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Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC 15
Progressões
Ao lançarmos uma moeda, teremos dois resultados
possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas
diferentes, passamos a ter quatro resultados
diferentes: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara) e
(coroa, coroa). Se lançarmos três moedas, serão oito
os resultados possíveis, e assim por diante.
A relação entre o número de moedas e o número de
resultados é mostrada na tabela:
Número de moedas Número de resultados 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 ... ...
Vemos que 01 2 ,
12 2 , 24 2 ,
24 2 , 416 2 , 532 2 e por aí vai.
Então se n é o número de moedas, o número de
resultados é 2n
. Nesse caso, temos uma sequência:
(2, 4, 8, 16, 32, ...).
Qual o total de resultados se lançarmos 8 moedas?
Neste capítulo aprofundaremos o estudo das
sequências e das progressões, notadamente as
progressões aritmética e geométrica.
Em muitas situações em nosso cotidiano aparece a
ideia de sequência ou sucessão. Por exemplo:
A sequência dos dias da semana.
(domingo, segunda, ..., sábado)
A sequência dos números naturais.
(0, 1, 2, 3, 4, ...)
A sequência dos anos em que ocorrem as
Olimpíadas, desde 1988.
(1988, 1992, 1996, ..., 2012, ...)
Em todas essas situações observamos uma certa
ordem nos elementos da sequência. Esses
elementos são também chamados termos da
sequência ou sucessão. Na sequência dos meses do
ano, temos:
1º termo: janeiro
2º termo: fevereiro
...
12º termo: dezembro
Se representarmos o 1º termo de 1a (lê-se a índice
1), o 2º termo por 2a , o 3º termo de
3a , e assim por
diante, até o enésimo termo (na ), essa sequência
pode ser representada por:
(1a ,
2a , 3a ,
4a , ..., na )
Nesse exemplo, temos:
1a janeiro 7a julho
10a outubro
e assim para os outros meses.
DEFINIÇÃO
Uma sequência finita de n termos é uma função
cujo domínio é o conjunto numérico 1,2,3,4,..,n .
Os números do contradomínio são indicados por 1a
, 2a ,
3a , 4a , ...,
na .
Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio
é 1,2,3,4,.., ,...n , e o contradomínio é
indicado por 1 2 3 4, , , ,..., ,...na a a a a . Assim, temos:
1(1)f a , 2(2)f a , ( ) nf n a .
Exemplos:
A sequência dos números ímpares positivos
é infinita: (1, 3, 5, 7, 9, ..., n, ...) onde 1 1a ,
2 3a , 3 5a ,
4 7a , etc.
1 Introdução
2 sequências
16 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
A sequência dos quatro primeiros múltiplos
de 5 é finita: (0, 5, 10, 15). Nesse caso,
1 0a , 2 5a ,
3 10a e 4 15a .
17, 12, 7, 2, 3, 8 é uma sequência finita
de 6 termos.
DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA
As sequências podem ser aleatórias ou regradas, ou
seja, possuem um padrão de construção. Esses
padrões, regras ou leis matemáticas que as regem
são chamados de leis de formação, que permitem
que explicitemos todos os termos da sequência.
Vamos a um exemplo:
Construa a sequência a partir de sua lei de formação
2 1na n , para *n .
Para n = 1 1 2 1 1 1a
Para n = 2 2 2 2 1 3a
Para n = 3 3 2 3 1 5a
Para n = 4 4 2 4 1 7a
Então temos a sequência (1, 3, 5, 7, ...)
Vejamos outro exemplo:
Vamos escrever a sequência definida por
1
1
3
2,n n
a
a a n
Para n = 1 1 3a
Para n = 2 2 1 2 3 2 5a a
Para n = 3 3 2 2 5 2 7a a
Para n = 4 4 3 2 7 2 9a a
Então temos a sequência (3, 5, 7, 9, ...)
EXERCÍCIOS DE TREINO
1. Escreva o termo geral das sequências:
a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
b) (2, 3, 4, 5, 6, ...)
c) (3, 6, 9, 12, 15, ...)
d) (2, 5, 8, 11, 14, 17, ...)
e) Dada uma sequência em que 1 2a e
1 5n na a , quantos dos dez primeiros números
são primos?
Progressão aritmética (PA) é toda sequência de
números na qual a diferença entre cada termo (a
partir do segundo) e o termo anterior é constante.
Essa diferença constante é chamada razão da
progressão, e é representado pela letra r.
Exemplos:
A sequência (2, 7, 12, 17, ...) é uma
progressão aritmética infinita de razão 5,
em que 1 2a e r = 5. Essa é uma PA
crescente, pois r > 0.
A sequência (20, 10, 0, 10, 20) é uma PA
de cinco termos em que o 1º termo é
1 20a e a razão é r = 10. Essa é uma PA
decrescente, pois r < 0.
A sequência (4, 4, 4) é uma PA de 3 termos
onde o 1º termo é 1 4a e a razão é r = 0.
Quando r = 0, a PA é chamada de constante
ou estacionária.
Como a razão se mantém constante, dados três
termos consecutivos de uma PA, por exemplo, 1a ,
2a e 3a , temos que: 1 3
22
a aa
, ou seja, quando
temos três termos consecutivos em uma PA, o
termo do meio é a média aritmética dos outros dois.
Em uma progressão aritmética (1a ,
2a , 3a , ...,
na )
de razão r temos o seguinte:
Temos o termo 1a começando a sequência. O termo
2a nada mais é do que 1a somado à razão, ou seja,
1a r . O termo 3a é
2a r , mas como já vimos, 2a
3 progressão aritmética (PA)
4 fórmula do termo geral de uma pa
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Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
é 1a r , então podemos reescrever
3a como
1 2a r . Esquematizando, temos:
1
2 1
3 2 1 1
4 3 1 1
5 4 1 1
2
2 3
3 4
a
a a r
a a r a r r a r
a a r a r r a r
a a r a r r a r
Se generalizarmos para n termos, temos que o
termo geral de uma PA é:
1 ( 1)na a n r
Onde na é o enésimo termo, n é o termo de ordem e
r a razão da PA.
Vamos a alguns exemplos:
Encontre o termo geral da PA (5,9,...) .
Temos 1 5a e 9 5 4r .
Colocando na expressão do termo geral:
1 ( 1)
5 ( 1)4
5 4 4
4 1
n
n
n
n
a a n r
a n
a n
a n
Esta é a expressão do termo geral
Determine o décimo termo da PA (2,8,14,...) .
1
10 1
10
10
2; 6; 10
9
2 9 6
56
a r n
a a r
a
a
Em uma progressão aritmética, o décimo termo é
3 e o décimo segundo é 11. Quanto vale o sétimo
termo dessa sequência?
Sabemos que 12 10 2a a r , temos que:
12 10 2 11 3 2 7a a r r r
Sabemos também que se ao avançar nos termos nós
somamos razões, ao retroceder termos nós
subtraímos razões. Então:
7 10 7
7
3 3 3 7
24
a a r a
a
Numa PA crescente, sabemos que 2 6 20a a e
4 9 35a a . Determine o termo geral desta PA
Para resolver esse exercício, vamos colocar os termos
da sequência em relação a 1a e r .
2 6 4 9
2 1 4 1
6 1 9 1
1 1 1 1
1 1
20 35
3
5 8
5 20 3 8 35
2 6 20 2 11 35
a a a a
a a r a a r
a a r a a r
a r a r a r a r
a r a r
Temos então duas equações com duas incógnitas.
Podemos resolver num sistema de equações:
1
1
2 6 20
2 11 35
a r
a r
E obtemos como resposta 1 1a e 3r . Para
descobrir o termo geral da PA, utilizamos a fórmula:
1 ( 1)
1 ( 1)3
1 3 3
3 2
n
n
n
n
a a n r
a n
a n
a n
EXERCÍCIOS DE TREINO
2. Escreva a PA de:
a) cinco termos, em que o primeiro termo é 7 e a
razão é 4.
b) quatro termos, em que o primeiro termo é 6 e
a razão é 8.
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Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
3. Determine o sétimo termo de uma PA na qual o
quarto termo é 25 e a razão é 5.
4. Qual é a fórmula do termo geral da sequência dos
números pares positivos?
5. Numa PA em que o 20º termo é 157 e o 1º termo
é 5, calcule a razão.
6. Numa PA, o 8º termo é 52 e o 10º termo é 66.
Calcule o 9º termo e a razão dessa PA.
A interpolação aritmética consiste em inserir
termos, chamados de meios aritméticos dentro de
uma progressão. Para explicar melhor, vamos aos
exemplos:
No primeiro semestre de um dado ano, a produção
mensal de uma montadora está em PA crescente.
Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e, em
junho, foi de 78000 carros. Qual foi a produção
dessa montadora nos demais meses do período
janeiro-junho?
Nessas condições, o problema consiste em formar
uma PA na qual:
1 18000
78000
(18000, ___, ___, ___, ___,78000)
6
n
a janeiro
a junho
n
`
Para interpolar quatro meios aritméticos (2 3 4, ,a a a e
5a ), devemos inicialmente calcular o valor da razão
r:
1 ( 1)
78000 18000 (6 1)
78000 18000 5
5 60000
12000
na a n r
r
r
r
r
Descoberta a razão, basta partir do 1º termo ir
somando as razões membro a membro:
2
3
4
5
18000 12000 30000
30000 12000 42000
42000 12000 54000
54000 12000 66000
a fevereiro
a março
a abril
a maio
Quantos são os múltiplos de 5 compreendidos entre
101 e 999?
Podemos facilmente verificar que o primeiro múltiplo
de 5 maior que 101 é 105, e que o último múltiplo de
5 menor que 999 é 995. Logo, os múltiplos de 5 entre
101 e 999 seguem a PA (105, 110, 115, ..., 995). O
exercício requer que nós saibamos quantos meios
estão interpolados na sequência da PA. Então, temos:
1 105a , 5r e 995na .
Para calcular o número de termos interpolados,
temos:
1 ( 1)
995 105 ( 1)5
995 105 5 5
995 100 5
5 895
179
na a n r
n
n
n
n
n
São 179 os múltiplos de 5 dentro do intervalo dado.
Karl Friedrich Gauss foi um matemático que viveu
de 1777 a 1855. Corre a história que quando ele
tinha 7 ou 8 anos, seu professor, visando que a sala
permanecesse em silêncio, ordenou aos alunos que
fizessem a soma de todos os números de 1 até 100.
Para a surpresa do professor, após poucos minutos,
Gauss deu a resposta: 5050. Veja seu raciocínio:
1 2 3 ... 98 99 100
3 98 101
2 99 101
1 100 101
5 interpolação aritmética
6 Soma dos termos de uma pa
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC 19
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
Se reunirmos 100 termos, dois a dois, então temos
50 parcelas cuja soma resulta 101. Assim,
50 101 5050 . O raciocínio de Gauss também
serve para qualquer progressão aritmética de razão
r. Se reunirmos n termos, dois a dois, então temos
2
n termos cuja soma resulta em
1 na a :
1 2 3 2 1... n n na a a a a a
1 na a
1 na a
1 na a
Logo, a soma de n termos é: 1( )
2
nn
a a nS
.
Onde 1a é o primeiro termo,
na o enésimo termo,
nS a soma de n termos e n é o número de termos.
Vamos aos exemplos:
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA
infinita (2, 6, ...)
Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam
uma PA finita, onde 1 2a , 4r e 50n .
Devemos então calcular na , ou no caso,
50a :
1
50
50
50
50
( 1)
2 (50 1)4
2 49 4
2 196
198
na a n r
a
a
a
a
Agora aplicamos a fórmula:
1( )
2
(2 198)50
2
200 25
5000
nn
n
n
n
a a nS
S
S
S
A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1º
termo dessa PA é 2, qual a razão r da PA?
Nessa PA sabemos que 10 200S ,
1 2a e 10n .
Devemos calcular 10a utilizando a fórmula da soma:
1
10
10
10
10
( )
2
(2 )10200
2
400 20 10
10 380
38
nn
a a nS
a
a
a
a
Podemos então calcular r:
10 1 9
38 2 9
9 36
4
a a r
r
r
r
A razão procurada é 4.
EXERCÍCIOS DE TREINO
7. Quantos múltiplos de 11 existem entre 100 e
1000?
8. Quantos números inteiros existem de 100 a 500
que não são divisíveis por 7?
9. Insira sete meios aritméticos entre 20 e 68.
10. Calcule a soma:
a) dos 30 primeiros termos da PA (4, 10, ...);
b) dos 20 primeiros termos da uma PA em que o 1º
termo é 17 e a razão é 4;
c) dos 200 primeiros números pares positivos;
d) dos 50 primeiros múltiplos de 5;
e) de todos os múltiplos de 5 que tenham 3
algarismos;
f) dos n primeiros números pares.
20 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
11. Numa PA, a soma dos seis primeiros termos é
12. Sabendo que o último termo dessa PA é 7,
calcule o 1º termo.
12. A soma dos 20 primeiros termos de uma PA
finita é igual a 710. Se o 1º termo dessa PA é 7,
calcule seu 10º termo.
13. Numa PA, 3 6 34a a e
4 9 50a a . Calcule a
soma dos 20 primeiros termos.
14. Sabe-se que numa soma 1 na a n . Calcule a
soma dos n termos dessa PA.
15. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17
km na segunda hora, e assim por diante, em
progressão aritmética. Quantos quilômetros o
ciclista percorrerá em 5 horas?
Progressão geométrica (PG) é toda sequência de
números não nulos na qual é constante o quociente
da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo
termo anterior. Esse quociente constante é
chamado razão (q) da progressão. Ou seja, uma
progressão geométrica é uma sequência na qual a
taxa de crescimento relativo de cada termo para o
termo seguinte é constante.
Vamos a alguns exemplos:
A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de
quatro termos, em que 1 2a e a razão é
5q :
5 5 52 10 50 250
A sequência (6, 12, 24, 48, 96) é uma PG
de cinco termos, em que 1 6a e a razão é
2q :
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)6 12 24 48 96
TAXA DE CRESCIMENTO RELATIVO
As taxas de crescimento relativo são muito
utilizadas em análises quantitativas em diversas
áreas da ciência, e muito aplicada em Matemática
Financeira, que veremos no Capítulo 6. Dadas duas
grandezas a e b quaisquer, a taxa de crescimento
relativo i é dada por:
b ai
a
, ou em porcentagem: 100
b ai
a
.
A relação entre a taxa de crescimento relativo e a
razão é dada por 1q i .
Vamos usar os mesmos exercícios anteriores:
Para a sequência (2, 10, 50, 250), temos:
10 2 84
2 2
b ai
a
ou 400%
Para a sequência (6, 12, 24, 48, 96),
temos:
12 6 183
6 6
b ai
a
ou 300%
Como a razão se mantém constante, dados três
termos consecutivos de uma PG, por exemplo, 1a ,
2a e 3a , temos que: 2
2 1 3a a a , ou seja, quando
temos três termos consecutivos em uma PG, o
termo do meio é a média geométrica dos outros
dois.
CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Dependendo da razão q, uma PG pode ser:
Crescente: A PG é crescente quando 1q e
os termos são positivos ou quando 0 1q
e os termos são negativos. Por exemplo:
(2, 6, 18, 54, ...), com q = 3.
( 40, 20, 10, ...) com q = 1
2.
Decrescente: A PG é decrescente quando
0 1q e os termos são positivos ou
quando 1q e os termos são negativos. Por
exemplos:
( 4, 12, 36, 108, ...), em que q = 3.
(200, 100, 50, 25,...), em que q = 1
2.
Constante: A PG é constante quando q = 1.
(5, 5, 5, ...) é uma PG de razão 1
7 progressão geométrica (PG)
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC 21
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
Alternante: A PG é alternante quando
0q . Por exemplo:
(4, 8, 16, 32, ...), em que 2q .
( 81, 27, 9, 3,...), na qual 1
3q .
Em uma progressão geométrica (1a ,
2a , 3a , ...,
na )
de razão q temos o seguinte:
Temos o termo 1a começando a sequência. O termo
2a nada mais é do que 1a multiplicado pela razão,
ou seja, 1a q . O termo
3a é 2a q , mas como já vimos,
2a é 1a q , então podemos reescrever
3a como 1 ²a q .
Esquematizando, temos:
1
2 1
2
3 2 1 1
2 3
4 3 1 1
3 4
5 4 1 1
a
a a q
a a q a qq a q
a a q a q q a q
a a q a q q a q
Se generalizarmos para n termos, temos que o
termo geral de uma PG é:
1
1
n
na a q
Onde na é o enésimo termo, n é o termo de ordem e
q a razão da PG.
Vamos ver alguns exemplos:
Encontre o termo geral da PG (5,25,...) .
Temos 1 5a e
255
5q .
Colocando na expressão do termo geral:
1
1
1
1 1
5 5
5
5
n
n
n
n
n
n
n
n
a a q
a
a
a
Esta é a expressão do termo geral.
Determine o décimo termo da PG 1
,1,2,4,...2
.
1
1
1
9
10 1
9
10
8
10
10
1; 2; 10
2
12
2
2
256
n
n
a q n
a a q
a a q
a
a
a
Em uma progressão geométrica crescente, o quarto
termo é 2 e o nono é 64. Quanto vale o sétimo termo
dessa sequência?
Sabemos que 5
9 4a a q (ao passar do 4º para o 9º,
avançamos 5 termos), temos que:
5 5 5
9 4 64 2 32 2a a q q q q
3 3
7 4 7
7
2 2
16
a a q a
a
Numa PG, 3 5 360a a e
4 6 1080a a .
Determine o termo geral desta PG
Para resolver esse exercício, vamos colocar os termos
da sequência em relação a 1a e q .
2
3 1 2 4
3 5 1 14
5 1
2 4
1( ) 360 1
a a qa a a q a q
a a q
a q q
8 fórmula do termo geral de uma pg
22 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
3
4 1 3 5
4 6 1 15
6 1
3 5
1
2 4
1
( ) 1080
( ) 1080 2
a a qa a a q a q
a a q
a q q
a q q q
Dividindo 1 por 2 , temos:
1a 2 4( )q q
1a 2 4( )q q q
360
1
31080
1 13
3q
q
Podemos então descobrir 1a para descobrir o termo
geral:
2 4
1
1
1
1
(3 3 ) 360
(9 81) 360
360
90
4
a
a
a
a
1
1
14 3
n
n
n
n
a a q
a
EXERCÍCIOS DE TREINO
16. Determine a fórmula do termo geral de cada PG:
a) (2, 8, ...)
b) (3, 9, ...)
c) (2, 1, ...)
17. Calcule:
a) o 5º termo da PG (1, 5, ...)
b) o 10º termo da PG (9, 27, ...)
18. Numa PG infinita, temos 1 512a e 1
2q . Qual
é o 6º termo dessa PG?
19. As raízes da equação do 2º grau x² 5x +4 = 0
são o 1º e o 2º termo de uma PG crescente.
Determine o 6º termo dessa PG.
20. Determine x para que as seguintes sequências
sejam PG:
a) (4, x, 9)
b) (a, x, ab²)
c) (x 3, x, x + 6 )
d) (2x + 1, 3x 6, 4x 8)
A interpolação geométrica consiste em inserir
termos, chamados de meios geométricos dentro de
uma progressão. O processo é muito semelhante à
interpolação aritmética. Para explicar melhor,
vamos a um exemplo:
No primeiro semestre de 2013, a produção mensal
de uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, a
produção foi de 1500 unidades e, em junho, foi de
48000 unidades. Qual foi a produção dessa
indústria nos demais meses do período janeiro-
junho?
Nessas condições, o problema consiste em formar
uma PG na qual:
1 1500
48000
(1500, ___, ___, ___, ___,48000)
6
n
a janeiro
a junho
n
`
Para interpolar quatro meios geométricos
(2 3 4, ,a a a e
5a ), devemos inicialmente calcular o
valor da razão r:
1
1
6 1
5
5
48000 1500
48000 1500
32
2
n
na a q
q
q
q
q
Descoberta a razão, basta partir do 1º termo ir
somando as razões membro a membro:
9 interpolação geométrica
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC 23
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
2
3
4
5
1500 2 3000
3000 2 6000
6000 2 12000
12000 2 24000
a fevereiro
a março
a abril
a maio
EXERCÍCIOS DE TREINO
21. Insira quatro meios geométricos entre 6 e 192
22. Entre os números 18 e x foram inseridos dois
meios geométricos, gerando uma PG de razão 3.
Qual é o valor de x?
23. A produção de uma empresa nos meses de
janeiro, fevereiro e março, respectivamente, forma
uma PG. Se a produção em janeiro foi de 3000
unidades e em março foi de 27000 unidades,
quantas unidades foram produzidas em fevereiro?
A soma dos n termos de uma progressão
geométrica finita de razão 1q é:
1
1
1
n
n
qS a
q
Vamos ver um exemplo:
Determine a soma dos dez primeiros termos da PG
(3, 6, 12, ...)
Conhecemos 1 3a , 2q e 10n .
10
1
1 2 13 3 (1024 1) 3069
1 2 1
n
n
qS a
q
Mas e se q = 1? Se q = 1, a PG será constante, e para
saber a soma de seus termos basta multiplicar
qualquer um dos termos pelo número de termos da
PG, ou seja, 1nS a n .
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA
Vamos considerar a seguinte PG: 1 1 1 1
, , , ,...2 4 8 16
.
Podemos facilmente ver que é uma PG cujo
primeiro termo é 1
1
2a e
1
2q . Observe:
1
2
3
4
10,5
2
1 1 30,75
2 4 4
1 1 1 70,875
2 4 8 8
1 1 1 1 150,9375
2 4 8 16 16
S
S
S
S
Você deve ter notado que cada vez mais a soma fica
próxima de 1, mas nunca chegará a 1. Dizemos que,
para esta soma, 1 é a situação-limite, ou
simplesmente limite da soma. Isto acontece quando
o valor absoluto, ou módulo da razão fica entre 0 e
1, ou seja, 0 < |q| <1. Para estes casos, a fórmula da
soma será igual a:
1
1n
aS
q
Vejamos dois exemplos:
Determine a matriz geratriz:
a) da dízima periódica simples 0,333...
b) da dízima periódica composta 0,52121...
a) A dízima periódica pode ser escrita como uma
soma de frações:
0,333... 0,3 0,03 0,003 ...
3 3 3...
10 100 1000
Essas frações formam uma PG, com 1
3
10a e
1
10q . O número 0,333... é o limite máximo da soma
dessas frações. Então temos:
1
3 3
9 110 101 91 3 3
110 10
n
aS
q
10 Soma dos termos de uma PG
24 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
Logo, a fração geratriz é 1
3.
b) Fazemos o mesmo procedimento:
0,5212121... 0,5 0,021 0,00021 ...
5 21 21...
10 1000 100000
Note que nesse caso, a PG começa a partir da
segunda fração.
É uma PG em que 1 3
21
10a e
2
1
10q , então:
1
21 21
211000 10001 991
1100 100
n
aS
q
7
10 1000
100
1
33 99
7
330
Para descobrir a geratriz, somamos essa matriz que
descobrimos com a primeira fração que foi ignorada
no cálculo da geratriz:
5 7 86
10 330 165
Logo, a fração geratriz é 86
165.
EXERCÍCIOS DE TREINO
24. Calcule a soma:
a) dos seis primeiros termos da PG (2, 8, ...)
b) dos seis primeiros termos da PG (7, 14, ...)
c) (5, 20, ..., 1280)
25. Os termos do 1º membro da equação
3 6 ... 381x formam uma PG. Calcule o
conjunto solução dessa PG
26. Calcule o valor limite das seguintes somas:
a) 1 1 1
1 ...2 4 8
b) 1 1
2 ...2 8
27. Calcule a fração geratriz das seguintes dízimas
periódicas:
a) 0,5151...
b) 0,4333...
c) 0,23131...
c) 2,666...
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. (Cefet-MG) A sequência (m, 1, n) é uma
progressão aritmética e a sequência (m, n, –8) é
uma progressão geométrica. O valor de n é:
a) –2
b) –1
c) 3
d) 4
e) 8
2. (Cefet-MG) Somando-se um mesmo número a
cada elemento da sequência (1, –2, 3), obtém-se
uma progressão geométrica. A razão dessa
progressão encontrada é igual a:
a) 5
3
b) 3
5
c) 1
8
d) 3
5
e) 5
3
3. (PUC-MG) Os números inteiros não nulos a, b e c
formam, nessa ordem, uma progressão
geométrica de razão cinco. Os números a, bx e c,
nessa ordem, formam uma progressão
aritmética. O valor de x é:
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC 25
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
a) 13
5
b) 17
5
c) 15
d) 25
4. (PUC-MG) De segunda a sexta-feira, uma pessoa
caminha na pista de 670 metros que contorna
certa praça. A cada dia, ela percorre sempre
uma volta a mais do que no dia anterior. Se,
após andar cinco dias, ela tiver percorrido um
total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no
terceiro dia, essa pessoa deu x voltas em torno
da praça. O valor de x é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
5. (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma
é 30, estão em progressão aritmética. Somando-
se, respectivamente, 4, – 4, e – 9 aos primeiro,
segundo e terceiro termos dessa progressão
aritmética, obtemos três números em
progressão geométrica. Então, um dos termos
da progressão aritmética é:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 13
e) 15
6. (Fuvest-SP) Sejam a e b números reais tais que:
I) a,b e a+b formam, nessa ordem, uma PA;
II-) 2a , 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.
Então o valor de a é:
a) 2
3
b) 4
3
c) 5
3
d) 5
3
e) 8
3
7. (Fuvest-SP) Os números 1a , 2a , 3a formam
uma progressão aritmética de razão r, de tal
modo que 1 3a , 2 3a , 3 3a estejam em
progressão geométrica. Dado ainda que 1a > 0 e
2a = 2, conclui-se que r é igual a:
a) 3 3
b) 3
32
c) 3
34
d) 3
32
e) 3 3
8. Quantos termos consideramos na PG (3, 6, ...)
para obter uma soma que seja igual a 765?
9. A sequência 1 2 3 4, , ,a a a a é uma PA de razão 4
e a sequência 1 2 3 4, , ,b b b b é uma PG de razão
4. Sabendo que 4 3a b e 1 2a b , escreva a PA e
a PG.
10. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa
ordem, estão simultaneamente em PA e PG,
calcule x e y.
11. A espessura de uma folha de papel é 0,05 mm.
Forma-se uma pilha de folhas de papel
colocando-se na 1ª vez uma folha, e em cada
uma das seguintes, tantas folhas quanto já havia
na pilha. Após 11 operações iguais a essa, qual a
altura da pilha de papel em centímetros?
12. Um sitiante estava perdendo sua plantação de
algodão em decorrência da ação de uma praga.
Ao consultar um agrônomo da Casa da Lavoura,
foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao
dia, um determinado agrotóxico da seguinte
maneira: 2 litros no 1º dia, 4 litros no 2º dia, 8
26 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Capítulo 3 – Progressões Álgebra II
litros no 3º dia, e assim por diante. Sabendo que
a quantidade de agrotóxico pulverizado foi de
126 litros, quantos dias esse tratamento durou?
13. Calcule x e y sabendo que a sequência (x, y, 9) é
uma PA, e a sequência (x, y, 12) é uma PG
crescente.
14. Uma bola de borracha cai de uma altura a. Após
chocar-se com o solo, a bola atinge apenas 2
3 de
altura inicial. Quanto a bola percorrerá até que
pare?