PROBLEMA 1

Si devono produrre due tipi di cioccolatini: uno fondente e l'altro al latte.

Per produrre un hg di cioccolatini di tipo fondente occorrono 80 g di cacao e 20 g di

zucchero; per produrre un hg di cioccolatini al latte occorrono 50 g di cacao, 30 g di

zucchero e 20 g di latte in polvere. Per un ciclo di lavorazione si hanno a disposizione 20

Kg di cacao, 12 Kg di zucchero e 4 Kg di latte in polvere.

I cioccolatini di tipo fondente saranno venduti a € 3 all'ettogrammo e i cioccolatini di tipo

al latte a € 2,6 all'ettogrammo.

Determinare la combinazione produttiva che consente il massimo ricavo.

MATRICE DEI DATI

1 hg di cioc. fond. 1hg di cioc. latte scorte

cacao 80 g = 0,8 hg 50 g = 0,5 hg 20 kg = 200 hg

zucchero 20 g = 0,2 hg 30 g = 0,3 hg 12 kg = 120 hg

latte in polvere 20 g = 0,2 hg 4 kg = 40 hg

ricavi € 3 € 2,6

VARIABILI:

x = n° degli hg di cioccolatini di tipo fondente da produrre

y = n° degli hg di cioccolatini di tipo al latte da produrre

MODELLO MATEMATICO:

remassimizza da y,xR con

y

x

y,

y,x,

y,x,

623

0

0

4020

1203020

2005080

FORMA SEGMENTARIA DELLE DISEQUAZIONI DEL SISTEMA

remassimizza da y,xR con

y

x

y

yx

yx

623

0

0

200

1400600

1400250

POLIGONO DELLE SOLUZIONI:

COORDINATE DEL VERTICE B:

200

125

200

2

1

250

200

12

1

250

200

1400

200

250

200

1400250

y

x

y

x

y

x

y

x

:osostituend

y

yx

COORDINATE DEI VERTICI:

O (0; 0) A(250; 0) B(125; 200) C(0; 200)

VALUTAZIONE DELLA FUNZIONE RICAVO NEI VERTICI DEL POLIGONO:

R0 = 3· 0 + 2,6· 0 = 0

RA = 3· 250 + 2,6· 0 = 750

RB = 3· 125 + 2,6· 200 = 375 + 520 = 895

RC = 3· 0 + 2,6· 200 = 520

Il massimo ricavo si ottiene producendo:

125 hg = 12,5 kg di cioccolatini di tipo fondente

200 hg = 20,0 kg di cioccolatini di tipo al latte

PROBLEMA 2

Un pasticcere deve confezionare due tipi di torte: torta margherita e crostata.

Per ciascuna torta margherita sono necessari 150 g di zucchero, 300 g di farina e 60 g di

burro; per ciascuna crostata occorrono 100 g di zucchero, 300 g di farina e 120 g di burro.

Sapendo che in dispensa ci sono 7,5 Kg di zucchero, 9 kg di farina e 2,4 kg di burro e che

ogni torta margherita viene venduta a € 6 mentre ogni crostata viene venduta a € 8

ciascuna, come dovrà organizzare la propria produzione in modo da avere il massimo

ricavo?

MATRICE DEI DATI

1 torta margherita 1 crostata scorte

farina 300 g 300 g 9 kg = 9000 g

zucchero 150 g 100 g 7,5 kg = 7500 g

burro 60 g 120 g 2,4 kg = 2400 g

ricavi € 6 € 8

VARIABILI:

x = n° torte margherite da produrre

y = n° crostate da produrre

MODELLO MATEMATICO:

remassimizza da yxR con

y

x

yx

yx

yx

86

0

0

240012060

6000100150

9000300300

FORMA SEGMENTARIA DELLE DISEQUAZIONI DEL SISTEMA

remassimizza da yxR con

y

x

yx

yx

yx

86

0

0

12040

16040

13030

POLIGONO DELLE SOLUZIONI:

COORDINATE DEL VERTICE B:

101

10

201

20

104030301

401206040

130

240121

11

21

3013030

12040

y

x

; ;

yx

402yx

yx

yx

yx

COORDINATE DEI VERTICI:

O (0; 0) A(30; 0) B(20; 10) C 200 ;

VALUTAZIONE DELLA FUNZIONE RICAVO NEI VERTICI:

R0 = 6· 0 + 8· 0 = 0

RA = 6· 30 + 8· 0 = 180

RB = 6· 20 + 8· 10 = 120 + 80 = 200

RC = 6· 0 + 8· 20 = 160

Il massimo ricavo si ottiene producendo:

20 torte margherita e

10 crostate

PROBLEMA 3

Un autoproduttore di energia elettrica ha due gruppi elettrogeni, uno che utilizza gasolio

e l’altro che utilizza olio combustibile. Per ogni litro di gasolio bruciato sono prodotti 4 g di

CO2 (anidride carbonica) e 4 g di NOx (ossidi di azoto); per ogni litro di olio combustibile

bruciato sono prodotti 2 g di CO2, 4 g di NOx e 1 g di SOx (ossidi di zolfo). I vincoli imposti

sulle emissioni stabiliscono che al giorno non si possa produrre più di 160 g di CO2, 240 g di

NOx e 50 g di SOx. Non potendo superare i vincoli sulle emissioni giornaliere (per non

pagare penali) e, considerando che per ogni litro di gasolio si producono 2 kWh di

energia elettrica, mentre per ogni litro di olio combustibile si producono 4 kWh di energia

elettrica, ci si chiede quanti litri di gasolio e olio combustibile bruciare al giorno per

massimizzare la produzione di energia elettrica.

MATRICE DEI DATI

1 lit gasolio 1 lit olio combustibile emissioni massime giornaliere

CO2 4 g 2 g 160 g

NOx 4 g 4 g 240 g

SOx 1 g 50 g

produzione 2 kWh 4 kWh

VARIABILI:

x = n° litri gasolio da bruciare giornalmente

y = n° litri olio combustibile da bruciare giornalmente

MODELLO MATEMATICO:

remassimizza da yxP con

y

x

y

yx

yx

42

0

0

50

24044

16024

FORMA SEGMENTARIA DELLE DISEQUAZIONI DEL SISTEMA

remassimizza da yxR con

y

x

y

yx

yx

42

0

0

50

16060

18040

POLIGONO DELLE SOLUZIONI:

COORDINATE DEL VERTICE B:

40

20

4080120601

802206080

160

180112

11

12

6016060

18040

y

x

; ;

yx

80y2x

yx

yx

yx

COORDINATE DEL VERTICE C:

50

10

50

6050

50

60

50

16060

y

x

y

x :osostituend

y

yx

y

yx

COORDINATE DEI VERTICI:

O (0; 0) A(40; 0) B(20; 40) C 5010 ; D(0; 50)

VALUTO LA FUNZIONE PRODUZIONE NEI VERTICI:

P0 = 2· 0 + 4· 0 = 0

PA = 2· 40 + 4· 0 = 80

PB = 2· 20 + 4· 40 = 40 + 160 = 200

PC = 2· 10 + 4· 50 = 20 + 200 = 220

PD = 2· 0 + 4· 50 = 200

Per massimizzare la produzione di energia elettrica conviene bruciare 10 litri di gasolio e

50 litri di olio combustibile.

PROBLEMA 4

Un’azienda tessile produce due tipi di tessuti utilizzando tre filati, lana, poliestere e seta, in

diversa proporzione. Per realizzare una pezza di lunghezza unitaria del primo tessuto

occorrono 120 g di lana, 180 g di poliestere e 60 g di seta; per produrre una pezza di

lunghezza unitaria del secondo tessuto occorrono 120 g di lana, 90 g di poliestere e 180 g

di seta. In magazzino si hanno a disposizione 144 kg di lana, 180 kg di poliestere e 180 kg

di seta. Individuare la produzione che rende massimo il ricavo sapendo che il primo

tessuto è venduto a 2 € la pezza di lunghezza unitaria mentre il secondo tessuto a 3 €.

MATRICE DEI DATI

1 pezza unitaria

tessuto 1

1 pezza unitaria

tessuto 2

emissioni massime giornaliere

lana 120 g 120 g 144000 g

poliestere 180 g 90 g 180000 g

seta 60 g 180 g 180000 g

ricavi 2 € 3 €

VARIABILI:

x = n° pezze unitarie di tessuto 1 da produrre

y = n° pezze unitarie di tessuto 2 da produrre

MODELLO MATEMATICO:

remassimizza da yxR con

y

x

yx

yx

yx

32

0

0

18000018060

18000090180

144000120120

FORMA SEGMENTARIA DELLE DISEQUAZIONI DEL SISTEMA

remassimizza da yxR con

y

x

yx

yx

yx

32

0

0

110003000

120001000

112001200

POLIGONO DELLE SOLUZIONI:

COORDINATE DEL VERTICE B:

400

800

4002400200020002

1200180020001200

12000

11200121

12

11

20002120001000

112001200

y

x

; ;

yx

1200yx

yx

yx

yx

COORDINATE DEL VERTICE C:

900

300

18001200300030001

1200160030003600

33000

11200213

31

11

30003110003000

112001200

y

x

; ;

yx

1200yx

yx

yx

yx

COORDINATE DEI VERTICI:

O (0; 0) A(1000; 0) B(800; 400) C 900300 ; D(0; 1000)

VALUTAZIONE DELLA FUNZIONE RICAVO NEI VERTICI:

R0 = 2· 0 + 3· 0 = 0; RA = 2· 1000 + 3· 0 = 2000

RB = 2· 800 + 3· 400 = 1600 + 1200 = 2800 RC = 2· 300 + 3· 900 = 600 + 2700 = 3300

RD = 2· 0 + 3· 1000 = 3000

Il massimo ricavo si ottiene producendo 300 pezze di tessuto 1 e 900 pezze di tessuto 2.