progressÃo aritmÉtica - pcdamatematica.comƒo-aritmÉtica.pdf · a) qual é o termo geral dessa...

Pcdamatematica Prof. Paulo Cesar

Ex01: Escreva os quatro primeiros termos da sequência definida

por 2 *3 2 , .na n n n

Ex02: Considere a sequência definida por *

2

1, .

2na n

n

Determine:

a) 1 3a a

b) a posição do elemento 1

123 na sequência.

Ex03: Os termos gerais de duas sequências ( )na e ( )nb são,

respectivamente, 193 3na n e 220 4 ,nb n para todo

, 1.n n

a) Escreva os três primeiros termos de ( )na e ( ).nb

b) Qual é o primeiro termo positivo de ( )?na Que posição ele

ocupa na sequência?

c) Qual é o primeiro termo negativo de ( )?nb Que posição ele

ocupa na sequência?

d) As duas sequências apresentam algum termo em comum? Em

caso afirmativo, determine-o.

Ex04: Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida

por 1

1

5.

2 3, 1n n

a

a a n

Ex05: Escreva os seis primeiros termos da sequência definida por

1

2

1 2

1

1

, para 3n n n

a

a

a a a n

Definição

É toda sequência numérica na qual cada termo, a partir do

segundo, é igual ao anterior somado com uma constante chamada

razão da P.A., e indicada por r.

Ex: a) (4, 7, 10, 13, ...)

b) (10, 8, 6, 4, ...)

c) (4, 4, 4, 4, ...)

d) 3, 1 3, 2 3, 3 3,...

Classificação

P.A. crescente: 0r

Ex: (2, 5, 8, 11, ...)

P.A. decrescente: 0r

Ex: (10, 7, 4, ...)

P.A. constante: 0r

Ex: (3, 3, 3, ...)

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Sequências Numéricas

Progressão Aritmética (P.A.)


Propriedades

P1) Se 1 2 3 4( , , , , ..., ,...)na a a a a é uma P.A. então

2 1 3 2 4 3 1... n nr a a a a a a a a

Ex: Determine a razão de cada uma das progressões aritméticas

seguintes, classificando-as em crescente, decrescente ou

constante:

a) (38, 35, 32, 29, ...)

b) (-40, -34, -28, -22, ...)

c) 1 1 1

, , ,...5 5 5

d) 1 5 7

, 1, , , 3, ...3 3 3

e) 3 2, 3 1, 3, 3 1,...

P2) Se 1 2 3( , , )a a a é uma P.A. então

1 3

2 .2

a aa

Ex1: Em cada caso, a sequência é uma PA. Qual é o valor de x.

a) (3 5, 3 1, 25)x x

b) 2( 3, , 6 1)x x x

Ex02: As medidas dos lados de um triângulo são expressas por 21, 2 e x 5x x e estão em P.A, nessa ordem. Calcule o

perímetro.

Ex03: Os números que expressam a medida do perímetro, a

medida da diagonal e a área de um quadrado, nessa ordem,

podem ser os termos de uma P.A.?

Ex04: Determine o valor de x de tal modo que a sequência

8

3 2log10 ; log ( 4); log 0,0625x seja uma P.A. Qual é a razão

dessa P.A.?

P3) Termo geral

Se 1 2 3 4( , , , , ..., ,...)na a a a a é uma P.A. de razão r, então

1 ( 1)na a n r

Ex01: Calcular o trigésimo segundo termo da P.A. (1, 4, 7, ...)

Ex02: Determinar a razão da P.A. 1 2 3( , , ,...)a a a em que 1 2a

e 8 3.a

Ex03: Determine o número de termos da P.A. (4,7, 10, ...,136).



Ex04: Considere a sequência de números naturais que, divididos

por 7, deixam resto 4.

a) Qual é o termo geral dessa sequência?

b) Qual é o seu 50º termo?

Ex05: Responda a cada item a seguir:

a) Em uma P.A., o 4º termo vale 24 e o 9º vale 79. Determine

essa P.A.

b) Considerando a sequência formada pelos termos de ordem par

da P.A. (2º, 4º, 6º, ...) do item a, determine seu 20º termo.

Ex06: Qual é a razão da progressão aritmética dada pelo temo

geral *28 4 , ?na n n

Ex07: em uma P.A., 3 8 14a a e 5 102 88.a a Determine

a razão da P.A. e o primeiro termo.

Ex08: Preparando-se para uma competição, um atleta corre

sempre 400 metros a mais que a distância corrida no dia anterior.

Sabe-se que no 6º dia ele correru 3,2km. Qual é a distãncia que o

atleta correu no 2º dia?

Ex09: Um banco financiou um lançamento imobiliário nas

seguintes condições: em janeiro, aprovou crédito para 236

pessoas; em fevereiro, para 211; em março aprovou mais 186

nomes, e assim por diante.

a) Quantas pessoas tiveram seu crédito aprovado em junho?

b) Quantas pessoas tiveram seu crédito aprovado em agosto?

c) Mantido esse padrão, determine em quantos meses esgotaram-

se as aprovações de crédito?

Ex10: Uma empresa de TV por assinatura planejou sua expansão

no biênio 2015-2016 estabelecendo a meta de conseguir, a cada

mês, 450 contratos a mais que o número de contratos

comercializados no mês anterior. Suponha que isso realmente

ocorra. Sabendo que no último bimestre de 2015 o número total

de contratos fechados foi de 12.000, determine a quantidade de

contratos comercializados em:

a) março de 2015;

b) abril de 2016;

c) dezembro de 2016.



Ex11: Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que

não são divisíveis nem por 5 nem por 7?

Ex12: Inserindo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual o

sexto termo da P.A.?

Ex13: Com um grande pedaço de barbante, foi construída uma

sequência de quadrados 1 2 3, , ,...Q Q Q em que a quantidade de

barbante usada para constuir um determinado quadrado é 16cm

maior que a quantidade necessária para construir o quadrado

anterior. Sabendo que para construir 3Q foram usados 80cm,

determine;

a) a medida do lado de 1,Q em centímetros;

b) a medida da diagonal de 25 ,Q em metros;

c) a área de 18 ,Q em m

2;

OBS: Como escrever:

i) P.A. com 3 termos: , ,x r x x r

ii) P.A. com 4 termos: 3 , , , 3x r x r x r x r

III) P.A. com 5 termos: 2 , , , , 2x r x r x x r x r

Ex01: Determine 3 números em P.A. crescente sabendo que a

soma dos três é 21 e o produto é 280.

Ex02: (UNICAMP) O perímetro de um triângulo retângulo é

igual a 6m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética

(P.A.). A área desse triângulo é igual a:

a) 3m2

b) 2m2

c) 1,5m2

d) 3,5m2



P4) Soma dos termos de uma P.A.

Se 1 2 3 4( , , , , ..., )na a a a a é uma P.A., então

1

2

n

n

a a nS

Ex01: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da progressão

aritmética (1, 5, 9, ...).

Ex02: Calcule a soma dos termos da progressão aritmética finita

(5, 8, 11, ..., 122).

Ex03: Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre

100 e 300.

Ex04: A P.A. 1 2 3( , , , ...)a a a é tal que 4 5 89a a e

2 6 78.a a Qual é a soma dos seus vinte primeiros termos?

Ex05: Calcule 40

1

(3 1).k

k

Ex06: Qual o valor de 11

2 5 8 32

10log (10 10 10 ... 10 )?

Ex07: Qual é a soma dos vintes primeiros termos de uma P.A.

em que 88 5 ,na n para * ?n ¥

Ex08: Em relação à sequência dos números naturais ímpares,

determinar:

a) a soma dos cinquenta primeiros termos;

b) a soma dos n primeiros termos.



Ex09: Preocupada com a inflação, Marlene começou a registrar,

em janeiro, o valor gasto nas compras de supermercado. Naquele

ano, ela observou que, a cada mês, os gastos aumentavam

R$25,00 em relação aos do mês anterior. Sabe-se que em maio as

despesas totalizaram R$740,00, determine a quantia gasta:

a) em janeiro b) naquele ano

Ex10: Suponha que, em certo mês (com 30 dias), o número de

queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor

aumente segundo uma P.A. Sabendo que nos dez primeiros dias

houve 245 reclamações e nos dez dias seguintes houve mais 745

reclamações, determine a sequência do número de queixas

naquele mês.

Ex11: (UFLA) Os números triangulares são definidos como o

número de pontos na sequência de figuras

Uma fórmula geral para estes números é

a) ( 1)

, 33

n nn

b) ( 1)

, 12

n nn

c) 2 4, 1n n

d) 2 1, 03

nn n

e) ( 1)( _1), 1n n n

Ex12: (FUVEST) Em uma P.A. 1 2( , , ..., , ...)na a a a soma dos n

primeiros termos é dada por 2 ,nS b n n sendo b um número

real. Sabenso-se que 3 7,a determine:

a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.

b) o vigésimo termo da progressão.

c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.

Ex13: (VUNESP) Uma P.A. de 51 termos tem o vigésimo sexto

termo igual a -38; então, a soma dos termos dessa progressão é:

a) -900

b) -1938

c) 969

d) 0

e) -969



EXERCÍCIOS

01. (PUC) Na sequência cujos termos obdecem à fórmula de

recorrência 1 3a e

2 *

1 ( 2) , , ,n na a n n o sexto

termo é:

a) 1

b) -1

c) 3

d) 6

e) 9

02. (FGV) A sequência ( )ny é tal que 1 2 ,n ny y n para

todo n, *n e 2.n Sabendo-se que 1 1,y o termo 4y é

igual a;

a) 21

b) 17

c) 27

d) 31

e) 51

03. O produto nP dos n primeiros termos da sequência

1 2 3 4( , , , ,...)a a a a é dado por 32nP n para todo n, *.n

Determine o sexto termo da sequência:

a) 216

125

b) 200

123

c) 432

d) 250

e) 300

04. (EsPCEx) Se x é um número real positivo, então a sequência

3 3 3log , log 3 , log 9x x x é:

a) uma progressão aritmética de razão 1;

b) uma progressão aritmética de razão 3;

c) uma progressão geométrica de razão 3;

d) uma progressão aritmética de razão 3log ;x

e) uma progressão geométrica de razão 3log ;x

05. (ITA) O valor de n que torna a sequência

2 3 , 5 , 1 4n n n uma progressão aritmética pertence ao

intervalo:

a) [-2, -1]

b) [-1, 0]

c) [0, 1]

d) [1, 2]

e) [2, 3]

06. (UNIFESP) Se os primeiros quatro termos de uma

progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quociente d

b é igual

a:

a) 1/4

b) 1/3

c) 2

d) 7/3

e) 5

07. (FUVEST) Sejam a, b, c três números estritamente positivos

em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos

vértices são A(-a, 0), B(0, b) e C(c, 0), é igual a b, então o valor

de b é:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

08. (UFRS) As medidas do lado, do perímetro e da área de um

triângulo equilátero são, nessa ordem, números em progressão

aritmética. A razão dessa progressão é

a) 20 3

3

b) 20

c) 40 3

3

d) 20 3

e) 40 3

09. (FGV) Um triângulo ABC isósceles tem os lados AB e AC

congruentes. As medidas da projeção ortogonal do lado AC

sobre a base BC, da altura relativa à base e a do lado AC

formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se o perímetro

do triângulo ABC for 32, a medida do lado AC será igual a:

a) 10

b) 10,5

c) 11

d) 11,5

e) 12

10. (FGV) Quatro números constituem uma progressão

aritmética. A sua soma vale 24 e a soma de seus quadrados vale

164. O maior desses números é:

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) nda



11. (CESGRANRIO) A razão da P.A. que se obtem inserindo

nove meios aritméticos entre 1

4 e

1,

2 nessa ordem, é:

a) 1

20

b) 1

40

c) 1

60

d) 1

80

e) 1

100

12. (FGV-modificada) Considere a sequência 2013, 2014,

2015, ... em que cada termo ,na a partir do 4º termo, é calculado

pela fórmula 3 2 1.n n n na a a a por exemplo, o 4º termo é

2013 + 2014 – 2015 = 2012. O 2014º termo dessa sequência é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

13. (UECE) Seja 1 2 3( , , ,...)a a a uma progressão aritmética. Se

1 2

19

2a a e

2 3

25,

2a a então 3a é igual a;

a) 4

b) 11/2

c) 13/2

d) 7

e) nda

14. (FGV) As prestações de um financiamento imobiliário

constituem uma progressão aritmética na ordem em que são

pagas. Sabendo que a 15ª prestação é R$3.690,00 e a 81ª

prestação é R$2.700,00, o valor da 1ª prestação é:

a) R$3.800,00

b) R$3.850,00

c) R$3.900,00

d) R$3.950,00

e) R$4.000,00

15. (EsPCEx) Os números naturais ímpares são dispostos como

mostra o quadro

O primeiro elemento da 43ª linha, na horizontal, é:

a) 807

b) 1007

c) 1307

d) 1507

e) 1807

16. (FEI) Um trabalho escolar de 150 páginas deverá ser

impresso em uma impressora que apresenta os seguintes

problemas: nas páginas 6, 12, 18, ... (múltiplos de 6) o cartucho

de tinta amarela falha e nas páginas 8, 16, 24, ... (múltiplos de 8)

falha o cartucho de tinta azul. Supondo-se que em todas as

páginas do trabalho sejam necessárias as cores amarela e azul,

quantas páginas serão impressas sem essas falhas?

a) 105

b) 107

c) 113

d) 116

e) 120

17. (UNI) A média de pontos obtidos em um teste de seleção

para candidatos a emprego em uma empresa tem diminuído de

maneira constante. A média do teste aplicado em 1994 foi 252

pontos, enquanto que em 1999 foi apenas 197 pontos. Nestas

condições a média de pontos em 2.001 será:

a) 185 pontos

b) 176 pontos

c) 186 pontos

d) 182 pontos

e) 175 pontos

18. (UNESP) Um estacionamento cobra R$1,50 pela primeira

hora. A partir da segunda, cujo valor é R$1,00 até a décima

segunda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão

aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse

local, quanto gastará seu proprietário?

a) R$ 4,58

b) R$ 5,41

c) R$ 5,14

d) R$ 4,85

e) R$ 5,34



19. (PUCCAMP) Um veículo parte de uma cidade A em direção

a uma cidade B, distante 500km. Na 1ª hora do trajeto ele

percorre 20km, na 2ª hora 22,5km, na 3ª hora 25km e assim

sucessivamente. Ao completar a 12ª hora do percurso, a que

distância esse veículo estará de B?

a) 95 km

b) 115 km

c) 125 km

d) 135 km

e) 155 km

20. (FUVEST-modificada) 500 moedas são distribuídas entre

três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira:

A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A

sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes

para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as

moedas restantes. Quantas moedas recebeu a pessoa B?

a) 158

b) 159

c) 160

d) 161

e) 162

21. (ENEM) As projeções para a produção de arroz no período

de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam

para uma perspectiva de crescimento constante da produção

anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas,

que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo

com essa projeção.

Ano Projeção da produção (t)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser

produzida no período de 2012 a 2021 será de

a) 497,25.

b) 500,85.

c) 502,87.

d) 558,75.

e) 563,25.

22. (UFG-adapatada) Um carpinteiro deseja construir uma

escada para ser usada por eletricistas. O modelo está na figura

abaixo. As travessas da escada são de madeira, seus

comprimentos são decrescentes e estão em Progressão

Aritmética. A primeira travessa mede 0,80m, e a última mede

0,40m. Sabendo-se que, para as travessas, o carpinteiro tem a sua

disposição 13,2 metros lineares de madeira, e não havendo

desperdício algum, quantas travessas conterá a escada?

a) 22

b) 23

c) 24

d) 25

23. (UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável

paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de

castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um

prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se

tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se

as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A figura a

seguir apresenta um castelo com três níveis.

Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine

o número de cartas que ele vai utilizar.

a) 2420

b) 2520

c) 2550

d) 2600

d) 2630

24. (UFRJ-adaptada) Mister MM, o Mágico da Matemática,

apresentou-se diante de uma platéia com 50 fichas, cada uma

contendo um número. Ele pediu a uma espectadora que ordenasse

as fichas de forma que o número de cada uma, excetuando-se a

primeira e a última, fosse a média aritmética do número da

anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à

espectadora que lhe informasse o valor da décima sexta e da

trigésima primeira ficha, obtendo como resposta 103 e 58

respectivamente. Para delírio da platéia, Mister MM adivinhou

então o valor da última ficha.

Determine você também este valor.

a) 1

b) 2

c) 5

d) 10

e) 19

25. (PUC-Adaptada) Um quadrado mágico de ordem n é uma

matriz n×n cujas entradas são os inteiros de 1 até n2 e tal que a

soma de todos os inteiros em cada linha e em cada coluna dá o

mesmo resultado S. Qual o valor de S?

a) 2(1 )

2

n nS

b) 23 (1 )

2

n nS

c) (1 )

2

n nS

d) 2(1 )

4

n nS

e) (1 )

3

n nS



26. (INSPER) Na sequência de quadrados representada na figura

abaixo, o lado do primeiro quadrado mede 1. A partir do

segundo, a medida do lado de cada quadrado supera em 1

unidade a medida do lado do quadrado anterior.

A distância do do ponto O, vértice do primeiro quadrado, até o

ponto Vn, vértice do n-ésimo quadrado, ambos indicados na

figura, é:

a) 2 2 52

nn n

b) 2 2 92

nn n

c) 2 4 32

nn n

d) 2 2 1n n n

e) 2 2 2n n n

27. (UERJ) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De

acordo com os rótulos, cada frasco contém 200 comprimidos, e

cada comprimido tem massa igual a 20mg.

Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de

comprimidos, mas que cada um desses comprimidos tenha 30mg.

Para identificar essa frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados

os seguintes procedimentos:

Numeram-se os frascos de 1 a 15;

Retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos

correspondente à sua numeração;

Verifica-se, usando uma balança, qua a massa total dos

comprimidos retirados é igual a 2540mg.

A numeração do frasco que contém os comprimidos mais

pesados é:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

28. (FGV) Uma atleta corre sempre 500m a mais que no dia

anterior. Sabendo-se que ao final de quinze dias ele correu um

total de 67.500m, o número de metros percorridos no terceiro dia

foi:

a) 1000

b) 1500

c) 2000

d) 2500

e) 2600

29. (ITA) Numa progressão aritmética com n termos, 1,n

sabemos que o primeiro termo é igual a 1 n

n

e a soma deles

vale 1 3

.2

n Então o produto da razão dessa progressão pelo

último termo é igual a:

a) 2n

b) 2

n

c) 3n

d) 3

n

e) 5n

30. (ESPM) A figura abaixo mostra uma série de painéis

formados por uma faixa de ladrilhos claros envoltos em um

moldura de ladrilhos escuros.

Num desses painés, o número de ladrilhos escuros excede o

número de ladrilhos claros em 50 unidades. A quantidade total de

ladrilhos desse painel é igual a:

a) 126

b0 172

c) 156

d) 224

e) 138

31. (PUC) Observe a sequência representada no triângulo abaixo

Na sequência, o primeiro elemento da décima linha será:

a) 19

b) 28

c) 241

d) 244

e) 247

32. (UNESP) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a

evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do

início das observações, existia 1 elemento na população; ao final

de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte

sequência de figuras apresenta as populações do vírus

(representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro

primeiros minutos.



Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento

da população, o número de vírus no final de 1 hora era de:

a) 241.

b) 238.

c) 237.

d) 233.

e) 232.

33. (UNIRIO) Passando em uma sala de aula, um aluno verificou

que, no quadro-negro, o professor havia escrito os números

naturais ímpares da seguinte maneira:

O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a décima

linha. Somando os números dessa linha, ele encontrou

a) 800

b) 900

c) 1000

d) 1100

e) 1200

34. (UFJF) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão

aritmética (P.A.) de termo geral ,na com 1,n é dada por

215,

4n

n nS

então o vigésimo termo dessa P.A. é:

a) -10

b) -6

c) 4

d) 12

e) 20

35. (ENEM) Para um principiante em corrida, foi estipulado o

seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no

primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo.

Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao

seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere

que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5km de

corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início

do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de

dados.

Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento,

por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a

quilometragem desse plano de treino diário?

a) 7

b) 8

c) 9

d) 12

e) 13

36. (ENEM) Atualmente existem muitos aplicativos de fazendas

virtuais que, apesar de críticas, possuem uma enorme quantidade

de usuários. Embora apresentem algumas diferenças de

funcionamento, as fazendas virtuais possuem a mesma

concepção: cada vez que o usuário cuida de sua fazenda ou da de

seus amigos, ganha pontos, e, quanto mais pontos acumula, maior

é seu nível de experiência.

Em um aplicativo de fazenda virtual, o usuário precisa de 1000

pontos para atingir o nível 1. Acumulando mais 1200 pontos,

atinge o nível 2; acumulando mais 1400 pontos, atinge o nível 3 e

assim por diante, sempre com esse padrão.

Um usuário que está no nível 15 de experiência acumulou

a) 3.800 pontos

b) 15.200 pontos

c) 32.200 pontos

d) 35.000 pontos

e) 36.000 pontos

37. (UFRS) Considere a disposição de números abaixo.

O primeiro elemento da quadragésima linha é

a) 777.

b) 778.

c) 779.

d) 780.

e) 781.

38. (ENEM) Ronaldo é um garoto que adora brincar com

números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas

de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a

seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma

propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível

prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.



A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da

sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

a) 9

b) 45

c) 64

d) 81

e) 285

39. (UEL) Em um supermercado, as latas de certos produtos são

expostas em pilhas, encostadas em uma parede, com 1 lata na

primeira fileira (a superior), 2 latas na segunda fileira, 3 latas na

terceira e assim por diante. Observe na figura a seguir uma dessas

pilhas, com 5 fileiras.

Um funcionário deve fazer uma pilha de 1,60m de altura, com

latas de 4cm de altura cada uma. Se as latas desse produto são

embaladas em caixas com 75 latas em cada caixa, ele necessita

retirar do estoque

a) 9 caixas e não haverá sobra de latas.

b) 10 caixas, mas sobrarão 12 latas.

c) 10 caixas, mas sobrarão 30 latas.

d) 11 caixas, mas sobrarão 3 latas.

e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas.

40. (PUC) Se dividirmos o décimo primeiro termo de uma

progressão aritmética pelo seu terceiro termo, obtemos 4,

enquanto, se dividirmos o nono termo dessa progressão pelo seu

quarto termo, obtemos 2 e o resto 4. A soma dos 20 primeiros

termos dessa progressão é:

a) 250

b) 430

c) 610

d) 590

e) 820

41. (UJRJ) Uma empresa madeireira, ao desmatar uma floresta,

seguia este cronograma:

- no primeiro dia - uma árvore derrubada;

- no segundo dia - duas árvores derrubadas;

- no terceiro dia - três árvores derrubadas

e, assim, sucessivamente. Para compensar tal desmatamento, foi

criada uma norma na qual se estabelecia que seriam plantadas

árvores segundo a expressão 2 1,P D sendo P o número de

árvores plantadas e D o número de árvores derrubadas a cada dia

pela empresa.

Quando o total de árvores derrubadas chegar a 1275, o total de

árvores plantadas, de acordo com a norma estabelecida, será

equivalente a

a) 2400.

b) 2500.

c) 2600.

d) 2700.

e) 2800.

42. (UFV) Usando-se um conta-gotas, um produto químico é

misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura

é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo

são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4

gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior.

Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o

total de gotas do produto misturadas à água é:

a) 1300

b) 1100

c) 1600

d) 900

e) 1200

43. (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de

gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma

sequência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura

Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se,

seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía

a) mais de 300 bolitas.

b) pelo menos 230 bolitas.

c) menos de 220 bolitas.

d) exatamente 300 bolitas.

e) exatamente 41 bolitas.

44. (UFAL) As idades de três pessoas são numericamente iguais

aos termos de uma progressão aritmética de razão 5. Se daqui a 3

anos a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem,

nessa época, a soma das três idades será

a) 36 anos.

b) 38 anos.

c) 42 anos.

d) 45 anos.

e) 48 anos.

45. (UNESP) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade,

os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um

triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na

segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma

progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é

a) 400.

b) 410.

c) 420.

d) 800.

e) 840.



46. (UFG-Adaptada) Em uma gincana, 20 caixinhas estão

distribuídas ao longo de uma pista retilínea, distantes 4 metros

uma da outra. Um competidor, que se encontra a 5 metros da

primeira caixinha, conforme a figura abaixo, deve correr até esta

primeira caixinha, pegar um objeto e retornar ao local de partida.

Em seguida, ele vai até a segunda caixinha, retira um objeto e

retorna ao ponto de partida, e assim sucessivamente, até atingir a

vigésima caixinha. Quantos metros esse competidor deverá

percorrer para realizar a prova?

a) 1700

b) 1720

c) 1750

d) 1780

e) 1800

47. (MACK) Se A = 12 – 2

2 + 3

2 – 4

2 + 5

2 – 6

2 + ... +99

2 – 100

2,

então 10% de a é igual a:

a) -505

b) -5.050

c) 505

d) 5.050

e) -100

DESAFIOS

D1. Prove que, se uma P.A. apresenta ,m na x a y e ,pa z

então ( ) ( ) ( ) 0.n p x p m y m n z

D2. Prove que se 1 2 3( , , , ..., )na a a a é uma progressão aritmética

com todos os termos diferentes de zero, então

1 2 2 3 3 4 1 1

1 1 1 1 1... .

n n n

n

a a a a a a a a a a

D3. Prove que se uma PA é tal que a soma dos seus n primeiros

termos é igual a 1n vezes a metade do n-ésimo termo, então

1.r a

D4. Mostre que se ( , , )a b c e 1 1 1

, ,b c d

estão em PA, então

2 ( ).ad c a c

GABARITO

01. A 08. C 15. E 22. A 29. B 36. E 43. B

02. B 09. A 16. C 23. A 30. E 37. E 44. D

03. A 10. B 17. E 24. A 31. D 38. D 45. A

04. A 11. B 18. C 25. A 32. C 39. E 46. B

05. B 12. C 19. A 26. A 33. C 40. C 47. A

06. D 13. D 20. B 27. C 34. B 41. B

07. E 14. C 21. D 28. C 35. B 42. A


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