta de Sorgenfrey es ian.

Ejercicio 5.4. ♠ Demuestra que el plano de Moore-Niemytzki (Ejemplo 4.2.8)

es ian.


Tema 3. Segundo axioma de numerabilidad

Definicion 5.3.1. Diremos que un e.t. X es segundo numerable (en notacion

iian) si posee una base contable de abiertos.

Proposicion 5.3.2. “Ser segundo numerable” es una propiedad topologica.

Veremos algunos ejemplos y propiedades de espacios segundo numerables:

Ejemplos y Propiedades 5.3.3.

(1) Si (Y, TY ) es iian y f : X → Y es una aplicacion, entonces (X, f−1(TX))

es iian. Por lo tanto, iian es una propiedad hereditaria (ver este mismo

comentario en Ejercicio 5.2).

(2) X e.t. iian ⇒ X ian y separable.

(3) X e.t. pseudometrizable y separable ⇒ X es iian.

(4) (R, Tu) es iian ya que B := {(a, b) ⊂ R | a < b y a, b ∈ Q} es una base

(Ejercicio 4.11) numerable (#BEjer. A.27(1)

≤ #Q2 Ejem. A.5.21(1)= ℵ0).

(5) Un espacio discreto es iian si y solo si es contable.

(6) La recta de Sorgenfrey no es iian.

(7) ian + separable 6⇒ iian.

(8) Sea X e.t. y sea S una subbase contable. Entonces, X es iian.

TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 71

Tema 4. Convergencia de sucesiones

Definicion 5.4.1. Sea X un conjunto: una sucesion en X es una aplicacion

s : N → X; denotaremos xn := s(n) y por S := {xn}n∈N la sucesion. En algunas

ocasiones nos referiremos a S como un conjunto, en tal caso estamos identificando

S con la imagen de s en X, es decir, s(N) = {xn | n ∈ N}.Si X es ademas un espacio topologico podemos definir la idea de que una

sucesion {xn}n∈N se acerca a un punto x ∈ X.

Definicion 5.4.2. Sea (X, T ) e.t. y S := {xn}n∈N una sucesion en X. Di-

remos que x es lımite de S (o que S converge a x, en notacion xn → x) si ∀Ventorno de x en X existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 se tiene xn ∈ V . Al conjunto de

puntos lımite de S denotaremos por Lım(X,T ) S.

Diremos que x es un punto de aglomeracion de S si ∀V entorno de x en X y

∀n0 ∈ N existe n ≥ n0 tal que xn ∈ V . Al conjunto de puntos de aglomeracion de

S denotaremos por Agl(X,T ) S. Como de costumbre, omitiremos la referencia a Tsi no hay lugar a confusion.

Observacion 5.4.3. Observa que en las definiciones de lımite y punto de

aglomeracion podemos cambiar la palabra entorno por abierto que contenga a x.

En particular:

x ∈ Lım(X,T ) S ⇔ ∀U abierto en X tal que x ∈ U , ∃n0 ∈ N tal que

∀n ≥ n0 se tiene xn ∈ U .

x ∈ Agl(X,T ) S ⇔ ∀U ∈ T t.q. x ∈ U y ∀n0 ∈ N ∃n ≥ n0 t.q. xn ∈ U .

Observacion 5.4.4. Con los mismos criterios que en la Observacion 5.4.3,

podemos sustituir entorno o entorno abierto por entorno basico una vez fijada

una base de entornos del punto candidato a ser lımite o punto de aglomeracion.

Ejercicio 5.5. ♠ Demuestra que si x es un punto de aglomeracion de la

sucesion {xn}n∈N, entonces x es un punto adherente del conjunto {xn | n ∈ N}.Observa que el recıproco no es cierto. Por ejemplo, todo punto de {xn | n ∈ N} es

adherente, y no necesariamente de aglomeracion.

Ejercicio 5.6. ♠ Sea xn := 1n

una sucesion en el espacio topologico (R, T→).

Demuestra que xn → x si y solo si x ≤ 0. Es decir, el lımite de una sucesion

convergente en un espacio topologico no tiene porque ser unico. Demuestra en

cambio que el lımite de sucesiones convergentes en espacios metricos sı es unico.

(Por lo tanto (R, T→) no es un espacio metrizable).


Definiciones 5.4.5. Sea S := {xn}n∈N un sucesion en X.

(1) Sea {kn}n∈N una sucesion estrictamente creciente de numeros naturales;

entonces diremos que la sucesion {xkn}n∈N es una subsucesion de {xn}n∈N.(2) Una subsucesion St de S es truncada si es de la forma St = {xn+n0}n∈N

para cierto n0 ≥ 0.

(3) Dos sucesiones son asintoticas si poseen subsucesiones truncadas comunes.

(4) Diremos que una sucesion es constante si la aplicacion es constante. Di-

remos que es casiconstante si es asintotica a una constante.


(1) Es claro que en cualquier espacio topologico, una sucesion casiconstante

converge a la constante.

(2) Otra manera de decir que x ∈ X es lımite de la sucesion S ⊂ X es que

todo entorno de x contiene una subsucesion truncada de S.

(3) Si St y S ′t son dos subsucesiones truncadas de una sucesion S dada en-

tonces, o bien St ⊂ S ′t, o bien S ′t ⊂ St: en cualquier caso St ∩ S ′t 6= ∅.(4) Como hemos visto en el Ejercicio 5.6, los lımites de sucesiones no tienen

porque ser unicos. Si repasamos la demostracion de la segunda parte del

Ejercicio 5.6 (que el lımite de sucesiones convergentes en espacios metricos

sı es unico) observaremos que la unica propiedad que hemos utilizado de

un espacio metrico es que dados dos puntos distintos x, y existen Bx y By

entornos disjuntos de x e y respectivamente. Los espacios que cumplen

esta propiedad se denominan espacios Hausdorff.

Propiedades 5.4.7 (Sucesiones). Sea S := {xn}n∈N una sucesion de X y sea

x ∈ X.

(1) Sea S ′ subsucesion de S, entonces LımX S ⊂ LımX S ′ ⊂ AglX S.

(2) Sea St subsucesion truncada de S, entonces LımX St = LımX S.

(3) Sea Sa una sucesion asintotica a S, entonces LımX Sa = LımX S.

(4) Si S ⊂ A ⊂ X entonces LımX S ⊂ AglX S ⊂ A

(5) Sea Y espacio topologico y sea f : X → Y continua, entonces f(LımX S) ⊂LımY f(S), es decir, si xn → x entonces f(xn) → f(x). Lo mismo ocurre

para AglX S.

(6) El lımite de sucesiones convergentes en espacios topologicos Hausdorff es

unico.

(7) AglX S =⋂

m∈N Sm, donde Sm := {xn | m ≤ n}.Notacion 5.4.8. En el caso de sucesiones convergentes {xn}n∈N con lımite

unico x, denotaremos este como lımn→∞ xn.

TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 73

Ejercicio 5.7. ♠ Sea X un conjunto infinito no numerable. Consideremos

en el las topologıas (X, Tcn) (topologıa conumerable) y (X, Td) (topologıa discreta).

Demuestra que solo las sucesiones casiconstantes en X tienen lımite, con lo cual se

cumple la tesis de Propiedad 5.4.7(6) aunque la topologıa conumerable (X, Tcn) no

es Hausdorff. Demuestra tambien que la aplicacion identidad i : (X, Tcn) → (X, Td)

no es continua pero que se satisface la tesis de Propiedad 5.4.7(5). Por lo tanto el

recıproco de ambas propiedades no es cierto.

Parece que la experiencia de sucesiones en R nos dice que si una sucesion es

convergente, entonces no tiene otros puntos de aglomeracion que no sean puntos

lımite. Veremos que esto no es cierto en general, pero sı lo es en el caso de espacios

Hausdorff.

Ejercicio 5.8. ♠ Sea (X, T ) un e.t. Hausdorff y sea S ⊂ X una sucesion

convergente. Demuestra que Agl(X,T ) S = Lım(X,T ) S y por tanto, toda subsucesion

convergente de S tiene el mismo lımite que S. En cambio esto no es cierto en

general. Sea (R≥0, T0,→) e.t. donde

T0,→ := {(a, +∞) | a ≥ 0} ∪ {∅,R≥0}es decir, T0,→ = T→|R≥0

(Ejemplo 2.1.2(4)). Consideremos la sucesion S := {1 +

(−1)n}n∈N. Demuestra que S tiene lımite unico, pero en cambio Agl S ) Lım S.

En este contexto merece la pena introducir una definicion referente a bases de

entornos.

Definicion 5.4.9. Diremos que B = {Bn | n ∈ N} es una base ordenada de

entornos de x si es base de entornos de x y si Bm ⊂ Bn siempre que n ≤ m.

Las bases ordenadas de entornos tienen un uso muy comun en analisis, donde

se hace principalmente uso de estas dos observaciones.


(1) Si X es ian y x ∈ X; entonces x posee una base ordenada de entornos.

(2) Si x ∈ X, Bx := {Bn | n ∈ N} es una base ordenada de entornos y

{xn}n∈N es una sucesion tal que xn ∈ Bn, entonces xn → x.

Al comparar el concepto de convergencia de sucesiones en R y en un espacio to-

pologico en general observamos que las diferencias mas notables aparecen destaca-

das en los Ejercicio 5.9 y 5.7 y en otros que veremos mas adelante. A continuacion

veremos que si el espacio topologico en cuestion es ian, entonces las Propieda-

des 5.4.7(4)-(6) a que estos Ejercicios hacen referencia, son equivalencias y por


tanto permiten describir las propiedades topologicas de adherencia, aglomeracion,

continuidad y propiedad Hausdorff en terminos de sucesiones y subsucesiones.

Proposicion 5.4.11. Sea X e.t. ian, S = {xn}n∈N una sucesion de X y x

un punto de X. Entonces se tiene que:

(1) x ∈ AglX S si y solo si x ∈ LımX S ′ para cierta S ′ subsucesion de S.

(2) Si A ⊂ X, entonces x ∈ A si y solo si x ∈ LımX S para cierta sucesion

S ⊂ A.

(3) Si Y es un e.t. cualquiera y f : X → Y una aplicacion. Entonces f es

continua si y solo si para toda sucesion {xn}n∈N y ∀x ∈ X tal que xn → x

se tiene f(xn) → f(x).

(4) X es Hausdorff si y solo si las sucesiones convergentes tienen lımite unico.

Ejercicio 5.9. ♠ Considera el conjunto X = N × N dotado de la siguiente

topologıa T definida por bases de entornos:

Si (m, r) 6= (1, 1), B(m,r) = {{(m, r)}}.Si (m, r) = (1, 1), B(1,1) =

⋃∞n=2 Bn, donde

Bn := {U ⊂ X | (1, 1) ∈ U,∀m ≥ n, #{r ∈ N | (m, r) /∈ U} < ∞}.Considera la sucesion S = {xn}n∈N definida al numerar N× N por antidiago-

nales. Es decir, xn := (m,M − m) con(

M+12

) ≤ n <(

M+22

)y m = n − (

M+12

).

Demuestra:

(a) (1, 1) ∈ AglX(S).

(b) (1, 1) no es lımite de ninguna susbsucesion de S.

Los ejemplos mas importantes que tenemos de espacios ian son los espacios

seudometrizables. Veamos como se interpreta la convergencia en estos casos.

Proposicion 5.4.12. Sea (X, d) un espacio seudometrico y sea {xn}n∈N una

sucesion. Entonces, x ∈ Lım xn ⇔ lımn→∞ d(x, xn) = 0.

CAPıTULO 6

Axiomas de separacion

Tema 1. Axiomas de separacion: conceptos basicos

El objetivo de este capıtulo es considerar ciertas propiedades topologicas que com-

parten algunos espacios topologicos y los espacios metricos. La primera propiedad

de este tipo ha aparecido en el Capıtulo 5, en el que se definieron los espacios

topologicos Hausdorff, ver Observacion 5.4.6(4).

Partiremos de un espacio topologico (X, T ) y de V un subconjunto de X.

Hemos visto lo que significa que V sea un entorno de un punto x ∈ X.

Definicion 6.1.1. Si V es entorno de todos los puntos de un conjunto A ⊂ X,

diremos que V es un entorno de A (es decir, si existe U ∈ T tal que A ⊂ U ⊂ V ).

Definicion 6.1.2. Sea (X, T ) un e.t. y sean A,B ⊂ X. Diremos que A y B

se pueden separar en (X, T ) si existen entornos disjuntos V A, V B ⊂ X de A y B

respectivamente.


(1) Observa que si A = {x}, entonces V ⊂ X es entorno de A si y solo si

es entorno de x en el sentido clasico (Definicion 3.2.1). En lugar de decir

que {x} y B se pueden separar, diremos que x y B se pueden separar, es

decir, existen entornos disjuntos de x y B.

(2) Todo abierto que contenga a A es un entorno de A.

(3) Observa que las Propiedades 3.2.5(N1)-(N4) de entornos tienen facil tra-

duccion para entornos de conjuntos.

(N1) Todo conjunto A ⊂ X admite algun entorno (ya que por ejemplo el

espacio total es entorno de cualquier subconjunto suyo).

(N2) Si V A es entorno de A ⊂ X, entonces A ⊂ V A.

(N3) Si V A1 y V A

2 son entornos de A ⊂ X, entonces V A1 ∩ V A

2 es entorno

de A.

(N4) Si V A es entorno de A y V A ⊂ W , entonces W es entorno de A.

(4) La propiedad de que dos conjuntos A,B ⊂ X se pueden separar tambien

se puede expresar con las siguientes propiedades equivalentes:

75

76 6. AXIOMAS DE SEPARACION

(a) Existen abiertos UA, UB tal que A ⊂ UA, B ⊂ UB y UA ∩ UB = ∅(abreviando, existen entornos abiertos disjuntos).

(b) Existe un abierto UA de A tal que UA ∩B = ∅.(c) Existe un entorno V A de A tal que V A ∩B = ∅.(d) Existe un entorno cerrado V A de A tal que V A ∩B = ∅.

En este tema nos centraremos en la capacidad que tienen algunas topologıas

de separar entre sı conjuntos o puntos.

Definicion 6.1.4. Sea X un espacio topologico. Diremos que:

(1) X es T0 si para cualesquiera dos puntos distintos de X, existe un entorno

de uno de los puntos que no contiene al otro.

(2) X es T1 si para cualesquiera dos puntos distintos de X, existen entornos

de cada uno de los puntos que no contienen al otro.

(3) X es T2 o Hausdorff si se pueden separar puntos distintos.

(4) X es regular si se pueden separar puntos de cerrados (que no contengan

al punto).

(5) X es T3 si es T1 y regular.

(6) X es normal si se pueden separar cerrados disjuntos.

(7) X es T4 si es T1 y normal.

Observacion 6.1.5. De la Observacion 6.1.3(4) se deduce inmediatamente que

podemos substituir el termino entorno por el de entorno abierto en las definiciones

de T2, regular y normal. Una demostracion casi identica prueba que tambien ocurre

esto con las definiciones de T0 y T1.

Otra util observacion es la siguiente: sean x, y ∈ X (x 6= y); si B es una base

de abiertos de X (o bien si Bx y By son bases de entornos de x e y resp.) entonces

x e y se pueden separar si y solo si existen B1, B2 ∈ B con x ∈ B1, y ∈ B2 (o bien

B1 ∈ Bx y B2 ∈ By) tal que B1 ∩B2 = ∅.Por lo tanto, en la definicion de T2 (y analogamente en la de T0 y T1) podemos

substituir el termino entorno por el de abierto basico que contiene a x (o bien

entorno basico).

Tambien es sencillo demostrar que si x ∈ X, B es una base de X (o bien Bx es

una base de entornos de x) y C ⊂ X es un cerrado de X tal que x /∈ C, entonces

x y C se pueden separa si y solo si existe UC ⊂ X un entorno de C y B ∈ B con

x ∈ B (o bien B ∈ Bx) tal que UC ∩B = ∅.Por lo tanto, en la definicion de regular tambien podemos cambiar los entornos

de x por abiertos basicos que contienen a x entornos basicos de x.

TEMA 1. AXIOMAS DE SEPARACION: CONCEPTOS BASICOS 77

Las siguientes son propiedades mas o menos inmediatas a partir de las defini-

ciones:

Propiedades 6.1.6 (Separacion).

(1) Todos los axiomas de separacion son propiedades topologicas.

(2) Un espacio topologico es T1 si y solo si sus puntos son cerrados.

(3) T4 ⇒ T3 ⇒ T2 ⇒ T1 ⇒ T0.

(4) Todo espacio seudometrizable es normal y regular.

(5) Todo espacio metrizable es T4.

(6) Todo espacio seudometrizable y T0 es metrizable.

(7) X es T1 si y solo si ∀x ∈ X, x es el unico elemento de la interseccion de

todos los entornos de x.

(8) X es T2 si y solo si ∀x ∈ X, x es el unico elemento de la interseccion de

todos los entornos cerrados de x.

(9) Las siguientes propiedades son equivalentes:

(a) X regular.

(b) ∀x ∈ X y ∀V ⊂ X entorno de x en X existe un abierto U ⊂ X tal

que x ∈ U ⊂ U ⊂ V .

(c) ∀x ∈ X los entornos cerrados de x forman una base de entornos de

x.

(10) T0, T1, T2, regular y T3 son propiedades hereditarias.

(11) Si X es normal (resp. T4) y C ∈ CTX, entonces (C, TC) es normal (resp.

T4).

Observacion 6.1.7. Observa que si Bx es una base de entornos de x en X,

entonces⋂Bx =

⋂ E(x). Por lo tanto X es T1 si y solo si⋂Bx = {x}. Analoga-

mente, X es T0 si y solo si ∀x, y ∈ X (x 6= y) se tiene que y /∈ ∩Bx o bien que

x /∈ ∩By para cierta base Bx o By de entornos de x (resp. y).

Ejercicio 6.1. ♠ Demuestra que si X verifica que toda sucesion convergente

tiene lımite unico, entonces X es T1.

Ejercicio 6.2. ♠ Existen espacios topologicos que no son T0. Demuestra que

la topologıa T (N ) definida en el Ejercicio 4.22 no es T0. Encontrar otro ejemplo

mas general.

Ejercicio 6.3. ♠ Existen espacios topologicos T0 que no son T1. Demuestra

que la topologıa T→ definida en el Ejemplo 2.1.2(4) es T0 pero no es T1.


que la topologıa cofinita definida sobre R es T1 pero no es T2.


Ejercicio 6.5. ♠ Demuestra que la recta de dos orıgenes (Ejemplo 4.1.7) es

T1, pero no es homeomorfa a la recta real usual (ya que no es T2).

Ejercicio 6.6. ♠ Sea (X, T1) e.t. Ti (i = 0, 1, 2). Si T1 ⊂ T2, entonces (X, T2)

tambien es Ti.

Ejemplo 6.1.8. Existen espacios topologicos T2 que no son T3. El plano del

semidisco del Ejercicio 4.15 es T2 (basta aplicar el Ejercicio 6.6) comparando con

la topologıa usual. Para ver que no es regular veamos que es imposible separar el

punto (0, 0) del cerrado A := (0, 1)× {0}; A es cerrado ya que el eje X lo es y la

topologıa inducida en el es la discreta.

Sean U, V entornos abiertos de (0, 0) y A, respectivamente. Sabemos que existe

ε ∈ (0, 1) tal que B((0, 0), ε) ⊂ U . Como V es entorno de A, podemos suponer

que existe δ ∈ (0, ε2) tal que B(( ε

2, 0), δ) ⊂ U . En particular ( ε

2, δ

2) ∈ U ∩V . Hemos

visto que U ∩ V 6= ∅, por lo que (0, 0) y A no se pueden separar.

Observese que si un espacio es T2 y no es regular, entonces tampoco puede ser

normal, ya que si fuera normal y T2 serıa T4 y por tanto T3.

Ejercicio 6.7. ♠ Existen espacios topologicos normales que no son regula-

res (por la Propiedad 6.1.6(3), observese que tales espacios no pueden ser T1).

Demuestra que T→ (ver Ejercicio 6.3) es normal pero no regular.

Por ultimo demostraremos que existen espacios T3 que no son T4. De esta

manera habremos demostrado tambien que existen espacios regulares que no son

normales. Para ello utilizaremos el siguiente lema.

Proposicion 6.1.9 (Lema de Jones). Sea (X, T ) un espacio topologico nor-

mal. Sea Y ⊂ X un cerrado de modo que T |Y sea la topologıa discreta sobre Y .

Si D ⊂ X es denso en X, entonces #P(Y ) ≤ #P(D).

Observacion 6.1.10. El lema de Jones se suele aplicar buscando un denso

numerable y un discreto con la potencia del continuo. En efecto, si #Y = #R, X

es separable (es decir, existe D denso tal que #D ≤ #N) y X es normal tendrıamos

#P(R) ≤ #P(D) ≤ #P(N) = #R, lo cual es falso (Observacion A.5.12(2)).


que el plano de Moore-Niemytzki (Ejemplo 4.2.8) es T3 pero no T4. Analogamen-

te, el plano del semidisco (Ejercicio 4.15) tampoco es normal. Deduce que ambos

planos no son homeomorfos.

Ejemplo 6.1.11. Veamos que la recta de Sorgenfrey, (R,S), es T4. Es T1 ya que

Tu ⊂ S (Ejercicio 6.6). Veamos que S es normal. Para ello consideremos A, B ⊂ R

TEMA 1. AXIOMAS DE SEPARACION: CONCEPTOS BASICOS 79

cerrados disjuntos. Para cada a ∈ A existe ra > a tal que [a, ra)∩B = ∅. Del mismo

modo, para cada b ∈ B existe sb > b de modo que [b, sb) ∩ A = ∅. Consideremos

UA :=⋃

a∈A[a, ra) y UB :=⋃

b∈B[b, sb), es claro que UA (resp. UB) es entorno de

A (resp. B) ya que es union de abiertos en S y A ⊂ UA (resp. B ⊂ UB). Veamos

por ultimo que UA ∩ UB = ∅. Supongamos que existiera x ∈ UA ∩ UB, entonces

x ∈ [a, ra) para cierto a ∈ R y x ∈ [b, sb) para cierto b ∈ R, es decir, a ≤ x < ra

y b ≤ x < sb por lo tanto, si a < b, entonces b ∈ [a, ra) lo cual contradice que

[a, ra) ∩B = ∅ (analogamente ocurre si a > b).

A la hora de distinguir dos espacios topologicos se pueden utilizar invariantes

un poco mas finos que simplemente verificar si un conjunto cumple o no los axiomas

de separacion. Por ejemplo, no es lo mismo que un espacio cumpla que ningunos

dos puntos se pueden separar a que cumpla que todos se pueden separar exepto

uno. Intenta el siguiente ejercicio.

Ejercicio 6.9. ♠ Consideremos la topologıa (R, T→) del Ejemplo 2.1.2(4) y

Tª la topologıa sobre R definida por

Tª := {[0, b) | b ∈ R>0} ∪ {(−∞, a) ∪ [0, +∞) | a ∈ R≤0}.Demuestra que ambas son T0 y normales, pero no son T1 ni regulares. Demuestra

que ambas topologıas no son homeomorfas.

Terminamos el tema con dos axiomas de separacion que estan relacionados con

el lema de Urysohn.

Definicion 6.1.12. Un espacio topologico X se dice completamente regular si

dados x ∈ X y A ⊂ X cerrado tal que x /∈ A, entonces ∃f : X → R continua tal

que f(x) = 0 y f(A) = {1}. Un espacio completamente regular y T1 se dice que

es T3 12.

Propiedades 6.1.13.

(1) Un espacio completamente regular es regular. En particular, T3 12⇒ T3.

(2) T4 ⇒ T3 12.

(3) Las propiedades ser completamente regular y T3 12

son hereditarias y to-

pologicas.

Observacion 6.1.14. El concepto analogo de completamente normal es equi-

valente al de normal :

Por un lado el Lema de Urysohn asegura que si un espacio es normal, entonces

para cualquier C1, C2 ⊂ X cerrados propios disjuntos, existe f : X → [0, 1]

aplicacion continua tal que f(C1) = {0} y f(C2) = {1}.


Por otro lado si un espacio X verifica que para cualquier C1, C2 ⊂ X cerrados

propios disjuntos, existe f : X → [0, 1] aplicacion continua tal que f(C1) = {0}y f(C2) = {1}, entonces UC1 := f−1([0, 1

2)) y UC2 := f−1((1

2, 1]) son entornos

abiertos de C1 y C2 respectivamente que los separan, luego es normal.

CAPıTULO 7

Construccion de topologıas

Por construir topologıas queremos decir lo siguiente. Supongamos que un con-

junto A (no espacio topologico) esta relacionado de alguna manera con un espacio

topologico (X, TX) (estar relacionado se entiende siempre como que haya una apli-

cacion entre uno y el otro). Entonces definiremos una topologıa en A basandonos

en los abiertos de X, de manera que las aplicaciones entre A y X sean continuas.

Eventualmente en lugar de un espacio topologico X podremos hacer lo mismo

para A y una familia de espacios topologicos relacionados con A. Esta descripcion

un tanto vaga de construccion de topologıas la refinaremos a lo largo del capıtulo.

Este concepto responde a la idea de construir topologıas en conjuntos que

se pueden construir a partir de otros mas basicos. Por ejemplo, si tenemos una

recta y la enrollamos obtenemos una circunferencia, o si tenemos una banda y la

enrollamos obtenemos un cilindro, que al enrollar de nuevo se convierte en un toro

(es decir, en una llanta de camion).

Las construcciones de topologıas se clasifican conceptualmente en dos grupos.

Tema 1. Topologıas iniciales: imagen inversa y producto finito

Ciertas operaciones de conjuntos (como el producto cartesiano) tienen asociadas

aplicaciones naturales del nuevo conjunto (X × Y ) en cada uno de los conjuntos

de partida (X e Y ). Suponiendo ahora que los conjuntos de partida sean espacios

topologicos, estamos interesados en obtener una topologıa para el nuevo conjunto

que haga que las aplicaciones naturales en los conjuntos de partida sean continuas.

Esto ası enunciado es un problema trivial, porque bastarıa elegir la topologıa

discreta para resolverlo. La pregunta que se plantea es: ¿Cual sera la topologıa

con menos abiertos posible que permita que tales aplicaciones sean continuas?

Esta es intuitivamente la idea de las topologıas iniciales.

Construccion 7.1.1 (Topologıa imagen inversa (Ejemplo 2.1.2(9))). Supon-

gamos que f : X → Y es una aplicacion entre dos conjuntos donde (Y, TY ) es

un e.t. En la lınea del parrafo anterior intentamos definir la menor topologıa en

X que haga f una aplicacion continua. Por definicion de continuidad, si V ∈ TY

81

82 7. CONSTRUCCION DE TOPOLOGIAS

entonces f−1(V ) deberıa ser abierto en X. De hecho, la familia

f−1TY := {f−1(V ) ⊂ X | V ∈ TY }

es una topologıa (Ejercicio 2.1) y por tanto cumple que si TX es una topologıa

de X tal que f : (X, TX) → (Y, TY ) es continua, entonces f−1TY ⊂ TX (en

este sentido decimos f−1TY es la menor topologıa que hace que f sea continua).

Esta topologıa se denomina topologıa imagen inversa de f en X y es un sencillo

ejemplo de topologıa inicial. La topologıa inducida sobre un subespacio topologico

(ver Definicion 3.3.1) es la topologıa imagen inversa para la inclusion.

En este tema solo consideramos espacios topologicos no vacıos.

Construccion 7.1.2 (Producto de dos topologıas (Ejemplo 4.2.10)). Sean

(X, TX) e (Y, TY ) espacios topologicos. El producto cartesiano X × Y tiene pro-

yecciones naturales en cada una de las coordenadas

X

↗ pr1

X × Y

↘ pr2

Y.

Para que las proyecciones sean continuas se debe cumplir que tanto pr−11 (U1) =

U1×Y como pr−12 (U2) = X ×U2 sean abiertos para cualquier U1 ∈ TX y U2 ∈ TY .

La mınima topologıa que contiene a dichos conjuntos como abiertos es aquella que

los tiene como subbase. En otras palabras, la familia

Σ(X, Y ) = Σp = {U1 × Y | U1 ∈ TX} ∪ {X × U2 | U2 ∈ TY }

es subbase de una topologıa Tp que se denomina topologıa producto.

Observese que, por construccion, tanto pr1 como pr2 son continuas.

Ejemplo 7.1.3. Segun la definicion de subbase, todo abierto del producto debe

ser union de intersecciones finitas de abiertos de Σp. Observemos por ejemplo que,

U1×U2 = (U1× Y )∩ (X ×U2) (Ejercicio A.2(8)(b)). Por lo tanto, el producto de

abiertos es un abierto del producto.


π(TX , TY ) = Bp := {U1 × U2 | U1 ∈ TX , U2 ∈ TY }

es una base de Tp.

TEMA 1. TOPOLOGIAS INICIALES: IMAGEN INVERSA Y PRODUCTO FINITO 83

Propiedades 7.1.4 (Topologıa producto). Supongamos que (X, TX) e (Y, TY )

son e.t. no vacıos y consideremos el producto cartesiano X × Y con la topologıa

producto Tp. Las proyecciones pr1 y pr2 sobre las coordenadas son ahora aplica-

ciones entre espacios topologicos.

(1) Las aplicaciones pr1 y pr2 son continuas, abiertas y suprayectivas.

(2) Si A ⊂ X y B ⊂ Y , entonces

(a) A×B = A×B.

(b) Int(A×B) = Int(A)× Int(B).

(3) Si Z es un e.t. y f : Z → X × Y una aplicacion, entonces f es continua

si y solo si pr1 ◦ f : Z → X y pr2 ◦ f : Z → Y son continuas.

Observacion 7.1.5. La Propiedad 7.1.4(2) puede leerse tambien diciendo que

A × B es cerrado (resp. abierto) si y solo si A y B lo son. Observese de todos

modos que no todo cerrado tiene que ser producto de cerrados, ni todo abierto

producto de abiertos. Tal es el caso del conjunto L := {(x, x) | x ∈ R} en el plano

usual R2 (cuya topologıa producto es la topologıa usual por el Ejercicio 4.18). Al

ser el grafo de una aplicacion continua, L es un cerrado de R2, en cambio no puede

escribirse como el producto de cerrados de R. Analogamente, cualquier bola abierta

B((x, y); ε) ⊂ R2 es un abierto de la topologıa producto pero no es de la forma

A×B para A,B ⊂ R. En efecto, si B = Bd22((0, 0); 1) = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y2 < 1}

fuera de la forma B = A × B, entonces como (34, 0) ∈ B, se tendrıa que 3

4∈ A.

Analogamente, como (0, 34) ∈ B, se tendrıa que 3

4∈ B. Por lo tanto (3

4, 3

4) ∈ A×B.

En cambio, (34, 3

4) /∈ B ya que (3

4)2 + (3

4)2 = 9

8> 1.

Ejercicio 7.2. ♠ Utiliza la Observacion 3.7.3(a) para demostrar que las pro-

yecciones no son siempre cerradas. En particular prueba que la primera proyeccion

pr1 : (R × R, Tp) → (R, Tu) no es cerrada (observa que para aplicar la Observa-

cion 3.7.3(a) es necesario el Ejercicio 4.18).

Ejercicio 7.3. ♠ Sean X,Y, Z espacios topologicos y sean f : Z → X, g :

Z → Y aplicaciones continuas. Demuestra que la aplicacion (f, g) : Z → X × Y

dada por (f, g)(z) := (f(z), g(z)), ∀z ∈ Z, es continua.

Ejercicio 7.4. ♠ Sean X1, X2, Y1, Y2 espacios topologicos y sean fi : Xi → Yi,

i = 1, 2, aplicaciones continuas. Demuestra que la aplicacion f1× f2 : X1×X2 →Y1 × Y2 dada por (f1 × f2)(x1, x2) := (f1(x1), f2(x2)), ∀x1 ∈ X1, ∀x2 ∈ X2, es

continua.

Ejemplo 7.1.6. En la Propiedad 7.1.4(1) vimos que las proyecciones son abier-

tas, por lo tanto las proyecciones de un conjunto abierto son conjuntos abier-

tos en cada coordenada. En cambio, aunque las proyecciones de un conjunto


sean abiertas, este conjunto puede no ser abierto. Para ello veamos el siguien-

te ejemplo, de nuevo en R2. Consideremos el conjunto A := (−1, 0) ∪ (0, 1), y

B := (A×A)∪{(0, 0)}. Veamos que B no es abierto en R2. Para ello basta ver que

ningun entorno de tipo Vε := (−ε, ε)×(−ε, ε) ⊂ R2 de (0, 0) ∈ B esta contenido en

B (ya que ( ε2, 0) ∈ Vε pero ( ε

2, 0) 6∈ B). Dado que la familia {Vε | ε ∈ R>0} forma

una base de entornos de (0, 0) ∈ R2 (Ejemplo 4.1.2(3)(a)) entonces (0, 0) 6∈ Int(B)

(Ejercicio 4.1(5)), y ası (0, 0) ∈ B \ Int(B), luego B no es abierto. En cambio

ambas proyecciones pr1(B) = pr2(B) = (−1, 1) ⊂ R son abiertas.

Ejercicio 7.5. ♠ Sean X e Y espacios topologicos y sean A ⊂ X, B ⊂ Y . Sea

T1 la topologıa de A × B obtenida como producto de las topologıas de subespacio

de A y B y sea T2 la obtenida como topologıa de subespacio de A × B en X × Y

con la topologıa producto. Demuestra que T1 = T2.

Ejercicio 7.6. ♠ Sean X e Y espacios topologicos. Demuestra las siguientes

afirmaciones:

(1) X × Y ≈ Y ×X.

(2) Si Z ≈ X, entonces X × Y ≈ Z × Y .

(3) Si X ≈ X e Y ≈ Y , entonces X × Y ≈ X × Y .

(4) Si x ∈ X, entonces {x} × Y ≈ Y mediante la aplicacion y 7→ (x, y).

Analogamente si y ∈ Y , entonces X × {y} ≈ X.

Observacion 7.1.7. Del Ejercicio 7.5(4), obtenemos que el espacio producto

contiene subespacios homeomorfos a los factores. Como consecuencia, toda pro-

piedada topologica y hereditaria del producto tambien lo es de los factores.

El proximo objetivo sera estudiar que tipo de propiedades topologicas de las

estudiadas hasta ahora (separabilidad, ian, iian, axiomas de separacion) se trans-

miten de los factores al producto y cuales del producto a los factores. Veamos

primero un resultado previo.

Proposicion 7.1.8. Sean D1 ⊂ X y D2 ⊂ Y densos. Entonces D1 × D2 es

denso en X × Y .

Proposicion 7.1.9. Sean X, Y espacios topologicos. Entonces X × Y es se-

parable si y solo si lo son X e Y .

Para demostrar un resultado similar para el Primer Axioma de Numerabilidad

veremos algun resultado previo.

Proposicion 7.1.10. Sea V x1 ⊂ X entorno de x ∈ X y sea V y

2 ⊂ Y entorno

de y ∈ Y , entonces V x1 × V y

2 es entorno de (x, y) en X × Y .


Proposicion 7.1.11. Sea Bx base de entornos de x ∈ X y sea By base de

entornos de y ∈ Y , entonces π(Bx,By) := {V x1 × V y

2 | V x1 ∈ Bx, V y

2 ∈ By} es base

de entornos de (x, y) en X × Y .

Proposicion 7.1.12. Sean X, Y espacios topologicos. Entonces X ×Y es ian

si y solo si X e Y son ian.

Proposicion 7.1.13. Sean X, Y espacios topologicos. Entonces X×Y es iian

si y solo si X e Y son iian.

Veamos tambien como es posible encontrar otras subbases para la topologıa

producto.

Proposicion 7.1.14. Sean X,Y , espacios topologicos y sean SX ,SY subbases

de X e Y , respectivamente. Entonces

S := {pr−11 (S1) = S1 × Y | S1 ∈ SX} ∪ {pr−1

2 (S2) = X × S2 | S2 ∈ SY }es una subbase de X × Y .

Con estos datos podemos rellenar el siguiente recuadro:

Separable ian iian

X, Y ⇒ X × Y X X X

X × Y ⇒ X, Y X X Xdonde

X, Y ⇒ X×Y representa: “si X y Y cumplen cierta propiedad, entonces

X × Y tambien la cumple”.

X × Y ⇒ X, Y representa: “si X × Y cumple cierta propiedad, entonces

X y Y tambien la cumplen”.

Ejercicio 7.7. ♠ Sea f : X → Y una aplicacion continua. Consideremos

Γf := {(x, f(x)) | x ∈ X} ⊂ X×Y el grafo de f . Demuestra que Γf es un espacio

topologico homeomorfo a X.

Ejercicio 7.8. ♠ Demuestra que el producto de espacios (seudo)metricos es

un espacio (seudo)metrico. En concreto, sean (X, dX) e (Y, dY ) espacios (seu-

do)metricos. En principio (X × Y, Tp) es simplemente un espacio topologico. De-

muestra que si definimos d : (X × Y ) × (X × Y ) → R≥0 del siguiente modo

d((x1, y1), (x2, y2)) = max{dX(x1, x2), dY (y1, y2)}. Entonces Tp = T (d).

Veamos ahora como funciona el producto con los axiomas de separacion.


Proposicion 7.1.15. Sean X,Y espacios topologicos. Entonces X y Y son T0

si y solo si X × Y es T0.

Ejercicio 7.9. ♠ Prueba propiedades analogas a la anterior para los Axiomas

T1 y T2, en otras palabras:

X, Y son T1 (resp. T2) si y solo si X × Y es T1 (resp. T2).

Proposicion 7.1.16. Sean X e Y e.t. ; entonces X e Y son regulares si y

solo si X × Y es regular.

Proposicion 7.1.17. Sean X, Y espacios topologicos tales que X × Y es nor-

mal. Entonces ambos son normales.

Ejercicio 7.10. ♠ Demuestra que el producto de dos copias de la recta de

Sorgenfrey no es normal. En particular, el producto de espacios normales no tiene

porque ser normal.

Ejercicio 7.11. ♠ Sean S1 := {xn}n∈N y S2 := {yn}n∈N sucesiones en X e Y

respectivamente. Entonces (x, y) es lımite de S := {(xn, yn)} en X × Y si y solo

si x ∈ LımX S1 e y ∈ LımY S2.

En cambio esto no ocurre para puntos de aglomeracion. Concretamente, si

(x, y) es un punto de aglomeracion de S := {(xn, yn)} en X × Y , entonces x ∈AglX S1 e y ∈ AglY S2. Sin embargo, el recıproco no es cierto.

Construccion 7.1.18 (Producto de una familia finita de topologıas). Observe-

se que la Construccion 7.1.2 puede extenderse de manera inmediata para el caso

del producto cartesiano de un numero finito de espacios topologicos. Considere-

mos (Xi, Ti), i = 1, . . . , n una familia de e.t. El producto cartesiano X :=∏n

i=1 Xi

tiene proyecciones en cada coordenada

X1

↗ pr1

Xpr2→ X2

↘ prn...

Xn.

Consideremos Σi := {pr−1i (Ui) | Ui ∈ Ti}, entonces la topologıa producto Tp de X

tiene por subbase a

Σp :=n⋃

i=1

Σi.

Observemos que

pr−1i (Ui) = X1 × · · · ×Xi−1 × Ui ×Xi+1 × ... · · · ×Xn.


Segun la definicion de subbase, todo abierto del producto debe ser union de inter-

secciones finitas de abiertos de Σp. Para el caso de productos finitos, obtenemos

como en el caso binario una base de abiertos cuyos elementos son de la forma

U1×U2×...×UnEj. A.2(8)(b)

=n⋂

i=1

(X1×· · ·×Xi−1×Ui×Xi+1×... · · ·×Xn), Ui ⊂ Xi abierto.

Todas las propiedades vistas para productos binarios se aplican en productos fini-

tos. Para ello basta aplicar el principio de induccion y tener en cuenta que hay un

homeomorfismo natural entre X1×· · ·×Xn y (X1×· · ·×Xn−1)×Xn, ası como una

asociatividad natural: (X × Y )×Z, X × (Y ×Z) y X × Y ×Z son naturalmente

isomorfos. Lo mismo ocurre con las permutaciones de los factores.

Ejercicio 7.12. ♠ Demuestra que X1×· · ·×Xn es homeomorfo a (X1×· · ·×Xn−1)×Xn.

Ejercicio 7.13. ♠ Se define el espacio topologico cilindro como C := R× S1

con la topologıa producto. Demuestra que el cilindro es homeomorfo a (R2)∗ =

R2 \ {(0, 0)} con la topologıa de subespacio de R2.


Tema 2. Productos numerables

Como en el Tema 1 en este tema solo trabajaremos con espacios topologicos

no vacıos.

Construccion 7.2.19 (Producto de una familia numerable de topologıas).

Queremos extender la Construccion 7.1.18 al caso de una familia numerable de

espacios topologicos. Consideremos (Xn, Tn), n ∈ N una familia de e.t. Conside-

ramos el producto cartesiano X :=∏

n∈NXn y las proyecciones prn : X → Xn.

Los elementos de X son sucesiones (xn)n∈N, tales que xn ∈ Xn, ∀n ∈ N. Podemos

generalizar la Construccion 7.1.18

Consideremos por una parte Σn := {pr−1n (Un) | Un ∈ Tn}. Podemos considerar

la topologıa producto Tp de X como aquella que tiene por subbase a Σp :=⋃

n∈NΣn.

En esta situacion,

pr−1n (Un) = X1 × · · · ×Xn−1 × Un ×

∞∏m=n+1

Xm.

La otra alternativa es considerar una topologıa Tb que admita como base:

Bb :=

{∏

n∈NUn | Un ∈ Tn, ∀n ∈ N

}.

Ejercicio 7.14. ♠ Demuestra que Bb es base de una topologıa, llamada topo-

logıa caja.


Bp :=

{U1 × U2 × ...× Un ×

( ∞∏m=n+1

Xm

)| Ui ∈ Ti, i = 1, ..., n, n ∈ N

}

es base de Tp

Proposicion 7.2.20. Sea {Xn}n∈N una familia numerable de espacios to-

pologicos y sea X :=∏

n∈NXn con la topologıa producto. Sea ∅ 6= U ⊂ X, abierto.

Demuestra que existe n0 ∈ N tal que ∀n > n0, prn(U) = Xn.

Observacion 7.2.21. Observemos que si B := U1×U2×...×Un×∏∞

m=n+1 Xm ∈Bp, entonces todos sus factores son abiertos (Ui ∈ Ti, i = 1, ..., n y Xj ∈ Tj, para

todo j > n) ası pues B ∈ Bb. Por lo tanto Tp ⊂ Tb. Pero en general Tp ( Tb como

se demuestra en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 7.16. ♠ Demuestra que si #{n ∈ N | #Tn = topologıa indiscreta}es finito, entonces las topologıas producto y caja no coinciden.

TEMA 2. PRODUCTOS NUMERABLES 89

Vamos a estudiar los productos numerables. Demostraremos solo aquellos re-

sultados cuyas demostraciones difieran sustancialmente de las hechas en el caso

de productos de dos espacios topologicos.

Propiedades 7.2.22 (Topologıa producto numerable). Sean (Xn, Tn), n ∈N, e.t. y consideremos el producto cartesiano X :=

∏n∈NXn con la topologıa

producto Tp. Las proyecciones prn sobre las coordenadas son ahora aplicaciones

entre espacios topologicos.

(1) Las aplicaciones prn son continuas, abiertas y suprayectivas ∀n ∈ N.

(2) Si An ⊂ Xn ∀n ∈ N, entonces

(a)∏

n∈NAi =∏

n∈NAn.

(b) Int(∏

n∈NAi) ⊂∏

n∈N Int(An).

(3) Si Z es un e.t. y f : Z → X una aplicacion, entonces f es continua si y

solo si prn ◦ f es continua ∀n ∈ N.

Observacion 7.2.23. Observa por la Proposicion 7.2.20 si An $ Xn para todo

n ∈ N, entonces Int(∏

n∈NAn) = ∅.

Observacion 7.2.24. Como en la Observacion 7.1.5 el producto de cerrados

es cerrado si y solo si los factores lo son. Con respecto a los subespacios el resul-

tado correspondiente al Ejercicio 7.5 tambien se cumple. Lo mismo ocurre con las

permutaciones u homeomorfismos de factores del Ejercicio 7.6.

Observacion 7.2.25. Como en el Ejercicio 7.6(4), tambien los factores son

homeomorfos a subespacios del producto. Aplicaremos las reglas de la Observa-

cion 7.1.7: Si una propiedad es topologica y hereditaria y la posee el producto,

entonces la poseen los factores.

Estudiemos la relacion entre separabilidad y producto numerable que gene-

ralice la Proposicion 7.1.9 en la que el elemento clave de la demostracion era la

Proposicion 7.1.8: El producto de densos es denso. En esta situacion necesitamos

un resultado un poco mas fuerte, ya que el producto numerable de conjuntos

numerables no es numerable (Propiedad A.5.19(3)).

Proposicion 7.2.26. Sea {Xn}n∈N una familia de e.t. no vacıos y sea X :=∏n∈NXn. Consideremos Dn ⊂ Xn conjuntos densos ∀n ∈ N y tomemos (xn)n∈N ∈

X un punto cualquiera de X. Denotemos Em := D1 × · · · ×Dm ×∏∞

n=m+1{xn},entonces E :=

⋃m∈NEm es denso en X.

Proposicion 7.2.27. El producto numerable de espacios topologicos es sepa-

rable si y solo si lo son los factores.


Veamos como construir bases de entornos para productos numerables.

Proposicion 7.2.28. Sea {Xn}n∈N una familia de espacios topologicos no

vacıos y sea X :=∏

n∈NXn. Fijemos un punto x := (xn)n∈N ∈ X y para ca-

da n ∈ N, fijemos tambien una base de entornos Bn de xn en Xn. Entonces si

definimos

Bx,n :=

{n∏

j=1

Bj ×∞∏

j=n+1

Xj

∣∣∣Bj ∈ Bj, j = 1 . . . , n

},

entonces, Bx :=⋃

n∈N Bx,n es base de entornos de x en X.

Estamos en disposicion de demostrar el resultado analogo a la Proposicion 7.1.12.

Proposicion 7.2.29. El producto numerable de espacios topologicos es ian si

y solo si lo son los factores.

Para demostrar el resultado equivalente numerable correspondiente a la Pro-

posicion 7.1.13 vamos a enunciar el que se corresponde con la Proposicion 7.1.14

cuya demostracion se omite.

Proposicion 7.2.30. Sean Xn, n ∈ N, espacios topologicos. Sea X :=∏

n∈NXn

el producto. Sean Sn, n ∈ N, subbases para Xn. Entonces, si dado n ∈ N denotamos

Sn := {pr−1n (Un) | Un ∈ Sn},

se tiene que S :=⋃

n∈N Sn es subbase de X.

Proposicion 7.2.31. El producto numerable de espacios topologicos es iian

si y solo si lo son los factores.

Observacion 7.2.32. Todas las propiedades que hemos estudiado de pro-

ductos y axiomas de separacion se enuncian y demuestran igual para productos

numerables y para productos binarios, por lo que la Proposicion 7.1.15, el Ejerci-

cio 7.9 y las Proposiciones 7.1.16 y 7.1.17 se traducen inmediatamente a este caso.

Lo mismo ocurre con convergencia y puntos de aglomeracion de sucesiones, ver

Ejercicio 7.11.

En el Ejercicio 7.8 hemos visto que el producto finito de espacios (seudo)metrizables

es metrizable. Vamos a enunciar el resultado correspondiente para productos nu-

merables.

Ejercicio 7.17. ♠ Sea {(Xn, Tn)}n∈N una familia de espacios topologicos seu-

dometrizables, X :=∏

n∈NXn. Para cada n ∈ N, elegimos una seudometrica dn

TEMA 2. PRODUCTOS NUMERABLES 91

tal que Tn = T (dn) y diam Xn < 1 (Ejercicio 2.30). Demuestra que la aplicacion

d : X ×X → R dada por

d((xn)n∈N, (yn)n∈N) :=∞∑

n=1

dn(xn, yn)

2n

esta bien definida y es seudometrica (o metrica si todas las dn lo son). Ademas,

T (d) = Tp.

Terminamos este tema con un ejemplo importante de producto numerable.

Ejemplo 7.2.33. Consideremos el conjunto 2 := {0, 1} con la topologıa dis-

creta. Consideremos tambien el producto de una cantidad numerable de copias

de 2, denotado X := 2N, con la correspondiente topologıa producto. La Propo-

sicion 7.2.20 implica que la topologıa de X no es la discreta. Deducimos de los

resultados de este tema que X es metrizable (y por tanto T4); ademas es tambien

separable (y por tanto, iian e ian).

Ejercicio 7.18. ♠ Sea X = 2N. Demuestra que la aplicacion f : X → [0, 1]

dada por

f((xn)n∈N) :=∑

n∈N

xn

2n

es continua, sobreyectiva y no inyectiva.


Tema 3. Topologıas finales: cociente

Una situacion analoga a la del Tema 1 se plantea cuando ciertas operaciones

de conjuntos (como el cociente por una relacion de equivalencia) tienen asociadas

aplicaciones de los conjuntos originales en el nuevo conjunto. Suponiendo ahora

que los conjuntos de partida sean espacios topologicos el objetivo es construir una

topologıa en el conjunto resultante que haga las aplicaciones naturales continuas.

Obviamente, cuantos menos abiertos tenga el nuevo espacio topologico, mas facil

es que las aplicaciones sean continuas. En el caso extremo, si elegimos la topologıa

indiscreta las aplicaciones son automaticamente continuas (Ejercicio 2.8(1)). Por

lo tanto se trata de encontrar la topologıa “mas grande” que haga que tales apli-

caciones son continuas, es decir, que cualquier otra que tenga mas abiertos hace

que alguna de las aplicaciones no sea continua.

Construccion 7.3.1 (Topologıa cociente). Consideremos (X, T ) un e.t. y

R una relacion de equivalencia en X (Definicion A.3.4). El conjunto de clases de

equivalencia se denota por X/R. Podemos definir π : X → X/R la aplicacion

que envıa un elemento x ∈ X a su clase de equivalencia [x] en X/R. Para que

π : X → X/R sea continua, lo que tiene que pasar es que π−1(U) ∈ TX para todo

abierto de X/R. Por tanto si definimos

TR := {U ⊂ X/R | π−1(U) ∈ TX}y probamos que TX/R es una topologıa se tiene automaticamente que π : (X, TX) →(X/R, TR) es continua: no solo eso, sino que ademas, si T es otra topologıa de

X/R que tenga mas abiertos que TR, es decir, que TR $ T existe U ∈ T \ TR y

por tanto π−1(U) 6∈ TX (ya que U 6∈ TR). Ası pues π : (X, TX) → (X/R, T ) no

es continua. Por lo tanto hemos construido la topologıa mas grande que hace π

continua. A la topologıa TR se le denomina topologıa cociente de X por R.

Ejercicio 7.19. ♠ Demuestra que TR es efectivamente una topologıa.

Observacion 7.3.2. Sea X un conjunto y R una relacion de equivalencia.

Denotemos π : X → X/R la aplicacion cociente. Si A ⊂ X, llamamos saturacion

de A al conjunto Sat(A) := π−1(π(A)). Un subconjunto A ⊂ X se dice saturado si

A = Sat(A), es decir, si es union de clases de equivalencia. Todas las preimagenes

por π son subconjuntos saturados. Si X es espacio topologico, la topologıa cociente

en X/R otorga una importancia a los abiertos saturados de X.

Ejercicio 7.20. ♠ Demuestra que si V ⊂ X/R es entorno de y ∈ V entonces

π−1(V ) es entorno (saturado) de x ∈ X para todo x ∈ π−1(y) (en cambio el

recıproco no es cierto como se observa en el Ejercicio 7.21).

TEMA 3. TOPOLOGIAS FINALES: COCIENTE 93

Propiedades 7.3.3 (Topologıa cociente). Sea (X, TX) e.t,R relacion de equi-

valencia y X/R el espacio cociente. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

(1) La aplicacion π : (X, TX) → (X/R, TR) es continua.

(2) A ⊂ X/R es cerrado si y solo si π−1(A) ⊂ X es cerrado (saturado).

(3) La aplicacion π es abierta (resp. cerrada) si y solo si Sat(A) es abierto

(resp. cerrado) para todo A ⊂ X abierto (resp. cerrado).

(4) Si Y es un e.t. y f : X/R → Y una aplicacion, entonces f es continua

si y solo si f ◦ π : X → Y es continua.

Ejercicio 7.21. ♠ Sea X = {0, 1, 2, 3} y TX := {∅, X, {0, 1}, {2, 3}} una to-

pologıa sobre X. Consideremos la relacion de equivalencia de congruencia modulo

3, es decir, xRy ⇔ ∃k ∈ Z tal que x− y = 3k. Demuestra que:

(1) X/R = {0, 1, 2} es un espacio indiscreto.

(2) V := {0, 1} no es entorno de 1.

(3) π−1(V ) = {0, 1, 3} es entorno de π−1(1) = {1}.Ejercicio 7.22. ♠ Encuentra ejemplos de cocientes para los cuales la proyec-

cion πR : X → X/R no sea abierta (resp. cerrada).

Ejemplo 7.3.4. Consideremos la recta real usual (R, Tu) y el subconjunto

Z ⊂ R de los numeros enteros. La relacion de equivalencia xRS∼ y ⇔ (x − y) ∈ Z

define un conjunto cociente R/RS de clases de equivalencia que sera denotado R/Z.

Sea πS : R → R/Z la proyeccion y consideremos la topologıa cociente. Queremos

comprender la forma de R/Z.

Un modelo razonable del conjunto de clases de equivalencia, es decir, un sistema

transversal (Ejemplo A.3.10) es el intervalo [0, 1). Nos planteamos la siguiente

pregunta: ¿es la aplicacion j : [0, 1) → R/Z, j(t) := πS(t) un homeomorfismo?

Es claro que es biyectiva y es continua, ya que es la composicion de la inclusion

[0, 1) ↪→ R con πS. Sin embargo, vamos a ver que j−1 no es continua; en efecto,

consideremos la sucesion{xn := πS

(1− 1

n

)= πS

(− 1

n

)}

n∈N

Es claro que xn converge a πS(0), pero j−1(xn) = 1− 1n; es decir, la sucesion imagen

no es convergente. Por la Propiedad 5.4.7(5), j−1 no es continua.

Es facil ver que πS es una aplicacion abierta; en efecto, si si U ⊂ R es abierto,

es facil ver que π−1S (πS(U)) =

⋃n∈Z Un, donde Un := {x + n | x ∈ U}. Sea

τn : R→ R, la aplicacion traslacion por n; observemos que τn es homeomorfismo y

que Un = τn(U), por lo que π−1S (πS(U)) es abierto en R, es decir, πS(U) es abierto

en R/Z.


Ejercicio 7.23. ♠ Como j es biyectiva, podemos describir los abiertos de R/Zcomo imagenes por j de subconjuntos de U . Da una descripcion.

Ejercicio 7.24. ♠ La aplicacion πS no es cerrada.

Ejercicio 7.25. ♠ Sea S1 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. Consideremos la

aplicacion f : R→ S1, dada por f(t) := (cos(2πt), sen(2πt)). Demuestra que existe

una unica aplicacion g : R/Z→ S1 tal que f = g◦πS y que g es un homeomorfismo.

Ejemplo 7.3.5. Consideremos en [0, 1], la relacion de equivalencia dada por

x ∼ y ⇐⇒

x = y o

x, y ∈ {0, 1}.Todas las clases de equivalencia son unipuntuales salvo {0, 1} que contiene dos

elementos. Denotemos el conjunto cociente [0, 1]/{0=1} y la aplicacion cociente

π{0=1} : [0, 1] → [0, 1]/{0=1}.

Ejercicio 7.26. ♠ Demuestra que π{0=1} no es abierta.

Ejercicio 7.27. ♠ Demuestra que [0, 1]/{0=1} es homeomorfo a S1.

Ejercicio 7.28. ♠ Sea X e.t, R relacion de equivalencia y πR : X → X/Rproyeccion sobre el espacio topologico cociente X/R. Encuentra ejemplos de co-

cientes para los cuales:

(a) πR(A) 6= πR(A),

(b) Int(πR(A)) 6= πR(Int(A)),

(c) Fr(πR(A)) 6= πR(Fr(A)),

(d) Ext(πR(A)) 6= πR(Ext(A)),

(e) Ais(πR(A)) 6= πR(Ais(A)),

En cambio, sea D conjunto denso en X, entonces πR(D) es denso en X/R.

A continuacion estudiaremos que relacion existe entre las propiedades topologi-

cas que posee X y las que posee su cociente X/R.

Proposicion 7.3.6. Si X es separable, entonces X/R es separable.

En cambio el recıproco no es cierto en general, ni siquiera aunque πR tenga

fibras a lo sumo numerables (es decir, #π−1R (y) ≤ ℵ0 ∀y ∈ X/R) como muestra el

siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.3.7. Consideremos R con la topologıa T generada por la siguiente

subbase Σ := {[n, n + 1) ⊂ R | n ∈ Z}∪P([0, 1)). Consideremos RS la relacion de


equivalencia del Ejemplo 7.3.4:

xRS∼ y ⇔ (x− y) ∈ Z.

Entonces R/RS es un espacio indiscreto ya que los unicos abiertos en T saturados

son el vacıo y el total; por lo tanto es separable. Ademas π−1S (y) = {y +n | n ∈ Z}

que es un conjunto numerable. En cambio (R, T ) no es separable, ya que si lo

fuera, como [0, 1) ∈ T entonces ([0, 1), T |[0,1)) tambien deberıa serlo, pero T |[0,1)

es la topologıa discreta y #[0, 1) > ℵ0.

Proposicion 7.3.8. Si X/R es separable, πR es abierta y #π−1(y) ≤ ℵ0

∀y ∈ X/R, entonces X es separable.

El Primer Axioma de Numerabilidad NO se conserva en espacios cociente.

Veamos un ejemplo de topologıa cociente X/R no ian que provenga de un espacio

topologico X que sı sea ian.

Ejemplo 7.3.9. Tomemos X = R y la relacion de equivalencia

x R∼ y ⇔

x = y

x, y ∈ Z.

Vamos a demostrar que no existen bases de entornos numerables del punto

[0] = Z (la clase del 0 es el conjunto de los numeros enteros, escribiremos [0] cuando

nos refiramos al punto de R/R y Z cuando nos refiramos a [0] como subconjunto

de R). Supongamos que B0 es una base de entornos de [0] de cardinal a lo sumo

numerable. En tal caso, podemos ordenar sus elementos B0 = {Vn | n ∈ N}.Como Vn es entorno de [0] entonces Z = π−1

R ([0]) ⊂ Vn = π−1R (Vn). Observese que

Vn es entorno de m para todo m ∈ Z (Ejercicio 7.20). Ası pues, Vn es entorno

de n en R, y por tanto existe xn ∈ Vn tal que 0 < d(n, xn) < 12. Si tomamos

U = R \ {xn}n∈N ∈ Tu tenemos que V := πR(U) es abierto, ya que π−1R (V ) = U y

U es abierto. Como xn ∈ Vn \ U , tenemos que Vn * U , es decir, Vn * V , ∀n ∈ N.

Por tanto B0 no puede ser base de entornos.

En cambio, si πR es abierta, el primer axioma de numerabilidad se conserva.

Proposicion 7.3.10. Si X es ian y πR : X → X/R es abierta, entonces X/Res ian.

Observacion 7.3.11. El Ejemplo 7.3.9 tambien prueba que iian no se con-

serva por cocientes ya que R es iian (Propiedad 5.3.3(4)) y R/R no es ian (Ejem-

plo 7.3.9) y por tanto no es iian (Ejemplo 5.3.3(2)).


En cambio, de nuevo si la proyeccion cociente πR es abierta, el segundo Axioma

de numerabilidad sı se conserva por cocientes.

Proposicion 7.3.12. Si X es iian y πR : X → X/R es abierta, entonces

X/R es iian.

En otras palabras, hemos visto que la siguiente tabla es cierta.

Separable ian iian

X ⇒ X/R X πR abierta πR abierta

Ejemplo 7.3.13. Por el Ejemplo 7.3.5 y los Ejercicios 7.26 y 7.27 sabemos que

la condicion la proyeccion cociente es abierta no es condicion necesaria (aunque

sı suficiente) para que los axiomas de numerabilidad pasen al cociente, ya que S1

es ian y iian.

Ejercicio 7.29. ♠ Demuestra que si X es T1, T2, normal o regular, sus co-

cientes no tienen porque serlo

Ejemplo 7.3.14. Las coordenadas polares suponen un ejemplo de uso de to-

pologıa cociente. En R>0 × R, definimos la relacion de equivalencia

(t1, ϑ1) ∼ (t2, ϑ2) ⇐⇒ t1 = t2 y ϑ2 − ϑ1 ∈ 2πZ.

Es facil ver que R>0 × R/ ∼ es homeomorfo a R2 \ {(0, 0)}.

Ejercicio 7.30. ♠ Consideremos el espacio (Rn+1)∗ = Rn+1 \ {0} usual y

en el definida la siguiente relacion de equivalencia: xRP∼ y ⇔ x = λy para cierto

λ ∈ R∗. El espacio cociente (Rn+1)∗/RP con la topologıa cociente se conoce con

el nombre de espacio proyectivo real de dimension n y se denota por RPn; la

aplicacion cociente se denota πP. Demuestra que RP1 es homeomorfo a S1.

Ejemplo 7.3.15. Consideremos el espacio R × R usual y en el definida la

siguiente relacion de equivalencia:

(x, y)RT∼ (x′, y′) ⇔

x− x′ ∈ Zy − y′ ∈ Z

.

Observese que [0, 1)× [0, 1) ⊂ R2 es un sistema tranversal para πRT . Denotemos el

espacio cociente R2/RT por T1. Por otra parte podemos definir T2 := S1× S1 con

la topologıa producto. Se demuestra facilmente que T1 ≈ T2. Este espacio (que

podemos ver como cociente de R2 o como producto de espacios) recibe el nombre

de toro y se denota por T.


Ejemplo 7.3.16. Consideremos el espacio R × R usual y en el definida la

siguiente relacion de equivalencia:

(x, y)RM∼ (x′, y′) ⇔

x− x′ ∈ Zy = (−1)x−x′y′

.

Denotemos el espacio cociente R2/RM por M. Este espacio recibe el nombre de

banda de Mobius.

Ejemplo 7.3.17. Analogamente al ejercicio anterior definamos la siguiente

relacion de equivalencia:

(x, y)RK∼ (x′, y′) ⇔

x− x′ ∈ Zy − (−1)x−x′y′ ∈ Z

.

Denotemos el espacio cociente R2/RK por K. A este espacio se le conoce como la

botella de Klein.


Tema 4. Topologıas finales: identificacion y suma topologica

Construccion 7.4.1 (Topologıa imagen directa (Ejemplo 2.1.2(10))). Con-

sideremos f : X → Y una aplicacion entre conjuntos. Supongamos que (X, TX)

es un e.t. Toda topologıa TY que haga f : (X, TX) → (Y, TY ) continua tiene que

cumplir que si V ∈ TY , entonces f−1(V ) ∈ TX . Por tanto si consideramos

fTX := {V ⊂ Y | f−1(V ) ∈ TX},se tiene que TY ⊂ fTX . Como ademas fTX es una topologıa en Y (Ejemplo 2.1.2(10))

entonces hemos probado que fTX es la mayor topologıa en Y que hace f una apli-

cacion continua. Esta topologıa es un ejemplo de topologıa final y se denomina

topologıa imagen directa de f sobre Y .

La topologıa imagen directa tiene una propiedad universal similar a la topologıa

cociente y que se demuestra de la misma manera.

Proposicion 7.4.2. Sea X un espacio topologico y sea f : X → Y una apli-

cacion. Consideramos en Y la topologıa imagen directa por f . Sea Z un espacio

topologico y sea g : Y → Z una aplicacion. Entonces, g es continua si y solo si lo

es g ◦ f .


(1) Observa que la Proposicion 7.4.2 no la cumplen en general las aplicaciones

continuas, por ejemplo, g : R → R, g(x) := E[x] (parte entera de x)

no es continua, en cambio si tomamos f : R → R, f(x) := 0 se tiene

que (g ◦ f)(x) = 0 y por tanto la composicion tambien es continua. En

particular, esto prueba que la topologıa usual no es la topologıa final para

la aplicacion constante, es decir, Tu ( Tf .

(2) Otra manera de entender la definicion de Tf es que:

(7.1) Un conjunto U es abierto en Y ⇔ f−1(U) es abierto en X.

Esta condicion es mas fuerte que pedir que f sea continua, lo cual es

pedir que se cumpla solo la implicacion ”⇒”en (7.1). Por ejemplo, sea

h : R→ R, h(x) := x2. Observa que si U := [−1, 2) se tiene que g−1(U) =

{x ∈ R | x2 ∈ [−1, 2)} = (−4, 4), por tanto g−1(U) es abierto y sin

embargo U no lo es. Dado que g es continua, esto prueba que Tu ( Tg.

Ejercicio 7.31. ♠ Demuestra que la topologıa final Tf de la Observacion 7.4.3(1)

es la topologıa discreta. Describe Tg (Observacion 7.4.3(2)).

La topologıa imagen directa tambien se caracteriza mediante cerrados.

TEMA 4. TOPOLOGIAS FINALES: IDENTIFICACION Y SUMA TOPOLOGICA 99

Proposicion 7.4.4. Sean X, Y espacios topologicos y sea f : X → Y una

aplicacion. Entonces la topologıa sobre Y es la topologıa imagen directa por f si y

solo si el conjunto de cerrados de Y es {C ⊂ Y | f−1(C) ⊂ X es cerrado}.

Definicion 7.4.5. Diremos que una aplicacion f : (X, TX) → (Y, TY ) es una

identificacion si f es suprayectiva y TY = fTX .

Vamos a ver la relacion que hay entre proyecciones en espacios cocientes e

identificaciones.

Proposicion 7.4.6. Sea X e.t. y R relacion de equivalencia en X, entonces

la proyeccion πR : X → X/R es una identificacion.

Analogamente, se tiene una especie de recıproco de este resultado. Observese

que si f : (X, TX) → (Y, TY ) es una identificacion, entonces podemos definir la

siguiente relacion de equivalencia: si x, y ∈ X, entonces xRf∼ y ⇔ f(x) = f(y).

En tal caso tenemos el espacio cociente X/Rf y f factoriza por dicho espacio

obteniendose el siguiente diagrama

(7.2)

Xf−→ Y,

↘ πf ↗ h

X/Rf

donde f = h ◦ πf .

Proposicion 7.4.7. La aplicacion h : X/Rf → Y descrita en (7.2) es un

homeomorfismo.

Por tanto, toda identificacion puede verse como la proyeccion sobre una topo-

logıa cociente y toda proyeccion cociente es una identificacion.

Propiedades 7.4.8 (Identificaciones). Consideremos f1 : X → Y y f2 : Y →Z aplicaciones continuas:

(1) Si f1 y f2 son identificaciones, entonces f2 ◦ f1 es una identificacion.

(2) Si la composicion f2◦f1 es una identificacion, entonces f2 es identificacion.

(3) Si f1 es una identificacion entonces f2 ◦ f1 es identificacion si y solo si f2

es identificacion.

(4) Una aplicacion continua, sobreyectiva y abierta (o cerrada) es una iden-

tificacion.

(5) Si f es una aplicacion biyectiva, entonces es identificacion si y solo si es

homeomorfismo.


Ejercicio 7.32. ♠ Sean X, Y e.t, f : X → Y identificacion. Sean B ⊂ Y ,

A := f−1(B) ⊂ X y f : A → B la aplicacion inducida por f . Demostrar que si B

es abierto (resp. cerrado) entonces f es identificacion.

Terminamos este Tema con otro ejemplo importante de topologıa final.

Construccion 7.4.9. La suma topologica de una familia de espacios topologi-

cos se define como sigue. Consideremos una familia {(Xλ, Tλ)}λ∈Λ de e.t. y el

conjunto suma X :=∑

λ∈Λ Xλ :=⋃

λ∈Λ({λ} ×Xλ). Para todo λ ∈ Λ tomemos la

aplicacion

(7.3) jλ : Xλ →∑

λ∈Λ

Xλ, jλ(xλ) := (λ, xλ).

La topologıa suma se define como

T := {U ⊂ X | j−1λ (U) abierto ∀λ ∈ Λ}.

Es facil ver que se cumplen las condiciones (T1)-(T3). Si todos los espacios Xλ

son iguales a X, denotaremos esta suma∑

Λ X.

Propiedades 7.4.10 (Topologıa suma). Sea {(Xλ, Tλ)}λ∈Λ de e.t. y el con-

junto suma X :=∑

λ∈Λ Xλ :=⋃

λ∈Λ({λ} × Xλ) con la topologıa suma. Sea

jλ : Xλ ↪→ X la inclusion.

(1) C ⊂ X es cerrado si y solo si j−1λ (C) es cerrado en Xλ.

(2) jλ es un homeomorfismo sobre la imagen y esta es a su vez abierta y

cerrada en X.

(3) Sea f : X → Z aplicacion, Z espacio topologico. Entonces f es continua

si y solo si jλ ◦ f es continua ∀λ ∈ Λ.

Observacion 7.4.11. Debido a la Propiedad 7.4.10(2), si no hay lugar a con-

fusion identificaremos Xλ con su imagen; con esta identificacion, se trata de un

abierto-cerrado de X. Ademas, la Propiedad 7.4.10(3) se interpreta reemplazando

jλ ◦ f por f|Xλ. Observese que si A ⊂ X =

∑λ∈Λ Xλ, entonces A =

∑λ∈Λ j−1

λ (A).

Por lo tanto, denotando Aλ = j−1λ (A) podemos considerar que todo subconjunto

de X es de la forma∑

λ∈Λ Aλ. Observemos que las inclusiones (o las aplicaciones

jλ) son aplicaciones continuas cerradas y abiertas ya que la definicion (o la Pro-

piedad 7.4.10(1)) se traducen en que A es abierto (resp. cerrado) si y solo si Aλ lo

es en Xλ.

Ejercicio 7.33. ♠ Demuestra que si A =∑

λ∈Λ Aλ ⊂ X =∑

λ∈Λ Xλ entonces

A =∑

λ∈Λ Aλ.

TEMA 4. TOPOLOGIAS FINALES: IDENTIFICACION Y SUMA TOPOLOGICA 101

Observacion 7.4.12. Se pueden probar de manera analoga resultados simila-

res para el interior, exterior, puntos aislados y conjunto derivado de A.

Ejercicio 7.34. ♠ Considera Bλ base de abiertos de Xλ. Demuestra que

BΣ := {{λ} ×Bλ | Bλ ∈ Bλ}es una base de abiertos de X =

∑λ∈Λ Xλ.

Ejercicio 7.35. ♠ Sea x ∈ Xλ0 para cierto λ0 ∈ Λ y Bx base de entornos de

x en Xλ0. Demuestra que

B(x,λ0) := {{λ0} × B | B ∈ Bx}es base de entornos para (λ0, x) ∈ X =

∑λ∈Λ Xλ.

CAPıTULO 8

Axiomas de recubrimiento

Dedicaremos este capıtulo a un nuevo tipo de propiedades topologicas: aque-

llas que se refieren a la posibilidad de extraer subrecubrimientos de cardinal finito

o numerable de cualquier recubrimiento. Estudiaremos compacidad, espacios de

Lindelof, compacidad local. Para terminar describiremos el metodo de compacti-

ficacion de Alexandroff.

Tema 1. Compacidad

Definicion 8.1.1. Una familia V de subconjuntos de X se dice un recubri-

miento de X si ∪V = X. Si V es recubrimiento de X y existe W ⊂ V subfamilia

de V que es tambien un recubrimiento de X diremos que V posee un subrecubri-

miento W de X. Si el subrecubrimiento W cumple W $ V diremos que es un

subrecubrimiento propio. Si ademas X es un espacio topologico y todo elemento

de V es abierto, entonces diremos que V es un recubrimiento abierto de X.

Definicion 8.1.2. Diremos que un recubrimiento V de X posee un subrecu-

brimiento finito (resp. numerable o contable) de X si existe un subrecubrimiento

finito (numerable o contable) de V . A esta propiedad del recubrimiento V nos re-

feriremos diciendo que V recubre finitamente (resp. numerable o contablemente)

a X.

Ejercicio 8.1. ♠ Sea V1 un recubrimiento de X y V2 una familia de subcon-

juntos de X de modo que para cualquier V1 ∈ V1 existe un V2 ∈ V2 con V1 ⊂ V2.

Demuestra que V2 recubre X y que si V1 recubre finitamente (resp. numerable o

contablemente) a X entonces tambien V2 recubre finitamente (resp. numerable o

contablemente) a X.

Definicion 8.1.3. Sea K un espacio topologico. Diremos que K es compacto

si todo recubrimiento abierto de K posee un subrecubrimiento finito.

Si K ⊂ X con (X, T ) espacio topologico, diremos que K es compacto si

(K, T |K) es compacto.

103

104 8. AXIOMAS DE RECUBRIMIENTO

Observacion 8.1.4. Dado que la definicion de compacidad solo hace referen-

cia a propiedades que se conservan por homeomorfismos (recubrimientos abiertos,

subrecubrimientos finitos) se deduce que la compacidad es una propiedad topologi-

ca.

Ejercicio 8.2. ♠ Demuestra que A ⊂ X es compacto si y solo si ∀{Uλ}λ∈Λ,

familia de abiertos de X tal que A ⊂ ⋃λ∈Λ Uλ, existe un subconjunto finito F ⊂ Λ

tal que A ⊂ ⋃λ∈F Uλ. Una familia ∀{Uλ}λ∈Λ de abiertos de X que cumpla A ⊂⋃

λ∈Λ Uλ, diremos que es un recubrimiento abierto de A en X.

Ejercicio 8.3. ♠ Demuestra que la union finita de compactos es un compacto,

es decir, si K1, ..., Kn ⊂ X son subconjuntos compactos de X, entonces K1 ∪ ... ∪Kn ⊂ X es un subconjunto compacto de X.

A continuacion mostraremos que los conjuntos compactos se preservan por

aplicaciones continuas,

Proposicion 8.1.5. Sean (X, TX) e (Y, TY ) e.t, supongamos que K ⊂ X es

compacto y f : X → Y es una aplicacion continua, entonces f(K) es compacto.

Ejemplo 8.1.6. Como aplicacion de este resultado probaremos que la circun-

ferencia S1 es compacta. Para ello basta ver que la aplicacion f : [0, 1] → R2,

f(t) := (cos(2πt), sen(2πt)) es continua (Ejercicio 7.25), y [0, 1] es compacto,

ası pues f([0, 1]) = S1 es compacto (Proposicion 8.1.5).

Veamos algunos ejemplos de compacidad:

Ejemplo 8.1.7. Los espacios topologicos finitos (o con un numero finito de

abiertos) son compactos.

Ejemplo 8.1.8. Un espacio topologico discreto es compacto si y solo si es

finito.

Ejemplo 8.1.9. R no es compacto.

Ejercicio 8.4. ♠ Prueba que un conjunto infinito cofinito es compacto.

Ejercicio 8.5. ♠ Prueba que los unicos subconjuntos compactos de (R, Tcn)

son las uniones finitas de puntos con la topologıa discreta.

Ejemplo 8.1.10. [0, 1] es compacto.

Ejercicio 8.6. ♠ Demuestra que el intervalo [0, 1] no es compacto en la recta

de Sorgenfrey.

TEMA 1. COMPACIDAD 105

El siguiente resultado es muy util a la hora de probar que ciertos subconjuntos

de espacios compactos son compactos.

Proposicion 8.1.11. Si X es compacto y K ⊂ X es cerrado, entonces K es

compacto.

Proposicion 8.1.12. Si X es Hausdorff y K ⊂ X es compacto, entonces K

es cerrado.

Ejemplo 8.1.13. Como ejemplo de esta caracterizacion observa que Q∩ [0, 1]

no es compacto ya que no es cerrado.

Observacion 8.1.14. Observa que si (X, T ) es compacto y T2, entonces el

conjunto de cerrados CT de X coincide con el de subconjuntos compactos de X.

Ejemplo 8.1.15. Observese que la condicion de separacion T2 en la Proposi-

cion 8.1.12 es necesaria. Por ejemplo, consideremos el espacio de Sierpinski (Ejem-

plo 2.1.2(8)). El subconjunto {0} es compacto por ser finito (Ejemplo 8.1.7), pero

no es cerrado ya que {0}c = {1} no es abierto.

Corolario 8.1.16. Sea X Hausdorff. Sea {Kλ}λ∈Λ una familia no vacıa de

compactos de X. Entonces⋂

λ∈Λ Kλ es compacto.

Proposicion 8.1.17. Todo subconjunto infinito de un conjunto compacto posee

algun punto de acumulacion, es decir, si A ⊂ K es un subconjunto infinito de un

conjunto K compacto, entonces A′ 6= ∅.

Teorema 8.1.18 (Heine-Borel). En Rn las tres afirmaciones siguientes son

equivalentes:

(1) K ⊂ Rn es cerrado y acotado.

(2) K ⊂ Rn es compacto.

(3) Todo subconjunto infinito de K posee algun punto de acumulacion en K.

Empezamos con la demostracion para n = 1.

Ejemplo 8.1.19. Como ejemplo de esta caracterizacion (para R) observa que

el grafo Γf ⊂ R2 de una aplicacion continua f : R→ R no puede ser compacto ya

que Γf

Ejer.7.7≈ R que no es compacto. Este resultado concuerda con la version para

R2 del Teorema de Heine Borel 8.1.18 ya que aunque Γf es cerrado (Ejercicio 3.4),

no es acotado.

Observacion 8.1.20. En particular, toda funcion continua de un cerrado y

acotado de Rn en R admite maximos y mınimos absolutos.



(1) Este resultado no es cierto en R con otras topologıas distintas de la usual,

por ejemplo, ya hemos visto en el Ejercicio 8.6 que [0, 1] no es compacto

en la recta de Sorgenfrey (a pesar de ser cerrado).

(2) Si uno se fija en la demostracion, el resultado es cierto para cualquier

espacio metrico en el que las bolas cerradas sean compactas.

Proposicion 8.1.22. Sea {Kn}n∈N una familia de conjuntos cerrados encaja-

dos (Kn ⊂ Km si n ≥ m) no vacıos de un conjunto compacto X, entonces ∩n∈NKn

es un conjunto compacto no vacıo.

Es importante observar que no todos los compactos infinitos de R son intervalos

cerrados y acotados o uniones finitas de ellos. A continuacion construiremos un

compacto infinito de R que no solo no es un intervalo, sino que ni siquiera contiene

ningun intervalo. Este conjunto se denomina conjunto de Cantor y lo obtendremos

del siguiente modo:

Ejemplo 8.1.23 (Cantor). Consideremos

E0 := [0, 1],

E1 := E0 \(1

3,2

3

),

E2 := E1 \((1

9,2

9

)∪

(7

9,8

9

)),

...

En := En−1 \(

3n−1−1⋃

k=0

(3k + 1

3n,3k + 2

3n

)).

Para simplificar consideremos las siguientes notaciones:

Ik,n :=(3k + 1

3n,3k + 2

3n

), In :=

3n−1−1⋃

k=0

Ik,n.

y ası

En = En−1 \ In = [0, 1] \(

n⋃m=1

Im

).

Observese lo siguiente:

(C1) En+1 ⊂ En (en general, En ⊂ Em si m ≤ n).

(C2) En 6= ∅ ∀n ∈ N ya que 13n ∈ En. Esto es facil de comprobar ya que

13n ≤ 1

3m si m ≤ n y por tanto 13n /∈ Im si m ≤ n. Ası pues, 1

3n /∈ ∪nm=1Im

y por tanto 13n ∈ [0, 1] \ (∪n

m=1Im) = En.

TEMA 1. COMPACIDAD 107

(C3) En es cerrado ∀n ∈ N por induccion ya que E0 es cerrado y si En es

cerrado, como In es abierto (por ser union de intervalos abiertos), entonces

En \ In = En ∩ Icn es abierto (por ser interseccion de dos cerrados).

Se define

C :=⋂

n∈NEn.

Probemos algunas propiedades de C.

Propiedades 8.1.24 (Cantor).

(C4) C es un conjunto compacto no vacıo.

(C5) C no contiene ningun intervalo (no unipuntual) y por tanto su interior es

vacıo.

(C6) C no tiene puntos aislados (y por lo tanto es infinito).

Observacion 8.1.25. Si se define la medida de un intervalo [a, b] ⊂ R como

µ([a, b]) = b − a, se dice que la medida de un conjunto A ⊂ R es M si para todo

ε > 0 se puede encontrar un recubrimiento de A por intervalos A ⊂ ⋃n∈N[an, bn] de

modo que la serie∑

n∈N µ([an, bn]) sea convergente y |M−(∑n∈N µ([an, bn])

) | < ε.

En particular, si un conjunto tiene medida (de la definicion no se deduce que

todos los subconjuntos de R tengan que tener medida) y contiene un intervalo, su

medida ha de ser positiva. Con esta definicion, observa que En es una union finita

de intervalos cerrados y acotados, que C ⊂ En y que µ(En) = 2n

3n . Por lo tanto

µ(C) = 0. Es decir, el conjunto de Cantor es un compacto infinito de R de medida

cero sin puntos aislados.

Ejercicio 8.7. ♠ Sea C el conjunto de Cantor, y sea X := {0, 1}N. Definimos

la aplicacion f : X → C, tal que si {εn}n∈N ∈ X entonces:

f({εn}n∈N) =∞∑

n=1

2εn

3n.

Demuestra que f esta bien definida y es biyectiva. Deduce de aquı que C tiene

cardinal no contable.

Probaremos los siguientes resultados, que relacionan compacidad y separacion.

Proposicion 8.1.26. Todo espacio topologico T2 separa compactos.

Corolario 8.1.27. Sea X un espacio topologico compacto y T2, entonces X

es T4.

Ejercicio 8.8. ♠ Demuestra que si f : X → Y es una aplicacion continua

entre espacios topologicos, X es compacto e Y es T2, entonces f es cerrada. Si

ademas f es biyectiva, entonces f es un homeomorfismo.


A continuacion probaremos algunas interesantes caracterizaciones de compaci-

dad. Para ello definiremos brevemente el siguiente concepto. Diremos que una fa-

milia V = {Vλ ⊂ X | λ ∈ Λ} de subconjuntos de X es disjunta si ∩V = ∩λ∈ΛVλ = ∅y diremos que es finitamente disjunta si existe una subfamilia finita de V disjunta,

es decir, si ∃F ⊂ Λ tal que ∩λ∈F Vλ = ∅.Proposicion 8.1.28. Sea (X, T ) e.t, entonces las siguientes afirmaciones son

equivalentes:

(1) X es compacto

(2) Si una familia de abiertos no recubre finitamente a X, no recubre a X.

(3) Si una familia de cerrados es disjunta, entonces es finitamente disjunta.

(4) Si una familia de cerrados no es finitamente disjunta, entonces no es

disjunta.

(5) Existe B base de (X, T ) tal que todo recubrimento de abiertos basicos (es

decir, U ⊂ B con ∪U = X) recubre finitamente a X.

compacidad en productos y cocientes

Proposicion 8.1.29. Si (X, T ) es un espacio topologico compacto y R relacion

de equivalencia en X, entonces (X/R, T /R) es compacto.

Teorema 8.1.30 (Tychonoff). Sean (X, TX) e (Y, TY ) e.t. no vacıos, entonces

X × Y es compacto si y solo si X e Y lo son.

Ahora podemos terminar la demostracion del Teorema 8.1.18.

Ejercicio 8.9. ♠ Demuestra que el toro T (Ejemplo 7.3.15) es compacto.

Ejercicio 8.10. ♠ Consideremos Mn(R) el conjunto de matrices n × n con

coeficientes reales al que identificaremos con Rn2. De esta manera dotaremos a

Mn(R) de estructura de espacio metrico. Definamos el grupo ortogonal O(n) :=

{A ∈ Mn(R) | AAt = 1n} (donde 1n es la matriz identidad en Mn(R)). Demuestra

que O(n) es compacto.

TEMA 2. COMPACIDAD Y SUCESIONES 109

Tema 2. Compacidad y sucesiones

Se ha perseguido desde hace tiempo el correcto concepto de compacidad. Una

definicion proveniente del analisis es la de compacidad numerable.

Definicion 8.2.1. Un espacio topologico X es numerablemente compacto si

toda sucesion en X tiene un punto de aglomeracion en X.

Proposicion 8.2.2. Sea X e.t. compacto. Entonces, X es numerablemente

compacto.

Proposicion 8.2.3. Sean X e Y e.t. no vacıos. Si X×Y es numerablemente

compacto. Entonces X e Y son numerablemente compactos.

Otra definicion muy usada en analisis es la de compacidad secuencial.

Definicion 8.2.4. Un espacio topologico X es secuencialmente compacto si

toda sucesion en X tiene una subsucesion convergente.

Proposicion 8.2.5. Sea X e.t. Entonces:

(1) Si X es secuencialmente compacto, entonces es numerablemente compac-

to.

(2) Si X es numerablemente compacto (o compacto) y primero numerable,

entonces X es secuencialmente compacto.

Observacion 8.2.6. Por tanto compacidad secuencial implica compacidad

numerable; en cambio existen espacios compactos que no son secuencialmente

compactos y espacios secuencialmente compactos (y por tanto numerablemente

compactos) que no son compactos.

Vamos a terminar esta primera seccion estudiando la compacidad en los espa-

cios metricos (o pseudometricos).

Definicion 8.2.7 (ver Definicion 2.2.17). Sea (X, d) un espacio seudometrico.

Diremos que X es acotado si {d(x, y) | x, y ∈ X} ⊂ R es un conjunto acotado de

numeros reales.

Proposicion 8.2.8. Si (X, d) es un espacio seudometrico compacto, entonces

X es acotado.

Definicion 8.2.9. Un espacio seudometrico esta totalmente acotado si se pue-

de recubrir por un numero finito de bolas de radio ε para cualquier ε > 0.

Proposicion 8.2.10. Si (X, d) es un espacio pseudometrico compacto (resp.

secuencialmente compacto), entonces X es totalmente acotado.


Para ver la recıproca, necesitamos alguna nocion ya conocida del analisis.

Definicion 8.2.11. Sea X un espacio seudometrico. Diremos que una sucesion

{xn}n∈N es de Cauchy si y solo si ∀ε > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀n,m ∈ N ≥ n0 se

tiene d(xn, xm) < ε.

Ejercicio 8.11. ♠ Sea X un espacio seudometrico.

(1) Toda sucesion convergente es de Cauchy.

(2) Si una sucesion de Cauchy posee una subsucesion convergente a un punto

x ∈ X entonces la propia sucesion converge a x.

Definicion 8.2.12. Un espacio seudometrico es completo si toda sucesion de

Cauchy es convergente.

Ejemplo 8.2.13. R con la metrica usual es completo. Los mismo ocurre con

Rn con las metricas d2, d1, d∞. Sin embargo, (0, 1) no es completo.

En la siguiente seccion completaremos el recorrido que hacen los dos siguientes

resultados.

Proposicion 8.2.14. Un espacio seudometrico compacto es completo y total-

mente acotado.

Proposicion 8.2.15. Un espacio seudometrico completo y totalmente acotado

es secuencialmente compacto.

TEMA 3. COMPACIDAD Y ESPACIOS LINDELOF 111

Tema 3. Compacidad y espacios Lindelof

Definicion 8.3.1. Sea X un espacio topologico, diremos que X es Lindelof si

todo recubrimiento abierto de X posee un subrecubrimiento finito o numerable.

Como en la compacidad, si A ⊂ X podemos comprobar que es Lindelof traba-

jando con familias de abiertos absolutos cuya union contiene a A.

La siguiente proposicion se demuestra como en el caso compacto.

Proposicion 8.3.2. Sea X un espacio topologico Lindelof, entonces se tiene:

(1) Si A ⊂ X es cerrado, entonces A es Lindelof.

(2) Si Y otro espacio topologico y f : X → Y una aplicacion continua y

sobreyectiva. Entonces Y es Lindelof.

El principal resultado que vamos a demostrar es el siguiente:

Proposicion 8.3.3. Sea X un espacio topologico Lindelof. Entonces X es

compacto si y solo si es numerablemente compacto.

La clave de la demostracion es el siguiente lema.

Lema 8.3.4. Un espacio topologico es numerablemente compacto si y solo si

todo recubrimiento abierto numerable admite un subrecubrimiento finito.

Teorema 8.3.5 (Teorema de Lindelof). Sea X e.t. iian. Entonces X es

Lindelof.

Ejercicio 8.12. ♠ La recta de Sorgenfrey o R con la topologıa conumerable

son Lindelof pero no segundo numerables.

A continuacion veremos una relacion entre Lindelof y propiedades de separa-

cion.

Proposicion 8.3.6. Si X es un espacio topologico Lindelof regular, entonces,

X es normal.

Probaremos que algunas de estas definiciones son equivalentes para espacios

pseudometrizables.

Proposicion 8.3.7. Sea X un espacio pseudometrizable, entonces las tres pro-

piedades siguientes son equivalentes:

(1) X es segundo numerable.

(2) X es Lindelof.


(3) X es separable.

Definicion 8.3.8. Sea X un espacio seudometrico y sea U un recubrimiento

abierto de X. Diremos que ε > 0 es un numero de Lebesgue del recubrimiento si

toda bola de radio ε esta contenida en un abierto de U .

Proposicion 8.3.9. Sea X un espacio seudometrico secuencialmente compac-

to. Entonces, todo recubrimiento abierto posee un numero de Lebesgue.

Proposicion 8.3.10. Sea X un espacio pseudometrizable, entonces las si-

guientes propiedades siguientes son equivalentes:

(1) X es compacto.

(2) X es numerablemente compacto.

(3) X es secuencialmente compacto.

Corolario 8.3.11. Un espacio seudometrico es compacto si y solo si es to-

talmente acotado y completo.

TEMA 4. ESPACIOS LOCALMENTE COMPACTOS 113

Tema 4. Espacios localmente compactos

Definicion 8.4.1. Un espacio topologico es localmente compacto si todo punto

admite una base de entornos compactos.

Ejemplo 8.4.2. Recordemos que las bolas cerradas euclıdeas centradas en un

punto de Rn son cerrados y acotados, luego compactos. Por tanto, Rn es localmente

compacto. El mismo razonamiento se aplica a los intervalos de R. Los espacios

discretos son claramente localmente compactos.

Sin embargo,Q no es localmente compacto. En efecto, sea K un compacto deQ.

Sea x ∈ IntQK. Ası, existe ε > 0 tal que (x−ε, x+ε)∩Q ⊂ K. Tomando clausuras

en R y teniendo en cuenta que K es cerrado en R obtenemos [x−ε, x+ε] ⊂ K ⊂ Q,

contradiccion. Como todos los compactos de Q son de interior vacıo, no puede ser

localmente compacto.

Proposicion 8.4.3. Sea X un espacio topologico Hausdorff se cumple que:

(1) Si X es localmente compacto, entonces X es T3.

(2) Si todo punto admite un entorno compacto, entonces X es localmente

compacto.

La compacidad local se conserva por aplicaciones abiertas:

Proposicion 8.4.4. Sea X un espacio topologico localmente compacto, Y otro

espacio topologico y f : X → Y una aplicacion continua y abierta. Entonces, f(X)

es localmente compacto.

Observaremos que compacidad local no es una propiedad hereditaria, pero para

el caso de espacios Hausdorff probaremos una caracterizacion de compacidad local.

Teorema 8.4.5. Sea Y un espacio topologico Hausdorff y localmente compacto

y sea X ⊂ Y , entonces, X es localmente compacto si y solo si es interseccion de

un abierto y un cerrado.

Para demostrar este resultado usaremos los siguientes lemas.

Lema 8.4.6. Sea Z un espacio topologico Hausdorff y localmente compacto y

sea X ⊂ Z denso y localmente compacto. Entonces, X es abierto.

Lema 8.4.7. Sea (X, T ) e.t. localmente compacto, sea U ∈ T abierto y C ∈ CTcerrado en X. Entonces (U ∩ C, T |U∩C) es localmente compacto.

Ejercicio 8.13. ♠ Demuestra que si X es localmente compacto y regular,

entonces todo punto x ∈ X posee una base de entornos cerrados y compactos.


Por ultimo estudiaremos el comportamiento de la compacidad local para pro-

ductos de espacios topologicos.

Proposicion 8.4.8. X :=∏

λ∈Λ(Xλ, Tλ) es localmente compacto si y solo si

(i) (Xλ, Tλ) es localmente compacto ∀λ ∈ Λ y

(ii) ∃F ⊂ Λ finito tal que (Xλ, Tλ) es compacto ∀λ ∈ Λ \ F .

TEMA 5. COMPACTIFICACION DE ALEXANDROFF 115

Tema 5. Compactificacion de Alexandroff

En este tema X sera un espacio topologico localmente compacto, T2 y no

compacto.

Definicion 8.5.1. Una compactificacion de X es un par (Y, i) donde Y es

un espacio topologico T2 compacto e i : X → Y es un homeomorfismo sobre la

imagen tal que i(X) es un abierto denso de Y .

Vamos a construir una compactificacion de X. Definimos un conjunto X∗ :=

X ∪ {ω} donde ω es un elemento que no esta en X. Consideremos la siguiente

familia de P(X∗):

T ∗ := T ∪ {(X \K)∗ | K ⊂ X compacto},

donde si A ⊂ X, A∗ := A∪{ω}. Consideremos la inclusion i : X ↪→X∗. Entonces:

Teorema 8.5.2 (Teorema de Alexandroff). T ∗ es una topologıa de forma que

(X∗, i) es una compactificacion de X (llamada compactificacion de Alexandroff).

La compactificacion de Alexandroff esta bien definida salvo homeomorfismo.

Esto es lo que afirma la siguiente sencilla proposicion.

Proposicion 8.5.3. Es decir, si X e Y son dos espacios topologicos no com-

pactos, T2, localmente compactos y homeomorfos, entonces sus compactificaciones

de Alexandroff son homeomorfas.

El siguiente resultado es una fuente de ejemplos:

Proposicion 8.5.4. Sea Y un espacio topologico compacto y Hausdorff y sea

y ∈ Y no aislado. Denotaremos X := Y \ {y}. Entonces, Y es homeomorfo a la

compactificacion de Alexandroff de X.

Ejemplo 8.5.5. Consideremos una aplicacion entre Sn \ {P} y Rn (P =

(0, ..., 0, 1)) que consiste en enviar un punto Q ∈ Sn \ {P} ⊂ Rn+1 al punto de

Rn = Rn × {0} ⊂ Rn+1 interseccion de la recta PQ y el hiperplano Rn. Esta apli-

cacion se denomina proyeccion estereografica y puede escribirse numericamente

del siguiente modo

π : Sn \ {P} → Rn

(x1, ..., xn+1) 7→(

x1

1−xn+1, ..., xn

1−xn+1

).


Es facil comprobar que π−1 tiene la siguiente expresion analıtica

π−1 : Rn → Sn \ {P}(α1, ..., αn) 7→

(2α1

α2+1, ..., 2αn

α2+1, α2−1

α2+1

)

donde α2 = α21 + ... + α2

n. Se trata de un homeomorfismo. Deducimos que la

compactificacion de Alexandroff de Rn es homeomorfa a Sn, ya que como es cerrado

y acotado en Rn+1, es compacto.

Ejemplo 8.5.6. Sea X un espacio topologico de manera que podemos realizar

un homeomorfismo sobre la imagen j : X → Rn tal que #j(X) \ j(X) = 1.

Observemos que en tal caso X es localmente compacto, Hausdorff y no compacto,

y que su compactificacion de Alexandroff es homeomorfa a j(X).

Consideremos los conjuntos X1 := (0, 1), X2 := [0, 1) y X3 := [0, 1)∪ (1, 2]. De

los argumentos anteriores obtenemos que sus compactificaciones de Alexandroff

son homeomorfas a S1 para X1 y [0, 1] para X2 y X3.

CAPıTULO 9

Espacios de Baire

Tema 1. Espacios de primera y segunda categorıa

Definicion 9.1.1. Definiremos un subconjunto M de un espacio topologico

(X, T ) como diseminado en X si Int(M) = ∅.Propiedades 9.1.2 (Conjuntos diseminados). Los conjuntos diseminados cum-

plen las siguientes propiedades:

(1) Si M es diseminado y N ⊂ M , entonces N es diseminado.

(2) M es diseminado si y solo si Ext(M) = X.

(3) Si M ⊂ Y ⊂ X es diseminado en el espacio topologico (Y, T |Y ) entonces

M es diseminado en (X, T ).

(4) Si M ⊂ Y ⊂ X es diseminado en X e Y ∈ T , entonces M es diseminado

en (Y, T |Y ).

(5) Si f : (X, T ) → (X ′, T ′) es continua y abierta, y M ′ ⊂ X ′ es diseminado

en X ′, entonces f−1(M ′) es diseminado en X.

Ejemplo 9.1.3. Observa que el conjunto de Cantor (Ejemplo 8.1.23) es cerrado

(Propiedad 8.1.24(C4)) de interior vacıo (Propiedad 8.1.24(C5)) y por tanto es

diseminado (ya que Int(C) = Int(C) = ∅).Ejercicio 9.1. ♠ Sea U ⊂ R abierto denso de Sorgenfrey, comprueba que

Int(R,Tu) U tambien es denso en Sorgenfrey. Utiliza esto para comprobar que todo

conjunto diseminado en Sorgenfrey lo es en la topologıa usual.

Definicion 9.1.4. Definiremos un subconjunto M de un espacio topologico

(X, T ) como de primera categorıa en (X, T ) si es union numerable de conjuntos

diseminados. De otro modo, diremos que M es de segunda categorıa en (X, T ).

Propiedades 9.1.5 (Conjuntos primera categorıa). Los conjuntos de primera

categorıa de un espacios topologico (X, T ) verifican:

(1) La union numerable de conjuntos de primera categorıa es de primera

categorıa.

(2) Todo subconjunto de un conjunto de primera categorıa es de primera

categorıa.

117

118 9. ESPACIOS DE BAIRE

(3) Si M ⊂ Y ⊂ X es de primera categorıa en el espacio topologico (Y, T |Y )

entonces M es de primera categorıa en (X, T ).

(4) Si M ⊂ Y ⊂ X es de primera categorıa en X e Y ∈ T , entonces M es de

primera categorıa en (Y, T |Y ).

(5) Si f : (X, T ) → (X ′, T ′) es continua y abierta, y M ′ ⊂ X ′ es de primera

categorıa en X ′, entonces f−1(M ′) es de primera categorıa en X.

Ejemplo 9.1.6. Observa que todo subconjunto contable de R es primera cate-

gorıa ya que un punto es un conjunto diseminado y por tanto su union numerable

es de primera categorıa (Propiedad 9.1.5(1)). En cambio no todo conjunto de pri-

mera categorıa en la recta usual debe ser numerable, por ejemplo, observa que el

conjunto de Cantor es diseminado (Ejemplo 9.1.3) y por tanto de primera cate-

gorıa, mientras que su cardinal es no numerable (Ejercicio 8.7).

Ejercicio 9.2. ♠ Demuestra que todo conjunto de primera categorıa en la

recta de Sorgenfrey es de primera categorıa en la recta usual.

TEMA 2. ESPACIOS DE BAIRE 119

Tema 2. Espacios de Baire

Definicion 9.2.1. Un espacio topologico (X, T ) se dice espacio de Baire si

toda interseccion numerable de abiertos densos de X es densa.

Demostraremos la siguiente caracterizacion de espacios de Baire.

Proposicion 9.2.2. Sea (X, T ) espacio topologico, entonces las siguientes

afirmaciones son equivalentes:

(1) (X, T ) es un espacio de Baire.

(2) Todo abierto no vacıo de X es de segunda categorıa en X.

(3) La union numerable de cerrados con interior vacıo tiene interior vacıo.

(4) El complementario de cualquier conjunto de primera categorıa es denso

en X.

Por ultimo probaremos el importante teorema de Baire.

Teorema 9.2.3 (Teorema de Baire). Sea X un espacio topologico que cumple

alguna de las tres propiedades siguientes. Entonces X es de Baire.

(1) X es localmente compacto y T2.

(2) X es localmente compacto y regular.

(3) X es pseudometrizable y su topologıa proviene de una pseudometrica d

para la que (X, d) es seudometrico completo.

Ejemplo 9.2.4. Como consecuencia del Teorema de Baire si un espacio to-

pologico es localmente homeomorfo a un abierto de (Rn, Tu), entonces es un espa-

cio de Baire. Un espacio se dice localmente homeomorfo a Rn si todo punto admite

un entorno abierto homeomorfo a un abierto de Rn.

Observacion 9.2.5. Observe que una consecuencia de que un espacio (X, T )

sea de Baire es que si descomponemos X en una union numerable de cerrados

X = ∪n∈NCn, entonces alguno de ellos debe tener interior no vacıo. En efecto,

si Int(Cn) = ∅, entonces Cn serıa diseminado ya que Int(Cn) = Int(Cn) = ∅por lo cual X serıa de primera categorıa lo que contradice ser de Baire (Proposi-

cion 9.2.2(2)).

Ejemplo 9.2.6. Veamos que (Rn \Qn, Tu|Rn\Qn) es un espacio de Baire. Si no

lo fuera, podrıamos encontrar x ∈ Rn \Qn y ε > 0 tal que A := B(x; ε)∩ (Rn \Qn)

es de primera categorıa en Rn \Qn. Por tanto, A tambien es de primera categorıa

en Rn. Como B(x; ε) es la union de A y un conjunto numerable, tambien serıa de

primera categorıa, contradiccion.

Debido a que Int(Rn \Qn) = ∅, lo anterior y la Observacion 9.2.5 implican que

Rn \Qn no puede escribirse como union numerable de cerrados.

120 9. ESPACIOS DE BAIRE

Ejercicio 9.3. ♠ Prueba que la recta de Sorgenfrey es un espacio de Baire.

Indicacion: Observa que todo abierto de Sorgenfrey tiene interior no vacıo en la

topologıa usual y utiliza el Ejercicio 9.2.

Ejemplo 9.2.7. Veamos una demostracion alternativa al hecho de que el plano

de Sorgenfrey (R2,S2) (es decir, el producto de dos rectas de Sorgenfrey) no es

un espacio normal (Ejercicio 7.10) utilizando espacios de Baire. Se trata de ver

que C1 := {(x,−x) ∈ R2 | x ∈ Q} y C2 := {(x,−x) ∈ R2 | x ∈ R \ Q} no se

pueden separar (observese que, dado que L := {(x,−x) ∈ R2 | x ∈ R} es cerrado

en el plano de Sorgenfrey y que L hereda la topologıa discreta, entonces C1 y C2

son cerrados en L y por tanto lo son en el plano de Sorgenfrey). Supongamos que

existe U ⊂ R2 entorno de C2 y tal que Adh(R2,S2)(U) ∩ C1 = ∅. Coleccionemos los

conjuntos

C2,n :=

{(x,−x) ∈ C2

[x, x +

1

n

)×

[−x,−x +

1

n

)⊂ U

}.

Observa que

(1) Si (x, y) ∈ R2, entonces

B :=

{S2((x, y);

1

n) :=

[x, x +

1

n

)×

[y, y +

1

n

)|n ∈ N

}

es base de entornos de (x, y) en (R2,S2) (similar al Ejercicio 4.5 para la

recta de Sorgenfrey).

(2) C2 = ∪n∈NC2,n:

(3) C2 es de segunda categorıa en la topologıa usual:

(4) Para cierto n0 ∈ N el conjunto C2,n0 es no diseminado en la topologıa

usual: si todos lo fueran, por el apartado (2) C2 serıa union numerable

de conjuntos diseminados, y por tanto de primera categorıa, que no lo es

por el apartado (3). Por lo tanto C2,n0

ucontiene un intervalo, digamos

I = {(x,−x) ∈ R2 | x ∈ (a, b)}.(5) I ⊂ Adh(R2,S2)(U):

En particular, el apartado (5) implica que C1∩Adh(R2,S2)(U) 6= ∅, lo que contradice

la hipotesis de partida sobre U . Ası pues, C1 y C2 no se pueden separar en (R2,S2),

y por tanto el plano de Sorgenfrey no es normal.

Ejercicio 9.4. ♠ Utiliza el mismo razonamiento del Ejemplo 9.2.7 para probar

que el plano de Moore-Niemytzki (Ejemplo 4.2.8) o el plano del semidisco (Ejer-

cicio 4.15) no son espacios normales. Esto dara una demostracion alternativa al

Ejercicio 6.8 sin utilizar el Lema de Jones 6.1.9.

CAPıTULO 10

Espacios conexos

Tema 1. Definicion y primeros ejemplos

Definicion 10.1.1. Diremos que un e.t. (X, T ) es conexo si no existen abier-

tos no vacıos A,B ∈ T tales que A,B 6= ∅, A∅∪B = X. Diremos que K ⊂ X es

conexo si (K, TK) es conexo.


(1) Utilizando la terminologıa de recubrimientos podrıamos decir que un es-

pacio topologico es conexo si no se puede recubrir por abiertos propios

disjuntos.

(2) Dado que la definicion de conexion solo involucra los conceptos de recubri-

miento, de abierto y de conjuntos disjuntos, que obviamente se preservan

por homeomorfismo, se comprueba que la propiedad de conexion es una

propiedad topologica (ver Proposicion 10.1.5).

Proposicion 10.1.3. Sea (X, T ) un e.t. Entonces las siguientes afirmaciones

son equivalentes:

(1) X es conexo.

(2) No existen cerrados no vacıos A,B ∈ CT tales que A,B 6= ∅, A∅∪B = X.

(3) T ∩ CT = {∅, X}.(4) ∀M ⊂ X propio, se tiene que Fr(M) 6= ∅.(5) No existe ninguna aplicacion continua y suprayectiva entre (X, T ) y ({0, 1}, Td),

donde Td es la topologıa discreta.

Ejemplos 10.1.4. Los espacios

(1) X1 = (0, 1) ∪ (2, 3),

(2) X2 = (0, t) ∪ (t, 1),

(3) X3 = [0, 1) ∪ (2, 3], y

(4) X4 = [0, t) ∪ (t, 1],

(5) X5 = [0, 1] ∪ [2, 3]

121

122 10. ESPACIOS CONEXOS

no son conexos, mientras que R sı es conexo. En particular, la conexion no es

propiedad hereditaria.

Proposicion 10.1.5. Sean X e Y espacios topologicos. Sea K conexo y f :

X → Y una aplicacion continua, entonces f(K) ⊂ Y es conexo. En particular,

conexion es una propiedad topologica.

Ejemplos 10.1.6.

(1) X = (0, 1) es conexo (en particular, todo intervalo abierto es conexo).

(2) La circunferencia es conexa.

(3) (0, 1) no es homeomorfo a (0, 1) ∪ (2, 3).

(4) [0, 1) no es homeomorfo a (0, 1).

(5) [0, 1] no es homeomorfo a la circunferencia.

Proposicion 10.1.7. Sea A ⊂ X un subconjunto conexo de un espacio to-

pologico y sea E ⊂ X tal que A ⊂ E ⊂ A. Entonces E es conexo.

Ejemplos 10.1.8. Mostraremos mas ejemplos de conexion:

(1) A ⊂ R es conexo si y solo si es un intervalo (por ejemplo, Q no es conexo).

(2) X 6= ∅ discreto es conexo si y solo si #X = 1.

(3) Si X es indiscreto, entonces es conexo.

(4) Si X es infinito cofinito, entonces es conexo.

Ejercicio 10.1. ♠ Prueba que si X es no numerable (#X > ℵ0), entonces

(X, Tcn) es conexo.

Ejercicio 10.2. ♠ Consideremos X espacio topologico localmente compacto,

Hausdorff y no compacto. Consideremos X∗ su compactificacion de Alexandroff

(ver Teorema 8.5.2). Demuestra que si X es conexo entonces X∗ es conexo. Com-

prueba con un ejemplo que el recıproco no es cierto.

Observacion 10.1.9. Si A ⊂ X es un subconjunto conexo de X, y U es un

abierto-cerrado de X: si A ∩ U 6= ∅, entonces A ⊂ U . El motivo es que si A 6⊂ U ,

entonces ∅ 6= A∩U ( A es un abierto-cerrado propio de A, lo cual contradice que

A es conexo.

Veremos como se comporta la conexion con respecto a la union, producto y

suma de espacios topologicos.

Proposicion 10.1.10. Sean X e Y e.t’s (no vacıos), entonces:

(1) Si Xλ ⊂ X (λ ∈ Λ 6= ∅) es una familia de subconjuntos conexos no

vacıos de X, entonces⋃

λ∈Λ Xλ ⊂ X es conexo si se cumple una de las

propiedades siguientes:


(a)⋂

λ∈Λ Xλ 6= ∅.(b) Λ = N y Xn ∩Xn+1 6= ∅, ∀n ∈ N.

(c) Λ = {0, 1, ..., k} y Xn ∩Xn+1 6= ∅, ∀n ∈ Λ \ {k}.(2) X × Y es conexo si y solo si X e Y lo son.

(3) Sea f : X → Y una identificacion. Si Y es conexo y ademas f−1(y) es

conexo ∀y ∈ Y , se tiene que X es conexo.

Ejemplo 10.1.11. Por la Proposicion 10.1.10(2), sabemos que Rn es conexo.

Ahora, como Sn es la compactificacion de Alexandroff de Rn (ver Ejemplo 8.5.5)

entonces, por el Ejemplo 10.2, se tiene que Sn es conexo.

Ejercicio 10.3. ♠ Sea f : X → Y una aplicacion continua y sea X e.t.

conexo. Demuestra que el grafo de f , es decir, el conjunto Γf := {(x, f(x)) | x ∈X} ⊂ X × Y , es conexo.

Siguiendo con el razonamiento utilizado en el Ejemplo 10.1.6(3) parece natural

preguntarse si A3 := (0, 1)∪(2, 3)∪(4, 5) es o no homeomorfo a A2 := (0, 1)∪(2, 3).

La respuesta parece intuitivamente negativa a pesar de que ambos conjuntos son

no conexos. El motivo: A2 es union disjunta de dos intervalos (espacios conexos)

mientras que A3 es union disjunta de tres intervalos, claro que A1 := (0, 1) =

(0, 12] ∪ (1

2, 1) tambien es union disjunta de dos intervalos, y en cambio no es ho-

meomorfo a A2. En lo que sigue refinaremos esa idea de descomponer un conjunto

en “trozos” disjuntos y conexos de manera adecuada.

Sea X un espacio topologico. Consideremos en X la siguiente relacion:

x ∼ y ⇔ ∃K ⊂ X conexo tal que x, y ∈ K.

Ejercicio 10.4. ♠ Demuestra que “∼” es una relacion de equivalencia.

Lema 10.1.12. Sea K una clase de equivalencia de la relacion “∼”. Entonces,

(1) Si B es conexo y K ∩B 6= ∅, entonces B ⊂ K (Observacion 10.1.9).

(2) K es conexo.

Definicion 10.1.13. Las componentes conexas de X son las clases de equiva-

lencia de esta relacion.

Ejemplo 10.1.14. Por el Ejemplo 10.1.8(1), las componentes conexas de (0, 1)∪(2, 3) son los intervalos (0, 1) y (2, 3). Es mas, veamos que dos puntos x, y de X ⊂ Restan en la misma componente conexa de X si y solo si [x, y] ⊂ X (suponemos

que x < y).


Propiedades 10.1.15 (Componentes conexas). Sea (X, T ) e.t. conexo, en-

tonces se tiene que:

(1) X es union disjunta de sus componentes conexas.

(2) Sea x ∈ X y sea Kx la componente conexa que contiene a x, entonces Kx

es el mayor conexo que contiene a x (por la relacion de orden ⊂). 1

(3) Si A ⊂ X es un conexo no vacıo, entonces existe una unica componente

conexa K tal que A ⊂ K.

(4) Las componentes conexas son cerrados.

(5) Sea KX el espacio cociente de X por la relacion “∼”. Entonces KX ad-

mite una estructura de e.t. cociente y cumple que si X ≈ Y entonces

KX ≈ KY . En particular, el cardinal de KX es un invariante de X por

homeomorfismo.

(6) X es conexo si y solo si posee una sola componente conexa.

(7) Si ∅ 6= A ⊂ X es un abierto-cerrado conexo, entonces A es una compo-

nente conexa.

(8) Si ∅ 6= A ⊂ X es un abierto-cerrado, entonces A es union de componentes

conexas de X.

Definicion 10.1.16. Diremos que un espacio (X, T ) es totalmente desconec-

tado si cada punto de X constituye una componente conexa.

Ejemplo 10.1.17. Un ejemplo sencillo de espacio totalmente desconectado es

el de los espacios topologicos discretos. En (X, Td) todo punto es abierto-cerrado

y conexo, y por lo tanto (Propiedad 10.1.15(7)) componente conexa. Ası pues,

(X, Td) es totalmente desconectado.

Ejemplo 10.1.18. Otros ejemplos de espacios totalmente desconectados son

(Q, Tu|Q) y el discontinuo de Cantor, C. En ambos casos, utilizando el Ejem-

plo 10.1.14 y el hecho de que ningun intervalo no unipuntual esta contenido ni

en Q ni en C (Propiedad 8.1.24(C5)). obtenemos que unicamente los puntos son

conexos, y por tanto componentes conexas.

Ejemplo 10.1.19. Sea X :={

1n

}n∈N como subespacio de R. Como X hereda

la topologıa discreta (Ejercicio 2.28), entonces el Ejemplo 10.1.17 implica que X

es totalmente desconectado.

Ahora, consideremos Y := X ∪{0} de nuevo como subespacio de R. Observese

que el punto 0 no es aislado, y por tanto {0} no es abierto en Y , ası pues Y no es

un espacio discreto. En cambio, {0} no esta en ninguna componente de las de X

ya que ({0, 1n} no es conexo) entonces Y tambien es totalmente desconectado.

1Es decir, si A ⊂ X es conexo y contiene a x, entonces A ⊂ Kx.


Ejemplo 10.1.20. Por los razonamientos utilizados en los ejemplos anteriores

es inmediato probar que X ⊂ R es totamente desconectado si y solo si X no

contiene ningun intervalo (no unipuntual).


Tema 2. Conexion local

Definicion 10.2.1. Diremos que un espacio topologico X es localmente conexo

si todo punto posee una base de entornos conexos.

Observacion 10.2.2. Veamos que X es localmente conexo si y solo si los en-

tornos conexos de un punto forman una base de entornos. Para ello, denotemos

por Econ(x) := {V x | V x es entorno conexo de x}. Supongamos que X es local-

mente conexo y consideremos x ∈ X un punto cualquiera de X, entonces existe

Bx base de entornos conexos de x. Ası pues Bx ⊆ Econ(x) y por tanto Econ(x) es

tambien base de entornos de x (Observacion 4.1.4). Recıprocamente, si Econ(x) es

base de entornos de x, entonces Econ(x) es base de entornos conexos de x, luego X

es localmente conexo.

Ejemplos 10.2.3.

(1) Si X es discreto y x ∈ X, entonces Bx := {{x}} es base de entornos

(Ejemplo 4.1.2(4)) y por tanto X es localmente conexo.

(2) Todos los intervalos son tambien localmente conexos ya que tienen bases

de entornos formadas por intervalos.

(3) Consideremos ahora Rn con la topologıa usual Tu. Dado que Tu = Td∞ ,

para demostrar que Rn es localmente conexo, basta utilizar una base de

entornos formada por bolas para la metrica d∞. Sea x = (x1, ..., xn) ∈ Rn,

sabemos que Bx := {Bnd∞(x; ε) | ε > 0} forman una base de entornos de

x en Rn (Ejemplo 4.1.2(3)(a)). Ahora bien, Bnd∞(x; ε) = B1

d2(x1; ε)× ...×

B1d2

(xn; ε). Como B1d2

(xi; ε) = (xi − ε, xi + ε) es conexo por el apartado

anterior, enonces Bnd∞(x; ε) es conexo (Proposicion 10.1.10(2)).

(4) Por ser espacios totalmente desconectados pero no discretos, ni Q ni el

discontinuo de Cantor pueden ser localmente conexos. El motivo es el

siguiente: si X fuera localmente conexo, por la Observacion 10.2.2 la fa-

milia Econ(x) deberıa ser base de entornos de x ∀x ∈ X, pero por ser X

totalmente desconectado, el unico conexo que contiene a x es el propio

{x}, que no es base de entornos de x a no ser que {x} sea abierto y por

tanto X se trate de la topologıa discreta (Ejemplo 4.1.2(4)).

Daremos la siguiente caracterizacion de conexion local.

Proposicion 10.2.4. Sea (X, T ) un espacio topologico, entonces las siguientes

afirmaciones son equivalentes:

(1) (X, T ) es localmente conexo.

TEMA 2. CONEXION LOCAL 127

(2) ∀U ⊂ T toda componente conexa de (U, T |U) es abierta.

(3) Existe base de T formada por conjuntos conexos.

Ejercicio 10.5. ♠ Todo espacio infinito cofinito es localmente conexo.

Ejercicio 10.6. ♠ Prueba que (R, Tcn) es localmente conexo.

Corolario 10.2.5. Sea X un espacio topologico localmente conexo, entonces:

(1) Si U ⊂ X es abierto, entonces U es localmente conexo.

(2) Sus componentes conexas son abiertas y cerradas.

Ejemplo 10.2.6. Existen espacios localmente conexos no conexos, por ejemplo,

R \ {0}.Ejemplo 10.2.7. Sea X := { 1

n|n ∈ N} ⊂ R considerado como subespacio to-

pologico de R. Como la topologıa que hereda X de R es la discreta (Ejercicio 3.14),

entonces X es localmente conexo (Ejemplo 10.2.3(1)).

Consideremos ahora Y := X ∪{0}. Como 0 no es punto aislado de Y , entonces

{0} no es abierto en Y . Ası pues, como {0} es componente conexa de Y , aplicando

el Corolario 10.2.5(2) tenemos que Y no es localmente conexo.

El siguiente resultado es sencillo.

Proposicion 10.2.8. Sea f : X → Y una aplicacion continua sobreyectiva y

abierta. Si X es localmente conexo, tambien lo es Y .

Proposicion 10.2.9. Sean X, Y e.t. y {Xλ}λ∈Λ con Xλ ⊂ X una familia no

vacıa de espacios topologicos, entonces:

(1) Si Xλ ⊂ X son subespacios abiertos localmente conexos de X, entonces

∪λ∈ΛXλ es localmente conexo.

(2) X × Y es localmente conexo si y solo si X e Y son localmente conexos.

Observacion 10.2.10. Una consecuencia de la demostracion de la Proposi-

cion 10.2.9(1) es que si U ⊂ X es abierto y localmente conexo, entonces todos los

puntos de U admiten una base de entornos conexos en X.

Ejemplo 10.2.11. Utilizando proyecciones estereograficas desde el polo norte

y el polo sur, se tiene que U1 := Sn \ {P} y U2 := Sn \ {Q} son abiertos locamente

conexos que recubren Sn. Ası pues, usando la Proposicion 10.2.9(1), se obtiene que

Sn es localmente conexo.

Ejemplos 10.2.12. Sea X :=⋃∞

n=1

{x = 1

n

} ⊂ R2 considerado como subes-

pacio topologico de R2. Observese que X ={

1n

}n∈N × R. Por el Ejercicio 10.2.7,


X es el producto de dos espacios localmente conexos, ası pues localmente conexo

(Proposicion 10.2.9(2)).

Sea ahora Y := X∅∪{x = 0} de nuevo considerado como subespacio topologico

de R2. Observese que Y =({

1n

}n∈N ∪ {0}

)×R. Por el Ejercicio 10.2.7, el primer

factor de Y no es localmente conexo, y por tanto Y no es locamente conexo como

consecuencia de la Proposicion 10.2.9(2). Las componentes conexas de Y son de

la forma{x = 1

n

}×R y {0}×R. Esta ultima es la unica que no es abierta en Y .

Figura 10.1. Y =({

1n

}n∈N ∪ {0}

)× R

Y

. . .

. . .

Ejemplo 10.2.13. Consideremos los siguientes subconjuntos de R2:

X1 :={(

x,− sen(π

x

))| x ∈ (0, 1]

}, X2 := {(0, y) | −1 ≤ y ≤ 1}.

El espacio X := X1 ∪X2 considerado como subespacio de R2 se denomina el seno

del topologo.

. . .

. . .

X2 X1

Figura 10.2. Seno del topologo

TEMA 2. CONEXION LOCAL 129

Observese que X1 es el grafo de la aplicacion continua f : (0, 1] → R, f(x) :=

− sen(

πx

)donde (0, 1] es conexo (Ejemplo 10.1.8(1)). Ası pues, X1 es conexo (Ejer-

cicio 10.3). Como X = X1, tenemos que X es conexo. Sin embargo X no es local-

mente conexo. En efecto, Sea U = (−ε, ε)×(−ε, ε) (0 < ε < 1) una bola cualquiera

para d∞2 centrada en (0, 0) ∈ X2. Observa que U∩X (Figura 10.2) es esencialmente

igual que el espacio del Ejemplo 10.2.12 que no es conexo (Figura 10.1).

Ejercicio 10.7. ♠ Demuestra que si X es compacto y localmente conexo,

entonces tiene un numero finito de componentes conexas.


Tema 3. Conexion por caminos

Definiciones 10.3.1. Sea X un espacio topologico.

Un camino o una curva en X es una aplicacion continua α : [0, 1] → X

(donde [0, 1] se considera como subespacio de R con la topologıa usual).

Diremos que α(0) es el origen de α y que α(1) es su final (de ambos

diremos que son los extremo de α).

Generalmente diremos que α va del origen al final, o que los une.

El camino se dira constante si α(t) = x0 ∀t ∈ [0, 1] para cierto x0 ∈ X, y

cerrado si α(0) = α(1).

Sean x, y ∈ X, denotaremos por Γ(X, x, y) el conjunto de caminos en X

con origen en x y final en y.

Supongamos que (α : [0, 1] → X) ∈ Γ(X, x, y) y que (β : [0, 1] → X) ∈Γ(X, y, z) con α(1) = β(0), entonces definimos la suma de caminos como

el camino (α ∗ β : [0, 1] → X) ∈ Γ(X, x, z) tal que

(10.1) α ∗ β(t) =

{α(2t) si t ∈ [0, 1

2]

β(2t− 1) si t ∈ [12, 1].

Definimos el camino inverso de α ∈ Γ(X, x, y) como el camino (α− :

[0, 1] → X) ∈ Γ(X, y, x) tal que α−(t) := α(1− t).

Diremos que β es una reparametrizacion de α si existe un homeomorfismo

creciente h : [0, 1] → [0, 1] tal que β = α ◦ h.

Ejercicio 10.8. ♠ Demuestra que tanto α− como α ∗ β son efectivamente un

caminos, es decir, aplicaciones continuas. Ademas, si (α : [0, 1] → X) ∈ Γ(X, x, y)

y (β : [0, 1] → X) ∈ Γ(X, y, z) entonces α− ∈ Γ(X, y, x) y α ∗ β ∈ Γ(X, x, z).


(1) Si α : [0, 1] → X es un camino, entonces el camino α ∗ α− es un camino

cerrado.

(2) Si Y ⊂ X es un subespacio, entonces Γ(Y, x, y) ⊂ Γ(X, x, y).

(3) En ocasiones nos puede interesar extender la definicion de camino como

aplicaciones continuas de un intervalo cerrado cualquiera, es decir, α :

[a, b] → X. Si α : [a, b] → X es continua, entonces considerando f :

[0, 1] → [a, b] definida por f(x) := a + x(b − a) se tiene que α ◦ f es

un camino que une α(a) con α(b), y viceversa, si α : [0, 1] → X es

continua y tomamos g : [a, b] → [0, 1] definida por g(x) := x−ab−a

se tiene

que α := α ◦ g : [a, b] → X cumpliendo que α(a) = α(0) y α(b) = α(1).

TEMA 3. CONEXION POR CAMINOS 131

(4) Dado que [0, 1] es conexo y compacto, si α : [0, 1] → X es un camino,

entonces im(α) = α([0, 1]) ⊂ X es conexo y compacto en X.

Consideremos en X la siguiente relacion:

xc,X∼ y ⇔ Γ(X, x, y) 6= ∅

Ejercicio 10.9. ♠ Demuestra que “c,X∼ ” es una relacion de equivalencia.

Definicion 10.3.3. A cada clase de equivalencia de la relacionc,X∼ le deno-

minamos de X.

Un espacio topologico se denomina conexo por caminos sic,X∼ solo tiene una

clase de equivalencia, es decir, si ∀x, y ∈ X, se tiene que Γ(X, x, y) 6= ∅.

Observacion 10.3.4. Observese que si f : X → Y es aplicacion continua,

entonces Γ(X, x1, x2) 6= ∅ implica que Γ(Y, f(x1), f(x2)) 6= ∅. El motivo es el

siguiente: si α ∈ Γ(X, x1, x2), entonces tomando f ◦ α : [0, 1] → Y se tiene un

camino cuyo origen es (f ◦ α)(0) = f(α(0)) = f(x1) y cuyo final es (f ◦ α)(1) =

f(α(1)) = f(x2), es decir, tal que f ◦ α ∈ Γ(Y, f(x1), f(x2)). En otras palabras,

si x1c,X∼ x2 ⇒ f(x1)

c,Y∼ f(x2).

Por lo tanto, si f : X → Y es homeomorfismo, Γ(X, x1, x2) 6= ∅ es equivalente

a que Γ(Y, y1, y2) 6= ∅, donde f(xi) = yi. Ası pues, el numero de componentes

conexas por caminos de un espacio topologico es una propiedad topologica, en

particular, ser conexo por caminos es propiedad topologica.

Observacion 10.3.5. Si X 6= ∅, observa que X es conexo por caminos si y solo

si existe x0 ∈ X de forma que Γ(X, x0, x) 6= ∅ para cualquier x ∈ X. El motivo es

quec,X∼ tiene una clase de equivalencia si y solo si todo punto x ∈ X es equivalente

a uno dado x0, o bien si cualquiera dos puntos x, y ∈ X son equivalentes.

Ejemplos 10.3.6.

(1) Recordemos que un subconjunto I ⊂ R es un intervalo si cumple la si-

guiente propiedad: ∀x, y ∈ I son dos puntos de I, (supongamos que x < y)

entonces [x, y] ⊂ I (Teorema 1.2.11), es decir, si ∀x ≤ z ≤ y se tiene que

z ∈ I. Esto es equivalente a que x + t(y− x) ∈ I para cualquier t ∈ [0, 1].

Ası pues, la aplicacion α : [0, 1] → I definida por α(t) = x+ t(y−x) es un

camino que une x con y, y por tanto I es conexo por caminos (de hecho

la Proposicion 10.3.8 y el Ejemplo 10.1.8(1) probaran que este resultado

es un si y solo si).


(2) Sea x0 = (0, 0, ..., 0) ∈ Rn y tomemos un punto cualquiera x = (x1, x2, ..., xn) ∈Rn. La aplicacion α : [0, 1] → Rn α(t) = x0 + tx es claramente un camino

de x0 a x. Por lo tanto Rn es conexo por caminos.

(3) Como la conexion por caminos es una propiedad topologica (Observa-

cion 10.3.4), sabemos que Sn \ {P} (≈ Rn por el Ejemplo 8.5.5) es co-

nexo por caminos (ya que Rn lo es por el apartado (2)), es decir, que

Γ(Sn \ {P}, x, y) 6= ∅. Ahora bien, tomando Q = (0, 0, ...,−1) el polo sur

de Sn, obtenemos que Sn\{Q} (≈ Rn) es conexo por caminos, y por tanto

Γ(Sn \ {Q}, x, y) 6= ∅. Fijemos x0 ∈ Sn \ {P,Q}, como consecuencia de la

Observacion 10.3.2(2) sabemos que ∅ 6= Γ(Sn \ {P}, x0, y1) ⊂ Γ(Sn, x0, y)

(si y1 ∈ Sn \ {P}) y que ∅ 6= Γ(Sn \ {Q}, x0, y2) ⊂ Γ(Sn, x0, y) (si

y2 ∈ Sn \ {Q}). Por tanto, Γ(Sn, x0, y) 6= ∅ para cualquier y ∈ (Sn \{P}) ∪ (Sn \ {Q}) = Sn.

(4) Este razonamiento se puede generalizar de manera analoga para obtener el

siguiente resultado: Sea X e.t. y sean {Xλ}λ∈Λ una familia de subespacios

de X de manera que:

(a) Xλ es conexo por caminos,

(b) ∪λ∈ΛXλ = X, y

(c) ∩λ∈ΛXλ 6= ∅,entonces X es conexo por caminos.

A continuacion recogemos este y otros resultados analogos a los de conexion.

Propiedades 10.3.7 (Conexion por caminos). Sean X e Y e.t, y entonces se

tienen las siguientes propiedades:

(1) Si K ⊂ X conexo por caminos y f : X → Y continua, entonces f(K) ⊂ Y

es conexo por caminos.

(2) Sea {Xλ} una familia no vacıa de subespacios conexos por caminos de X,

se tiene que⋃

λ∈Λ Xλ ⊂ X es conexo por caminos si se cumple una de las

propiedades siguientes:

(a)⋂

λ∈Λ Xλ 6= ∅(b) Λ = N y Xn ∩Xn+1 6= ∅, ∀n ∈ N.

(c) Λ = {0, 1, ..., k} y Xn ∩Xn+1 6= ∅, ∀n ∈ Λ \ {k} = {0, 1, ..., k − 1}.(3) X×Y es conexo por caminos si y solo si X e Y son conexos por caminos.

Ejercicio 10.10. ♠ Sea f : X → Y aplicacion continua y X e.t. conexo por

caminos. Demuestra que Γf := {(x, f(x)) | x ∈ X} es conexo por caminos.

Proposicion 10.3.8. Todo espacio conexo por caminos es conexo.

Ejemplos 10.3.9.

TEMA 3. CONEXION POR CAMINOS 133

(1) Un subconjunto de R es conexo por caminos si y solo si es un interva-

lo. Por el Ejemplo 10.3.6(1) sabemos que todo intervalo es conexo por

caminos. Recıprocamente, si un subconjunto de I ⊂ R es conexo por

caminos, entonces por la Proposicion 10.3.8, es conexo y esto implica

(Ejemplo 10.1.8(1)) que I es un intervalo.

(2) El recıproco de la Proposicion 10.3.8 no es cierto. Para probarlo, uti-

lizaremos el seno del topologo, definido en el Ejemplo 10.2.13. Consi-

deremos un camino γ : [0, 1] → X tal que γ(0) = (0, y0) ∈ X2. Sea

A := γ−1(X2) ⊂ [0, 1]. Sabemos que A es no vacıo ya que 0 ∈ A; ademas

es cerrado ya que X2 es cerrado y γ es continua.

Veamos que A es ademas abierto. Para ello, sea t ∈ A. Fijemos un

entorno abierto de γ(t) = (x, y) de la forma U := (x−ε, x+ε)×(y−ε, y+ε)

(ε suficientemente pequeno como en el Ejemplo 10.2.13) y V un entorno

de t de la forma V := (t− δ, t + δ) en [0, 1] tal que γ(V ) ⊂ U . Por tanto,

γ(V ) es conexo y esta contenido en la componente conexa de U ∩X que

contiene a γ(t) ∈ X2, es decir en U ∩X2. Ası pues, V ⊂ A, y por tanto A

es abierto. Como [0, 1] es conexo, A = [0, 1].

Por lo tanto el punto (0, y0) no puede unirse por ningun camino a un

punto de X1, y por tanto X no es conexa por caminos.

A continuacion estudiaremos las propiedades de la descomposicion de X en

componentes conexas:

Lema 10.3.10. Sea A una clase de equivalencia de la relacion “c,X∼ ”. Entonces,

(1) Si B es conexo por caminos y A ∩B 6= ∅, entonces B ⊂ A.

(2) A es conexo por caminos.

Propiedades 10.3.11 (Componentes conexas por caminos). Sea (X, T ) e.t,

entonces se tiene que

(1) X es union disjunta de sus componentes conexas por caminos.

(2) Sea x ∈ X y sea Kx la componente conexa por caminos que contiene a

x, entonces Kx es el mayor conexo por caminos que contiene a x (por la

relacion de orden ⊂).

(3) Si A ⊂ X es un conexo por caminos no vacıo, entonces existe una unica

componente conexa por caminos K tal que A ⊂ K.

(4) Sea KX el espacio cociente de X por la relacion “c,X∼ ”. Entonces KX

admite una estructura de e.t. cociente y cumple que si X ≈ Y entonces

KX ≈ KY . En particular, el cardinal de KX es un invariante de X por

homeomorfismo.


(5) X es conexo por caminos si y solo si posee una sola componente conexa

por caminos.

(6) Toda componente conexa por caminos de X esta contenida en una unica

componente conexa de X.

(7) Toda componente conexa de X es union disjunta de componentes conexas

por caminos de X.

Ejemplo 10.3.12. La demostracion de que el seno del topologo no es conexo

por caminos (Ejemplo 10.3.9) demuestra precisamente que X2 es componente co-

nexa por caminos de X. Por otra parte, X1 es el grafo de la aplicacion continua

f : (0, 1] → R, definida por f(x) = sen(

1x

). Como (0, 1] es conexo por caminos

(Ejemplo 10.3.6(1)), entonces X1 tambien es conexo por caminos (Ejercicio 10.10).

Por lo tanto X tiene exactamente dos componentes conexas por caminos: X1 y X2,

mientras que solo una componente conexa (Ejemplo 10.2.13). Observese ademas

que X1 es componente conexa por caminos, pero no es cerrado en X.

Ejercicio 10.11. ♠ Demuestra que (R, Tcn) no es conexo por caminos y

que sus componentes conexas por caminos son puntuales (observa en cambio que

(R, Tcn) es conexo y localmente conexo como vimos en los Ejercicios 10.1 y 10.6).

TEMA 4. CONEXION LOCAL POR CAMINOS 135

Tema 4. Conexion local por caminos

Definicion 10.4.1. Un espacio topologico X se dice localmente conexo por

caminos si todo punto posee una base de entornos conexos por caminos.

Ejemplos 10.4.2.

(1) Los mismos razonamientos utilizados en el Ejemplo 10.2.3 prueban que los

espacios discretos, intervalos y Rn son localmente conexos por caminos.

Analogamente, dado que ni Q, ni el discontinuo de Cantor ni contienen in-

tervalos ni poseen la topologıa discreta, entonces no pueden ser locamente

conexos por caminos.

(2) Sea F : U → V una aplicacion diferenciable, U ⊂ Rn, 0 ∈ V ⊂ Rm,

abiertos tal que ∀x ∈ X := F−1(0) se cumplen las hipotesis del teorema

de la funcion implıcita. Entonces X es localmente conexo.

Proposicion 10.4.3. Sean X e Y e.t, entonces:

(1) Si f : X → Y es una aplicacion continua sobreyectiva y abierta, y X es

localmente conexo por caminos, entonces Y tambien es localmente conexo

por caminos.

(2) Si Xλ ⊂ X son subespacios abiertos localmente conexos por caminos de

X, entonces ∪λ∈ΛXλ es localmente conexo por caminos.

(3) X×Y es localmente conexo por caminos si y solo si X e Y son localmente

conexos por caminos.

Observacion 10.4.4. Analogamente a la Observacion 10.2.10, la demostracion

de la Proposicion 10.4.3(2) prueba que si U ⊂ X es un abierto localmente conexo

por caminos, entonces todos los puntos de U admiten una base de entornos conexos

por caminos en X.

Ejemplo 10.4.5. Utilizando proyecciones estereograficas desde el polo norte

y el polo sur, analogamente al Ejemplo 10.2.11 se tiene que U1 := Sn \ {P} y

U2 := Sn \ {Q} son abiertos locamente conexos por caminos que recubren Sn.

Ası pues, usando la Proposicion 10.4.3(1), se obtiene que Sn es localmente conexo

por caminos.

Proposicion 10.4.6. Si X es localmente conexo por caminos, entonces es

localmente conexo.

El recıproco de Proposicion 10.4.6 no es cierto como muestra el siguiente ejem-

plo.


Ejemplo 10.4.7. Consideremos la topologıa conumerable sobre R: (R, Tcn).

Este espacio no es localmente conexo por caminos ya que todo abierto no vacıo de

(R, Tcn) ha de ser un conjunto no numerable que hereda la topologıa conumerable.

Como hemos probado que estos espacios no son conexos por caminos, entonces

ningun abierto de (R, Tcn) puede ser conexos por caminos y por tanto (R, Tcn) no

puede ser localmente conexo por caminos.

Proposicion 10.4.8. Un espacio topologico conexo y localmente conexo por

caminos es conexo por caminos.

Proposicion 10.4.9. Si X es localmente conexo por caminos, las componentes

conexas por caminos coinciden con las componentes conexas.

Ejemplo 10.4.10. Consideremos el cırculo de Varsovia, es decir, el siguiente

conjunto X := X1 ∪X2 ∪X3 donde X1 y X2 forman un seno del topologo (Ejem-

plo 10.2.13) y X3 es un camino que une los puntos (0,−1) y (1, 0) (por ejemplo en

el dibujo hemos representado X3 := {(x, (2x+1)(x−1)) ∈ R2 | x ∈ [0, 1]}). Dicho

cırculo nos da un ejemplo de espacio conexo por caminos que no es localmente

conexo por caminos.

Figura 10.3. Cırculo de Varsovia

X1X2

X3

. . .

. . .

En efecto, X es conexo por caminos ya que:

X1, X2 son conexo por caminos (Ejemplo 10.3.12)

X3 es conexo por caminos por ser grafo de un aplicacion continua definida

sobre un el espacio conexo por caminos [0, 1] (Ejercicio 10.10).

X1 ∩ X3 = {(1, 0)} 6= ∅ y X2 ∩ X3 = {(0,−1)} 6= ∅ y por tanto X =

X1 ∪X2 ∪X3 es conexo por caminos por la Propiedad 10.3.7(2)(c).

APENDICE A

Generalidades de teorıa de conjuntos

No definiremos explıcitamente el concepto de conjunto. Pensaremos en ellos

como colecciones de objetos .

Tema 1. Conceptos basicos

Repasaremos las definiciones mas basicas de teorıa de conjuntos:

Definiciones A.1.1. Sean A, B y X conjuntos.

(1) Subconjunto: A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A ⇒ x ∈ B).

(2) Conjunto de las partes de un conjunto: P(X) := {A | A ⊂ X}.(3) Igualdad de conjuntos : A = B ⇔ (A ⊂ B ∧B ⊂ A).

(4) Conjunto vacıo: ∅ es el unico conjunto que cumple la propiedad de que

no contiene ningun elemento.

(5) Union de conjuntos : A ∪B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}).(6) Interseccion: A ∩B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}).(7) Conjuntos disjuntos : A y B son disjuntos si A∩B = ∅. En ocasiones, si A

y B son disjuntos, para escribir A∪B resaltando este hecho, escribiremos

A∅∪B.

(8) Union disjunta de conjuntos : A∐

B := {(A, a) | a ∈ A} ∪ {(B, b) | b ∈B}.

(9) Complementario de A en X: Ac := {x ∈ X | x 6∈ A}.(10) Diferencia de dos conjuntos : A \B := A∩Bc; el complementario de A en

X es Ac = X \ A.

(11) Producto cartesiano: A×B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.Ejercicio A.1. ♠ Sean A,B, C ⊂ X todos ellos conjuntos; las siguientes son

sencillas consecuencias de las definiciones anteriores.

(1) Si A ⊂ B, entonces

(a) A ∪B = B,

(b) A ∩B = A.

(2) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

(3) Si A ⊂ B y A ⊂ C, entonces A ⊂ B ∩ C.

(4) Si A ⊂ C y B ⊂ C, entonces A ∪B ⊂ C.

137

138 A. GENERALIDADES DE TEORIA DE CONJUNTOS

(5) Si A ⊂ B, entonces

(a) A ⊂ A ∪ C ⊂ B ∪ C,

(b) A ∩ C ⊂ B ∩ C ⊂ B.

(6) Si x ∈ A ∪B y x 6∈ A, entonces x ∈ B (es decir, (A ∪B) ∩ Ac ⊂ B).

(7) A×B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨B = ∅.Definicion A.1.2. A la cuaterna (P(X),∪,∩, c) se le denomina algebra de

Boole de X.

Propiedades A.1.3 (Algebra de Boole). Sean A,B, C ⊆ X conjuntos, enton-

ces

(1) Propiedad conmutativa de la union: A ∪B = B ∪ A.

(2) Propiedad conmutativa de la interseccion: A ∩B = B ∩ A.

(3) Propiedad asociativa de la union: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C.

(4) Propiedad asociativa de la interseccion: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.

(5) Propiedad cancelativa de la union respecto de la interseccion: A∪(B∩A) =

A.

(6) Propiedad cancelativa de la interseccion respecto de la union: A∩(B∪A) =

A.

(7) Propiedades del complementario:

(a) (Ac)c = A,

(b) A ∩ Ac = ∅,(c) A

∅∪Ac = X,

(d) A ⊂ B ⇔ Bc ⊂ Ac (por tanto A = B ⇔ Ac = Bc).

(8) Leyes de Morgan:

(a) (A ∪B)c = Ac ∩Bc,

(b) (A ∩B)c = Ac ∪Bc.

(9) Propiedad distributiva de la interseccion respecto de la union: A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

(10) Propiedad distributiva de la union respecto de la interseccion: A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

Ejercicio A.2. ♠ Demuestra las siguientes formulas:

(1) (B ∩ A) \ (C ∩ A) = (B \ C) ∩ A.

(2) Si A ⊂ B entonces A \ C ⊂ B \ C. Deduce de esto que

A = B ⇒ A \ C = B \ C.

(3) A ∩B = ∅ si y solo si A ⊂ Bc. Deduce entonces que

A ∩B = C ⇔ (A ⊂ Bc ∪ C) ∧ (C ⊂ A ∩B)

TEMA 1. CONCEPTOS BASICOS 139

(4) A \B = A \ (A ∩B)

(5) Si A1 ⊂ A2 y B1 ⊂ B2, entonces A1 ∩B1 ⊂ A2 ∩B2.

(6) (A∅∪B) \B = A. Deduce de esto que

A1

∅∪B = A2

∅∪B ⇒ A1 = A2.

(7) (A \B) ∪B = A ∪B.

(8) (a) (A1∪A2)×(B1∪B2) = (A1×B1)∪(A1×B2)∪(A2×B1)∪(A2×B2).

(b) (A1 ×B1) ∩ (A2 ×B2) = (A1 ∩ A2)× (B1 ∩B2). Deduce de esto:

(A1 ×B1) ∩ (A2 ×B2) = ∅ ⇔ (A1 ∩ A2 = ∅) ∨ (B1 ∩B2 = ∅).(9) (A×B)c = (A×Bc)

∅∪(Ac ×B)∅∪(Ac ×Bc).

Observacion A.1.4. Observese que el recıproco del Ejercicio A.2(2) no es

cierto. Por ejemplo, si C \ B 6= ∅, y definimos A = B ∪ C, entonces se tiene que

A \ C ⊂ B \ C, mientras que A 6⊂ B.


Tema 2. Aplicaciones

Definicion A.2.1. Una correspondencia entre dos conjuntos A y B es un

subconjunto del producto cartesiano A×B. Una aplicacion f entre dos conjuntos

A y B es una correspondencia que cumple que ∀a ∈ A, ∃! b ∈ B tal que (a, b) ∈ f ;

es decir, a cada a ∈ A se le asocia el unico elemento b := f(a) ∈ B que cumple

(a, b) ∈ f .

Definicion A.2.2. Sea f una aplicacion entre los conjuntos A y B (en adelante

a esta situacion la denotaremos por f : A → B). El conjunto A se denomina

conjunto de partida (o dominio) y el conjunto B se denomina conjunto de llegada

(o conjunto final). En el caso en que el espacio de llegada de una aplicacion sea

un conjunto de numeros se habla de funcion.

Definicion A.2.3. Sea f : A → B aplicacion, A1 ⊂ A y B1 ⊂ B, entonces

definimos

(1) Conjunto imagen de A1: f(A1) := {b ∈ B | ∃a ∈ A1 t.q. f(a) = b}.(2) Conjunto imagen inversa de B1: f−1(B1) := {a ∈ A | f(a) ∈ B1}.

Observacion A.2.4. Pensandolo de manera mas conceptual, la definicion de

conjunto imagen directa produce, para cada subconjunto A1 de A, un (y solo uno)

subconjunto f(A1) de B. Es decir, define una aplicacion

(A.1)P(f) : P(A) → P(B)

A1 7→ P(f)(A1) := f(A1)

Del mismo modo, la definicion de conjunto imagen inversa produce, para cada

subconjunto B1 de B, un subconjunto (y solo uno) f−1(B1) de A. Es decir, define

una aplicacion

(A.2)P(f) : P(B) → P(A)

B1 7→ P(f)(B1) := f−1(B1).

Ejercicio A.3. ♠ Sea f : A → B aplicacion. Demuestra las siguientes con-

secuencias de las definiciones de conjunto imagen directa e imagen inversa.

(1) Si A1 ⊂ A2 ⊂ A, entonces f(A1) ⊂ f(A2).

(2) Si B1 ⊂ B2 ⊂ B, entonces f−1(B1) ⊂ f−1(B2).

(3) f(∅) = ∅.(4) f−1(∅) = ∅.(5) f−1(B) = A.

Propiedades A.2.5 (Aplicaciones). Sea f : A → B una aplicacion, A1, A2 ⊆A y B1, B2 ⊆ B entonces:

TEMA 2. APLICACIONES 141

(1) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2).

(2) f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2).

(3) f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2).

(4) f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2).

(5) f(f−1(B1)) ⊆ B1.

(6) A1 ⊆ f−1(f(A1)).

(7) f−1(Bc1) = (f−1(B1))

c.

(8) f−1(B1 \B2) = f−1(B1) \ f−1(B2).

Ejercicio A.4. ♠ Encuentra ejemplos de aplicaciones (es decir, describe el

conjunto inicial, el final y la aplicacion) que cumplan las inclusiones de los apar-

tados (2), (5) y (6) de las Propiedades A.2.5 de manera estricta (es decir, que no

se de la igualdad).

Definicion A.2.6. Diremos que una aplicacion f : A → B es inyectiva si

∀a, a′ ∈ A f(a) = f(a′) implica a = a′. Diremos que una aplicacion f : A → B

es sobreyectiva (suprayectiva o simplemente sobre) si f(A) = B. Diremos que una

aplicacion f : A → B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.

Observacion A.2.7. Existen aplicaciones que no son ni inyectivas ni sobre-

yectivas, por ejemplo si A = {0,−1, 1} y f : A → A cumple que f(x) = x2.

Ejercicio A.5. ♠ Demuestra que si f : A → B es sobreyectiva, entonces:

(1) f−1(B1) = ∅ ⇔ B1 = ∅.(2) f−1(B1) = A ⇔ B1 = B.

(Compara con el Ejercicio A.3(4) y (5)). Otra manera de ver este resultado es el

siguiente. Un subconjunto A1 ⊂ A se dice propio si ∅ ( A1 ( A. Por lo tanto, se

deduce que si f : A → B es suprayectiva, entonces B1 ⊂ B es propio si y solo si

f−1(B1) ⊂ A es propio.

Definicion A.2.8. Se define la aplicacion identidad de A como aquella apli-

cacion 1A : A → A que verifica 1A(a) = a ∀a ∈ A. Si f : A → B y g : B → C

son aplicaciones, se puede definir una tercera aplicacion (g ◦ f) : A → C del

siguiente modo (g ◦ f)(a) := g(f(a)). Dicha aplicacion (g ◦ f) se denomina f com-

puesto con g y tambien composicion de f y g. Si f : A → B y C ⊆ A entonces

definimos la restriccion de f a C como la aplicacion f |C : C → B que cumple

f |C(c) = f(c) ∀c ∈ C.

Propiedades A.2.9 (Inyectividad y sobreyectividad). Sean f : A → B y

g : B → C aplicaciones. Demuestra que:

(1) Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.


(2) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.

(3) Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f es biyectiva.

(4) 1A es biyectiva.

(5) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.

(6) Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

Ejercicio A.6. ♠ Sea f : A → B una aplicacion. Prueba las siguientes

propiedades:

(1) Si f es inyectiva y A1 ⊂ A, entonces f(Ac1) = f(A) \ f(A1).

(2) Si f es inyectiva y A1, A2 ⊂ A, entonces f(A1∩A2) = f(A1)∩ f(A2). De

hecho, esto caracteriza a las aplicaciones inyectivas, es decir,

f es inyectiva ⇔ f(A1 ∩ A2) = f(A1) ∩ f(A2) ∀A1, A2 ⊂ A.

(3) Si f es biyectiva y A1 ⊂ A, entonces f(Ac1) = f(A1)

c.

(4) Sea A := {Aλ}λ∈Λ familia de subconjuntos de A tal que ∪A = A, f(Aλ1)∩f(Aλ2) = ∅ (λ1 6= λ2) y f |Aλ

es inyectiva ∀λ ∈ Λ, entonces f es inyectiva.

Ejercicio A.7. ♠ Sean f1 : A1 → B1 y f2 : A2 → B2 aplicaciones. Prueba

las siguientes propiedades:

(1) La correspondencia f ⊂ (A1×A2)×(B1×B2) definida por ((a1, a2), (b1, b2)) ∈f ⇔ f1(a1) = b1 y f2(a2) = b2 es una aplicacion, que denotaremos por

f1 × f2 : A1 × A2 → B2 × B2 y describiremos por (f1 × f2)(a1, a2) :=

(f1(a1), f2(a2)).

(2) Si f1 y f2 son inyectivas, entonces f1 × f2 tambien es inyectiva.

(3) Si f1 y f2 son sobreyectivas, entonces f1 × f2 tambien es sobreyectiva.

Ejercicio A.8. ♠ Sea f : A → B una aplicacion biyectiva. Consideremos

la siguiente correspondencia g ⊂ B × A definida por (b, a) ∈ g ⇔ f(a) = b.

Demuestra que g es una aplicacion.

Definicion A.2.10. La aplicacion descrita en el Ejercicio A.8 se denotara por

f−1 : B → A y se denomina aplicacion inversa de f : A → B.

Ejercicio A.9. ♠ Sean f : A → B, g : B → C aplicaciones biyectivas.

Demuestra que:

(1) f−1 : B → A es una aplicacion biyectiva,

(2) (f−1)−1

= f ,

(3) 1−1A = 1A,

(4) (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1,

(5) (a) (f−1 ◦ f) = 1A,


(b) (f ◦ f−1) = 1B.

(6) Si C = A, f es biyectiva y f ◦ g = 1B, entonces g = f−1.

(7) Si C = A, f ◦ g = 1B y g ◦ f = 1A, entonces f es una biyeccion y g = f−1

Ejercicio A.10. ♠ Completa los apartados (5) y (6) de las Propiedades A.2.5

del siguiente modo.

(1) f(f−1(B1)) = B1 ⇔ B1 ⊂ f(A). Deduce de aquı que si f es sobreyectiva,

entonces f(f−1(B1)) = B1.

(2) Si f−1(b) ⊂ A1 ⊂ A siempre que f−1(b) ∩ A1 6= ∅, entonces A1 =

f−1(f(A1)).

(3) Si f |f−1(f(A1)) es inyectiva, entonces A1 = f−1(f(A1)).

(4) f es inyectiva ⇔ A1 = f−1(f(A1)) ∀A1 ⊂ A.

(5) Si f es biyectiva f−1(f(A1)) = A1, ∀A1 ⊂ A y f(f−1(B1)) = B1, ∀B1 ⊂B.

Ejercicio A.11. ♠ Demuestra las siguientes propiedades:

(1) Si f : A → B, A1 ⊂ A y B1 ⊂ B, entonces f |−1A1

(B1) = A1 ∩ f−1(B1).

(2) Si f : A → B, g : B → C y C1 ⊂ C, entonces (g ◦ f)−1(C1) =

f−1(g−1(C1)) (observa que esta propiedad no se deduce del Ejercicio A.9(4)

ya que no sabemos que existan las aplicaciones inversas de f ni de g).

(3) Si f : A → B es biyectiva, entonces:

(a) A1 = A2 si y solo si f(A1) = f(A2)

(b) B1 = B2 si y solo si f−1(B1) = f−1(B2)

(c) Las aplicaciones P(f) y P(f) (Observacion A.2.4) son biyecciones.

Observacion A.2.11. Llegados a este punto y antes de causar un problema

de conceptos (como tratamos de evitar en el comentario realizado en el Ejerci-

cio A.11(2)), conviene aclarar la notacion utilizada en Definicion A.2.3(2) para

la imagen inversa f−1(B1) del conjunto B1 ⊂ B por la aplicacion f : A → B.

Observese que este conjunto siempre existe, aunque la aplicacion f no sea bi-

yectiva y por tanto no tenga inversa. Podrıa plantearse en principio el siguiente

problema de notacion: supongamos ahora que f es biyectiva y que denotamos por

f−1 a su aplicacion inversa. Entonces la imagen directa de B1 por la aplicacion

f−1 tendrıa la misma notacion f−1(B1). En realidad la ambiguedad no es tal ya

que ambos conjuntos coinciden. Veamoslo, es decir, probemos que

{x ∈ A | f(x) ∈ B1} = {f−1(y) | y ∈ B1}.


En otras palabras, acabamos que probar que si g es la aplicacion inversa de f ,

entonces

(A.3) f−1(B1) = g(B1).

Del mismo modo, llamando g a f−1, se tiene que f = g−1 (Ejercicio A.9(2)) y

entonces, aplicando (A.3) se obtiene g−1(B1) = f(B1), es decir,

(A.4) f(B1) = (f−1)−1(B1).

Ejemplo A.2.12. Consideremos f : A → B una aplicacion biyectiva y A1, A2 ⊂A, entonces, por (A.3) (Observacion A.2.11) se tiene que f(A1∩A2) = (f−1)−1(A1∩A2). Aplicando la Propiedad A.2.5(5) tenemos que (f−1)−1(A1∩A2) = (f−1)−1(A1)∩(f−1)−1(A2) = f(A1) ∩ f(A2). Por lo tanto hemos probado que

(A.5) f(A1 ∩ A2) = f(A1) ∩ f(A2).

Hemos visto en el Ejercicio A.6(2) que esta propiedad es cierta si f es inyectiva.

Ejemplo A.2.13. Consideremos 1X : X → X la aplicacion identidad. Sea

A ⊂ X, entonces por definicion 1X(A) = {1X(x) ∈ X | x ∈ A} y como 1X(x) = x,

se tiene que 1X(A) = {x | x ∈ A} = A, es decir,

1X(A) = A.

Ahora, supongamos que queremos calcular 1−1X (A). Por la formula (A.3) en la

Observacion A.2.11, y como 1−1X = 1X (Ejercicio A.9(3)) se tiene que

1−1X (A) = 1X(A) = A.

Ejercicio A.12. ♠ Sea f : A → B aplicacion y B ⊂ C. Se puede definir

una aplicacion f : A → C del siguiente modo f(a) = f(a). Demuestra que si f es

inyectiva entonces f tambien es inyectiva.

Ejercicio A.13. ♠ Sea f : A → B una aplicacion inyectiva y A1 ⊂ A,

entonces f |A1 tambien es inyectiva. Supongamos que tomamos ahora 1A : A → A

la aplicacion identidad y A1 ⊂ A. A la restriccion de 1A a A1 se denomina inclusion

iA1,A : A1 → A. Por el resultado anterior, como 1A es inyectiva, entonces iA1,A es

tambien inyectiva. Demuestra que si B ⊂ A, entonces i−1A1,A(B) = A1 ∩B.

Ejercicio A.14. ♠ Sea f : A → B aplicacion. Se puede definir tambien otra

aplicacion f : A → f(A) del siguiente modo f(a) = f(a). Demuestra los siguientes

resultados sobre la aplicacion f :

(1) Si f es inyectiva entonces f es inyectiva.

(2) f es sobreyectiva.


Ejercicio A.15. ♠ Sea A ⊂ X; se define la siguiente aplicacion

(A.6)

χA : X → {0, 1}

x 7→ χA(x) :=

0 si x 6∈ A

1 si x ∈ A.

La aplicacion χA se suele denominar aplicacion caracterıstica de A. Demuestra

que χ−1A ({1}) = A, que χ−1

A ({0}) = Ac y que χA es sobreyectiva si y solo si

∅ 6= A ( X.


Tema 3. Operaciones extendidas de conjuntos

En este tema extenderemos las operaciones de conjuntos anteriormente definidas a

familias arbitrarias de conjuntos. Describiremos brevemente la notacion utilizada

en el caso general de familias arbitrarias de conjuntos.

Definicion A.3.1. Sea Λ un conjunto no vacıo y supongamos que para cada

λ ∈ Λ existe asociado un conjunto Aλ. Entonces la coleccion F := {Aλ | λ ∈ Λ} =

{Aλ}λ∈Λ se llama familia de conjuntos parametrizada por Λ. Si Λ′ ⊂ Λ decimos

que F ′ := {Aλ | λ ∈ Λ′} = {Aλ}λ∈Λ′ es una subfamilia de F .

Definiciones A.3.2. Sea F := {Aλ | λ ∈ Λ} una familia de conjuntos para-

metrizada por Λ.

(1) La union de F es el conjunto

∪F = ∪{Aλ | λ ∈ Λ} =⋃

λ∈Λ

Aλ := {x | ∃λ ∈ Λ t.q. x ∈ Aλ}.

(2) La interseccion de F es el conjunto

∩F = ∩{Aλ | λ ∈ Λ} =⋂

λ∈Λ

Aλ := {x | ∀λ ∈ Λ t.q. x ∈ Aλ}.

(3) La union disjunta de F es el conjunto∐

F =∐{Aλ | λ ∈ Λ} =

∐

λ∈Λ

Aλ := {(λ, x) | x ∈ Aλ∀λ ∈ Λ}.

(4) El producto cartesiano de F es el conjunto∏

F =∏{Aλ | λ ∈ Λ} =

∏

λ∈Λ

Aλ = {Λ f→⋃

λ∈Λ

Aλ | ∀λ ∈ Λ, f(λ) ∈ Aλ}.

Si f ∈ ∏F , denotaremos por xλ al elemento f(λ), y por (xλ)λ∈Λ a la

propia aplicacion f (donde xλ es la coordenada en λ de f).

Si Xλ = X, ∀λ ∈ Λ, entonces denotaremos el producto cartesiano

como XΛ. Si ademas Λ = {1, . . . , n}, lo denotaremos Xn.

Ejercicio A.16. ♠ Sea F = {Aλ | λ ∈ Λ} familia de conjuntos, las siguientes

son sencillas consecuencias de las definiciones anteriores.

(1) Aλ ⊂ ∪F para cualquier λ ∈ Λ, y por tanto si G ⊂ F , entonces ∪G ⊂ ∪F .

(2) ∩F ⊂ Aλ para cualquier λ ∈ Λ, y por tanto si G ⊂ F , entonces ∩F ⊂ ∩G.

(3) Si A ⊂ Aλ ∀λ ∈ Λ, entonces A ⊂ ∩F ,

(4) Si Aλ ⊂ A ∀λ ∈ Λ, entonces ∪F ⊂ A.

TEMA 3. OPERACIONES EXTENDIDAS DE CONJUNTOS 147

Propiedades A.3.3 (Operaciones extendidas de conjuntos). Sean F = {Aλ |λ ∈ Λ1} y G = {Bλ | λ ∈ Λ2} familias de conjuntos parametrizadas por Λ1 y Λ2

respectivamente y sea F ′ (resp. G ′) subfamilia de F (resp. G). Sea f : ∪F → ∪Gaplicacion y X un conjunto, entonces:

(1) X ∪ (∪F) =⋃

λ{X ∪ Aλ}.(2) X ∩ (∩F) =

⋂λ{X ∩ Aλ}.

(3) X ∪ (∩F) =⋂

λ{X ∪ Aλ}.(4) X ∩ (∪F) =

⋃λ{X ∩ Aλ}.

(5) (∪F)c =⋂

λ Acλ, (∩F)c =

⋃λ Ac

λ.

(6) f(∪F ′) =⋃

λ∈Λ′{f(Aλ)}.(7) f(∩F ′) ⊆ ⋂

λ∈Λ′{f(Aλ)}.(8) f−1(∪G ′) =

⋃λ∈Λ′{f−1(Bλ)}.

(9) f−1(∩G ′) =⋂

λ∈Λ′{f−1(Bλ)}.(10) (∪F)× (∪G) =

⋃(λ1,λ2)∈Λ1×Λ2

(Aλ1 ×Bλ2).

(11) Si Λ1 = Λ2 = Λ, entonces⋂

λ∈Λ(Aλ ×Bλ) = (∩F)× (∩G).

La demostracion de estas propiedades se omite ya que es similar a las de

otras ya realizadas o propuestas. Para terminar este capıtulo, veamos una nueva

operacion de conjuntos denominada cociente. Para poder definirla necesitamos un

par de definiciones.

Definicion A.3.4. Sea X un conjunto. Una relacion de equivalencia en X

es un subconjunto R ⊂ X × X del producto cartesiano de X por sı mismo que

cumple las siguientes propiedades:

Reflexiva: (x, x) ∈ R ∀x ∈ X.

Simetrica: Si (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R.

Transitiva: Si (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R.

En tal caso si (x, y) ∈ R decimos que x esta relacionado con y y lo denotamos por

xRy, x R∼ y o simplemente x ∼ y.

Si x ∈ X denominamos clase de equivalencia de x al conjunto

[x] := {y ∈ X | xRy}.

Observacion A.3.5. Si xRy vamos a ver que [x] = [y]. Si z ∈ [x], entonces

xRz (por definicion). Por otra parte, como xRy sabemos que yRx (propiedad

simetrica). Ası pues yRx y xRz lo que implica que yRz (propiedad transitiva) es

decir, z ∈ [y]. Analogamente (cambiando la x por la y en el razonamiento anterior)

se tiene que [y] ⊂ [x] y por tanto [x] = [y].


Ejercicio A.17. ♠ Sea X un conjunto y R una relacion de equivalencia en

X. Demuestra que el conjunto de clases de equivalencia X/R := {[x] | x ∈ X} es

una particion de X, es decir,

∅⋃

[x]∈X/R[x] = X.

Definicion A.3.6. Si X es un conjunto y R una clase de equivalencia, existe

una aplicacion natural

π : X → X/Rx 7→ π(x) := [x]

que asocia a cada elemento su clase de equivalencia. A esta aplicacion se la deno-

mina proyeccion cociente.

Ejemplo A.3.7. Vamos a interpretar el conjunto Q de numeros racionales a

partir de una relacion de equivalencia en Z×(Z\{0}) a cuyos elementos llamaremos

fracciones ; cada numero racional ab

admite varias fracciones por lo que lo podemos

ver como una clase de equivalencia por la relacion de equivalencia:

Sean (a, b), (c, d) ∈ Z× (Z \ {0}), entonces (a, b) ∼ (c, d) si ad = cb.

De este modo (a, b) ∼ (c, d) equivale a lo que entendemos en la igualdad ab

= cd.

No solo funciona bien esta interpretacion para igualdad de fracciones, podemos

definir incluso la suma y el producto de pares:

(a, b) + (c, d) = (ad + cb, bd), (a, b) · (c, d) = (ac, bd).

Estas formulas cumplen que si (a, b) ∼ (a′, b′) y (c, d) ∼ (c′, d′) entonces

(a, b) + (c, d) ∼ (a′, b′) + (c′, d′), (a, b) · (c, d) ∼ (a′, b′) · (c′, d′).Las clases de equivalencia contienen un elemento especial que se llama fraccion

irreducible. Una fraccion irreducible es un par (a, b) ∈ Z× (Z \ {0}) tal que b > 0

y a y b son primos entre sı, es decir, si a = ka′ y b = kb′ con k > 0 entonces k = 1.

Se puede comprobar que todo par (a, b) ∈ Z× (Z \ {0}) tiene una unica fraccion

irreducible en su clase de equivalencia. Trabajar con el conjunto de fracciones

irreducibles es mas sencillo que con Z× (Z \ {0}).

Este concepto de fraccion irreducible nos permite introducir el concepto de

sistema transversal.

Definicion A.3.8. Decimos que D ⊂ X es un sistema transversal para la

relacion de equivalencia R si para cualquier elemento x ∈ X existe un unico

dx ∈ D tal que xRdx.


Por lo tanto el conjunto de fracciones irreducibles es un sistema transversal del

conjunto de las fracciones.

Observacion A.3.9. El motivo por el que un sistema transversal es algo muy

util es que si D ⊂ X es sistema transversal para la relacion de equivalencia Rentonces la restriccion de la proyeccion π : X → X/R x 7→ [x] a D es una

biyeccion. Es claro que π|D es inyectiva ya que si d1, d2 ∈ D fueran distintos y

cumplieran que π(d1) = [d1] = [d2] = π(d2) entonces la clase [d1] = [d2] tendrıa

dos representantes en D lo cual no es posible ya que D es sistema transversal.

Para ver que π|D es sobreyectiva basta ver que, por ser D sistema transversal,

toda clase [x] ∈ X/R tiene un representante en D, es decir, existe d ∈ D tal que

[d] = π(d) = [x].

Ejemplo A.3.10. Consideremos R el conjunto de los numeros reales y la re-

lacion de equivalencia x ∼ y ⇔ x− y ∈ Z. Es sencillo ver que esta es una relacion

de equivalencia ya que:

(1) Se tiene x ∼ x (puesto que x− x = 0 ∈ Z).

(2) Si x ∼ y entonces x − y ∈ Z, es decir, si n = x − y se tiene que y − x =

−n ∈ Z y ası y ∼ x.

(3) Si x ∼ y e y ∼ z entonces n = x − y ∈ Z y m = y − z ∈ Z, por lo tanto

x− z = (x− y) + (y − z) = n + m ∈ Z, luego x ∼ z.

La clase de equivalencia de x es el conjunto [x] = {x + n | n ∈ Z}. Un sistema

transversal esta formado por el intervalo [0, 1), ası podemos pensar en el conjunto

R/ ∼ como el intervalo [0, 1).

Observacion A.3.11 (El producto cartesiano y el Axioma de Eleccion). En la

Definicion A.3.2(4) hemos descrito el conjunto producto cartesiano de una familia

arbitraria de conjuntos F parametrizada por un conjunto Λ. Es claro que si algun

miembro Aλ de la familia F es vacıo (Aλ = ∅) entonces∏F = ∅ ya que para

elegir un elemento de∏F es necesario elegir un elemento para cada Aλ ∈ F . La

pregunta que nos planteamos es si el recıproco es cierto, es decir, supongamos que

todo miembro Aλ de F es no vacıo: ¿Nos asegura esto que∏F 6= ∅? El problema

no es trivial, dado que demostrar que∏F 6= ∅ es equivalente a ser capaces de

describir un elemento de este conjunto (recordemos que describir quiere decir de

manera finita).

En ciertos casos es obvio que esto se puede hacer, por ejemplo, si la familia Fes finita, o bien, si los conjuntos Aλ tienen alguna estructura especial que permita

describir algun elemento (por ejemplo si todos los Aλ son espacios vectoriales,

un elemento de∏F puede ser elegir el elemento neutro de la suma para cada


Aλ, es decir, la aplicacion e : Λ → ∪F definida por e(λ) := 0Aλ, o por ejemplo

si todos los Aλ son subconjuntos de N podemos describir un elemento de∏F

tomando el mınimo de cada Aλ, es decir, la aplicacion e : Λ → ∪F definida por

e(λ) := mın Aλ).

En cambio, si los Aλ son conjuntos arbitrarios, sin estructura aparente (es

decir, de manera que los puntos de Aλ sean de alguna forma indistinguibles),

no queda muy claro como describir un elemento de∏F . Serıa algo ası como

describir un metodo para elegir un grano de arroz de una cantidad infinita de

bolsas de arroz (para una cantidad finita podemos simplemente coger el grano,

pero para una cantidad infinita no tenemos manera de describir que grano concreto

queremos elegir). A la conviccion de que esto se puede hacer, es decir, de que se

puede describir un elemento en∏F para F arbitrario, se le denomina Axioma

de Eleccion (este axioma tiene muchos enunciados equivalentes y el siguiente es el

que mas se aproxima al contexto en el que lo vamos a utilizar en este curso).

Axioma A.3.12 (Axioma de Eleccion). Sea {Aλ | λ ∈ Λ} una familia de

conjuntos parametrizada por Λ 6= ∅. Entonces:∏

λ∈Λ Aλ 6= ∅ si y solo si Aλ 6= ∅,∀λ ∈ Λ.

A partir este momento, supondremos cierto el Axioma de Eleccion.

Observacion A.3.13 (Conjuntos cocientes y Axioma de Eleccion). Otra for-

ma de entender las cuestiones que subyacen al Axioma de Eleccion es considerar

los conjuntos cocientes y los sistemas transversales (Definicion A.3.8). Sea X un

conjunto y R una relacion de equivalencia. El Axioma de Eleccion nos asegura la

existencia de un sistema transversal para R, es decir, que podemos elegir exacta-

mente un elemento de cada clase de equivalencia. Formalmente, se trata de definir

una aplicacion e : X/R → X de manera que e([x]) ∈ [x], donde [x] representa

la clase de equivalencia de x. Esto equivale a encontrar un elemento del producto

cartesiano X :=∏

[x]∈X/R[x], ya que⋃X = X (Ejercicio A.17).

En el Ejemplo A.3.10, hemos elegido el unico elemento x de cada clase de

equivalencia que cumple bxc = 0, donde bxc es el mayor entero menor o igual a x.

Observemos que no es tan facil obtener este sistema transversal si reemplazamos

Z por Q.

Otra utilidad del Axioma de Eleccion, relacionada de alguna manera con los

sistemas transversales, es la existencia de secciones de aplicaciones sobreyectivas,

como se pone de relieve en el siguiente ejercicio.

Definicion A.3.14. Sea f : X → Y una aplicacion sobreyectiva. Decimos que

s : Y → X es una seccion de f , si f ◦ s = 1Y .


Ejercicio A.18. ♠ Utiliza el Axioma de Eleccion para demostrar que toda

aplicacion sobreyectiva f : X → Y admite una seccion.

Un axioma equivalente al de Eleccion es el Lema de Zorn. Equivalente en este

sentido quiere decir que si suponemos cierto uno podemos demostrar el otro y

viceversa. A veces se dice simplemente que el Lema de Zorn es otra version del

Axioma de Eleccion. Como lo utilizaremos mas adelante vamos a enunciarlo al

menos una vez en el curso. Necesitamos para ello algunas definiciones.

Definicion A.3.15. Sea X un conjunto. Una relacion de orden en X es un

subconjunto R ⊂ X ×X del producto cartesiano de X por sı mismo que cumple

las siguientes propiedades.

Reflexiva: (x, x) ∈ R ∀x ∈ X.

Antisimetrica: Si (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R, entonces y = x.

Transitiva: Si (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R.

En tal caso se dice tambien que X es un conjunto ordenado. Si ademas R verifica

que:

[∀x, y ∈ X(x 6= y) se tiene que, o bien (x, y) ∈ R, o bien (y, x) ∈ R] ,

entonces se dice que R es una relacion de orden total, o que X es un conjunto

totalmente ordenado.

A menudo se denota una relacion de orden en X por (X,R≤ ) donde x

R≤ y (o

simplemente x ≤ y) significa que (x, y) ∈ R.

Observese que si (X. ≤) es un conjunto ordenado y A ⊂ X es un subconjunto

de X, entonces (A,≤) es un conjunto ordenado. Un subconjunto A ⊂ X es una

cadena, si (A,≤) es un conjunto totalmente ordenado.

Ejercicio A.19. ♠ Comprueba que (R,≤) es una relacion de orden total y

que (P(X),⊆) (donde X es un conjunto cualquiera) es una relacion de orden, pero

no necesariamente total.

Definicion A.3.16. Sea (X,≤) un conjunto ordenado y A ⊆ X, diremos que

x ∈ X es una cota superior de A si a ≤ x ∀a ∈ A. Analogamente, se dice que

x ∈ X es una cota inferior de A si x ≤ a ∀a ∈ A. Un elemento x ∈ A se dice

elemento maximal de A si no existe a ∈ A (a 6= x) tal que x ≤ a. Analogamente,

un elemento x ∈ A se dice elemento minimal de A si no existe a ∈ A (a 6= x) tal

que a ≤ x.

Axioma A.3.17 (Lema de Zorn). Sea X un conjunto ordenado. Si toda cadena

de X tiene cota superior, entonces X tiene un elemento maximal.


Tema 4. Propiedades de los numeros reales

En este tema explicitaremos algunas propiedades que necesitaremos de los

numeros reales sin entrar ni en su definicion ni en las demostraciones.

Propiedad A.4.1 (Arquimediana). Dados dos numeros reales 0 < a < b,

existe un numero natural n tal que na > b.

Un subconjunto A no vacıo de R se dice acotado superiormente si existe x ∈ Rtal que a ≤ x, ∀a ∈ A; en tal caso x es una cota superior. Se dice que x es supremo

si es la menor cota superior. Analogamente se definen acotado inferiormente, cota

inferior e ınfimo.

Propiedad A.4.2. Todo conjunto acotado superiormente (resp. inferiormente)

y no vacıo admite un unico supremo (ınfimo).

Propiedad A.4.3. Si x es el supremo (resp. ınfimo) de A ⊂ R, entonces todo

intervalo [x − 1n, x] (resp. [x, x + 1

n]) contiene puntos de A. En particular existe

una sucesion creciente (resp. decreciente) en A que converge a x.

TEMA 5. CARDINALES 153

Tema 5. Cardinales

Terminaremos el capıtulo con una breve referencia a la teorıa de cardinales.

Definicion A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el

conjunto Y si existe una biyeccion f : X → Y (se denotara #X = #Y ).

Observaciones A.5.2.

(1) La propiedad tener el mismo cardinal que define una relacion de equiva-

lencia entre conjuntos.

Reflexiva: (#X = #X) Sabemos que 1X : X → X es una biyeccion

(Propiedad A.2.9(4)).

Simetrica: (#X = #Y ⇒ #Y = #X) Si f : X → Y es biyeccion,

entonces f−1 : Y → X es tambien biyeccion (Ejercicio A.9(1)).

Transitiva: (#X = #Y, #Y = #Z ⇒ #X = #Z). Si f : X → Y

y g : Y → Z son biyecciones, entonces g ◦ f : X → Z es biyeccion

(Propiedad A.2.9(3)).

(2) Todo conjunto tiene un unico cardinal.

(3) Para cualquier n ∈ N definimos el siguiente conjunto:

n :=

∅ si n = 0

{0, 1, ..., n− 1} si n ≥ 1.

Si x ∈ n entonces #(n \ {x}) = #(n− 1).

(4) Si n, m ∈ N con n 6= m, entonces #n 6= #m.

Definicion A.5.3. Diremos que un conjunto X es finito y de orden o cardi-

nal n (en notacion, #X = n), si existe n ∈ N de modo que #X = #n. Diremos

que X es infinito, conjunto si no es finito.

Ejercicio A.20. ♠ Demuestra que si A ⊂ X es un subconjunto finito de X,

y x ∈ X entonces A ∪ {x} es finito.

Ejercicio A.21. ♠ La aplicacion f : Z→ N definida por

f(n) :=

2n si n ≥ 0

−(2n + 1) si n < 0

es una biyeccion, es decir, #N = #Z.

Proposicion A.5.4. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.


Proposicion A.5.5. Sea X conjunto finito, y sea A $ X, entonces #A 6=#X.

Observacion A.5.6. El conjunto N es infinito.

Definicion A.5.7. Diremos que X es numerable si #X = #N; el cardinal de

N se denota ℵ0.

Proposicion A.5.8. Sea X un conjunto, entonces #P(X) = #2X , donde

2X := {f : X → 2 = {0, 1} | f aplicacion}.

Proposicion A.5.9. Sea X un conjunto, entonces #P(X) 6= #X.


(1) De las Proposiciones A.5.8 y A.5.9 se deduce que #2X 6= #X.

(2) Observese que, al menos, existe un aplicacion inyectiva i : X ↪→ P(X)

definida por i(x) = {x} ⊂ X.

Uno quisiera decir que, de alguna manera, el cardinal de P(X) es mayor que

el cardinal de X.

Definicion A.5.11. Sean X e Y conjuntos. Decimos que #X ≤ #Y si existe

aplicacion inyectiva de X a Y (si ademas #X 6= #Y , se dice que #X < #Y ).

Decimos que #X ≥ #Y si existe aplicacion suprayectiva de X a Y (analogamente,

si ademas #X 6= #Y , se dice que #X > #Y ).


(1) Si A ⊂ B, entonces #A ≤ #B ya que la inclusion i : A → B es una

aplicacion inyectiva (Ejercicio A.13).

(2) Por la Proposicion A.5.9 y la Observacion A.5.10(2) se tiene que #X <

#P(X).

(3) Observese que #X ≤ #Y ⇔ #Y ≥ #X no es consecuencia inmediata

de las definiciones, sino un resultado en sı mismo. Dada una aplicacion

inyectiva i : X → Y podemos definir una aplicacion sobreyectiva j : Y →X del siguiente modo. Para ello tomemos x0 ∈ X y la siguiente definicion:

j(y) =

x si i(x) = y

x0 si y 6∈ i(X).

Recıprocamente, si j : Y → X es una aplicacion sobreyectiva, pode-

mos definir una aplicacion inyectiva i : X → Y de modo que i(x) = y


donde y es un elemento del conjunto j−1(x) (dicho conjunto es no vacıo

por ser j sobreyectiva)1.

(4) El motivo de utilizar la notacion ≤ o ≥ es el siguiente resultado, cuya

demostracion se sale del objetivo de este trabajo, y que se denomina

Teorema de Schroder-Bernstein:

Teorema A.5.13. Sean X e Y conjuntos, y supongamos que #X ≤#Y y #X ≥ #Y , entonces #X = #Y .

En otras palabras, si existe una aplicacion inyectiva y otra sobreyectiva

de X a Y , entonces debe existir una biyeccion entre X e Y . Este teorema

no se utilizara en el curso.

Ejercicio A.22. ♠ Sea f : X → Y una aplicacion. Demuestra que si A ⊂ X,

entonces #f(A) ≤ #A. Ademas, si f es inyectiva, entonces #f(A) = #A.

Teorema A.5.14. Existen conjuntos de cardinal mayor que el de N, es decir,

existen X tales que ℵ0 < #X.

Teorema A.5.15. Todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable,

es decir, si X es infinito, entonces ℵ0 ≤ #X.

Definicion A.5.16. Si X es un conjunto infinito de modo que #X 6= ℵ0,

entonces diremos que X es infinito no numerable. Si X es finito o numerable

diremos que X es contable.


(1) El Teorema A.5.15 puede reescribirse diciendo que X es infinito si y solo si

ℵ0 ≤ #X. Falta ver que si ℵ0 ≤ #X entonces X es infinito; en efecto, exis-

te una aplicacion inyectiva i : N ↪→X y por tanto, i(N) es un subconjunto

numerable de X, luego X no puede ser finito por la Proposicion A.5.4.

(2) Por el Teorema A.5.15 un conjunto X es infinito no numerable si y solo

si ℵ0 < #X.

(3) Un conjunto X es contable si y solo si #X ≤ ℵ0. En efecto, si X es

numerable se da la igualdad; si X es finito, posee una aplicacion inyectiva

en N por lo que se da la desigualdad estricta. En la direccion contraria, si

X es finito ya esta. Si no lo es, supongamos que es infinito no numerable.

Entonces ℵ0 < #X ≤ ℵ0, contradiccion.

(4) Del apartado anterior deducimos que los subconjuntos de un conjunto

contable son contables y si son infinitos son numerables.

1Para poder elegir un elemento en cada conjunto j−1(x), es decir, para mostrar la existenciade i tal y como la hemos definido, se necesita utilizar una version del Axioma de Eleccion A.3.12.


Propiedades A.5.18 (Uniones). Sea Λ 6= ∅ un conjunto y sea {Xλ | λ ∈ Λ}una familia de conjuntos no vacıos. Sea X :=

⋃λ∈Λ Xλ.

(1) Si algun Xλ es infinito (resp. infinito no numerable) entonces X es infinito

(resp. infinito no numerable).

(2) Si Λ es finito y Xλ tambien es finito, ∀λ ∈ Λ, entonces X es finito. Si

ademas la union es disjunta, es decir, Xλ1 ∩Xλ2 = ∅ si λ1 6= λ2, entonces

si nλ es el cardinal de Xλ, λ ∈ Λ, se tiene que n :=∑

λ∈Λ nλ es el cardinal

de X.

(3) Si Λ es contable y Xλ tambien es contable, ∀λ ∈ Λ, entonces X es contable.

Si ademas algun Xλ es numerable o X no esta contenido en la union de

una subfamilia finita, X es numerable.

Ejercicio A.23. ♠ Sea A ⊂ X conjunto infinito y B ⊂ X conjunto finito,

demuestra que A \B es un conjunto infinito.

Propiedades A.5.19 (Cardinales y productos cartesianos).

(1) El producto cartesiano de una familia finita de conjuntos finitos es finito

y su cardinal es el producto de los cardinales.

(2) El producto cartesiano de una familia finita de conjuntos numerables es

numerable.

(3) #2N > ℵ0; en particular, el producto cartesiano de una familia numerable

de conjuntos (de cardinal > 1) es infinito no numerable.

Propiedades A.5.20 (Cardinales y partes de un conjunto).

(1) Si #X = n ∈ N, entonces #P(X) = 2n.

(2) Si X es numerable, entonces P(X) es infinito no numerable.

Ejemplo A.5.21.

(1) El conjunto de numeros racionales Q es numerable. En efecto, por una

parte, como N ⊂ Q, tenemos que Q es infinito. Por otra parte se puede

construir facilmente una aplicacion sobreyectiva de X := Z × (Z \ {0})en Q, por lo que #X ≥ #Q. Por la Propiedad A.5.19(2) tenemos que

#X = ℵ0 y por la Propiedad A.5.17(4) Q es numerable.

De hecho, cualquier conjunto A∩Q donde ∅ 6= A es un intervalo (con

mas de un punto), es numerable. Supongamos que A ∩Q fuera finito; en

ese caso encontrarıamos un intervalo infinito en R sin numeros racionales,

lo que es imposible


(2) El conjunto de numeros reales R es infinito no numerable, es decir, #R >

ℵ0. Para ello, construımos una aplicacion inyectiva f : 2N → R dada por

f((xn)n∈N) := 2∑

n∈N

xn

3n+1.

(3) Todo intervalo infinito de numero reales tiene cardinal infinito no nume-

rable. Basta recordar que dos intervalos infinitos son biyectivos.

Ejercicio A.24. ♠ Demostrar que la aplicacion f del Ejemplo A.5.21(2) es

efectivamente inyectiva.

Ejercicio A.25. ♠ ¿Cual es el cardinal de los numeros complejos C ?

Ejercicio A.26. ♠ Sea X un conjunto numerable, entonces

PF (X) := {A ⊂ X | A es conjunto finito}tiene cardinal numerable.

Ejercicio A.27. ♠ Consideremos F := {Aλ ⊂ X | λ ∈ Λ} una familia de

subconjuntos de X.

(1) Demuestra que #F ≤ #Λ.

(2) Sea f : X → Y es una aplicacion, entonces podemos definir la imagen

de dicha familia como fF := {f(Aλ) ⊂ Y | λ ∈ Λ}. Demuestra que

#fF ≤ #F . Ademas, si f es biyectiva, entonces #fF = #F .

Indice alfabetico

Mn(R) grupo de matrices n × n con coefi-cientes reales, 108

abierto, 15absoluto, 39en Rn, 10relativo, 39

acotado, 26, 109acumulacion, punto de, 49adherencia, vease clausuraaglomeracion

de sucesiones, 71aislado, 49Alexandroff, compactificacion de, 115algebra de Boole, 138aplicacion, 140

abierta, 50biyectiva, 141cerrada, 50contractiva, 25de identificacion, 99grafo de una, 85identidad, 141inclusion, 144inversa, 142inyectiva, 141lipschitziana, 25sobre, 141sobreyectiva, 141suprayectiva, 141

Axioma de Eleccion, 150

Bn(x0; ε) bola en Rn, 7Baire

espacio de, 119Teorema de, 119

base, 59de entornos, 55de abiertos, 59ordenada de entornos, 73

Bd(x0; ε) bola abierta en un espacio seudometri-co, 23

bolaabierta en Rn, 7abierta en un espacio seudometrico, 23cerrada en Rn, vease disco en Rn

cerrada en un espacio seudometrico, veasedisco

Boolealgebra de, 138

cadena, 151camino, 130

cerrado, 130constante, 130extremo de un, 130final de un, 130inverso, 130origen de un, 130reparametrizacion de un, 130suma de, 130

camino(s)conexion local por, 135conexion por, 131

Cantor, conjunto de, 106cardinal, 153cardinales, 153Cauchy, sucesion de, 110

159

160 INDICE ALFABETICO

Cauchy-Schwartz, desigualdad, 6cerrado, 31cırculo de Varsovia, 136clase de equivalencia, 147clausura, 43compacidad, 103

numerable, 109secuencial, 109

compacidad local, 113compactificacion, 115

de Alexandroff, 115compacto, 103completamente regular, 79completo, 110componente conexa por caminos, 131componentes conexas, 123conexion, 121

por caminos, 131conexion local, 126conjunto(s)

acotado inferiormente, 152acotado superiormente, 152complementario de un, 137de Cantor, 106de llegada, 140de partida, 140diferencia de, 137diseminado, 117disjuntos, 137familia de, 146familia disjunta de, 108familia finitamente disjunta de, 108final, 140finito, 153igualdad de, 137imagen, 140imagen inversa, 140infinito, 153interseccion de, 137numerable, 154ordenado, 151partes de un, 137producto cartesiano de, 137saturado, 92

subconjunto de un, 137subfamilia de, 146totalmente ordenado, 151union de, 137union disjunta de, 137vacıo, 137

contable, 155continuidad

de aplicaciones de A ⊂ Rn en B ⊂ Rm, 7,8, 10, 12

de funciones reales, 6en R, 5en A ⊂ R, 5entre espacios seudometricos, 25entre espacios topologicos, 16, 32, 36

continuidad uniforme, 28correspondencia, 140cota

inferior, 152superior, 152

cota, (superior o inferior), 151curva, 130

Dn(x0; ε) disco en Rn, 7Dd(x0; ε) disco en un espacio seudometrico,

23denso, 45derivado, 49desigualdad triangular, 5diametro, 26disco

en Rn, 7en un espacio seudometrico, 23

diseminado, 117distancia, 22

en R, 5equivalentes, 28euclıdea en Rn, 5topologicamente equivalentes, 27

dominio, 140

E(x) familia de entornos de x, 55Eleccion, Axioma de, 150elemento (maximal o minimal), 151

INDICE ALFABETICO 161

entorno, 35(seudo)metrico, 24basico, 55base de, 55de un conjunto, 75metrico en Rn, 9

esferaen Rn, 7en un espacio seudometrico, 23

espacio (seudo)metrico, 22, 23acotado, 109completo, 110totalmente acotado, 109

espacio topologico, 15(seudo)metrizable, 26compacto, 103completamente regular, 79de Baire, 119de punto incluido, 16de Sierpinski, 16discreto, 15Hausdorff, 72indiscreto, 16inducido por un espacio (seudo)metrico,

24localmente compacto, 113normal, 76numerablemente compacto, 109regular, 76secuencialmente compacto, 109totalmente desconectado, 124

espacios homeomorfos, 18e.t. espacio topologico, 15exterior, 48

familia de entornos de x, 55finito, conjunto, 153fraccion irreducible, 148frontera, 48funcion, 140

Γ(X, x, y) conjunto de caminos en X con ori-gen en x y final en y, 130

grafo, 85

grupoortogonal, 108

Hausdorff, 72, vease T2

Heine-Borel, Teorema de, 105homeomorfismo, 18

sobre la imagen, 41

identificacion, vease aplicacion de identifica-cion

inclusion, aplicacion, 144ınfimo, 152interior, 46

lımitede sucesiones, 71

Lebesgue, numero de, 112Leyes de Morgan, 138Lindelof

espacio, 111Teorema de, 111

localmente compacto, 113localmente conexo por caminos, 135

metrica, vease distanciaMorgan

leyes de, 138

numero de Lebesgue, 112normal, 76numerable, 154

operador de Kuratowski, 45

planode Moore, 61de Niemytzki, 61del semidisco, 63

primera categorıa, 117primero numerable, 69producto escalar, 6Propiedad

arquimediana de los numeros reales, 152propiedad topologica, 19

hereditaria, 41proyeccion cociente, 148

162 INDICE ALFABETICO

punto de aglomeracionde una sucesion, 71

recta de dos orıgenes, 57recubrimiento, 103

abierto, 103recubrimiento abierto

relativo, 104regular, 76relacion de equivalencia, 147

clase de una, 147particion de una, 148proyeccion cociente de una, 148sistema trasversal de una, 148

relacion de orden, 151cadena de una, 151

Sn(x0; ε) esfera en Rn, 7Sat(A) saturacion de A, 92saturacion, 92Sd(x0; ε) esfera en un espacio seudometrico,

23seccion, 150segunda categorıa, 117segundo numerable, 70seno del topologo, 128separable, 67separar, 75seudodistancia, 22seudometrica, vease seudodistanciaSierpinski, espacio de, 16sistema fundamental, vease base de entornossistema trasversal, 148Sorgenfrey, recta de, 15subbase, 65subconjunto

propio, 141subrecubrimiento, 103

finito (numerable, contable...), 103propio, 103

subsucesion, 72truncada, 72

sucesion, 71casiconstante, 72

constante, 72convergencia de una, 71lımite de una, 71punto de aglomeracion de una, 71

sucesiones asintoticas, 72supremo, 152

T (d) topologıa inducida por una (seudo)metri-ca, 24

T0, 76T1, 76T2, 76T3, 76T3 1

2, 79

T4, 76topologıa, 15

cociente, 92cofinita, 33conumerable, 33de punto incluıdo, 16de subespacio, 39, 82discreta, 15en Rn, 11imagen directa, 16, 98imagen inversa, 16, 81indiscreta, 16producto, 64producto de dos espacios, 82producto finito de espacios, 86producto numerable de espacios, 88suma, 100T→, 15usual, 15

totalmente acotado, 109Tychonoff, Teorema de, 108

Zorn, Lema de, 151

programa de topolog´ıa general - · pdf filecap´ıtulo 9. espacios de baire 117...

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