Programacion Lineal y OptimizacionTercer Examen Parcial Respuesta: :Solucion

Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011

Matrcula: Nombre:

1 (30 puntos) La compana Xeroch vende copiadoras. Uno de los factores de venta mas importante es que la compana ofrezca

un servicio tecnico rapido. La compana vende copiadoras en seis ciudades C1 a C6. La siguiente tabla proyecta las ventas

anuales por ciudad con y sin representate tecnico a una distancia menor que 150 millas.

Ventas

Representante? C1 C2 C3 C4 C5 C6s 700 1000 900 800 400 450

no 500 750 700 450 200 300

Producir cada copiadora tiene un costo de 500 dolares y se vende en 1,000 dolares. El costo anual por un representante de

servicio es de 80,000 dolares. La compana debe decidir en cuales de las ciudades debe contratar un representante tecnico; y

ofrecer en el proceso de venta en cada ciudad el hecho de que se tiene o no un representante tecnico. Las distancias entre las

ciudades estan dadas por la siguiente tabla.

Hacia

De C1 C2 C3 C4 C5 C6C1 0 80 114 127 127 254

C2 80 0 80 171 57 241

C3 114 80 0 127 57 161

C4 127 171 127 0 180 171

C5 127 57 57 180 0 205

C6 254 241 161 171 205 0

Determine un plan de mnimo costo que le permita a la compana maximizar sus ganancias anuales.

Solucion

Modelo

Variables de decision

Como las decisiones que debe tomar la compana son en que ciudades debe contratar un representante tecnico, entonces

definimos las variables de decision acorde con ello:

xi =

{1 si se contrata un represntante para la ciudad i

0 otro caso

En lo siguiente diremos que la ciudad i esta cubierta si existe un representante tecnico a una distancia menor o igual que

150 millas. Con este concepto definiremos unas variables de decision auxiliares

yi =

{1 si la ciudad i esta cubierta

0 si no

ni = el numero de copiadoras vendidas en la ciudad i

Objetivo

Como el objetivo de la empresa es maximizar las ganancias, entonces el objetivo es maximizar g donde

g = ventas costos=

i ventasciudadi

(costosproduccion + costosrepresentacion

)=

6i=1 1, 000ni

(6i=1 500ni +

6i=1 80, 000xi

)=

6i=1 (500ni 80, 000xi)

Restricciones

TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 2

Numero de copiadoras vendidas por ciudad.

Sea Ai el numero de copiadoras a ser vendido cuando la ciudad i no esta cubierta y Bi el correspondiente cuando la ciudad

s lo esta. Estos son datos tomados de la primera tabla. Por tanto,

ni = Ai(1 yi) +Bi yi para i = 1, 2, . . . , 6

Cobertura por ciudad.

De los datos de la tabla de distancia observamos que:

C1 se cubre con un representante tecnico en C1, o en C2, o en C3, o en C5.As: Si x1 + x2 + x3 + x5 1, entonces y1 = 1. Y por el contrario, si x1 + x2 + x3 + x5 0, entonces y1 = 0

Similarmente: Si x1 +x2 +x3 +x5 1, entonces y2 = 1. Y por el contrario, si x1 +x2 +x3 +x5 0, entonces y2 = 0. Similarmente: Si x1 + x2 + x3 + x4 + x5 1, entonces y3 = 1. Y por el contrario, si x1 + x2 + x3 + x4 + x5 0,

entonces y3 = 0.

Similarmente: Si x1 + x3 + x4 1, entonces y4 = 1. Y por el contrario, si x1 + x3 + x4 0, entonces y4 = 0. Similarmente: Si x1 +x2 +x3 +x5 1, entonces y5 = 1. Y por el contrario, si x1 +x2 +x3 +x5 0, entonces y5 = 0. Similarmente: Si x6 1, entonces y6 = 1. Y por el contrario, si x6 0, entonces y6 = 0.

Naturales

xi y yi son binarias para i = 1, 2, . . . , 6

6 (20 puntos)Una empresa dispone de 50 unidades de capital mensualmente para la adquisicion de materia prima y para la

remuneracion de la mano de obra. Si x es el numero de unidades de capital empleadas para pagar la mano de obra y y es el

numero de unidades de capital empleadas para pagar la materia prima la funcion de produccion mensual es :

P (x, y) = 16 y + 5x y

Determine la cantidad de unidades de capital destinadas al pago de mano de obra que proporciona una produccion maxima.

Solucion

Modelo

Variables de decision

x el total de unidades de capital destinadas a mano de obra mensulales

y el total de unidades de capital destinadas a materia prima mensuales

Objetivo

Maximizar la produccion mensual

P (x, y) = 16 y + 5x yRestricciones

Utilizar no mas del capital mensual x+ y 50Naturales: x, y 0.

Codificacion

En LINGO:max=-16*y+5*x*y;

x+y = 50;

Solucion

Objective value: 2737.80

Variable Value

Y 23.40

X 26.6

Interpretacion

El plan financiero de mayo produccion consiste en disponer de 26.6 unidades de capital para el pago de mano de obra y de

23.4 unidades de capital para el pago de materia prima.

TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 3

2 (30 puntos)Una compana considera la apertura de almacenes en 6 ciudades: C1 a C6. Desde los almacenes enviara un producto

especfico hacia las tres regiones en las cuales ha dividido el pas. Cada almacen puede enviar hasta 100 unidades del producto.

El costo semanal para mantener el almacen en la ciudad 1 es de 4,000 dolares, en la ciudad 2 es de 5,000 dolares, en la ciudad

3 es de 3,000 dolares, en la ciudad 4 es de 2,000 dolares, en la ciudad 5 es de 3,500 dolares, y en la ciudad 6 es de 4,000 dolares.

Semanalmente, la region 1 del pas requiere 100 unidades del producto, la region 2 del pas requiere 120 unidades del producto

y la region 3 del pas requiere 140 unidades del producto.

En la siguiente tabla se muestran los costos de envios unitarios desde cada ciudad a cada una de las regiones del pas.

Hacia

De Region 1 Region 2 Region 3

C1 20 40 50

C2 48 15 26

C3 26 35 18

C4 24 50 35

C5 35 43 15

C6 25 29 30

Se desea satisfacer las demandas semanales a un costo mnimo y la campana requiere de un plan de apertura de los almancenes

as como de determinar las cantidades de productos de esos almacenes a las regiones del pas.

Adicionalmente, la compana impone las siguientes restricciones.

Si se abre un almancen en la ciudad C1 debe abrir otro en C2.

Debe abrir por lo menos un almacen en las ciudades C2, C4 y C6.

Solucion

Modelo

variables de decision

Notemos que la compana debe tomar dos decisiones que estan relacionadas: en que ciudad debe abrir un almacen y como debe

enviar los productos desde sus almacenes a las regiones del pas. Esto nos define las variables de decision:

xi =

{1 si abre almacen en la ciudad i

0 otro caso

yi,j = el numero de productos enviados desde la ciudad i a la region j

Objetivo

El objetivo de la compana es minimizar los costos. Los costos son de dos tipos: Por apertura de sus almacenes y por envio de

los productos. Si C es el costo total, la compana pretende minimizar C donde

C = costototal = costoapertura + costoenvio=

6i=1 ai xi +

6i=1

3j=1 ci,j yi,j

donde ai es el costo por apertura del almacen en la ciudad i dado en el texto, y ci,j es el costo de enviar un artculo desde el

almancen de la ciudad i a la region de pas j dado por la tabla.

Restricciones

Satisfacer las demandas por region del pas

Productos enviados a la region 1 del pas:y1,1 + y2,1 + y3,1 + y4,1 + y5,1 + y6,1 100

Productos enviados a la region 2 del pas:y1,2 + y2,2 + y3,2 + y4,2 + y5,2 + y6,2 120

Productos enviados a la region 3 del pas:y1,3 + y2,3 + y3,3 + y4,3 + y5,3 + y6,3 140

No exceder las capacidades instaladas

TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 4

Para cada almancen i (i = 1, 2, . . . , 6): yi,1 + yi,2 + yi,3 100xiSi se abre un almacen en C1, entonces debe abrirse otro en C2: x2 x1Debe abrirse al menos un almance en C2, C4 y C6: x2 + x4 + x6 1.Naturales

xi son binarias para i = 1, . . . , 6 y yi,j son enteras no negativas para i = 1, . . . , 6 y j = 1, 2, 3.

5 (20 puntos)Para determinar los maximos y mnimos de una funcion f(x1, x2, x3) sujeta a las restricciones xi 0 y 2x1 +x2 + x3 30, se aplicaron las condiciones KKT a la funcion

F = +f +

4i=1

i (gi + s2i )

y se determinaron los siguientes puntos crticos:

x1 x2 x3 1 2 3 4 f(x1, x2, x3)

0 -1 -1 2 1 3 7 -3

0 0 0 0 0 1 7 0

0 0 30 -7 -14 -6 0 210

7 0 16 -7 0 -6 0 161

15 0 0 -15 0 -14 -8 225

0 30 0 -1 -2 0 6 30

1 28 0 -1 0 0 6 29

15 1 4 -15 0 -14 -8 230

Determine en cual punto alcanza el maximo y cual el mnimo. Indique su razonamiento y sus calculos.

Solucion

Incluimos en las tablas la sustitucion de los puntos en cada una de las restricciones:

x1 x2 x3 1 2 3 4 g1 g2 g3 g4 f(x1, x2, x3)

0 -1 -1 2 1 3 7 0 1 1 -32 -3

0 0 0 0 0 1 7 0 0 0 -30 0

0 0 30 -7 -14 -6 0 0 0 -30 0 210

7 0 16 -7 0 -6 0 -7 0 -16 0 161

15 0 0 -15 0 -14 -8 -15 0 0 0 225

0 30 0 -1 -2 0 6 0 -30 0 0 30

1 28 0 -1 0 0 6 -1 -28 0 0 29

15 1 4 -15 0 -14 -8 -15 -1 -4 5 230

De esta tabla eliminamos los renglones que no cumplen las restricciones gi 0 y tambien eliminamos aquellos donde aparecenmultiplicadores positivos y negativos:

x1 x2 x3 1 2 3 4 g1 g2 g3 g4 f(x1, x2, x3)

0 0 0 0 0 1 7 0 0 0 -30 0

0 0 30 -7 -14 -6 0 0 0 -30 0 210

7 0 16 -7 0 -6 0 -7 0 -16 0 161

15 0 0 -15 0 -14 -8 -15 0 0 0 225

Para hacer el analisis de los puntos usamos como referencia los valores de f y los signos de los multiplicadores de Lagrange:

El punto P (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0) corresponde a un mnimo.

El punto Q(x1 = 15, x2 = 0, x3 = 0) corresponde a un maximo.

TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 5

3 (20 puntos)Para determinar los maximos y mnimos de una funcion f(x1, x2, x3) sujeta a la restriccion

x1 + 3x2 + x1 x2 + 2x3 + x1 x3 + x2 x3 = 4

se aplico la tecnica de los multiplicadores y se obtuvo

HF =

0 1 + x3 + x2 + 1 + x2 + x3

1 + x3 + 0 2 + x1 + 3 + x1 + x3x2 + 2 + x1 + 0 2 + x1 + x2

1 + x2 + x3 3 + x1 + x3 2 + x1 + x2 0

Tambien se determinaron los siguientes puntos crticos:

x1 x2 x3

2 +2 2 2 1 12

2

22 2 2 1 12

2

Determine en cual punto alcanza el maximo y cual el mnimo. Indique su razonamiento y sus calculos.

Solucion

En nuestro problema el numero de variables es n = 3 impar y el numero de restricciones es m = 1 tambien es impar.. Por

consiguiente, para hacer el analisis de cada punto crtico se debe calcular hasta el determinante de la hessiana orlada nm = 2:

Pi x1 x2 x3 1 21 2 +2 2 2 1 12

2 -12 +8

2

2 22 2 2 1 12

2 -12 82

De los criterios de optimizacion concluimos que el punto P1 corresponde a un punto maximo (pues n es impar y los determinantes

i se alternan en signo iniciando en negativo), mientras que el punto P2 corresponde a un punto crtico mnimo (pues m es

impar y los determinantes i son todos negativos).

4 (20 puntos) Un fabricante vende dos productos a granel. El producto A que se vende en 3 unidades monetarias el kilogramo

y el producto B que se vende en 2. El costo total por fabricar x kilogramos de A y y kilogramos de B esta dado por la funcion:

C = 2x2 + 3 y2

Suponga que sea desea minimizar sus costos totales, con la condicion de que los ingresos obtenidos de venta sean de al menos

30 unidades monetarias. Indique en orden la cantidad de kilogramos del producto A y del producto B que debe producir para

lograr su meta.

Solucion

Modelo

Variables de decision

x el total de kilogramos del producto A a fabricar.

y el total de kilogramos del producto B a fabricar.

Objetivo

Minimizar los costos productivos del plan:

C = 2x2 + 3 y2

Restricciones

Ingresos de venta por los menos de 30 unidades monetarias: 3x+ 2 y 30Naturales: x, y 0.

Codificacion

En LINGO:min=2*x*x+3*y*y;

3*x+2*y >= 30;

TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 6

Solucion

Objective value: 154.2857

Variable Value

X 7.714286

Y 3.428571

Interpretacion

El plan productivo de mnimo costo correspondera a producir 7.714 kilogramos de A y 3.428 kilogramos de B.