proiect final derivative

8/13/2019 Proiect Final Derivative

1/38

O teor ie a structur i i la termen a ratei

dobnzii Modelul Cox, Ingersol l i Ross

(1985)

Studeni: Dobrescu Diana

Stroie Raluca Maria

Stroie Florin George


2/38

Cuprins

1. Introducere

2. Modelul echilibrului general dezoltat de Cox, Ingersoll i Ross iparticularizarea acestuia pentru studierea structurii la termen

3. Modelul structurii la termen cu un singur factor

4. Evaluarea activelor utiliznd rata generala dobnzii

5. Determinarea preului obligaiunii prin metode de tip arbitrar

6. Modelul multifactor al structurii la termen

7. Nivelul imprevizibil al inflaiei i evaluarea obligaiunilor nominale

8. Concluzii


3/38

1. Introducere

Structura la termen a ratei dobnzii msoarlegturantre veniturile pe care le oferactivele ce diferdoar n funciede maturiti.

Aceast legtur a fost studiat ndelung de economiti, s-au elaborat mai multeteorii, considerndu-se cstructura la termen conineanticipaiilepieein ceea cepriveteevenimentele viitoare din economie.

ntr-o economie aflatla echilibru, ratele forward trebuie sfie egale cu viitoarele

rate spot, la vedere. Majoritatea teoriilor au avut ca punct de pornire modelul laechilibru.


4/38

2. Modelul general al echilibruluiCox, Ingersoll i Ross

specializat pentru studiul structurii la termen a ratei

dobnzii

Autorii consider problema determinrii structurii la termen ca fiind oproblemn teoria echilibrului general, iar abordarea acestora conineelementeale tuturor teoriilor anterioare. Anticiprile evenimentelor viitoare suntimportante, cum ar fipreferinelepentru risc icaracteristicile altor alternativede investiii. De asemenea, indivizii pot avea preferine specifice despreperiodizarea consumului lor. Astfel, acest model permite previziuni detaliateprivind schimbrilemai multor variabile fundamentale care vor afecta structura

la termen.

Modelul este o descriere intertemporalcompleta unei economii aflate ntr-ocontinuperioadde competitivitate.

Economia este compus din indivizi identici, fiecare dintre ei cutnd smaximizeze o funcieobiectiv de forma:


5/38

2. Modelul general al echilibruluiCox, Ingersoll i

Ross specializat pentru studiul structurii la

termen a ratei dobnzii

n realizarea acestei maximizri, fiecare individ alege consumul suoptimal C*, proporiaoptimala*a averii W de investit n fiecare dintreprocesele de producie, iar b*proporia optimal a averii de investit nfiecare dintre opiunilecontingente. Averea rmasde investit n darea sauluarea cu imprumut la rata dobnzii r este, apoi, determinat de

constrngerea bugetar. Funcia utilitii indirecte J este determinat desoluiala problema maximizrii.

La echilibru, n aceast societate omogen, rata dobnzii i ratele derecuperare ateptate pentru opiunile contingente trebuie ajustate pncnd toataverea este investitn procesele fizice de producie. Investiiapoate fi fcut fie direct de ctre indivizi, fie indirect de ctre firme. n

consecin,valoarea echilibrului luiJ este datde soluiala oproblemdeplanificare doar cu procesele de produciedisponibile. Condiiile optimepentruproporiileinvestite vor avea atunci forma:


6/38



dobnzii

Rata dobnzii la echilibru poate fi scris n mod explicit ca:

n al doilea rnd, valoarea echilibrului oricrei opiuni contingente, F,trebuie s satisfac urmtoarea ecuaie diferenial:


7/38



dobnzii

o Proporiileportofoliului optimal a*vor depinde de Yi nu de W.

Pentru a aplica aceste formule problemei structurii la termen a ratelor dobnzii,autorii specific,mai intai, structura preferinein caz de aversiune constant larisc, al funciei utilitii. n mod particular, se las U(C(s), Y(s), s) s fieindependente de variabila de stare Yi saibforma:

n acest caz, funcia utilitii indirecte ia forma:


8/38



dobnzii

o Funcia utilitii corespunde cazului special = 0. Forma special a funcieiutilitii indirecte permite determinarea luia*ca:

Ecuaia evalurii se reduce, apoi, la:


9/38

3.Modelul structurii pe termene a dobnzii cu un

singur factor (1)

Ipoteze:1. modificarea oportunitilor de producie n timp este descrisde o singurvariabilde stare, Y;2. mediile i varianele ratelor de randament din procesele de producie suntproporionale cu Y;3. evoluia variabilei de stare Y este datde ecuaia diferenialstocastic:

i sunt constante, cu

un vector de dimensiune 1x(n+k), fiecare dintre componentele sale fiind constanta

se introduc urmtoarele notaii:

fiind constante.


10/38


singur factor (2)

Pe baza ipotezelor anterioare referitoare la starea tehnologiei i preferine, ratadobnzii de echilibru se poate scrie conform relaiei de mai jos:

k = viteza de revenire la medie,

= media pe termen lung a ratei dobnzii,

= volatilitatea instantanee a ratei dobnzii,

k, , 2constante, cu i

Dinamica ratei dobnzii se poate scrie conform relaiei urmtoare:

Rata dobnzii conform acestei structuri are urmtoarele proprieti relevante dinpunct de vedere empiric: (i) Ratele de dobndnegative sunt mpiedicate; (ii) Dacratadobnzii ajunge la zero, poate deveni ulterior pozitiv; (iii) Variana absolut a rateidobnzii crete atunci cnd rata dobnzii nsi crete; (iv) Exist o distribuie spre

starea de echilibru pentru rata dobnzii.


11/38


singur factor (3)

Calculele conduc la obinerea valorii ateptate i a varianei pt. r(s) conform relaiei:de mai jos :

Densitatea de probabilitate a ratei dobnzii la momentul s, condiionatde valoareala momentul prezent t, este datde relaia :

= funcia Bessel modificat de primul rang de ordinul q.

Funcia de distribuie, este chi-ptrat

descentrat, cu 2q+2grade de libertate iparamentrul de

descentrare 2uproporional cu rata spot curent.


12/38


singur factor (4)

Proprietile distribuiei ratei viitoare a dobnzii sunt : Daca k, media tinde spre i variana spre 0.

Daca k0, media tinde spre rata curenta dobnzii i variana spre

Daca rata dobnzii are tendina de revenire la medie, (k, >0), pe msurces crete,distribuia sa se apropie de o distribuie gamma.

Funcia de densitate la starea de echilibru este:

Media i variana la starea de echilibru sunt , respectiv


13/38


singur factor (5)

Preulteoretic al obligaiuniieste soluiaunei ecuaiicu derivatepariale. Considerndcpreul de pia al riscului este parte integrant din structura stocastic a rateidobnzii, ecuaia cu derivate pariale (Ecuaia fundamentala preului unei obligaiunicu discount,P ) se scrie sub una dintre formele:

Rata de randament ateptata obligaiuniieste . Prima de randament instantanee a unei obligaiuni este proporional cu elasticitatea

dobnzii. Factorulreste covarianadintre modificrilen rata dobnzii imodificrileprocentuale

n averea optim investit("portofoliulpieei"). ntruct , primele pozitive vor apreaatunci cnd aceastcovarianeste negativ(


14/38

3.Modelul structurii pe termene a dobnzii cu un singur

factor (6)

Preul obligaiunii este o funcie convex descresctoare de rata dobnzii i cresctoare(descresctoare) de timp (scaden).

Preul obligaiunii este o funcie convex descresctoare a mediei ratei dobnziiiconcav cresctoare (convex descresctoare) a vitezei de revenire la medie k, dacrata dobnzii este mai mare (mai mic) decat.

Preul obligatiunii este o funcie concav cresctoare deparamentrul de risc al pieei(valorile mari ale luiindic o covarian mai mare a ratei dobnzii i averii). Astfel,la valori mai mari ale lui,esteprobabil ca preurile obligaiunilor s fie mai mariatunci cnd averea este mic, avnd i utilitatea marginal mai mare.

Preul obligaiunii este o funcie concav cresctoare de variana ratei dobnzii .Valorile mai mari ale lui indic o incertitudinemai mare cu privire la viitoarele

oportuniti reale de producie iprivind consumul viitor.


15/38


singur factor (7)

Obligaiunilesunt, de obicei, cotate n funciede randament. Pentru obligaiunile

cu discount, formula randamentului la scadeneste:

Pe msura apropierii de maturitate, randamentul la scaden se apropie de rataactual a dobnzii, independent de orice parametru. Dac se iau n considerarescadenetot mai lungi, randamentul se apropie de o limit, care este independentderata curent a dobnzii. Randamentul pe termen lung depinde de rata spot, nsforma graficului nu depinde dect de timp i de ceilali parametri cu valoriconstante.


16/38

3.Modelul structurii pe termene a dobnzii cu un singur

factor (8) Rata spot < randamentul pe termen lung curbcresctoare;

Rata dobanzii >

curb descresctoare; Valori intermediare ale ratei dobnzii curbcu cocoa (1 maxim local)

um )


17/38

4. Evaluarea activelor utiliznd rata general

a dobnzii (1)

Modelul sugerat anterior poate fi aplicat cu uurin la alte valorimobiliare/active de la baz,ale cror payoff-uri depind de rata dobnzii, cumar fi: opiunile pe obligaiuni i futures pe obligaiuni. Aceast flexibilitatepermite modelului sfacpreviziuni despre preuri. n consecin, aplicaiilepe alte valori mobiliare ar putea permite teste empirice mult mai ample isubstaniale, care ar putea fi aplicate doar utiliznd piaa obligaiunilor.

Ca exemplu, se considero opiune Call pe o obligaiune cu discount:t = valoarea timpului opiunii; s = maturitateaK = preul de exerciiu; T = data exercitrii

Preul opiunii va urma ecuaia:

C(r,t,T;s,K) = max [P(r,T,s) - K, 0]


18/38

4. Evaluarea activelor utiliznd rata general

a dobnzii (2)

este funcia de distribuie descentratchi-ptrat

r* este rata dobnzii critice, la care are locexercitarea opiunii: ex. K = P(r*,T,s)

Opiunea Call este o funciecresctoare de maturitate.

Opiunile Call pe aciunisunt funcii cresctoare derata dobnzii, parialdeoarece o cretere a rateidobnzii reduce valoareaprezent a preului deexercitare.

Oricum, o cretere a rateidobnzii va diminua preulobligaiunii de la baz.

Analizele numerice auindicat cultimul efect estemai puternic, iar valoareaopiunii este o funciedescresctoare convex derata dobnzii.

(.)2


19/38

5. Determinarea preului obligaiunii prin

metode de tip arbitrar (1)

n continuare, se comparsuccint metodologia prezentatanterior cu cteva metodealternative de evaluare a preului obligaiunii n timp continuu.

Abordarea ncepe cu o descriere detaliat a economiei. Acest lucru permite s seenumere urmtoarele pentru preul obligaiunii:

a) variabilele de care depinde preul obligaiunii; b) proprietile stocastice ale variabilelor de la baz,care sunt determinate endogen;

c) forma exacta factorului prima de risc. Potrivit lui Merton, dac s-ar face presupuneri despre a) i b), atunci formula lui Ito

poate fi folositpentru determinarea randamentului obligaiunii. De exemplu, dacs-arpresupune n mod arbitrar cpreul obligaiunii depinde doar de rata spot a dobnzii,atunci rata dobnzii ar urma procesul i randamentulobligaiunii cu maturitatea T ar fi: 1

dr k r dt rdz k

2

2

1 rP

rr

+ K(-r)Pr+P

t-rP = Y(r,t,T)


20/38



O abordare arbitrar a preului obligaiunii afost elaborat i de alicercettori. n baza

argumentelor folosite, dac nu sunt folosite oportuniti arbitrare, atunci Y va avea

urmtoarea form:

unde este o funcie care depinde doar de timp i nu de maturitatea obligaiunii

Aceasta presupune multe restricii pentru rentabilitate, ntruct nu toate funciile Y vorsatisface relaia de mai sus.

Probleme din utilizarea metodei arbitrare:

nu furnizeaz nicio garanie c exist un echilibru la baz, pentru care presupunerilede la a) i b) sunt consecvente;

nu implic faptul c orice alegere a lui va duce la preul obligaiunii, care nuadmite oportuniti de arbitraj. Dac se presupune o form pentru , pot apreainconsistene.

Y(r,t,T) = (r,t)Pr(r,t,T)


21/38



Ca un exemplu al acestei probleme posibile, se nlocuiete expresia lui Y n urmtoareaecuaie:

Atunci, ecuatia evaluarii va fi:

Dacse presupune c este liniarn raport cu rata spot, respectiv:

Atunci preul obligatiunii va fi:

Dinamicapreuluiobligaiuniieste datde relaia:

Dacr = 0, atunci ctigul obligaiunii este frrisc i preul va fi

Se obine, astfel, un model care garanteaz oportunitile de arbitraj i nu le exclude.Problema este cnu existun echilibru la baz,care ssusinpremisele presupuse.

(r,t)= 0 + r

P(r,tT) = [A(t,T)] )( 0k exp [-rB(t,T)]

- 0B(t,T)

dP= [r- 0+ r) B(t.T)Pdt B(t,T) r Pdz]

2

2

1 rP

rr

+ K(-r)Pr+P

t-rP = Y(r,t,T)


22/38

6. Modelul multifactor al structurii la termen (1)

Modelul CoxIngersollRoss explic evoluia ratei dobnzii, ca fiindinfluenatde un singur factor. Preulunei obligaiunieste o funciede rataspot, cnd maturitatea este dat,deci, pentru fiecare valoare a ratei spot, esteasociatdoar o singurcurba randamentului.

Modelul cu un singur factor nu este n msur s prezinte cu precizie

adevratulcomportament al fluctuaiilorratei dobnzii.

Pentru a corecta aceastdeficien,cercetrile s-au concentrat pe realizareade modele de evaluare n care, pe lng rata pe termen scurt a dobnzii, sexiste i ali factori care s determine curba ratei dobnzii. Modelulmultifactor permite asocierea mai multor curbe de randament diferiteaceleiairate spot, depinznd de ceilalifactori.

Modelul multifactor a structurii la termen va avea mai mult flexibilitatedect modelul unifactor, nsa va fi, cu siguran,mai cuprinztori mai dificilde analizat.


23/38

6. Modelul multifactor al structurii la termen (2)Mai nti, se presupune cparametrul tendineicentrale, , poate varia aleatoriu, conform

relaiei:

unde: v este o constantpozitiv.

Se considerc= Y2, iar 2= v (Y1Y2).

Atunci,preulobligaiuniiP va avea urmtoareaform:

unde: f i g sunt funcii deterministe n timp.

n acest caz, att randamentul la maturitate al obligaiunilor cu discount, ct i valoareaateptat n viitor a ratelor spot sunt functii liniare n raport cu ratele spot curente i dintrecut.

n al doilea rnd, se presupune ccoeficieniideproducieiGGsunt proporionali cusuma dintre dintre 2 variabile aleatoare independente, Y1iY2. Atunci, se poate artacrata dobnzii spot rva fi proporionalcu suma dintre Y1iY2, iarpreulobligaiuniivaavea din nou formexponenial:

unde: f,g ih sunt funcii deterministe n timp.

P(r, Y2,t, T) = f(t,T) exp[-rg(t,T)- Y

2h(t,T)]

d= v(Y-)dt

P(r, ,t, T) = exp[-rf(t,T)- g(t,T)]


24/38


n fiecare dintre modelele prevzute, una dintre variabilele explicative nu estedirect observabil.

Modelele multifactor vor moteni acest inconvenient la un grad mult mai ridicat. Astfel, va fi mai convenabil ca, n aplicaiile empirice, sse foloseascpreurile

ca variabile instrumentale, care s elimine variabilele care nu pot fi observatedirect.

Se alege astfel, rata spot, r,i un vector al ratelor de dobndpe termen lung, l, cavariabile instrumentale, astfel nct sse ndeplineascechilibrul general.

n general, fiecare dintre aceste rate de dobndvor fi funcii ale lui W. n acest scop, se presupune c exist dou variabile de stare, Y1 i Y2, i c

utilitatea este isoelastic,astfel cnivelul bunstrii e imaterial. Atunci, pentru variabilele instrumentale r si l, ecuaia de echilibru poate fi

rescris:

unde: funciile rilreprezintfactorii primei de risc.


25/38


Avantajul utilizrii unei rate de dobndl este cprima de risc i driftul pot fi eliminate,dupcum urmeaz:

Se considerurmtoarele: Q reprezintvaloarea unei obligaiuni,pentru care l reprezint randamentul la maturitatecompus n timp continuu; Se noteazfluxul de pli al obligaiunii, incluznd cupoanele i plata principalului cu c(t).

unde: factorul neobservabil prima de risc a fost nlocuit cu funcia observabil din ultimarelaie.


26/38


Structura la termen a ratei dobnzii pentru obligaiunile zero-cupon din Marea Britanie

(randamente sptmnale, 12.02.1992 29.04.2009)

Primul factor crete uor odat cu maturitatea, n timp ce, pentru cel de-al doileafactor, se remarc un trend descresctor.


27/38

6. Modelul multifactor al structurii la termen (6) Existdezvoltricelebre ale modelului cu 3 factori ce descriu aprox 96% din schimbarilein valoarea obligatiunilor) (exempluBalduzzi, Ranja, Foresi , Sundaram , 1996) :

Rata pe termen scurt Media pe termen lung a ratei spot Volatilitatea ratei spot

De exemplu autorii particularizeaza pt

Solutia este de forma

Curba randamentului cu relatia

!Obligaiunilepe termen lung sunt afectate de r i. Cea mai mare diferenntre randamentepentru volatiliti schimbtoare sunt pentru maturitile intermediare. Volatilitatea esteaproximativ constant pentru perioade scurte deoarece este o funcie de timp. Influena ei

adupa randamentelor pe termen scurt este mic. Pe termene lungi efectul este vizibil, insobligaiunilepe termen lung se apropie de par(100) la scaden.

6 Modelul multifactor al structurii la termen ()


28/38

6. Modelul multifactor al structurii la termen ()


29/38

7. Nivelul imprevizibil al inflaiei i evaluarea

obligaiunilor nominale (1)

Modelul prezentat se ocupcu o economie real, n care banii nu au un rolntemeiat.

Se consider c una dintre variabilele de stare reprezint un nivel de pre i nitecontracte avnd payoff-uri, ale cror valori reale depind de acest nivel de pre,

exprimat n termeni nominali. Niciunul dintre acestea nu presupune modificareateoriei generale.

ntruct se presupue c nivelul preurilor,p, nu are niciun efect asupra echilibruluireal de baz, funciile , , G, S i J nu vor depinde de p. Desigur, acest fapt nu vaexclude posibilitatea ca modificrile preului s fie corelate statistic cu modificrile

averii reale i a altor variabile de stare.

Este necesar exprimarea payoff-ului nominal n termeni reali.


30/38



Se evalueazo obligaiune,care va plti, cu certitudine, la momentul T, o sum1/p(T).

Se noteazvaloarea sa la momentul t, n termeni reali, ca fiind N (r, p, t, T).

Se presupune cnivelul preurilor p evolueazdupfuncia:


31/38



Se obine ecuaia:

Condiie:N (r, p, t, T)=1/p(T)

Soluia:

unde: P este preul n termeni reali al unei obligaiuni cu discount.


32/38



n aceastformulare, nivelul ateptat al inflaiei se modificdoar odatcu nivelulpreului. n mod normal, nivelul preului urmeaz o distribuie lognormal:

Cu preurile distribuite lognormal, rata ateptata inflaiei este constant, darinflaia efectivnu va fi.

Se separfactorul ce redinflaia ateptatde factorul ce rednivelulpreurilor ise noteaznivelul ateptat al inflaiei cu y.


33/38



Model 1:

Model 2:

Ecuaia diferenialstocastic care dschimbarea preului:


34/38



Modelul 1 poate fi alegerea mai bunempiric, dovezi informale sugernd cvariaia relativa nivelului ateptat al inflaiei crete, pe msur ce inflaia crete.

n schimb, soluia la Modelul 2 este mai uor de prelucrat. n ambele modele, rata ateptata inflaiei tinde spre un nivel de echilibru pe

termen lung. Se poate corela modificarea ratei inflaiei cu modificarea preurilor=> influene extrapolative (+/-) n modificarea preului.

Soluie ecuaie Model 1:N (r, y, p, t, T) =

Soluie ecuaie Model 2:N (r, y, p, t, T) =

( ) ( ) ( ), , ( , , ) / ( )

( )

c t c t M P r t T p t

y y

,

22 2 2

2 2

2 /[( )( )]/2

( )

2 2

2

)( 1) 2

p T t

T t

p

e

e

( ) 2

( )

2 2

2( 1)(1 )exp ( , , ) / ( )

( )( 1) 2

T t

p

T t

e yP r t T p t

e


35/38



Iniial, este determinatvaloarea reala unei eventuale creane, ca o funcie aavuiei reale i a variabilelor de stare. Se consider o ecuaie corespondent, n caretoate valorile sunt exprimate n termeni nominali.

Averea nominala: X = pW

Funcia indirect de utilitate: V (X, Y, t) J (X / p, Y, t) J (W, Y, t)

Valoarea nominala unei creane: H (X, Y, t) pF (X/p, Y, t) pF (W, Y, t)


36/38



unde: rata nominala dobnzii, , este datde relaia:

i xeste rata estimata randamentului averii nominale:

Ecuaiileau exact aceeai formatunci cnd toate variabilele sunt exprimate ntermeni nominali, ca i atunci cnd toate variabilele sunt exprimate n termeni reali.Rata nominala dobnzii poate fi exprimatn funcie de averea real

unde: este rata ateptata inflaiei.

1

cov ,vari

kXY iXY

X

iX X

V X YV X

V X V X

*'

2

cov , var pX

p X pa

p pX p

1

1 var (cov , ) cov ,i

kWYWW

p i

iW W

JJ pr W p Y p

p J J p


37/38

8. Concluzii Anticiparea, aversiunea fade risc, alternativele de investiii i preferinele pentru

momentul exercitrii, toatejoacun rol n determinarea structurii la termen.

Rata dobnzii urmeaz un proces de revenire la medie, se constat un nivel de

echilibru pe termen lung. Rata dobnzii la echilibru nu depinde de nivelul averii, ci de variabila de stare.

Modelul CIR, pornind iniial de la Vasicek, a cunoscut dezvoltriprintre care:

JCIR (model cu salturi jumps)

GAMMA (Micarea Browniandin model este nlocuitde un proces Levy)

Acestea pot conduce la grafice ale randamentelor pe termen lung de mai multetipuri, mai apropiate de cele din lumea real:


38/38

V MULUMIM

PENTRU ATENIE!

proiect final derivative

Documents