programa novos talentos em matemática 2010 fundação ... · obtemos o corpo dos números...
TRANSCRIPT
Por: Diogo Pernes (estudante 3º ano MIEEC/FEUP) Seminário Diagonal c/ orientação do Prof. SemyonYakubovich FCUP, 13 de Abril de 2011
Programa Novos Talentos em Matemática 2010
Fundação Calouste Gulbenkian
Números Complexos
Análise Complexa
Função Gama e Função Hipergeométrica
Transformada de Mellin
Considerando o conjunto:
E definindo as operações:
Obtemos o corpo dos números complexos.
Preliminares – números complexos
Designando por o número complexo , vem .
Assim, podemos escrever cada na forma .
A chamamos parte real de e a damos o nome de parte imaginária de .
Preliminares – números complexos
Plano Complexo:
Preliminares – números complexos
Números Complexos
Análise Complexa
Função Gama e Função Hipergeométrica
Transformada de Mellin
Preliminares – análise complexa
Caminho – definição:
Aplicação contínua, , de um intervalo fechado ,não reduzido a um ponto, que toma valores em e é continuamente derivável por bocados.
Preliminares – análise complexa
Singularidades Isoladas – definição:
, analítica em aberto e conexo ( derivável em ).
diz-se singularidade isolada de se existe um disco aberto centrado em tal que todos os pontos deste disco, excepto , estão em , ou seja:
Preliminares – análise complexa
Série de Laurent:
, para todo o num disco
aberto contido em e centrado em .
Ao coeficiente chamamos resíduo de em . .Se , então diz-se pólo simples de e, nesse caso:
Teorema dos Resíduos:
, onde é um caminho
fechado, sem intersecções e orientado positivamente.
Preliminares – análise complexa
Números Complexos
Análise Complexa
Função Gama e Função Hipergeométrica
Transformada de Mellin
Função Gama – definição:
Algumas propriedades :
1.
2.
3. é inteira.4. é analítica em todo o plano complexo, excepto em
, onde tem pólos simples com resíduo .
Preliminares – função gama e função hipergeométrica
Função Hipergeométrica – definição
onde
Preliminares – função gama e função hipergeométrica
Números Complexos
Análise Complexa
Função Gama e Função Hipergeométrica
Transformada de Mellin
Preliminares – transformada de Mellin
Definição:
Obs:
Transformada Inversa:
Algumas propriedades:
1. .
Obs: A um integral da forma representada no 1º membro chamamos integral de convolução de Mellin.
2. Se na região , entãona região . .
Preliminares – transformada de Mellin
Definição
Fórmula geral de inversão
Um caso particular interessante…
onde
(função de Bessel da primeira espécie)
A “nossa” transformada – definição
Definição
Fórmula geral de inversão
Um caso particular interessante…
A transformada de Mellin do núcleo é conhecida:
Usando a propriedade 1. da T.Mellin, vem
Portanto, , .
A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão
A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão
determina-se agora pela inversa da T.Mellin:
onde
A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão
A função integranda tem pólos simples em
e ,
Usando uma expansão assimptótica para (fórmula de Stirling), prova-se que o integral correspondente a converge condicionalmente na faixa:
A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão
O Teorema de Slater ([2]) permite-nos tratar este integral como se estivesse definido sobre um caminho fechado.
poles
… …
Assim,
A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão
A “nossa” transformada – fórmula geral de inversão
Fazendo umas ”continhas”, obtém-se:
Chegámos, finalmente, à expressão geral do núcleo da transformada inversa!
Definição
Fórmula geral de inversão
Um caso particular interessante…
A “nossa” transformada – um caso particular interessante…
Atendendo a que , no caso temos:
Como calcular a fórmula de inversão?
Uma possibilidade óbvia é substituir por na fórmula que encontrámos para .
A “nossa” transformada – um caso particular interessante…
Vamos usar um método alternativo…
Atendendo a que
onde
A “nossa” transformada – um caso particular interessante…
Temos:
Agora, queremos encontrar , se existirem, e tais que:
A “nossa” transformada – um caso particular interessante…
Este sistema de equações lineares com 2 incógnitas e 4 equações é possível e determinado se e só se (é impossível para outros ).
A solução é e , logo:
A “nossa” transformada – um caso particular interessante…
Prova-se que:
Pelo que obtemos, finalmente:
Fórmula de inversão para inteiro.
Será possível exprimir como composição de outras transformadas? Quais?
Propriedades de e possível aplicação na resolução de equações diferenciais.
MAS PARA QUE É QUE ISTO SERVE?
[1] SMIRNOV, Gueorgui, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora, 2003.
[2] O.I. MARICHEV, Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental Functions: Theory and Algorithmic Tables, Ellis Horwood Limited, 1983.