UNIVERSITATEA “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOVFacultatea de Inginerie Electrică şi Ştiinţa Calculatoarelor

Catedra de Automatică Şi Informatică Aplicată

PROIECT FIABILITATE ȘI DIAGNOZĂ

Student : Vaida Lorant JanosGrupa :4402

BRAȘOV 2014

1

1. Informaţii generale privind modelarea fiabilităţii

Sistemele automate, hardware şi software sunt create uzual pentru a îndeplini anumite sarcini, pentru a atinge anumite obiective de natură tehnică, din domeniul comunicaţiilor, acţionărilor electrice şi hidraulice etc. Este foarte important ca aceste sisteme să funcţioneze adecvat, adică întreruperile nedorite, necomandate, să fie cât mai rare şi cât mai scurte, iar dacă se produc, depanarea sau înlocuirea sǎ fie posibile şi totodată să nu fie excesiv de îndelungate sau costisitoare. Desigur, toate aceste condiţii trebuie satisfăcute nuanţat deoarece totdeauna sunt implicate anumite costuri. Nu este nici pe departe necesar a se crea sau a se achiziţiona un dispozitiv capabil sǎ funcţioneze practic perfect ani la rând dacǎ utilizarea lui vizează câteva săptămâni. Un asemenea sistem ar costa foarte mult. În asemenea împrejurǎri, este raţional a uza de unul mai ieftin, mai puţin durabil, dar care să fie suficient de sigur pentru a servi atingerii scopului propus. Problema readucerii sistemului defect la parametrii funcţionali normali în raport cu obiectivul urmărit, se poate face prin operaţii de mentenanţă sau prin înlocuirea integrală. Şi aici trebuie calculat prin prisma costurilor: mentenanţa poate costa uneori mai mult decât înlocuirea iar alteori depanarea pur şi simplu nu este posibilǎ.

Timpul necesar mentenanţei unui sistem, care subit devine nefuncţional, include şi o prealabilǎ etapă de diagnoză, care ea însăşi are o duratǎ uneori semnificativă. Un echipament sau un program de calcul defect nu trebuie demontat, reanalizat în întregime ci numai în acea parte a lui sau în acea reuniune de părţi vinovată de proasta funcţionare sau de nefuncţionare. Din nou, diagnoza corectă este o problemǎ care implică importante cheltuieli de bani şi de timp. Readucerea la standardul funcţional necesar depinde în mare măsură de iscusinţa cu care este pus diagnosticul. Este aproape de la sine înteles că punerea diagnosticului şi remedierea defectelor nu sunt totdeauna faze succesive. Uneori faza de diagnosticare se desfăşoară paralel şi se suprapune cu operaţiile de depanare propriu-zisă.

În legătură cu funcţionarea sau nefuncţionarea sistemelor, fie ele hardware sau software, sunt câteva concepte care trebuie definite cel puţin provizoriu încă de la început. Astfel, se vorbeşte de capacitatea operaţională a unui sistem în funcţiune, care nu este altceva decât capacitatea acelui sistem de a îndeplini anumite cerinţe operaţionale, într-un interval de timp dat, în condiţii specificate. Fiabilitatea în sens larg sau disponibilitatea unui sistem constă în capacitatea lui de a îndeplini corect funcţiunile pentru care este gândit, la un moment dat sau pe un interval de timp precizat, dacă sistemul este folosit, exploatat în anumite condiţii şi dacă este întreţinut corespunzător.

Mentenanţa preventivă are drept scop reducerea posibilităţilor de producere a defectelor. Ea se poate împărţi în două categorii:

Mentenanţă sistematică sau programată, la care componentele sistemului sunt înlocuite la intervale regulate de timp, după un calendar prestabilit, şi constă în operaţii de înlocuire, control şi reglaj al subsistemelor supuse uzurii fizice sau morale;

Mentenanţă predictivă sau condiţionată, la care se intervine numai dacă există un risc iminent sau se degradează puternic performanţele sistemului, decizia de înlocuire

2

a pieselor depinzând de rezultatul studiului de diagnosticare efectuat după monitorizarea sistemului.

Mentenanţa sistematică se aplică pentru sistemele la care costurile de înlocuire nu sunt prea mari, iar mentenanţa predictivă pentru sistemele care au costuri de înlocuire mari şi a căror stare poate fi determinată prin teste nedistructive. În ultimi ani s-a dezvoltat o direcţie nouă a mentenanţei preventive, mentenanţă proactivă, la care se acţionează în sensul eliminării cauzelor care declanşează procesele de degradare ale echipamentelor (similar cu acţiunile corective din sistemul calităţii).

În sistemele cu redundanţă de rezervă, defectările repetate pot provoca epuizarea redundanţei sistemului, conducând la distrugere sau oprire. Pentru a minimaliza acest risc, se poate realiza o mentenanţă preventivă (MP). Aceasta face să crească fiabilitatea sistemului, atrăgând costuri condiţionate pentru service şi oprirea programată a sistemului. Mentenanţa preventivă aduce sistemul la starea apropiată de cea nouă.

Odată cu creşterea complexităţii sistemelor şi a exigenţelor, conceptul de mentenanţă a evoluat, iar activitatea aferentă a fost încadrată într-un management special. Un exemplu semnificativ îl prezintă mentenanţa bazată pe fiabilitate (MBF). Principiile de bază ale metodei au fost introduse pentru prima dată în SUA, la sfârşitul anilor 1960, în aeronautică, sub denumirea de MSG (Maintenance Steering Group). Performanţele MBF permit reducerea costului necesar desfăşurării activităţilor de mentenanţă, pentru acelaşi nivel de securitate impus. Din acest motiv a fost adoptat şi de alte companii din alte domenii, în funcţie de obiectivele lor specifice.

Mentenanţa bazată pe fiabilitate corespunde unei politici care identifică, într-o primă etapă componentele critice pentru funcţionarea instalaţiei, a căror defectare are un impact considerabil asupra obiectivelor propuse (securitate, disponibilitate, costuri, mentenabilitate, etc.). Obiectivul MBF este de a evita defectarea acestor componente critice, cu efecte ce se repercutează asupra costurilor de exploatare directe şi indirecte.

În a doua etapă sunt identificate condiţiile în care anumite componente, deşi funcţionale, semnalează o defectare iminentă. În consecinţă obiectivul MBF este de a clasifica defectele ce apar în defecte funcţionale şi defecte potenţiale. Deci defectarea potenţială prezintă o condiţie fizică identificabilă, care indică o defectare funcţională iminentă.

Principiul unei mentenanţe preventive eficace este determinarea simptomelor ce permit evaluarea limitei de degradare (diagnoză), astfel încât echipamentul să fie folosit la maximum, dar fără să apară defectarea funcţională. MBF nu face apel decât la acele metode de mentenanţă preventivă, eficace şi aplicabile, care ajută la prevenirea apariţiei modurilor de defectare a componentelor critice.

Un program de mentenanţă eficace, în concepţia MBF, planifică doar acele metode necesare atingerii obiectivului propus pe tot parcursul funcţionării sistemului. În prezent, cea mai folosită politică de mentenanţă este mentenanţa preventivă. Cu scopul de a se mări performanţele sistemului au fost dezvoltate şi alte metode sau combinaţii ale metodelor considerate clasice.

3

2. Modele statistice utilizate în teoria fiabilitǎţii sistemelor

În esenţă, studiile de fiabilitate, mai ales în faza de diagnoză, se reduc la o abordare statistică a modului prin care defectele sistemului sunt generate, repartiţia acestora şi calculul indicatorilor statistici privind evoluţia trendului şi gradului de corelaţie dintre valorile rezultate în urma testărilor diferitelor echipamente.

Este important de remarcat că în general, caracteristicile controlate urmează o repartiţie normală (cazul variabilelor de tip continuu) respectiv o repartiţie binomială sau Poisson (cazul variabilelor de tip discret). Nu este exclus ca anumite caracteristici să aibă alte tipuri de repartiţii. Din această cauză, verificarea ipotezei referitoare la repartiţia teoretică pe care o urmează caracteristica este obligatorie. Până în prezent, marea majoritate a tabelelor numerice elaborate în vederea controlului statistic sunt întocmite pentru cazul variabilelor cu distribuţie normală.

Pentru cazul repartiţiei oarecare, controlul statistic se poate face pe baza unor fişe de control speciale. Înainte de a verifica concordanţa dintre repartiţia statistică practică şi cea teoretică, trebuie să existe siguranţa că variaţia valorilor caracteristicii incluse în repartiţie pe baza graficului de timp, se datorează unor cauze aleatoare, deci rezultatele succesive furnizate de procesul de testare sunt independente.

Pe baza valorilor observate, se calculează estimaţiile caracteristicilor care exprimă precizia (abaterea medie pătratică sau amplitudinea) şi acurateţea testării (media, mediana). Dacă valorile estimaţiilor se situează în interiorul intervalului de control, delimitat cu ajutorul metodelor statisticii matematice, se consideră că procesul se desfăşoară normal din punct de vedere al preciziei şi eficienţei. Limitele de control se calculează astfel încât probabilitatea depăşirii lor, atunci când în realitate echipamentul nu a suferit nici o perturbaţie sistematică, să fie suficient de mică. În marea majoritate a cazurilor, depăşirea acestor limite de control, indică fie o dereglare sistematică, fie o modificare a preciziei echipamentului respectiv.

Pentru sistemele fără reânnoire, adică pentru acele sisteme care odată defectate sunt iremediabil pierdute, durata lor de viaţă este o variabilă aleatoare. O variabilă aleatoare este complet definită de funcţia ei de repartiţie. Durata de viaţă este o variabilă aleatoare de tip continuu, prin urmare funcţia de repartiţie este o funcţie continuă şi derivabilă în raport cu timpul până la prima (şi ultima) defectare. În cazul continuităţii variabilei, densitatea ei de repartiţie este de asemenea capabilă să o descrie complet.

Intervalul dintre două teste trebuie specificat în prescripţiile metodei şi depinde de metoda utilizată, de volumul eşantionului şi de intensitatea utilizării echipamentului (sau instalaţiei). Momentul prelevării eşantioanelor nu trebuie să favorizeze o anumită categorie de echipamente, de exemplu, să nu coincidă cu o revizie periodică.

4

3. Concluzii generale asupra introducerii controlului statistic în timpul procesului de exploatare a echipamentelor

Introducerea controlului statistic al calităţii într-o firmă trebuie începută cu pregătirea tuturor acelor care vor trebui să colaboreze la desfăşurarea lui. Cel puţin un inginer ataşat serviciului de control a calităţii va fi însărcinat să se ocupe numai de această problemă. El va trebui:

Să-şi aleagă controlorii cu care va lucra; Să determine punctele unde va începe introducerea controlului statistic al calităţii; Să ţină legătura între proiectant şi tehnolog pe de o parte, între executant şi controlor pe de altă parte; Să urmărească întocmirea fişelor de control, modul de înregistrare şi interpretare şi în fine, să urmărească periodic dacă limitele admisibile stabilite nu ar trebui modificate; Să informeze permanent conducerea departamentului asupra rezultatelor şi avantajelor economice obţinute.

Criteriile generale care ar trebui să stea la baza alegerii punctelor unde va începe aplicarea controlului statistic al fiabilităţii în timpul procesului de exploatare, sunt următoarele:

Produsul ales să aibă pondere importantă în economia întregii activităţi a firmei; Caracteristicile urmărite ale produsului să fie determinante pentru definirea calităţii; Echipamentul să aibă o mare răspândire în activitatea firmei; Echipamentul sau instalaţia aleasă să execute o singură operaţie sau un set predefinit de instrucţiuni (se vor alege de preferinţă echipamente sau instalaţii automate sau semi-automate); Se vor evita, cel puţin la început, operaţiile cu un procent foarte mare de defectare.

De cele mai multe ori, defectul provine nu dintr-o dirijare ne-raţională a procesului tehnologic, ci mai curând dintr-o defectare a sistemului central sau a sistemelor fără redundanţă de rezervă. În aceste cazuri, premergător introducerii controlului statistic în timpul procesului de exploatare, trebuie să se execute revizia şi depanarea echipamentului sau instalaţiei.

Pentru ca eficienţa controlului statistic să fie optimă, este necesar să fie îndeplinite următoarele condiţii:

Informaţiile obţinute prin metoda de control aplicată, să fie corecte; Rezultatele măsurărilor şi interpretarea lor să fie prezentate sugestiv şi accesibil înţelegerii tuturor celor interesaţi. Această condiţie se poate realiza cu ajutorul fişelor de control. Metoda de control să fie justificată economic, în care scop, trebuie redus la minimum costul operaţiilor de măsurare şi interpretare a rezultatelor. Controlul trebuie efectuat pe cât posibil, pe eşantioane mici, la intervale de timp destul de mari, iar interpretarea rezultatelor să nu necesite o prelucrare prea laborioasă.

5

Realizarea studiului

Studiu se realizeaza pentru un numar de 48 de echipamente din generaţii diferite:10,14,15,40, 45,47,48,11,12,13,18,17,16,22,20,10,11,13,15,14,19,17,18,20,21,18,19,17,16,23,24,25,26,27,22,25,27,26,24,23,28,29,31,33,34,36,38,39.

1. Gruparea pe intervale egale implică următoarele etape:

a) calculul amplitudinii absolute a variaţiei (A), care exprimă împrăştierea maximă a valorilor seriei, după formula:

Ax = xmax - xmin, unde în cazul nostru xmin este 10, iar xmax este 50.

Deci, Ax = 40 h-defecte

Ax = xmax - xmin, unde în cazul nostru xmin este 44, iar xmax este 94.

Deci, Ax = 50 s- defecte

b) determinarea mărimii intervalului de grupare (h), se calculează ca raport între amplitudinea absolută a variaţiei şi numărul de grupe:

h=Ax

k = ....defecte

c) dacă numărul grupelor nu este cunoscut, mărimea intervalului se stabileşte prin formula lui Sturges: (n= nr echipamente = 48 h defecte)

(n= nr echipamente = 58 pentru s defecte)

h=Ax

1+3 .322 lg n=40

1+3 .322 lg 48≈6 h−defecte

h=Ax

1+3 .322 lg n=50

1+3 .322 lg58≃8 s−defecte

În urma grupării a rezultat seria de distribuţie a frecvenţelor prezentată în tabel:

Grupe de h-defectedupă cicluri de

testareNr. de echip. defecte

Grupe de s-defectedupă cicluri de

testareNr. de echip. defecte

6

[10-16)[16-22)[22-28)[28-34)[34-40)[40-50)

111311445

[44-52)[52-60)[60-68)[68-76)[76-84)[84-94)

314201254

Total 48 Total 58

2. Reprezentarea grafică a seriei de distribuţie a frecvenţelor se face prin histogramă:

h-defecte

[10-16) [16-22) [22-28) [28-34) [34-40) [40-50)0

2

4

6

8

10

12

14

11

13

11

4 45

Reprezentarea grafică a seriei de distribuţie pentru h-defecte

s-defecte

7

[44-52) [52-60) [60-68) [68-76) [76-84) [84-94)0

5

10

15

20

25

3

14

20

12

5 4

Reprezentarea grafică a seriei de distribuţie pentru h-defecte

Calculul indicatorilor tendinţei centrale pentru h defecte

3. Indicatorii tendinţei centrale: media aritmetică (x ), mediana (Me) şi modulul (Mo);

Se calculează conform formulelor de mai jos, completând următorul tabel:

Grupe de defectecf. exp. – nr.-

Nr echipam.

ni

x i x i⋅n iFrecvenţecumulate (x i− x)2 ni

[10-16) 11 13 143 11 1584

[16-22) 13 19 247 24 468

[22-28) 11 25 275 35 0

[28-34) 4 31 124 39 144

[34-40) 4 37 148 44 576

[40-50) 5 45 225 48 2000

Total 48 1199 4722

8

a) media aritmetică se calculează după formula:

x=∑

i

x i ni

∑i

ni = 25 defecte/echip.

b) pentru calculul medianei trebuie să parcurgem doi paşi:

stabilirea locului medianei (Me), după formula:

∑i

ni+1

2 = 24.5

deci locul Me este intervalul [22-28), primul interval care depăşeşte frecvenţele cumulate mai mari decât 24.5 defecte/echip.;

calculul efectiv al Me, după formula:

Me=x0+h

∑ ni+1

2− ∑

n i=1

ni=Me−1

ni

nMe

=22+6⋅24 . 5−2411

=22 .27 defecte /echip .

c) pentru calculul modului (Mo) trebuie să parcurgem etapele:

stabilirea locului Mo, care se poate observa că este intervalul cu frecvenţa maximă, adică intervalul [22-28)

calculul efectiv al Mo, după formula:

Mo=x0+hΔ1

Δ1+Δ2

=22+6⋅29=23 .33 defecte /echip .

9

Δ1 = 11-13 = |-2|=2;

Δ2 = 11-4 = 7;

4. Se verifică reprezentativitatea mediei;

Pentru această verificare avem nevoie să calculăm coeficientul de variaţie (v), după formula:

vx=δx⋅100

Formula ne obligă să calculăm δ care reprezintă abaterea medie pătratică şi care se calculează

după formula: δ=√δ2, unde δ

2 reprezintă dispersia.

Dispersia se calculează după formula:

δ2=∑

i( xi− x )2ni

∑i

n i

=491648

=99 . 41

Acum putem calcula abaterea medie pătratică: δ=√δ2= 9.97

Cu ajutorul abaterii medii pătratice putem verifica reprezentativitatea mediei, adică să calculăm

coeficientul de variaţie: vx=20 .77 %

Valoarea coeficientului de variaţie vx este 20.77 deci vx < 35%, ceea ce înseamnă că seria este omogenă, iar media 25 defecte/echipament este reprezentativă seriei.

5. Să se stabilească proporţia echipamentelor cu o rată a defectărilor mai mare decât 36 defecte

Analizând grupele de echipamente, după rata defectării, observăm că rata mai mare de 36 defecte este realizată de ultimele trei grupe, adică de 4, 4 si 5 echipamente. Calculând, proporţia rezultă ca fiind:

4+4+548

⋅100=27 . 08 %

6. Calculaţi structura echipamentelor pe grupe:

10

Grupe de echip.

după defecte – nr. -

Nr. echip. Structură

%

10-16 11 22.91

16-22 13 27.08

22-28 11 22.91

28-34 4 8.33

34-40 4 8.33

40-50 5 10.41

Total 48 100%

7. Reprezentaţi grafic structura echipamentelor în funcţie de defecte

23%

27%23%

8%

8%

10%

Structura echipamentelor in functie de h de-fecte

10-1616-2222-2828-3434-4040-50

11

Calculul indicatorilor tendinţei centrale pentru s defecte

3. Indicatorii tendinţei centrale: media aritmetică (x ), mediana (Me) şi modulul (Mo);

Se calculează conform formulelor de mai jos, completând următorul tabel:

Grupe de defecte

cf. exp. – nr.-

Nr echipam.

ni

y i y i⋅ni

Frecvenţe

cumulate( yi− y )2 ni

[44-52) 3 48 144 3 972

[52-60) 14 56 784 17 1400

[60-68) 20 64 1280 37 80

[68-76) 12 72 864 49 432

[76-84) 5 80 400 54 980

[84-94) 4 89 356 58 2116

Total 58 3828 218 5800

a) media aritmetică se calculează după formula:

y=∑

i

y i ni

∑i

ni

=382858

=66 defecte /efecte

b) pentru calculul medianei trebuie să parcurgem doi paşi:

stabilirea locului medianei (Me), după formula:

∑i

ni+1

2 = 29.5

deci locul Me este intervalul [60-68), primul interval care depăşeşte frecvenţele cumulate mai mari decât 29.5 defecte/echip.;

12

calculul efectiv al Me, după formula:

Me=x0+h

∑ ni+1

2− ∑

n i=1

ni=Me−1

ni

nMe

=60+8⋅29 .5−1720

=65 defecte /echip .

c) pentru calculul modului (Mo) trebuie să parcurgem etapele:

stabilirea locului Mo, care se poate observa că este intervalul cu frecvenţa maximă, adică intervalul [60-68)

calculul efectiv al Mo, după formula:

Mo=x0+hΔ1

Δ1+Δ2

=60+8⋅ 614

=63 . 42 defecte /echip .

Δ1 = 20-14 = 6;

Δ2 = 20-12=8 ;

4. Se verifică reprezentativitatea mediei;

Pentru această verificare avem nevoie să calculăm coeficientul de variaţie (v), după formula:

v y=δy⋅100

Formula ne obligă să calculăm δ care reprezintă abaterea medie pătratică şi care se calculează

după formula: δ=√δ2, unde δ

2 reprezintă dispersia;

Dispersia se calculează după formula:

δ2=∑

i( y i− y )2ni

∑i

ni

=580058

=100

13

Acum putem calcula abaterea medie pătratică: δ=√δ2= 10

Cu ajutorul abaterii medii pătratice putem verifica reprezentativitatea mediei, adică să calculăm

coeficientul de variaţie: vx=15 .15 %

Valoarea coeficientului de variaţie vx este 15.15 deci vx < 35%, ceea ce înseamnă că seria este omogenă, iar media 66 defecte/echip. este reprezentativă seriei.

5. Să se stabilească proporţia echipamentelor cu o rată a defectărilor mai mare decât 38 defecte

Analizând grupele de echipamente, după rata defectării, observăm că rata mai mare de 38 defecte este realizată de ultimele trei grupe, adică de 12, 5 şi 4 echipamente. Calculând, proporţia rezultă ca fiind:

a+b+c58

⋅100=12+5+458

⋅100=36.20%

6. Calculaţi structura echipamentelor pe grupe:

Grupe de echip.

după defecte

– nr. -

Nr. echip. Structură

%

44 – 52 3 5.172414

52 – 60 14 24.13793

60 – 68 20 34.48276

68 – 76 12 20.68966

76 – 84 5 8.62069

84 - 94 4 6.896552

Total 58 100

14

7. Reprezentaţi grafic structura echipamentelor în funcţie de defecte

5%

24%

34%

21%

9%

7%

Structura echipamentelor in functie de h de-fecte

44 – 5252 – 6060 – 6868 – 7676 – 8484 - 94

Se realizează un studiu de diagnoză preliminară asupra unui număr de 58 echipamente de calcul de generaţii diferite. Soft-urile aparţin de asemenea unor diferiţi producători de tehnologie informatică, ori sunt de diverse versiuni. Programul de diagnoză este CASRE, soft specializat de analiză a fiabilităţii software. Defecţiunile (căderile) de sistem au fost clasificate în două grupe principale: var. X-defecte hardware (notate h-defecte) şi var. Y-defecte software (notate s-defecte). În această etapă se urmăreşte organizarea datelor culese în urma experimentului fiabilistic şi încercarea de a valida ipoteza dependenţei (corelării) celor două tipuri de defecte. Defectele de tip h se încadrează în intervalul [10;50] iar defectele de tip s în intervalul [44;94]

Etapa 1

Gruparea echipamentelor după var. X ( h-defecte)

1. Calculul amplitudinii absolute:

Aa=x max−xmin=40 h−defecte

2. Mărimea intervalelor se stabileşte prin formula lui Sturges:

h=Aa

1+3 . 322 log n=40

1+3 . 322⋅lg 58≃6

Gruparea echipamentelor după var. Y ( s-defecte)

15

1. Calculul amplitudinii absolute:

Aa=x max−xmin=50 s−defecte

2. Mărimea intervalelor de variaţie:

h=Aa

1+3 . 322 log n=50

1+3 . 322⋅lg 58≃8

Repartiţia echipamentelor testate după h-defecte şi s-defecte şi centralizarea pe grupe:

Grupe de h-defectedupă cicluri de

testareNr. de echip. defecte

Grupe de s-defectedupă cicluri de testare

Nr. de echip. defecte

[10-16)[16-22)[22-28)[28-34)[34-40)[40-50)

613181164

[44-52)[52-60)[60-68)[68-76)[76-84)[84-94)

314201254

Total 58 Total 58

Determinarea corelaţiei dintre tipurile de defecte. Calculul coeficientului de corelaţie Pearson. Interpretare.

Coeficientul de corelatie Pearson obtinut este de 0.98, valoare care arata ca intre h – defecte si s – defecte exista o buna asociere, si asocierea este pozitiva, adica valori crescute ale h – defectelor indica valori crescute ale s – defectelor

Corelaţia dintre cele două variabile are o tendinţă crescătoare, ceea ce sugerează o interdependenţă între h-defecte şi s-defecte. Rezultatul confirmă faptul că, uzual, defectele apărute în sistemele hardware influenţează (uneori generează) căderile din zona software. Dependenţa este una pozitivă: o creştere a numărului de h-defecte conduce la multiplicarea

numărului s-defectelor. Valoarea coeficientului de determinare d=R2=0. 98 indică intensitatea relaţiei dintre cele două tipuri de defecte. Astfel 98% din variaţia s-defectelor se datorează relaţiei liniare cu h-defectele, ceea ce confirmă legătura cauzală dintre cele două tipuri. Variaţia reziduală este de doar 2%.

16

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2202468

101214161820

f(x) = 0.773255813953488 x + 2.19186046511628R² = 0.970217200526547

Corelatia dintre h defecte si s defecte

H Defecte

s def

ecte

Etapa 2

În această etapă se urmăreşte calcularea principalilor indicatori statistici şi analiza corelaţiei dintre tipurile de defecte diagnosticate

Pentru variabila X: defecte hardware (notate h-defecte), s-au obţinut următoarele date:

Grupe deh-defectedupă cicluri de testare

Nr. de echip. defecte (ni )

Centrul intervalului( x i)

x i⋅n ini(%)

¿ =ni

∑i

ni

⋅100 x i⋅n i(% )¿

xi−a

ha =25h=6

xi−a

h⋅n i

[10-16) 6 13 78 10.34483 134.482 -2 -22

[16-22) 13 19 247 22.41379 425.862 -1 -13

[22-28) 18 25 450 31.03448 775.862 0 0

[28-34) 11 31 341 18.96552 587.931 1 11

[34-40) 6 37 222 10.34483 382.758 2 12

[40-50) 4 45 180 6.896552 310.344 3 12

Total 58 1518 100% 2617.24 3 10

Indicatorii tendinţei centrale:

17

1. Media aritmetică:

- cu frecvenţe absolute:

x=∑i=1

k

x i ni

∑i=1

k

ni

=26 .17 h−defecte

- cu frecvenţe relative:

x=∑i=1

k

x i ni¿

100=26 .17−defecte

- calcul simplificat:

x=∑i=1

k ( x i−a

h )⋅ni

∑i=1

k

ni

⋅h+a=1058

+25=25 .17

2. Calculul modului (Mo):

stabilirea locului Mo, care se poate observa că este intervalul cu frecvenţa maximă, adică intervalul [22-28)

calculul efectiv al Mo, după formula:

Mo=x0+hΔ1

Δ1+Δ2

=22+6⋅ 512

=24 .5defecte /echip .

3. Calculul medianei (Me):

Poziţia medianei:

PMe=

∑i

ni+1

2=29 . 5

,

18

deci: Me∈ [22-28 ]

Me=x0+h

∑ ni+1

2− ∑

n i=1

ni=Me−1

ni

nMe

=22+6⋅29 .5−1918

=25 . 5defecte /echip .

Grupe de h-

defectedupă

cicluri de

testare

Nr. de echip. defect

e (ni )

Centrul intervalului

( x i)

x i− x |x i− x|⋅ni (x i− x)2⋅ni

xi−a

ha =25h=6

( x i−a

h )2

⋅ni

[10-16) 6 13 -13 78 1014 -2 24[16-22) 13 19 -7 91 637 -1 13[22-28) 18 25 0 0 0 0 0[28-34) 11 31 5 55 275 1 11[34-40) 6 37 11 66 726 2 24[40-50) 4 45 19 76 1444 3 36Total 58 15 366 4096 3 108

Calculul indicatorilor de variaţie:

1. Abaterea medie liniară σ l :

σ l=∑i=1

k

|x i− x|⋅ni

∑i=1

k

ni

=36658

=6 .310−defecte

2. Dispersia:

- Calcul standard:

σ 2=∑i=1

k

(xi− x )2⋅ni

∑i

ni

=409658

=70 .62

19

- Calcul simplificat:

σ 2=∑i=1

k

( x i−a

h )2

⋅ni

∑i=1

k

ni

⋅h2− ( x−a )2=68 .42

3. Abaterea medie pătratică:

σ=√σ2=√68 . 42=8 .27 h−defecte

4. Coeficientul de variaţie:

v1=σ l

x⋅100= 8. 27

26 .20⋅100=31.56 %

v2=σx⋅100= 8 . 40

26 .20⋅100=32. 06 %

Seria de repartiţie este omogenă. Media este reprezentativă pentru serie.

5. Calculul coeficientului de asimetrie:

CasX= x−Moσ

=26 .20−24 . 58 . 27

=0 .205. Seria este usor asimetrică, cu asimetrie pozitiva.

Grupe de s-defectedupă cicluri de testare

Nr. de echip. defecte

)( in

Centrul intervalului

( y i )y i⋅ni

ni(% )¿ =

ni

∑i

ni

⋅100 y i⋅ni(% )¿

y i−a

ha=64h=8

y i−a

h⋅ni

[44-52) 3 48 144 5.172414 248.2759 -2 -6[52-60) 14 56 784 24.13793 1351.724 -1 -14[60-68) 20 64 1280 34.48276 2206.897 0 0[68-76) 12 72 864 20.68966 1489.656 1 12[76-84) 5 80 400 8.62069 689.6552 2 10[84-94) 4 89 356 6.896552 613.7931 3 12

20

Total 58 3828 100 6600 3 14

Pentru variabila Y: defecte software (notate s-defecte), s-au obţinut următoarele date:

Indicatorii tendinţei centrale:

1. Media aritmetică:

2. Calculul modului (Mo):

M0 apartine intervalului [60-68) şi are valoarea:

Mo=x0+hΔ1

Δ1+Δ2

=60+8⋅ 614

=63 .42 defecte /echip .

3. Calculul medianei (Me):

Me=x0+h

∑ ni+1

2− ∑

n i=1

ni=Me−1

ni

nMe

=60+8⋅29 .5−1720

=65 defecte /echip .

Grupe de s-defectedupă cicluri de testare

Nr. de echip. defecte (ni )

Centrul intervalului( y i )

y i− y |y i− y|⋅ni ( yi− y )2⋅ni

y i−a

ha=64h=8

( y i−a

h )2

⋅ni

[44-52) 3 48 -18 54 972 -2 12

[52-60) 14 56 -10 140 1400 -1 14

[60-68) 20 64 -2 40 80 0 0

efectedefecten

nyy

ii

iii

/6658

3828

21

[68-76) 12 72 6 72 432 1 12

[76-84) 5 80 14 70 980 2 20

[84-94) 4 88 22 88 1936 3 36

Total 58 13 464 5800 3 94

1. Abaterea medie liniară σ l :

σ l=∑i=1

k

|yi− y|⋅n i

∑i=1

k

ni

=8 . 06≃8 s−defecte

2. Dispersia:

σ 2=∑i=1

k

( y i− y )2⋅ni

∑i=1

k

ni

=580058

=100

σ 2=∑i=1

k

( yi−a

h )2

⋅n i

∑i=1

k

ni

⋅h2−( y−a )2=100

4. Abaterea medie pătratică:

22

σ=√σ2=√100=10 s−defecte

4. Coeficienţii de variaţie (vs1¿

¿)

vs1=σ l

y⋅100=15 .15 %

vs2=σy⋅100=15 . 37%

Se poate spune că seria este omogenă şi seria este reprezentativă.

5. Calculul coeficientului de asimetrie:

CasY= y−Moσ

=0 . 258 deci avem o serie usor asimetrică, cu asimetrie pozitiva.

Se alcătuieşte un tabel prin gruparea mixtă a defectelor în funcţie de provenienţa (sursa) lor. Considerăm h-defectele (pe intervale inegale) şi s-defectele (pe intervale egale).

h-defecte

s-defecte Total

(ni. )44-52 52-60 60-68 68-76 76-84 84-94

10-22 1 8 10 - - - 19

22-34 2 6 7 10 4 - 29

34-50 - - 3 2 1 4 10

Total 3 14 20 12 5 4 58

23

1. Se determină mediile de grupă ( y i ):

y i=∑j=1

m

y j n ij

∑j=1

m

nij

y1=48+8∗56+64∗1019

=59. 78 defecte

y2=.2∗48+6∗56+7∗64+720+32029

=66. 20 defecte

y3=3∗64+2∗72+80+4∗8810

=76 .80 defecte

2. Se determină media generală:

y=∑j=1

m

y j n j

∑j=1

m

n j

=382858

=66

24

3. Calculul indicatorilor sintetici ai variaţiei:

3.1 Dispersiile de grupă (σ i2 )

σ i2=

∑j=1

m

( y j− y i )2nij

∑j=1

m

nij

σ 12=(48−59.78)2∗1+ (56−59.78 )2∗8+¿¿

σ 22=

(48−66)2∗2+(56−66 )2∗6+(64−66 )2∗7+ (72−66 )2∗10+(80−16 )2∗429

=83.44

σ 32=

(64−76.8)2∗3+2∗(72−76.8 )2+4∗(88−76.8 )2+(80−76.8)2

10=111.2

10=111

3.2 Media dispersiilor de grupă ( σ2) :

σ 2=σ y /r=∑

i

σ i2ni

∑i

ni

=22 . 69∗19+83.44∗29+111∗1058

≃68 .

3.3 Dispersia dintre grupe ( δ2) :

δ2=σ y /x2 =

∑i=1

r

( y i− y)2 ni

∑i=1

r

ni

=735+116658

≃32

25

3.4 Dispersia totală ( σ2)

σ 2=σ y2=

∑j=1

m

( y j− y )2n j

∑j=1

m

n j

=972+1400+80+432+980+193658

=100

Se verifică regula de adunare a dispersiilor:

σ 2=σ y2=σ 2+δ2

sau

σ y2=σ y /r

2 +σ y /x2

Condițiile de mai sus sunt valide și adevărate. Acest lucru se demonstrează mai jos:

100=68+32

sau

100=68+32

Pe baza acestei reguli putem calcula următorii indicatori statistici:

1. Gradul de determinaţie (R y / x2 ) :

R y /x2 = δ2

σ2⋅100=32%

2. Gradul de nedeterminaţie ( K y / x2 )

26

K y /x2 = σ2

σ2⋅100=68 %

Din rezultatele obţinute rezultă faptul că variaţia totală a cuantificării fiabilităţii este datorată într-o proporţie mai mică factorului de grupare şi într-o măsură mai mare factorilor neînregistraţi. Influenţa factorului de grupare (pe s-defecte), este doar la jumătate din influenţa factorilor neînregistraţi.

Etapa 2

Estimarea intervalelor de reprezentativitate pentru fluxul mediu de defecte şi pentru fluxul total de defecte:

A. Sondaj simplu cu repetiţie:

1. Eroarea medie de reprezentativitate (σ y ) :

σ y=μ y=√ σ2

n=√100

58=√1 . 72=1 .31 defecte

2. Eroarea limită ( Δ y ):

Δ y=z⋅σ y=3∗1 .31=3 . 93 defecte

3. Intervalul în care va fi inclus fluxul mediu de defecte pe întreaga selecţie:

y−Δ y≤ y0≤ y+ Δ y

62≤ y0≤70

y0∈[ 62 ,70 ]¿defecte

¿

27

4. Intervalul în care va fi inclus fluxul total de defecte pe întreaga selecţie:

N=580

N ( y−Δ y )≤∑i=1

N

y i≤N ( y+ Δ y )

35960 defecte≤∑i=1

580

yi≤40600 defecte

B. Sondaj simplu nerepetat:

1. Eroarea medie de reprezentativitate (σ y ) :

σ y=√ σ 2

n⋅(1−

nN )=1 .244 defecte

2. Eroarea limită ( Δ y ):

Δ y=z⋅σ y=3∗1 . 244≃4 defecte

3. Intervalul în care va fi inclus fluxul mediu de defecte pe întreaga selecţie:

y−Δ y≤ y0≤ y+ Δ y ,

66−4≤ y0≤66+4

y0∈[ 62 ,70 ]¿defecte

¿

4. Intervalul în care va fi inclus fluxul total de defecte pe întreaga selecţie:

N ( y−Δ y )≤∑i=1

N

y i≤N ( y+ Δ y )

35960 defecte≤∑i=1

580

yi≤40600 defecte

Etapa 3

28

A.Teste pentru verificarea ipotezelor statistice.

B. Teste de corelaţie.

A. Se consideră selecţia unui volum de n=9 echipamente testate individual, în funcţie de tipul defectelor înregistrate:

Echipament var.X var. Y d i d i−d (di−d )21 12 64 52 -1.22 1.4882 20 67 47 -6.22 38.6883 28 82 54 0.78 0.6084 21 84 63 9.78 95.6485 17 88 71 17.78 316.1286 23 68 45 -8.22 67.5687 34 92 58 4.78 22.8488 18 67 44 -9.22 85.0089 16 69 45 -8.22 67.568

Total 479 0.02 695.55

Datele selecţiei constituie efectele prevalenţei tipurilor de defecte asupra echipamentelor supuse studiului de diagnoză. Factorii interni, în funcţie de zona de provenienţă, pot provoca o diferenţă semnificativă a mediilor, atunci când nu există nicio diferenţă în efectele pe care dorim să le cercetăm. Etapa studiului constă în a valida care din cele două tipuri de defecte are un impact mai puternic asupra stării de nonfiabilitate a lotului de echipamente studiat. În acest caz se recurge la experimentare prin observaţii perechi pe volumul de selecţie realizat.

Variabila X: h-defecte

Variabila Y: s-defecte

La un prag de semnificaţie α = 0.01 ne propunem să observăm dacă o acţiune de mentenanţă în zona hardware micşorează efectul nonfiabilităţii.

1. Calculul diferenţelor dintre cele două categorii de defecte, pentru fiecare echipament:

d i=X i−Y i

29

2. Calculul mediei diferenţelor d i : d=

∑i=1

n

di

n=479

9=53 .22

3. Verificăm ipoteza H0 : μ1−μ2=0 faţă de ipoteza alternativă H1 : μ1−μ2 < 0.

4. Calculăm statistica:

T=( dn−

1N ∑

1

N

( X i−Y i ))√n

√∑1

n

(d i−dn )2

n−1

≃ α √n

√∑1

n

(d i−dn )2

n−1

=0 . 0032

Din tabele găsim: tn−1 ;α=t8; α=−t8; 1−α=−t8 ;0 . 99=−2 .821 . Cum t = 0.0032 >- 2.821 nu putem

respinge ipoteza H0

B. Se consideră cinci selecţii independente de volume 30, 21, 39, 26 şi 35 din lotul de echipamente testate. Caracteristica sub cercetare este vectorul bidimensional (X,Y) care prezintă următoarele valori pentru coeficienţii de corelaţie: 0.39, 0.55, 0.43, 0.54 şi 0.48.

Echipament var.X var. Y1 12 642 20 673 28 824 21 845 17 886 23 68

30

7 34 928 18 629 16 6110 10 5911 21 5212 22 6013 6 5114 31 8815 27 7816 19 8517 26 7118 10 6719 29 6320 2 5221 14 87

Ex. CP (21) = 0.555. Acestă valoare reprezintă coeficientul Pearson pentru cele 21 de echipamente din matricea bidimensională XY

31

Coeficientul de

corelaţie Pearsons-defecte

h-defecte 0.555

0 5 10 15 20 25 30 35 400

102030405060708090

100

f(x) = 0.88212927756654 x + 53.4693101575231R² = 0.309445500975929

Corelația dintre H defecte și s defecte

r1 =CP (30) = 0.39r2 =CP (21) =0.55r3 =CP (39) = 0.43r 4 =CP (26) = 0.54r5 =CP (35) = 0.48La un prag de semnificaţie α = 0.05 ne propunem să verificăm ipoteza:

H0 : ρ1=ρ2=ρ3= ρ4=ρ5

Folosim variabila:

T=∑1

k

(ni−3 )( 12

lg1+ri

1−ri)2

− 1

∑1

k

(ni−3 )[∑1

k

(ni−3 ) 12

lg1+ri

1−ri]2

care este repartizată χ2 ( k−1 )

Respingem ipoteza H0 dacă: T >χ k−1,1−α2

ri12

lg1+ri

1−ri

ni−3 (ni−3 ) 12

lg1+ri

1−ri(ni−3 )( 1

2lg

1+ri

1−ri)2

0.39 0.178 27 4.80 0.8550.55 0.268 21 5.62 1.5080.43 0.199 36 7.164 1.4250.54 0.260 23 6.026 1.5780.48 0.227 32 7.264 1.648

Total 1.163 136 30.786 7.01

32

Găsim T = 7 . Din tabele χ 4; 0 .952 =9 .49Deoarece T < χ 4; 0 .95

2 . Se acceptă ipoteza H0 .

Analiza corelaţiei dintre tipurile de defecte diagnosticate:

A. Corelaţia simplă.

1. Metoda seriilor paralele interdependente.

Se realizează o selecţie din primele zece echipamente din eşantion. Se ordonează crescător după

valorile (x i ) - variabila independentă şi se trec valorile corespondente pentru ( y i ) - variabila dependentă.

Nr.

echipament

Valori diagnosticate conform tipologiei

h-defecte

(x i )

s-defecte

( y i )

1 12 642 20 673 28 824 21 845 17 886 23 687 34 928 18 629 16 6110 10 59

Nr.

echipament

Valori diagnosticate conform tipologiei

h-defecte

(x i )

s-defecte

( y i )

1 10 592 12 613 16 624 17 645 18 676 20 687 21 828 23 84

33

9 28 8810 34 92

2. Regresia liniară.

Y xi=a+bx i

Se aplică metoda celor mai mici pătrate, de unde rezultă sistemul de ecuaţii normale:

{na+b∑i=1

n

xi=∑i=1

n

yi ¿¿¿¿ unde:

a=∑i=1

n

yi∑i=1

n

xi2−∑

i=1

n

xi∑i=1

n

xi yi

n∑i=1

n

x i2−(∑

i=1

n

xi)2

b=n∑

i=1

n

xi y i−∑i=1

n

xi∑i=1

n

y i

n∑i=1

n

xi2−(∑

i=1

n

xi)2

Pentru calculul celor doi parametri alcătuim tabelul:

Nr.echip

x i y i x i⋅y i x i2 y i

2 Y xi=a+bx i ( y i−Y x x )

2 ( yi− y )2

1 10 59 590 100 3481 55.79 10.3041 187.692 12 61 732 144 3721 58.83 4.7089 136.893 16 62 992 256 3844 64.91 8.4681 114.494 17 64 1088 289 4096 66.43 5.9049 75.695 18 67 1206 324 4489 67.95 0.9025 32.496 20 68 1360 400 4624 70.99 8.9401 22.097 21 82 1722 441 6724 72.51 90.0601 86.498 23 84 1932 529 7056 75.55 71.4025 127.699 28 88 2464 784 7744 83.15 23.5225 234.0910 34 92 3128 1156 8464 92.27 0.0729 372.49

Total 199 727 15214 4423 54243 626.11 224.2866 1390.1

34

{10 a+199 b=727 ¿ ¿¿¿a=

1879354629

=40 . 59

b=70694629

=1 .52

Deci, b>0 şi deci avem o legătură directă. Funcţia de regresie este:

Y xi=40 . 59+1.52 xi

3. Determinarea indicatorilor intensităţii legăturii celor două variabile:

3.1. Coeficientul de corelaţie (r y / x ) :

r y /x=n∑

i=1

n

x i y i−∑i=1

n

x i∑i=1

n

yi

√[n∑i=1

n

xi2−(∑

i=1

n

xi)2]⋅[n∑i=1

n

y i2−(∑

i=1

n

y i)2 ]

r y /x=74678021

=0 . 93

3.2. Raportul de corelaţie (R y / x ) :

R y /x=√1−∑

i( y i−Y xi)

2

∑i

( y i− y )2

R y /x=√1−224 . 2861390 .100

=√0 . 839=0 .92

Obsrvaţie: Are loc o legătură intensă între variabile, directă şi liniară: (r y / x )=(R y / x )

Pentru verificarea semnificaţiei valorii coeficientului de corelaţie liniară, se utilizează

testul ,,t(n-2)”:

35

t=R y /x

2

√1−Ry / x2

⋅√n−2=0. 8390. 401

⋅2 . 82=5 .9

Pentru α=0 . 05 şi n-2 = 8 grade de libertate t tab=2 .306 . Se observă că t calc . >t tab . şi deci, (r y / x ) este semnificativ şi măsoară legătura liniară, directă între variabile.

B. Corelaţia pe baza grupării datelor

h-defecte s-defecte Total(ni. )

44-52 52-60 60-68 68-76 76-84 84-94

10-16 1 5 - - - - 616-22 2 5 4 2 - - 1322-28 - 3 8 5 2 - 1828-34 - 1 6 3 1 - 1134-40 - - 2 1 2 1 640-50 - - - 1 - 3 4Total (n.j)

3 14 20 12 5 4 58

Metode directe:

1. Metoda observării matricei repartitiei comune:

(1 5 0 0 0 02 5 4 2 0 00 3 8 5 2 00 1 6 3 1 00 0 2 1 2 10 0 0 1 0 3

)Valorile variabilelor X şi Y sunt, în general, crescătoare iar frecvenţele condiţionate nij tind să se grupeze în jurul diagonalei principale. Rezultă că există o legătură directă.

36

2. Metoda grupării:

Se calculează mediile de grupă, condiţionate ( y i ) :

y1=48+5∗56

6=328

6=54.66 defecte

y2=2∗48+5∗56+4∗64+2∗72

13=776

13=59.69 defecte

y3=3∗56+8∗64+5∗72+2∗80

18=1200

18=66.66 defecte

y4=56+6∗64+3∗72+80

11=728

11=66.18 defe cte

y5=2∗64+72+2∗80+88

6=448

6=75 defecte

y6=1∗72+3∗88

4=342

4=84 defecte

Obs. Se observă o serie de valori strict crescătoare a vectorului de componente s-defecte odată cu creşterea vectorului de componente h-defecte. Rezultă o legătură directă.

Metode analitice

1. Metoda regresiei liniare:

Y xi=a+bx i

Sistemul de ecuaţii normale este:

{na+b∑i

x i ni=∑i

y j n j ¿ ¿¿¿

Nr.echip.

x i ni x i⋅n i x i2⋅ni y j n j y j⋅n j y j

2⋅n j x i∑j

y j nij

1 13 6 78 1014 48 3 144 6912 42642 19 13 247 4693 56 14 784 43904 147443 25 18 450 11250 64 20 1280 81920 300004 31 11 341 10571 72 12 864 62208 22568

37

5 37 6 222 8214 80 5 400 32000 166506 45 4 180 8100 88 4 352 30976 15390

Total - 581518

43842-

583828

257920

103616

{58 a+1518 b=3828 ¿ ¿¿¿ a=45 . 62 ; b=0 .78 ;

b≥0¿⇒

¿ legătură directă.

Funcţia de regresie este:

Y xi=45 . 62+0 .78 x i

Valorile teoretice ale s-defectelor determinate de h-defecte sunt:

Y x1=55 .76

Y x2=60.44

Y x3=65.12

Y x4=69 .8

Y x5=74 .48

Y x6=80 .72

Metode de măsurare a intensităţii legăturii

1. Metoda coeficientului de corelaţie:

r y /x=n∑

i∑

j

x i y j nij−∑i

x i ni∑j

y j n j

√[n∑i

xi2 ni−(∑i

x i ni)2 ]⋅[n∑j

y j2n j−(∑j

y j n j)2 ]

=58∗103616−1518∗3828

√238512⋅305776=0. 736

38

2. Metoda raportului de corelaţie liniară:Datele necesare calculării acestui indicator se află în următorul tabel:

Y xiy j ∑( y j−Y xi )

2 nij

48 56 64 72 80 8855.76 60.21 0.25 - - - - 60.4660.44 309.50 98.56 50.69 267.26 - - 726.0165.12 - 249.52 10.03 236.67 442.82 - 939.0469.8 - 190.44 201.84 14.52 104.04 - 510.84

74.48 - - 683.02 109.83 12.30 30.47 835.6280.72 - - - 76.03 - 158.99 235.02

∑( y j−Y xi )2 nij 369.71 538.77 945.58 704.31 559.16 189.46 ∑ l , c=3307

( y j− y )2n. j 972 1400 80 432 980 1936 ∑ ( y j− y )2n. j

= 5800

R y /x=√1−∑∑ ( y j−Y xi)

2n ij

∑ ( y j− y )2 n. j

=√1−33075800

=√0 .430=0 . 655

Se observă că: r y /x=Ry /x=0 .655 şi deci avem o corelaţie liniară, directă şi intensă.Proporţia în care s-defectele sunt influenţate de h-defecte se determină prin coeficientul de

determinaţie R y /x2

.

R y /x2 =(0 .698 )2=0. 430 sau procentual: R y /x

2 =43 %

În ambele variante, date negrupate şi respectiv grupate, legătura este consistentă şi de tip liniar.

39

40