PROGRAMACION DE METAS INTRODUCCIN.La mayora de las situaciones de decisin real, sean personales o profesionales, se caracterizan por metas (atributos) y objetivos mltiples ms que por un simple objetivo. Estas metas (atributos) pueden ser complementarias, pero frecuentemente son conflictivas y tambin inconmensurables. Por ejemplo, un productor de autos como la General Motors deseara construir un vehculo de pasajeros que pudiera venderse por menos de $200,000.00, tuviera 250 caballos y consiguiera 40 millas por galn. Consideremos, por ejemplo, las metas (atributos) de economa de combustible y de potencia. entre ms alta sea la potencia, menor es la economa de combustible, indicando que las dos metas (atributos) estn en conflicto. Adems estas dos metas (atributos) son inconmensurables, pues la potencia y las millas por galn tienen diferentes escalas y dimensiones. PROGRAMACIN META.La formulacin de un modelo de Programacin Meta es similar al modelo de P.L.. El Primer paso es definir las variables de decisin, despus se deben de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad. As, una caracterstica de la Programacin Meta es que proporciona solucin para los problemas de decisin que tengan metas mltiples, conflictivas e inconmensurables arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administracin.La Programacin Meta es capaz de manejar problemas de decisin con una sola meta o con metas mltiples. En tales circunstancias, las metas establecidas por el tomador de decisiones son logradas nicamente con el sacrificio de otras metas.Las caractersticas que distinguen la programacin Meta es que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal. Esto es, las metas que deben clasificarse en orden de prioridad por el tomador de decisiones son satisfechas secuencialmente por el algoritmo de solucin. Las metas con prioridad baja se consideran solamente despus de que las metas de prioridad alta se han cumplido. La Programacin meta es un proceso de satisfaccin, en el sentido de que el tomador de decisiones tratar de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor resultado posible para un solo objetivo.La nocin fundamental de la Programacin Meta, comprende incorporar todas las metas gerenciales en la formulacin del modelo del sistema. En la programacin Meta, en vez de intentar minimizar o maximizar la Funcin Objetivo directamente, como en la programacin lineal, se minimizan las desviaciones entre las metas y los lmites logrables dictados por el conjunto dado de restricciones en los recursos. Estas variables de desviacin, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en programacin lineal toman un nuevo significado en la Programacin Meta. Ellas se dividen en desviaciones positivas y negativas de cada una de las submetas o metas. El objetivo se convierte entonces en la minimizacin de estas desviaciones, dentro de la estructura prioritaria asignada a estas desviaciones. CONCEPTOS PARA LA TOMA DE DECISIONES CON ATRIBUTOS MULTIPLES EN AUSENCIA DE INCERTIDUMBRE: PROGRAMACIN DE METAS.1. Una Funcin valor v(x1,x2,....xn) es unafuncin de valor aditivosi existen n funciones v1(x1), v2(x2),...vn(xn) que satisfagani=nv(x1,x2,....xn) = " vi(xi)i=11. Una funcin costo c(x1,x2,....xn) esfuncin de costo aditivosi existen n funciones c1(x1), c2(x2),....cn(xn) que satisfagani=nc(x1,x2,....xn) = " ci(xi)i=11. Un atributo (llammosle atributo 1) espreferencialmente independiente(pi) de otro atributo (el atributo 2) si las preferencias para valores del atributo 1 no dependen del valor del atributo 2.1. Si el atributo 1 es pi del atributo 2, y el atributo 2 es pi del atributo 1, entonces el atributo 1 esmutua y preferencialmente independiente(mpi) del atributo 2.1. Un conjunto S de atributos esmutua y preferencialmente independiente(mpi) de un conjunto S de atributos si (1) los valores de los atributos en S no afectan las preferencias para los valores de los atributos en S, y (2) los valores de los atributos en S no afectan las preferencias para los valores de los atributos en S.1. Un conjunto de atributos 1,2,....,n esmutua y preferencialmente independiente(mpi) si para todos los.1. TEOREMA 1. Si el conjunto de atributos 1,2,....,n es mpi, las preferencias del tomador de decisiones se pueden representar por una funcin valor (o costo) aditiva. FORMULACIN DE MODELOS.Restricciones de meta-Por cada metaComponentes en la F.O. (minimizar suma de desviaciones con respecto a las metas)| FORMULACIN-Resticciones Estructurales (no tienen que ver con las metas)Las suposiciones bsicas que caracterizan el modelo de programacin lineal se aplican igualmente al modelo de programacin meta. La diferencia principal en la estructura es que la programacin meta no intenta minimizar o maximizar la funcin objetivo como lo hace el modelo de programacin lineal. En vez de ello, busca minimizar las desviaciones entre las metas deseadas y los resultados reales de acuerdo a las prioridades asignadas.. El objetivo de un modelo de programacin meta es expresado en terminos de las desviaciones de las metas a que se apunta. esto es las desviaciones de las metas se colocan en la funcin objetivo y deben minimizarse. El modelo general de la programacin meta puede expresarse matemticamente de la siguiente manera:mmin Z = " wi(di+ + di-)i=1s.a.n"aijxj+di- - di+ = bi para toda ij=1xj,di-,di+" 0 para toda jDonde:w = Ponderacin de las desviaciones con respecto a la meta.di- = Desviacin dficitdi+ = Desviacin excedente EJEMPLO: SATISFACCIN DE UNA SOLA META.Una divisin de Schwim Manufacturing Company produce dos tipos de bicicletas: (1) una bicicleta de 3 velocidades y (2) una de 10 velocidades. La divisin obtiene una utilidad de $25 en la bicicleta de 10 velocidades y $15 en la bicicleta de 3 velocidades. Debido a la fuerte demanda de estos artculos, durante el perodo de planeacin de verano la divisin cree que puede vender, a los precios que prevalezcan, todas los unidades de estas dos bicicletas que produzca. Las instalaciones de produccin se consideran recursos escasos. estos recursos escasos corresponden al departamento de ensamblado y terminado. Los tiempos unitarios de procesamiento y las capacidades de cada uno de los departamentos se muestran en la tabla siguiente:Hrs. requeridas para procesar cada bicicletaTipo de bicicletaEn el Depto. de ensambleEn el depto. de terminacinContribucin a la utilidad unitaria

3 velocidades1115

10 velocidades3125

Hrs. disponibles en cada depto.6040

La divisin durante este perodo de planeacin se enfrenta a cambios grandes de organizacin y cree que el maximizar la utilidad no es un objetivo realista. Sin embargo, deseara lograr un nivel satisfactorio de utilidad durante este perodo de dificultad. La direccin cree que la utilidad diaria de $600 debera satisfacerse y desea determinar, dadas las restricciones del tiempo de produccin, la mezcla de producto, que debera llevar a esta tasa de contribucin a utilidades.Formula un modelo de programacin meta que satisfaga estos requerimientosDefinicin de variables:x1 = Nmero de bicicletas de 3 velocidades producidas por dax2 = Nmero de bicicletas de 10 velocidades producidas por dad1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguidad1+ = cantidad por encima de la utilidad perseguidaMinimizar Z = d1- + d1+s.a.x1 +3x2 " 60 (horas de ensamble).Restricciones estructuralesx1 + x2 " 40 ( (horas de terminacin)15x1 +25x2 +d1- - d1+ = 600 (Utilidad perseguida) Restriccin metax1,x2,d1-,d1+ " 0Nota: Puesto que tanto d1-,d1+ aparecen en la funcin objetivo y a ambas se les asigna pesos iguales, esto indica que la administracin desea lograr la utilidad meta exactamente..TAREA.Plantea este mismo modelo con las siguiente consideracin:La administracin cree que es dos veces ms importante sobrelograr que sublograr la meta de utilidad perseguida.1.4.2 EJEMPLO METAS MLTIPLES.Considera la informacin que se presenta en la siguiente tabla:DepartamentosProducto1234

1.102.11.3415

2.081.4.7.2362

3.051.1.6.15216

4.04.9.5.168

Disp. hrs/mes3202400800450

*El producto 2 no debe exceder 90 unidades al mes.*Cada hora extra aumenta los costos en $20.00Metas: Alcanzar utilidades de por lo menos $350,000.00 al mes. Maximizar la utilizacin de los 4 departamentos. No producir ms del 50% de la produccin total en cualquiera de los 4 productos (en unidades). Limitar el nmero de horas extras en el departamento 2 a 300 hrs. al mes.Definicin de variables:xi = cantidad a producir del producto i mensualmente. i = 1,2,3,4.F.O.Min Z = d1- +d2- +d3- +d4- + d5- +d6+ +d7+ +d8+ +d9+ +d10+s.a.1) 415x1 +362x2 +216x3 + 68x4 -20d2+ - 20d3+ - 2 0d4+ - 20d5+ -d1 + + d1- =350,0002).10x1+.08x2+.05x3+.04x4 -d2+ + d2- = 3202.1x1 +1.4x2 +1.1x3 +0.9x4 -d3+ + d3- = 2400x1+.7x2+.6x3+.5x4 -d4+ +d4- = 800.3x1 +.2x2 +.15x3 +.1x4 -d5+ +d5- = 4503)x1-d6+ +d6- = .5(x1+x2+x3+x4) ! .5x1-.5x2-.5x3-.5x4 -d6+ +d6- = 0-.5x1 +.5x2 -.5x3-.5x4 -d7+ +d7- = 0-.5x1-.5x2+.5x3-.5x4 -d8+ +d8- = 0-.5x1-.5x2-.5x3+.5x4 -d9+ +d9- = 04)d3+ -d10+ +d10- = 300Restricciones estructurales:x2" 90xi" 0 para toda idi+,di- " 0 para toda i. EJEMPLO METAS MLTIPLES CON PRIORIDAD.Considera la situacin de Schwim Manufacturing Company en donde la administracin desea alcanzar varias metas. Ahora supondremos que la administracin desea ordenar dichas metas en orden de importancia y que la meta ms importante tiene prioridad absoluta sobre la siguiente meta ms importante y as sucesivamente.Para lograr que las metas de baja prioridad se consideren solamente despus de lograr las metas de alta prioridad, se clasifican las metas en k rangos y las variables de desviacin asociadas con las metas, se les asigna un nmero prioritario Pj(j = 1,2,....,k). Los factores de prioridad satisfacenP1>>>P2>>>...Pj>>>Pj+1.Las relaciones de prioridad implican que la multiplicacin por n, no importa que tan grande sea n, no puede hacer una meta de baja prioridad tan importante como una meta de alta prioridad (por ejemplo: Pj>nPj+1).Ahora supongamos que la divisin de bicicletas de Schwim, adems de lograr sus $600.00 de meta primaria de utilidad, desea utilizar completamente sus departamentos de ensamblaje y terminacin durante la reorganizacin que se avecina. Esto es, como una meta secundaria, la divisin desea minimizar el tiempo ocioso. La formulacin del modelo es:Minimizar Z = P1(d1- + d1+) + P2(d2-+d3-)s. a.15x1+25x2 +d1- -d1+ = 600x1 +3x2 + d2- -d2+ = 60x1 +x2 +d3- -d3+ = 40x1,x2,di-,di+ " 0Donde:x1 = Nmero de bicicletas de 3 velocidades producidas por dax2 = Nmero de bicicletas de 10 velocidades producidas por dad1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguidad1+ = cantidad por encima de la utilidad perseguidad2- = Tiempo ocioso diario en el departamento de ensambled2+ = Tiempo extra diario en el departamento de ensambled3- = Tiempo ocioso diario en el departamento de terminacin.d3+ = Tiempo extra diario en el departamento de terminacin.Nota: Puesto que d1- y d1+ se incluyen en la funcin objetivo, el modelo intentar lograr exactamente la utilidad diaria perseguida de $600, minimizando tanto las desviaciones positivas como las negativas. Con d2+ d3+ y eliminados de la funcin objetivo, sin embargo, el modelo no se preocupar del tiempo extra en el departamento de ensamble o terminacin e intentar minimizar solamente el tiempo ocioso en estos departamentos. Debido a que la meta de utilidad perseguida es ms importante que la meta de minimizacin del tiempo ocioso, a esta se le asigna prioridad P1 . El modelo intentar lograr esta meta hasta donde ms le sea posible antes de considerar la meta secundaria de minimizar el tiempo ocioso de produccin.EJERCICIO: Resolver grficamente este problema. DIFERENCIAS ENTRE EL SIMPLEX DE PROGRAMACIN DE METAS Y EL SIMPLEX NORMAL. El simplex normal tiene un solo rengln 0, mientras que el simplex de programacin de metas necesita n renglones 0, uno por cada meta. En el simplex de programacin de metas se emplea el mtodo siguiente para la variable de entrada: se encuentra la meta de mxima prioridad (la meta i' ) que no se haya alcanzado, o se encuentra la meta i' de mxima prioridad que tenga Zi (Trmino de la funcin objetivo que incluye la meta i) > 0 . se calcula la variable con el coeficiente ms positivo en el rengln 0, meta i', y se anota esta variable en la base, sujeta a la siguiente restriccin. Con ello se reduce Zi y se asegura que esta cerca el cumplimiento de la meta i'. Sin embargo, si una variable tiene un coeficiente negativo en el rengln 0 asociado con una meta que tiene mayor prioridad que i', la variable no puede entrar a la base. Introducir en la base esa variable aumentara la desviacin con respecto a alguna meta de mayor prioridad. Si la variable con el coeficiente ms positivo en el rengln 0 (variable i') no puede entrar en la base, intente encontrar otra variable con un coeficiente positivo en el rengln 0 (meta i'). Si ninguna variable del rengln 0 (meta i') puede entrar en la base, no hay manera de acercarse al cumplimiento de la meta i' sin aumentar la desviacin con respecto a alguna meta de mayor prioridad. en este caso, se pasa al rengln 0 (meta i' + 1) para tratar de satisfacer la meta i' + 1. Cuando se lleva a cabo un pivoteo, se debe actualizar el rengln 0 para cada meta. Una tabla dar la solucin ptima si todas las metas se satisfacen (esto es, Z1 = Z2 = .....= Zn = 0 ), o si cada variable que puede entrar en la base y reducir el valor de Z'i de una meta i' no satisfecha aumenta la desviacin con respecto a una meta i que tiene ms prioridad que la meta i'. Resuelve el ejemplo de METAS MULTIPLES CON PRIORIDAD Utilizando el mtodo simplex.EJMPLO DE METAS MULTIPLES Y SUBMETAS.En el ejemplo de la Schwim, la mxima utilidad alcanzada, tomando 60 horas de tiempo de ensamble, 40 horas de tiempo de terminacin y resolviendo como un problema de programacin lineal, es de $700.00. Debido a la reorganizacin de la divisin se han considerado casos en donde la administracin quedara satisfecha (al menos temporalmente) con un plan de produccin que conduzca a una utilidad ms baja que $600.00.Supongamos que la reorganizacin se ha llevado a cabo y que la administracin desea lograr una tasa de utilidad diaria de $750.00. Esto significara que algunas restricciones previas anexas deberan violarse. Sin embargo, supongamos que las 60 y 40 horas representan la capacidad de produccin de los departamentos de ensamble y terminacin en tiempo normal solamente, utilizando la fuerza laboral existente. El tiempo extra podra utilizarse en cualquier departamento; por tanto, las desviaciones por encima como por debajo de las 40 y 60 horas seran factibles. La tasa de pago de horas extras es 3 veces ms alta que la del departamento de ensamble. Las metas prioritarias de la administracin, de mayor a menor importancia, son las siguientes:P1 = Lograr tasa diaria de utilidad perseguida de $750.00P2 = Minimizar el tiempo ocioso en ambos departamentos.P3 = Minimizar el tiempo extra en ambos departamentosLa formulacin de la programacin meta es:Minimizar Z = P1(d1- + d1+) + P2(d2-+d3-) + 3P3d2+ + P3d3+s. a.15x1+25x2 +d1- -d1+ = 750 (Utilidad perseguida)x1 +3x2 + d2- -d2+ = 60 (Horas de ensamble)x1 +x2 +d3- -d3+ = 40 (Horas de terminacin)x1,x2,di-,di+ " 0 Para todo iNota: En este ejercicio se han asignado pesos diferentes (cardinales) o prioridades dentro de una meta dada, como tambin prioridades diferentes (ordinales o cardinales) a metas diferentes.EJERCICIOS:La agencia de publicidad Leon Burnit quiere determinar el programa de anuncios en TV para la Priceler Auto Company. Priceler tiene tres objetivos:Objetivo 1 Sus anuncios deben ser vistos por un mnimo de 40 millones de personas con ingresos altos (PIA)Objetivo 2 Sus anuncios deben ser vistos por un mnimo de 60 millones de personas con ingresos bajos (PIB).Objetivo 3 Sus anuncios deben ser vistos por un mnimo de 35 millones de mujeres con ingresos altos (MIA)Leon Burnit puede comprar dos tipos de anuncios: los que aparecen durante los juegos de ftbol y los que aparecen durante los melodramas; a lo ms puede gastar $600,000.00 dlares. Los costos del comercial y las audiencias potenciales de un anuncio de 1 minuto se muestran en la siguiente tabla:PIAPIBMIACOSTO

Anuncio en el ftbol7 millones10 millones5 millones100,000

Anuncio en los melodramas3 millones5 millones4 millones60,000

Leon Burnit debe plantear un modelo de programacin por metas que determine cuntos minutos comprar durante el ftbol y cuntos durante los melodramas, reduciendo al mnimo la penalizacin total por ventas perdidas. Dicha penalizacin, en miles de dlares es : $200.00 para la meta 1, $100.00 para la meta 2 y $50.00 para la meta 3 Elabora el modelo de programacin por metas. Supongamos que se aade a este modelo la restriccin de que se debe cumplir con un presupuesto de $600,000.00 dlares. Si se decide que se tenga una penalizacin de 1 dlar por cada dlar de diferencia con esa meta, entonces cul sera la formulacin correcta del modelo modificado?. Utiliza el mtodo simplex para resolver este problema (modificado). Utiliza LINDO para resolver este problema (modificado). EJERCICIOS DE TAREA. Considera el siguiente problema de inversin:Se cuenta con $2000000 para invertir en 6 aos. Los instrumentos de inversin, junto con sus respectivas tasas de inters a ganar, se muestran en la siguiente tabla:1 2 3 4 5 6 Aos1 )Acciones2 )Bonos3) Prestamos4) Bienes Races5) Ahorro Formula el problema como un modelo de P.L. Formula el problema como un modelo de metas, considera las siguientes metas: Maximizar rendimientos. Invertir cuando menos 400,000 en bienes races. No tener invertido ms de 700,000 en cualquier instrumento financiero. Formula el modelo considerando que la meta 1 es tres veces ms importante que la meta 2 y cinco veces ms importante que la meta 3 Formula el modelo considerando que la meta 1 es la ms prioritaria, la 2 la que sigue y por ltimo la meta 3. Como cambia la funcin objetivo del modelo de la Schwim (para el caso de Metas mltiples y submetas), si el costo del tiempo ocioso en el departamento de ensamble es del doble del departamento de terminacin Resolver los problemas de Murty: 8.2, 8.5Winston: Seccin 14.1: 5,9,101.4.7. APLICACIN DE CASOS DE PROGRAMACIN POR METAS. La Preslow Company fabrica tres clases de abrigos para caballeros: (A) deportivo, (B) Formal y (C) Ejecutivo. An y cuando la compaa es un negocio familiar, la mayora de los empleados no son miembros de la familia. Debido a la naturaleza competitiva del negocio y a la gran demanda de mano de obra de la industria, es de gran importancia mantener satisfechos a los empleados. Los administradores de la Preslow consideran que una medida importante para satisfacer las necesidades de sus empleados es ofrecerles empleo de tiempo completo, aun cuando esto exija producir en exceso e incurrir en alguna prdidas. por fortuna, los administradores esperan que las demandas de sus productos siga siendo bastante elevada. De hecho, para satisfacer parte de la demanda, podra ser necesario operar en tiempo extra.Las tres lneas de abrigos de la Preslow se fabrican en dos departamentos. la siguiente tabla es un programa semanal de requerimientos de mano de obra y materiales para el proceso de fabricacin. Los precios unitarios para las tres lneas son: $100, $150 y $250, respectivamente. Los administradores han determinado que a un nivel normal de produccin los costos variables son de $70, $80 y $100 por abrigo, respectivamente. Los costos de tiempo extra son $2 por hora por encima del salario normal para el departamento 1 y $3 para el 2. Los materiales extra pueden adquirirse a un costo de $2 por yarda por encima del costo normal.Los administradores de la empresa han pronosticado que la demanda del mercado para el abrigo deportivo es de 1,000 unidades por semana, y la demanda de las otras dos lneas es de 500 y 200 unidades, respectivamente. El nivel de equilibrio de produccin es de 100 unidades del producto uno y 50 unidades de cada uno de los otros 2 productos.Para ayudarse analizar el problema, los administradores de la Preslow han identificado, en orden de prioridad, las siguientes metas: utilizar toda la capacidad de produccin disponible. Alcanzar los niveles de produccin de punto de equilibrio en cada una de las lneas de produccin. dado que es probable que exista escasez de mano de obra en el departamento 2, y dado que puede enviarse personal, en tiempo extra a ese departamento, el tiempo extra aqu puede ser mayor que el del departamento 1. Sin embargo, el tiempo extra del departamento 2 debe estar limitado a 600 horas. El tiempo extra del departamento 1 no debe ser mayor de 200 horas. Alcanzar una meta de utilidades semanales de $20,000 Satisfacer todas las demandas del mercado. Dentro de esta meta, deben utilizarse ponderaciones distintas para reflejar la contribucin unitaria normal a las utilidadesRequerimientosde productos(por unidad)

DeportivoFormalEjecutivoRecursos (mano de obra y materiales)

Departamento 14 horas12 horas10 horas8,000 horas

Departamento 26 horas6 horas16 horas4,000 horas

Material8 yardas cuadradas6 yardas cuadradas12 yardas cuadradas8,000yardascuadradas

Plantea el problema como un modelo de programacin por metas. La compaa de distribucin Alpha suministra un solo producto a tres clientes en diversos sitios desde bodegas diferentes. Durante el perodo de planeacin considerado, la compaa no puede cumplir la demanda de los clientes. Sin embargo, la compaa ha determinado que las demandas de ciertos clientes deben satisfacerse a expensas de otros. Para evitar desequilibrios serios, es importante balancear la porcin de demanda satisfecha entre ciertos clientes. tambin debido a acuerdos sindicales, la compaa debe satisfacer ciertos requisitos mnimos en los niveles de embarque en ciertas rutas. Finalmente, varias de las rutas sobre las cuales se podra embarcar el producto son peligrosas y deben evitarse.A continuacin se resume el problema de transporte y los costos de embarque se dan en cada una de las celdas y los valores de demanda en los mrgenes. Nota que la demanda total excede al suministro total en 1,500 unidades.Cliente 1Cliente 2Cliente 3Suministro

Bodega 1104123000

Bodega 281034000

Bodega 3200015005000

La administracin tiene la siguientes preferencias en las metas (en orden decreciente de importancia): Satisfacer la demanda total del cliente 3 ( entrega garantizada) Satisfacer por lo menos el 75% de la demanda de cada cliente. Minimizar el costo de transporte para los artculos embarcados. Embarcar por lo menos 1000 unidades en la ruta de la Bodega 2 al Cliente 1 (convenio sindical) Minimizar el costo de embarque en las rutas de la bodega 1 al cliente 3 y de la bodega 2 al cliente 2 (peligros). Balancear el porcentaje de demanda satisfecha entre los clientes 1 y 2.Plantear el modelo de programacin meta. La compaa Bevco ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes. Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El anlisis ha mostrado que sera rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos nuevos productos. En realidad, el propsito principal de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilizacin completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas Bevco generalmente operan a capacidad plena en sus lneas de productos existentes, la produccin por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compaa no necesita la fuerza laboral plena durante los perodos de holgura, el costo de los despidos sera considerable, y Bevco deseara evitar esto tanto como fuera posible.Adems, la gerencia deseara balancear la utilizacin del exceso de capacidad entre las plantas sucursales. esto servira para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentira discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos.Para el perodo que se est considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de produccin en exceso ( en trminos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos:PlantaCapacidad de exceso de produccin (unidades)Capacidad de embarque (pies cbicos)

175012,000

230010,000

34506,500

Los productos 1, 2 y 3 requieren 30,20 y 15 pies cbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1,2 y 3 son $15 $18 y $12 respectivamente. Los pronsticos de ventas indican que Bevco puede esperar ventas tan altas como 900, 1,000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el perodo de planeacin en consideracin.Dada esta situacin, la administracin ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente. Lograr una utilidad perseguida de $15,000 Utilizar tanto, como sea posible, la capacidad de exceso. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administracin cree que es 1.5 veces ms importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilizacin de exceso de capacidad entre todas las plantas. debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administracin cree que si ocurre algn desbalance en la carga de trabajo, es dos veces ms importante favorecer a la planta 1 con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3. Lograr el pronstico de ventas para el producto 2, puesto que ste tiene la mayor contribucin a la utilidad por unidad. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. No exceder la capacidad de embarque disponible.Plantear el modelo de programacin meta. TEOA DE REDES MODELOS DE REDESUna red es una construccin matemtica formada principalmente por dos conjuntos: un conjunto de nodos (N) y un conjunto de arcos (A), estos dos conjuntos estn relacionados de tal forma que cada arco est siempre definido por un par de nodos. La figura 1 muestra un ejemplo sencillo de una red, la cual consta de cinco nodos (representados con crculos) y de siete arcos (representados con lneas).Figura 1 : RedLos modelos de redes son muy usados debido a su estructura, an cuando es muy simple, sirve para capturar las variables y relaciones importantes existentes en muchos sistemas reales. El caso ms importante es precisamente en los sistemas de carreteras o vialidades. Por ejemplo la red de la figura 1 puede fcilmente interpretarse con los arcos como tramos de carreteras y los nodos como ciudades o intersecciones de carreteras. Adicionalmente los modelos de redes sirven para representar una gran cantidad de sistemas para los cuales la interpretacin no es tan directa como la descrita anteriormente. De manera arbitraria diferentes modelos de redes pueden clasificarse como: redes fsicas, redes logsticas y redes de programacin. REDES FSICASEstos modelos representan redes tales como las redes de: carreteras, vialidades urbanas, telfonos, agua potable, etc. Para este tipo de redes existe una relacin directa entre los nodos del modelo y puntos o zonas en el espacio y entre los arcos del modelo y tramos de infraestructura fsica. Dentro de las redes fsicas, la modelacin de sistemas de carreteras o de vialidades urbanas cobra una gran importancia.Para analizar el movimiento de transporte en una zona urbana, la atencin se centra en las vialidades principales ( las vialidades secundarias generalmente se omiten). La zona urbana en s se divide en zonas, las cuales se representan mediante nodos, localizados en el "centroide" de la zona. Estos centroides se conectan a la vialidad principal mediante arcos artificiales. Otro tipo de nodos que se tienen son los que representan las intersecciones de vialidades principales. En cuanto a los arcos, adems de los arcos artificiales mencionados, se tienen a los arcos que representan segmentos de la vialidad principal. En la figura 2 se tiene un ejemplo en el cual los centroides y los arcos artificiales se representan con lneas punteadas y las intersecciones y vialidades principales se representan con lneas continuas. Los modelos de redes de carreteras son muy similares, excepto que los nodos y arcos artificiales son menos comunes. En estos modelos, los centroides de zonas o regiones se acostumbran poner en ciudades importantes. De esta manera, los nodos de estas redes son regularmente ciudades e intersecciones de carreteras, mientras que los arcos son tramos de carreteras.Figura 2 : Red de vialidades REDES LOGSTICASEstas redes se usan para representar las decisiones logsticas en una empresa (almacenamiento, produccin, distribucin, etc.). Generalmente los nodos estn relacionados con puntos en el espacio, como en el caso anterior, pero los arcos representan algo ms abstracto que un tramo fsico. Por ejemplo, en la figura 3 se tiene una red en la que los nodos representan plantas y almacenes. Los arcos que los unen pueden representar toda una serie de acciones logsticas para transportar producto de una planta a un almacn. Parte del transporte podra ser realizado mediante ferrocarril y parte mediante autotransporte y todo estara representado por un solo arco. Estas redes se generalizan fcilmente para incluir adems de plantas de produccin, diferentes niveles de almacenes (regionales, locales, etc) y de clientes (mayoristas, minoristas, etc).Figura 3: Red Logstica REDES DE PROGRAMACINEn estas redes los nodos representan "eventos", esto es puntos en el tiempo y los arcos representan la posibilidad de realizar alguna actividad. Por ejemplo en la figura 4 se tiene una red que representa al problema de planeacin de la produccin. En este ejemplo los nodos representan cada uno de los meses del ao (excepto el nodo 0) y los arcos representan la posible realizacin de actividades de produccin y de conservacin de inventario. Los arcos (0, i) indican la posibilidad de produccin durante el mes i; los arcos (i, i+1) la posibilidad de almacenar inventario del mes i al mes i+1. Los arcos que llegan al nodo 0 y al nodo 1 representan la posibilidad de produccin y de tener un inventario inicial respectivamente. Los arcos que salen de los nodos i representan la posibilidad de satisfacer la demanda del producto y de guardar producto en inventario para el siguiente perodo. Otro ejemplo son las redes de actividades para la planeacin de proyectos. En estas redes los arcos representan la realizacin de actividades y los nodos representan la terminacin o inicio de estas actividades. En este caso, la red sirve tambin para modelar las relaciones de precedencia entre distintas actividades del proyecto.PP1 P2 ........... P12I0 I1 I2 I11 I I12.......................D1 D2 D12Figura 4: Red de ProgramacinCombinaciones de uno o varios de estos tipos de redes dan lugar a "redes mixtas", por ejemplo, el problema de planeacin de la produccin puede estar referido a un conjunto de plantas y a un conjunto de almacenes, lo que dara lugar a una combinacin de red logstica y red de programacin. DEFINICIONES BSICAS DE REDES GRFICAS Y REDESUna grfica G, se define como un conjunto N de nodos y un conjunto A de arcos, tales que cada arco se define especificando un par de nodos. en forma matemtica se escribe como:G = (N, A)Si el par de nodos es un par ordenado, lo cual significa que es importante la direccin del arco, se habla de grficas dirigidas. En este caso, cada arco tiene nodo inicial y un nodo final. La red de la figura 2 es una grfica no-dirigida, lo cual podra ser consecuencia de considerar solamente vialidades con movimientos en ambas direcciones. Por el contrario, la red de la figura 3 tiene arcos dirigidos (representados con flechas), debido a que el movimiento de producto es siempre de plantas a almacenes y no en ambas direcciones.Una red tambin llamada grfica ponderada, es una grfica con "pesos" asociados a cada uno de los arcos. Un peso es una funcin que a cada arco le asocia un nmero real y puede tener diversas interpretaciones tales como las de distancia, tiempo o costo. En la red de la figura 2 cada arco podra tener un peso asociado significando la distancia en el tramo de vialidad que representa.Una red de flujo es una red en la que cada arco tiene asociada una variable, llamada comnmente flujo. El flujo puede interpretarse en el caso de una red de carreteras como la cantidad de vehculos o de bienes que circulan en cada arco de la red. En otros casos, el flujo significa la cantidad que se tiene de alguna actividad en los arcos de la red. Por ejemplo en la red de la figura 3. el flujo asociado con cada arco es la cantidad de producto que se distribuye entre una planta y un almacn determinado. En el caso de la figura 4, el flujo en algunos arcos indica la produccin a realizar en algn perodo determinado y en otros la cantidad de producto destinada a satisfacer la demanda o a guardarse como inventario. En redes de flujo, el peso asociado a cada arco toma la interpretacin de "impedancia" o resistencia al flujo, la cual aumenta con el flujo sobre el arco. En estas redes, pesos tales como la distancia de un arco son menos usados, pues no dependen del flujo. En la red de la figura 3, se podra tener un costo por cada unidad transportada entre una planta y un almacn y entonces el costo total sobre el arco sera funcin de su flujo. Es comn tener en redes de flujo otra funcin asociada con cada arco, que es su capacidad, que significa la mxima cantidad de flujo que puede ocurrir en un arco. RUTAS Y CICLOSUna ruta es una secuencia de nodos y arcos:n0a1n1a2n2........aknken donde el arco ai = (ni-1,ni), lo cual garantiza "continuidad" en la secuencia. Una ruta siempre se define para un par de nodos, siendo n0 el nodo inicial y nk el nodo final de sta. Si los arcos de la ruta son dirigidos, entonces se habla de una ruta dirigida. Por ejemplo, tomando la red de la figura 1, las siguientes secuencias definen tres diferentes rutas entre los nodos 1 y 5:1(1,3)3(3,5)51(1,3)3(3,4)4(4,5)51(1,2)2(2,4)4(4,5)5Una ruta es simple si no usa ningn arco ms de una vez. Una ruta es elemental si no usa ningn nodo ms de una vez. Si una ruta es elemental, necesariamente tiene que ser simple, pues una ruta que no es simple no puede ser elemental ya que usar un arco ms de una vez implica usar sus nodos tambin ms de una vez. Las tres rutas definidas anteriormente entre los nodos 1 y 5 de la figura 1 son elementales y por lo tanto simples.Un ciclo es una ruta simple en la cual coinciden el nodo inicial y el nodo final. Es una secuencia de nodos y arcos que regresan al nodo inicial sin repetir ningn arco. De esta manera, en la red de la figura 1, la secuencia:1(1,3)3(3,1)1no es un ciclo, pues el arco (1,3) es igual al arco (3,1). Podra ser un ciclo si la red fuera dirigida y por lo tanto los dos arcos mencionados fueran diferentes.Al igual que en las rutas, existen ciclos dirigidos y no dirigidos, ciclos elementales y ciclos simples. As un ciclo simple no repite ningn arco y un ciclo elemental no repite ningn nodo, excepto el nodo inicial que debe ser igual al nodo final. Un caso importante de ciclos es el ciclo Hamiltoniano, el cual es un ciclo elemental que visita todos los nodos de la red. Un caso particular de ciclos es el anillo, el cual consiste de un solo arco, el cual empieza y termina en el mismo nodo. En el ejemplo de la figura 1, las siguientes secuencias son todas ciclos:1(1,2)2(2,3)3(3,1)11(1,2)2(2,4)4(4,3)3(3,1)11(1,2)2(2,4)4(4,5)5(5,3)3(3,1)1En el caso de la red dirigida de la figura 3, la secuencia:1(1,4)4(4,2)2(2,3)3(3,1)1es un ciclo, sin embargo no es un ciclo dirigido puesto que los arcos (4,2) y (3,1) no tienen la direccin definida en la red. De hecho no existe ningn ciclo dirigido en toda esta red CONEXIN Y RBOLESUn par de nodos en una grfica estn conectados si existe una ruta entre ellos. Una grfica es conexa si cualquier par de sus nodos estn conectados entre s. Una grfica dirigida se dice que es conexa si la grfica resultante de no considerar la direccin de sus arcos es conexa. Un rbol es una grfica conectada que no contiene ciclos. Un rbol T es un rbol de expansin de una grfica G si contiene todos sus nodos. En la red de la figura 1, la grfica T con conjunto de nodos N = {1,2,3} y conjunto de arcos A = {(1,2), (1,3)} es un rbol, pero no es un rbol de expansin al no contener todos los nodos de la red original. Por otra parte, el rbol T con N = {1,2,3,4,5} y A = {(1,2),(1,3),(3,4),(4,5)} es un rbol de expansin, al cumplir con la definicin de rbol y contener a todos los nodos de la red. TIPOS DE GRFICASAlgunos tipos importantes de grficas son las grficas: simple, completa y bipartita. Una grfica simple es aquella que no tiene anillos ni arcos paralelos. Dos arcos son paralelos si se definen con los mismos nodos. En el caso de redes dirigidas, dos arcos son paralelos si tienen el mismo nodo inicial y el mismo nodo final. Una grfica completa es aquella grfica simple que tiene un arco uniendo a cualquier par de nodos. Una grfica bipartita es una grfica en la cual existe una particin del conjunto de nodos, de tal manera que cada arco tiene un extremo en uno de los conjuntos y otro extremo en el otro. Una particin significa que todos los nodos estn en cualquiera de sus subconjuntos y que ningn nodo pertenece a ms de uno de stos. En el caso de redes dirigidas se habla del conjunto de nodos origen y del conjunto de nodos destino y as cada arco empieza en un nodo origen y termina en un nodo destino. Un ejemplo de grfica bipartita es la mostrada en la figura 3, en donde se puede observar que el conjunto de nodos origen comprende a los nodos 1, 2 y el conjunto de nodos destino a los nodos 3, 4, 5. REPRESENTACIN DE REDESUna red se representa naturalmente en forma grfica, con lo que se pueden apreciar fcilmente las relaciones entre los diferentes elementos de la red. Sin embargo, esta representacin no es la ms adecuada para resolver problemas que involucran modelos de redes. Matemticamente, existen dos formas principales de representar a una red: la matriz de incidencia y la matriz de adyacencia. Un nodo y un arco son incidentes si el nodo es uno de los dos nodos que definen al mencionado arco. Dos nodos son adyacentes, si ambos definen a un mismo arco.Para definir estas matrices, se usar a n como el nmero de nodos de una grfica y a m como el nmero de sus arcos. La matriz de incidencia, U, es una matriz de orden n x m, en la que cada uno de sus elementos, Uij , toma un valor igual al nmero de veces que el nodo nj y el arco aj son incidentes. Este valor es usualmente igual a 0 1, excepto cuando se tiene un anillo, en cuyo caso un nodo y un arco inciden dos veces. La matriz de adyacencia V, es una matriz de orden m x m, en la que cada uno de sus elementos, Vij, toma un valor igual al nmero de arcos que los unen. Para grficas simples, estos valores son solamente igual a 0 1.Para la red de la figura 1, la matriz de incidencia es U:1 2 3 4 5 6 71 1 1 0 0 0 0 02 1 0 1 1 0 0 03 0 1 1 0 1 1 04 0 0 0 1 1 0 15 0 0 0 0 0 1 1Para la misma red, la matriz de adyacencia es V:1 2 3 4 51 0 1 1 0 12 1 0 1 1 03 1 1 0 1 14 0 1 1 0 15 0 0 1 1 0Para redes grandes, lo usual es que estas matrices tengan una gran cantidad de elementos igual a cero, por lo que casi no son usadas para almacenar los datos de una red en computadora. Una estructura de datos muy usada para este fin es una lista llamada "estrella". En esta estructura los arcos son numerados en forma sucesiva. Primero se numeran los arcos que empiezan con el nodo 1, luego los que empiezan con el nodo 2 y as sucesivamente. Para los arcos que empiezan en el mismo nodo, se pueden numerar en forma ascendente con respecto al nodo final. Una vez numerados los arcos, se guardan secuencialmente sus nodos inicial y final, junto con un apuntador, apun( i ) , que para cada nodo i indica el primer arco que empieza con ese nodo. Se puede tomar apun ( 1 ) = 1, y los arcos que salen del nodo i sern los arcos de apun ( i ) a apun ( i + 1 ) - 1 en la lista. En redes dirigidas se hace apun ( n + 1 ) = m + 1 y en redes no dirigidas apun ( k + 1) = m + 1, con k igual al nodo inicial del ltimo arco considerado.Para la red de la figura 1 se tendr:iapun ( i )

11

23

35

47

58

arconodo inicialnodo final

112

213

323

424

534

635

745

8--

PROBLEMAS EN MODELOS DE REDES DEFINICIN DE PROBLEMASLos problemas varan de acuerdo al tipo de redes son muy diferentes los problemas en redes que en redes de flujo. Cuando se tiene una red, esto es una grfica ponderada, los pesos usualmente significan distancia o tiempo, por lo que los problemas tpicos son los de cmo conectar entre s los nodos de la red o que arcos elegir para ir de u nodo a otro. Cuando se tiene una red de flujo el tipo de problemas es diferente, un problema muy comn es el de encontrar un flujo sobre la red que satisfaga ciertas restricciones al menor costo posible. Otro problema sobre estas redes es encontrar el flujo mximo que puede circular sobre una red determinada. PROBLEMA DEL RBOL DE EXPANSIN MNIMAComo se defini anteriormente, un rbol de expansin mnimo es una red conectada, sin ciclos y que comprende a todos los nodos de una red. Dentro de todos los posibles rboles de expansin que puede tener una red, el mnimo es aquel que tiene la menor suma de los pesos en los arcos del rbol. Si el peso que se tiene en la red es la distancia de cada uno de los arcos, este problema consiste en encontrar la forma ms econmica de conectar entre s a todos los nodos de una red. Este problema tiene una de las formas ms sencillas que existen para resolver problemas. En particular, algoritmos voraces obtienen al aplicarse en este problema la solucin ptima. Un algoritmo voraz, es un algoritmo que en cada iteracin trata de obtener el mejor valor posible con respecto a un objetivo sin preocuparse por las implicaciones que esto pueda tener en subsecuentes iteraciones. Para este problema un algoritmo voraz es como sigue: ordenar todos los arcos de menor a mayor peso. Construir un rbol escogiendo en cada iteracin el arco con el menor peso que no haya sido seleccionado y que no forme un ciclo con los arcos ya seleccionados. Terminar cuando todos los nodos estn ya conectados. PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTAEste problema consiste en escoger aquella ruta entre dos puntos determinados que tenga la menor suma de los pesos en cada uno de sus arcos. Usualmente los pesos se refieren a la distancia o al tiempo de viaje en cada uno de los arcos de la red. Si la red es una red de carreteras o de vialidades urbanas, este problema consiste en escogerlos arcos de la red ms favorables para viajar entre un par de puntos de sta. Este problema tiene mtodos eficientes de solucin, algunos de los cuales se vern ms adelante. PROBLEMA DEL AGENTE VIAJEROEste problema consiste en escoger un ciclo que visite a todos los nodos de una red y que tenga la menor suma de los pesos en cada uno de los arcos del ciclo. Al igual que en el problema de la ruta ms corta, los pesos se refieren usualmente a distancias o tiempos de viaje. Este problema tiene aplicacin para el diseo de las rutas que deber recorrer un vehculo al visitar un conjunto de clientes y retornar posteriormente a su base. A diferencia del problema anterior, este problema no cuenta con un mtodo eficiente para resolverlo, por lo que los problemas que se modelan de este tipo, son pequeos o se resuelven solamente de manera aproximada. PROBLEMA DE FLUJO A COSTO MNIMODada una red de flujo, este problema consiste en encontrar el flujo que al menor costo posible cumpla con un conjunto de restricciones. Estas restricciones son principalmente de tres tipos: restricciones de balance de flujo, restricciones de capacidad y restricciones de no-negatividad. Las restricciones de balance de flujo consisten en que para cada nodo, el flujo que entra al nodo debe ser igual al flujo que sale de l. Las restricciones de capacidad dicen que para cada arco de la red, el flujo no debe exceder cierta cantidad. Las restricciones de no-negatividad simplemente evitan que el flujo en cada arco sea una cantidad negativa. Existen mtodos eficientes para resolver este tipo de problemas.Ejemplos de estos problemas se tienen en las redes de las figuras 3 y 4. En la red de la figura 4, las restricciones de balance de flujo indican que en cada mes la cantidad producida ms el inventario del mes anterior deben ser igual a la demanda del producto en ese mes ms la cantidad enviada a inventario para el siguiente. Las restricciones de capacidad indican que hay lmites en la cantidad a producir en cada mes o en la cantidad que puede guardarse como inventario en cualquier tiempo. Las restricciones de no-negatividad se tienen, dado que no tiene sentido hablar de flujos negativos, pues stos significaran alguna cantidad negativa a producir o guardar como inventario. El costo del flujo estara dado a partir de costos unitarios de produccin y de conservacin de inventario. PROBLEMA DE FLUJO MXIMOEste problema tambin est definido en redes de flujo, a diferencia del problema anterior, no se toman en cuenta los costos del flujo en cada uno de los arcos de la red. En este problema se quiere, dado que se tiene especificada la capacidad de cada arco, encontrar el flujo mximo que podra circular entre un nodo origen y un nodo destino. Este flujo mximo debera adicionalmente cumplir con restricciones de balance de flujo y de no-negatividad. Para este problema tambin se cuenta con algoritmos eficientes para resolverlos. PLANTEAMIENTO DE MODELOS DE REDES PROBLEMAS DE TRANSBORDO.Si un problema de redes se refiere a la minimizacin de los costos de flujo de algn producto entre nodos, en donde cada nodo puede ser un punto de abastecimiento, un punto de demanda, o ambos, entonces se considera que el problema de redes es un problema de transbordo. El problema de transbordo es el ms general de los problemas de redes, dado que cada nodo puede tener al mismo tiempo oferta y demanda y no existen restricciones sobre los flujos o sobre los tipos de nodos.Ejemplo: La Ahab Oil Company tiene un solo campo petrolero desde donde enva todo el petrleo, a travs de un oleoducto, a uno de dos centros de embarque, en donde se almacena en buques tanque para su envo a refineras de Estados Unidos. La oferta diaria en el campo es de, 2,000 barriles. Deben considerarse los costos del oleoducto, los costos de embarque y las cantidades de petrleo que pueden enviarse a travs de los oleoductos. Los costos del oleoducto y las capacidades diarias de ste, se muestran en la tabla 2.1. En la tabla 2.2 se presentan los costos de embarque de cada estacin de embarque a cada refinera y las demandas diarias de las refineras. Plantear el problema en forma de Red y de Programacin Lineal.Instalacin de envoCosto por barrilCapacidad del oleoducto (en barriles)

1$0.201000

2$0.15500

Tabla 2.1 Costos y capacidades de los ductosRefinera Costo de transporte por barrilNmeroUbicacinDesde centro 1Desde centro 2Demanda diaria

1Nueva Jersey$0.10$0.15600

2Houston$0.20$0.25800

Tabla 2.2 Costo de transporte y demandas PROBLEMA TRANSPORTE.Es un caso especial del problema de transbordo, en el que todos los nodos son o fuentes (nodos de oferta) o destinos (nodos de demanda). En un problema de transporte no existen nodos de transbordo.Ejemplo. La Boors Brewery Company elabora una cerveza que se distribuye a nivel nacional a partir de dos fabricas de cerveza, Una en cada una de las costas de E.U.. La cerveza se enva a cuatro mayoristas que se encargan de la distribucin subsecuente, por lo que la Boors se ocupa slo de la distribucin a los mayoristas. Los costos de distribucin, por conjunto de 100 cajas que se envan a cada mayorista, se presentan en la tabla 2.3 , junto con la oferta mensual en cada fabrica y la demanda mensual de cada mayorista. Plantear el problema en forma de Red y de Programacin Lineal.Fbrica de cervezaAlbanyN.Y.Ames,IowaLuckenbach,TxNeedles,Calif.Oferta (en cientos de cajas)

Silver, WaApple Chill, N.C.$21$10$15$14$18$16$9$23550650

Demanda (cientos de cajas)200250400350

Tabla 2.3 Costos de distribucin PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTATrata el problema de encontrar el camino ms corto (el camino de longitud mnima) desde el nodo 1 hacia cualquier otro nodo en la red.EJEMPLO. Acabo de comprar (en el tiempo 0) un automvil nuevo en 12,000 dlares. El costo del mantenimiento anual de un automvil depende de la edad del automvil al inicio del ao, como se da en la tabla 2.4. Para evitar los altos costos de mantenimiento de un automvil ms viejo, puedo dar como adelanto mi automvil y comprarme un automvil nuevo. El precio que recibo al dar como adelanto automvil depende de su edad al momento de la transaccin (tabla 2.5). Para simplificar los clculos, suponemos que en cualquier momento, me cuesta 12,000 dlares comprar un automvil nuevo. Mi meta es minimizar el costo neto (costos de compra + costos de mantenimiento - dinero recibido por el automvil viejo) incurrido durante los prximos cinco aos. Formula la red del modeloEdad del automvil (Aos)Costo anual de mantenimiento (Dlares)

02000

14000

25000

39000

412000

Tabla 2.4 Costos de mantenimiento del automvilEdad del automvil (aos)Costo al dar precio (dlares)

17000

26000

32000

41000

50

Tabla 2.5 Precios del automvil al darlo como adelanto PROBLEMA DEL RBOL DE EXPANSIN MNIMALa tarea consiste en construir un rbol que conecte todos los nodos de la red con un costo total mnimo, por el momento, nos conformaremos con plantear la red del siguiente problema (ms adelante construiremos el rbol de expansin mnima).EJEMPLO. Se va a instalar una red de comunicacin entre doce ciudades. Los costos de los posibles enlaces directos entre pares permisibles de ciudades aparece en la tabla 2.6. Cada unidad de costo representa 10,000 dlares.A la ciudad