7/24/2019 Progresin Geomtrica - Wikipedia, La Enciclopedia Libre

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Serie geomtrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Progresin geomtricaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Una progresin geomtrica es una secuenciaen la que el elemento se obtiene multiplicandoel elemento anterior por una constantedenominada razno factorde la progresin. Se

suele reservar el trmino progresin cuando lasecuencia tiene una cantidad finita de trminosmientras que se usa sucesin cuando hay unacantidad infinita de trminos

As, es unaprogresin geomtrica con razn igual a 3,porque cada elemento es el triple del anterior.Se puede obtener el valor de un elementoarbitrario de la secuencia mediante la expresin del trmino general, siendo el trmino en cuestin,

primer trmino y , la razn:

En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de la serie es:

Para obtener la razn en una progresin geomtrica lo ms sencillo es dividir un trmino cualquiera entre termino anterior, sin embargo existen ocasiones donde no tenemos trminos consecutivos, en ese casutilizamos la siguiente frmula:

n-1

ndice

1 Ejemplos de progresiones geomtricas2 Suma de trminos de una progresin geomtrica

2.1 Suma de los primeros ntrminos de una progresin geomtrica2.2 Suma de infinitos trminos de una progresin geomtrica

3 Producto de los primeros "n" trminos de una progresin geomtrica4 Vase tambin5 Enlaces externos

http://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geometric_progression_convergence_diagram.svg

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Ejemplos de progresiones geomtricas

La progresin 1, 2 ,4 ,8 ,16,es una progresin geomtrica cuya razn vale 2, al igual que 5, 10, 240.La razn no necesariamente tiene que ser un nmero entero. As, 12, 3, 0.75, 0.1875 es un

progresin geomtrica con razn 1/4.La razn tampoco tiene por qu ser positiva. De este modo la progresin 3, -6, 12, -24tiene razn -Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresin alternante porque los signos alternan ent

positivo y negativo.Cuando la razn es igual a 1 se obtiene una progresin constante: 7, 7, 7, 7Un caso especial es cuando la razn es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertos autorque no consideran este caso como progresin y piden explcitamente que en la definicin.

Suma de trminos de una progresin geomtrica

Suma de los primeros ntrminos de una progresin geomtrica

Se denomina como Sna la suma de los nprimeros trminos consecutivos de una progresin geomtrica:

Si se quiere obtener una frmula para calcular de una manera rpida dicha suma, se multiplica ambomiembros de la igualdad por la razn de la progresin r.

puesto que

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

a que todos los trminos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando

De esta manera se obtiene la suma de los n trminos de una progresin geomtrica cuando se conoce primer y el ltimo trmino de la misma. Si se quiere simplificar la frmula, se puede expresar el trmingeneral de la progresin ancomo

http://es.wikipedia.org/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

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que expresa la suma de n trminos consecutivos de una progresin geomtrica en funcin del primtrmino y de la razn de la progresin.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los trminos consecutivocomprendidos entre dos elementos arbitrarios (ambos inclusive):

Suma de infinitos trminos de una progresin geomtrica

Si el valor absoluto de la razn es menor que la unidad , la suma de los infinitos trmindecrecientes de la progresin geomtrica converge hacia un valor finito. En efecto, si , tiendhacia 0, de modo que:

Finalmente, la suma de los infinitos trminos de una progresin geomtrica de razn inferior a la unidad es

Producto de los primeros "n" trminos de una progresigeomtrica

El producto de los n primeros trminos de una progresin geomtrica se puede obtener mediante la frmul

(si ).

Dado que los logaritmos de los trminos de una progresin geomtrica de razn r (si ), estn eprogresin aritmtica de diferenciar, se tiene:

, y tomand

antilogaritmos se obtiene la frmula.

Vase tambin

Progresin aritmtica.Serie geomtrica.

Enlaces externos

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica

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Weisstein, Eric W. Progresin geomtrica (http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.htmlEn Weisstein, Eric W. MathWorld(en ingls). Wolfram Research.

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