programacion lineal entera solucion
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EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ENTEREATRANSCRIPT
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Programacion Lineal y OptimizacionTercer Examen Parcial Respuesta: :Solucion
Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Matrcula: Nombre:
1 (30 puntos) La compana Xeroch vende copiadoras. Uno de los factores de venta mas importante es que la compana ofrezca
un servicio tecnico rapido. La compana vende copiadoras en seis ciudades C1 a C6. La siguiente tabla proyecta las ventas
anuales por ciudad con y sin representate tecnico a una distancia menor que 150 millas.
Ventas
Representante? C1 C2 C3 C4 C5 C6s 700 1000 900 800 400 450
no 500 750 700 450 200 300
Producir cada copiadora tiene un costo de 500 dolares y se vende en 1,000 dolares. El costo anual por un representante de
servicio es de 80,000 dolares. La compana debe decidir en cuales de las ciudades debe contratar un representante tecnico; y
ofrecer en el proceso de venta en cada ciudad el hecho de que se tiene o no un representante tecnico. Las distancias entre las
ciudades estan dadas por la siguiente tabla.
Hacia
De C1 C2 C3 C4 C5 C6C1 0 80 114 127 127 254
C2 80 0 80 171 57 241
C3 114 80 0 127 57 161
C4 127 171 127 0 180 171
C5 127 57 57 180 0 205
C6 254 241 161 171 205 0
Determine un plan de mnimo costo que le permita a la compana maximizar sus ganancias anuales.
Solucion
Modelo
Variables de decision
Como las decisiones que debe tomar la compana son en que ciudades debe contratar un representante tecnico, entonces
definimos las variables de decision acorde con ello:
xi =
{1 si se contrata un represntante para la ciudad i
0 otro caso
En lo siguiente diremos que la ciudad i esta cubierta si existe un representante tecnico a una distancia menor o igual que
150 millas. Con este concepto definiremos unas variables de decision auxiliares
yi =
{1 si la ciudad i esta cubierta
0 si no
ni = el numero de copiadoras vendidas en la ciudad i
Objetivo
Como el objetivo de la empresa es maximizar las ganancias, entonces el objetivo es maximizar g donde
g = ventas costos=
i ventasciudadi
(costosproduccion + costosrepresentacion
)=
6i=1 1, 000ni
(6i=1 500ni +
6i=1 80, 000xi
)=
6i=1 (500ni 80, 000xi)
Restricciones
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TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 2
Numero de copiadoras vendidas por ciudad.
Sea Ai el numero de copiadoras a ser vendido cuando la ciudad i no esta cubierta y Bi el correspondiente cuando la ciudad
s lo esta. Estos son datos tomados de la primera tabla. Por tanto,
ni = Ai(1 yi) +Bi yi para i = 1, 2, . . . , 6
Cobertura por ciudad.
De los datos de la tabla de distancia observamos que:
C1 se cubre con un representante tecnico en C1, o en C2, o en C3, o en C5.As: Si x1 + x2 + x3 + x5 1, entonces y1 = 1. Y por el contrario, si x1 + x2 + x3 + x5 0, entonces y1 = 0
Similarmente: Si x1 +x2 +x3 +x5 1, entonces y2 = 1. Y por el contrario, si x1 +x2 +x3 +x5 0, entonces y2 = 0. Similarmente: Si x1 + x2 + x3 + x4 + x5 1, entonces y3 = 1. Y por el contrario, si x1 + x2 + x3 + x4 + x5 0,
entonces y3 = 0.
Similarmente: Si x1 + x3 + x4 1, entonces y4 = 1. Y por el contrario, si x1 + x3 + x4 0, entonces y4 = 0. Similarmente: Si x1 +x2 +x3 +x5 1, entonces y5 = 1. Y por el contrario, si x1 +x2 +x3 +x5 0, entonces y5 = 0. Similarmente: Si x6 1, entonces y6 = 1. Y por el contrario, si x6 0, entonces y6 = 0.
Naturales
xi y yi son binarias para i = 1, 2, . . . , 6
6 (20 puntos)Una empresa dispone de 50 unidades de capital mensualmente para la adquisicion de materia prima y para la
remuneracion de la mano de obra. Si x es el numero de unidades de capital empleadas para pagar la mano de obra y y es el
numero de unidades de capital empleadas para pagar la materia prima la funcion de produccion mensual es :
P (x, y) = 16 y + 5x y
Determine la cantidad de unidades de capital destinadas al pago de mano de obra que proporciona una produccion maxima.
Solucion
Modelo
Variables de decision
x el total de unidades de capital destinadas a mano de obra mensulales
y el total de unidades de capital destinadas a materia prima mensuales
Objetivo
Maximizar la produccion mensual
P (x, y) = 16 y + 5x yRestricciones
Utilizar no mas del capital mensual x+ y 50Naturales: x, y 0.
Codificacion
En LINGO:max=-16*y+5*x*y;
x+y = 50;
Solucion
Objective value: 2737.80
Variable Value
Y 23.40
X 26.6
Interpretacion
El plan financiero de mayo produccion consiste en disponer de 26.6 unidades de capital para el pago de mano de obra y de
23.4 unidades de capital para el pago de materia prima.
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TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 3
2 (30 puntos)Una compana considera la apertura de almacenes en 6 ciudades: C1 a C6. Desde los almacenes enviara un producto
especfico hacia las tres regiones en las cuales ha dividido el pas. Cada almacen puede enviar hasta 100 unidades del producto.
El costo semanal para mantener el almacen en la ciudad 1 es de 4,000 dolares, en la ciudad 2 es de 5,000 dolares, en la ciudad
3 es de 3,000 dolares, en la ciudad 4 es de 2,000 dolares, en la ciudad 5 es de 3,500 dolares, y en la ciudad 6 es de 4,000 dolares.
Semanalmente, la region 1 del pas requiere 100 unidades del producto, la region 2 del pas requiere 120 unidades del producto
y la region 3 del pas requiere 140 unidades del producto.
En la siguiente tabla se muestran los costos de envios unitarios desde cada ciudad a cada una de las regiones del pas.
Hacia
De Region 1 Region 2 Region 3
C1 20 40 50
C2 48 15 26
C3 26 35 18
C4 24 50 35
C5 35 43 15
C6 25 29 30
Se desea satisfacer las demandas semanales a un costo mnimo y la campana requiere de un plan de apertura de los almancenes
as como de determinar las cantidades de productos de esos almacenes a las regiones del pas.
Adicionalmente, la compana impone las siguientes restricciones.
Si se abre un almancen en la ciudad C1 debe abrir otro en C2.
Debe abrir por lo menos un almacen en las ciudades C2, C4 y C6.
Solucion
Modelo
variables de decision
Notemos que la compana debe tomar dos decisiones que estan relacionadas: en que ciudad debe abrir un almacen y como debe
enviar los productos desde sus almacenes a las regiones del pas. Esto nos define las variables de decision:
xi =
{1 si abre almacen en la ciudad i
0 otro caso
yi,j = el numero de productos enviados desde la ciudad i a la region j
Objetivo
El objetivo de la compana es minimizar los costos. Los costos son de dos tipos: Por apertura de sus almacenes y por envio de
los productos. Si C es el costo total, la compana pretende minimizar C donde
C = costototal = costoapertura + costoenvio=
6i=1 ai xi +
6i=1
3j=1 ci,j yi,j
donde ai es el costo por apertura del almacen en la ciudad i dado en el texto, y ci,j es el costo de enviar un artculo desde el
almancen de la ciudad i a la region de pas j dado por la tabla.
Restricciones
Satisfacer las demandas por region del pas
Productos enviados a la region 1 del pas:y1,1 + y2,1 + y3,1 + y4,1 + y5,1 + y6,1 100
Productos enviados a la region 2 del pas:y1,2 + y2,2 + y3,2 + y4,2 + y5,2 + y6,2 120
Productos enviados a la region 3 del pas:y1,3 + y2,3 + y3,3 + y4,3 + y5,3 + y6,3 140
No exceder las capacidades instaladas
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TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 4
Para cada almancen i (i = 1, 2, . . . , 6): yi,1 + yi,2 + yi,3 100xiSi se abre un almacen en C1, entonces debe abrirse otro en C2: x2 x1Debe abrirse al menos un almance en C2, C4 y C6: x2 + x4 + x6 1.Naturales
xi son binarias para i = 1, . . . , 6 y yi,j son enteras no negativas para i = 1, . . . , 6 y j = 1, 2, 3.
5 (20 puntos)Para determinar los maximos y mnimos de una funcion f(x1, x2, x3) sujeta a las restricciones xi 0 y 2x1 +x2 + x3 30, se aplicaron las condiciones KKT a la funcion
F = +f +
4i=1
i (gi + s2i )
y se determinaron los siguientes puntos crticos:
x1 x2 x3 1 2 3 4 f(x1, x2, x3)
0 -1 -1 2 1 3 7 -3
0 0 0 0 0 1 7 0
0 0 30 -7 -14 -6 0 210
7 0 16 -7 0 -6 0 161
15 0 0 -15 0 -14 -8 225
0 30 0 -1 -2 0 6 30
1 28 0 -1 0 0 6 29
15 1 4 -15 0 -14 -8 230
Determine en cual punto alcanza el maximo y cual el mnimo. Indique su razonamiento y sus calculos.
Solucion
Incluimos en las tablas la sustitucion de los puntos en cada una de las restricciones:
x1 x2 x3 1 2 3 4 g1 g2 g3 g4 f(x1, x2, x3)
0 -1 -1 2 1 3 7 0 1 1 -32 -3
0 0 0 0 0 1 7 0 0 0 -30 0
0 0 30 -7 -14 -6 0 0 0 -30 0 210
7 0 16 -7 0 -6 0 -7 0 -16 0 161
15 0 0 -15 0 -14 -8 -15 0 0 0 225
0 30 0 -1 -2 0 6 0 -30 0 0 30
1 28 0 -1 0 0 6 -1 -28 0 0 29
15 1 4 -15 0 -14 -8 -15 -1 -4 5 230
De esta tabla eliminamos los renglones que no cumplen las restricciones gi 0 y tambien eliminamos aquellos donde aparecenmultiplicadores positivos y negativos:
x1 x2 x3 1 2 3 4 g1 g2 g3 g4 f(x1, x2, x3)
0 0 0 0 0 1 7 0 0 0 -30 0
0 0 30 -7 -14 -6 0 0 0 -30 0 210
7 0 16 -7 0 -6 0 -7 0 -16 0 161
15 0 0 -15 0 -14 -8 -15 0 0 0 225
Para hacer el analisis de los puntos usamos como referencia los valores de f y los signos de los multiplicadores de Lagrange:
El punto P (x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0) corresponde a un mnimo.
El punto Q(x1 = 15, x2 = 0, x3 = 0) corresponde a un maximo.
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TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 5
3 (20 puntos)Para determinar los maximos y mnimos de una funcion f(x1, x2, x3) sujeta a la restriccion
x1 + 3x2 + x1 x2 + 2x3 + x1 x3 + x2 x3 = 4
se aplico la tecnica de los multiplicadores y se obtuvo
HF =
0 1 + x3 + x2 + 1 + x2 + x3
1 + x3 + 0 2 + x1 + 3 + x1 + x3x2 + 2 + x1 + 0 2 + x1 + x2
1 + x2 + x3 3 + x1 + x3 2 + x1 + x2 0
Tambien se determinaron los siguientes puntos crticos:
x1 x2 x3
2 +2 2 2 1 12
2
22 2 2 1 12
2
Determine en cual punto alcanza el maximo y cual el mnimo. Indique su razonamiento y sus calculos.
Solucion
En nuestro problema el numero de variables es n = 3 impar y el numero de restricciones es m = 1 tambien es impar.. Por
consiguiente, para hacer el analisis de cada punto crtico se debe calcular hasta el determinante de la hessiana orlada nm = 2:
Pi x1 x2 x3 1 21 2 +2 2 2 1 12
2 -12 +8
2
2 22 2 2 1 12
2 -12 82
De los criterios de optimizacion concluimos que el punto P1 corresponde a un punto maximo (pues n es impar y los determinantes
i se alternan en signo iniciando en negativo), mientras que el punto P2 corresponde a un punto crtico mnimo (pues m es
impar y los determinantes i son todos negativos).
4 (20 puntos) Un fabricante vende dos productos a granel. El producto A que se vende en 3 unidades monetarias el kilogramo
y el producto B que se vende en 2. El costo total por fabricar x kilogramos de A y y kilogramos de B esta dado por la funcion:
C = 2x2 + 3 y2
Suponga que sea desea minimizar sus costos totales, con la condicion de que los ingresos obtenidos de venta sean de al menos
30 unidades monetarias. Indique en orden la cantidad de kilogramos del producto A y del producto B que debe producir para
lograr su meta.
Solucion
Modelo
Variables de decision
x el total de kilogramos del producto A a fabricar.
y el total de kilogramos del producto B a fabricar.
Objetivo
Minimizar los costos productivos del plan:
C = 2x2 + 3 y2
Restricciones
Ingresos de venta por los menos de 30 unidades monetarias: 3x+ 2 y 30Naturales: x, y 0.
Codificacion
En LINGO:min=2*x*x+3*y*y;
3*x+2*y >= 30;
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TC3001, tercer examen parcial semestre enero-mayo 2011 6
Solucion
Objective value: 154.2857
Variable Value
X 7.714286
Y 3.428571
Interpretacion
El plan productivo de mnimo costo correspondera a producir 7.714 kilogramos de A y 3.428 kilogramos de B.