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Project Project ManagementManagement

Massimo Paolucci([email protected])

DIST – Università di Genova

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Metodi per supportare le decisioni relative alla gestione di progetti• esempi sono progetti nell’edilizia, lo sviluppo di sistemi (software),

ricerca, ecc.

I problemi di gestione:• aumentano col crescere della grandezza del progetto (numero di

attività) • dipendono dal livello di interdipendenza delle attività• sono legati alla disponibilità limitata delle risorse• devono tener conto dei costi fissi e variabili del progetto (e.g. di

penali) e dei costi delle risorse

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Domande a cui chi gestisce un progetto deve rispondere:• qual è la durata del progetto (la consegna) ?• quali attività più di altre possono influire su tale durata ?• quando possono iniziare e terminare le singole attività ?• quali margini di tempo esistono per ritardare delle attività senza

influire sulla durata del progetto ?• di quali attività posso prolungare la durata (risparmiando risorse)

senza influire sulla durata del progetto ?• su quali attività conviene concentrare le risorse per cercare di

ridurre la durata del progetto ?• come posso ridurre complessivamente i costi del progetto

mantenendone la durata fissata o eventualmente aumentandola sino ad un livello accettabile ?

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Project Project Management Management -- DefinizioniDefinizioni

PERT (Project Evaluation and Review Technique) (1950)

CPM (Critical Path Method) (1957)

Progetto• un insieme di attività che devono essere svolte con un certo

ordine

Attività• un’operazione che richiede delle risorse ed un certo tempo

per essere eseguita

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Project Project Management Management -- DefinizioniDefinizioni

Carta di Gantt• strumento grafico per la pianificazione dei progetti

• E’ una rappresentazione che non evidenzia le dipendenze trai task ⇒ non mi permette di rispondere a molte domande.

T1 T2

T3 T5

T4

T6

tempo

risor

se

tempoat

tività

T1

T2

T3

T4

T6

T5

6

Project Project Management Management –– PERTPERT--CPMCPM

PERT-CPM• Sono metodi time-oriented, ovvero determinano lo

scheduling dei task nel tempo• Scheduling:

Assegnare, Sequenziare, Temporizzare

• Sono anche dette tecniche reticolari per la programmazione dei progetti

• Sono tecniche di scheduling che non tengono conto della presenza di risorse limitate

• Sono metodi efficienti (polinomiali)

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Tre fasi del PERT-CPM• Planning

suddividere il progetto in attività (task) costruendo un grafo orientato in cui ciascun arco rappresenta una singola attività

• Schedulingcostruire una mappa temporale che riporti l’inizio e la fine di ogni attività e le relazioni di dipendenza tra le attività, mettendo in evidenza le attività critiche

• Controllingutilizzando il grafo e la mappa temporale permette di seguire l’avanzamento del progetto ed eventualmente apportare modifiche allo schedule

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La fase di planningDeterminazione delle attività del progetto

• E’ la fase più importante della gestione del progetto• E’ un’analisi eseguita da un team• Individuare le attività rilevanti• Individuare le relazioni (precedenze) tra le attività• Stimare le durate delle attività

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La fase di planningCostruzione del grafo orientato delle attività

Grafo delle attivitàRappresenta le relazioni (precedenze) tra le attività del progetto (Activity-On-Arc, AOA)

Evento: istante di inizio o di completamento di un’attività

Arco orientato ⇒ Attività

Nodo ⇒ Evento

i jattività (i, j)

evento i evento j

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La fase di planningSignificato del grafo

• L’attività (j,h) deve attendere che siano terminate le attività (i, j) e (k, j) per potere avere inizio

• Ad ogni arco/attività si associa un peso che rappresenta la durata dell’attività

i

j

k

h

dij

djh

dkj

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La fase di planningRegole per la costruzione del grafo

Regola 1Ciascuna attività è rappresentata da un solo arcoorientato

Regola 2Non possono esistere attività differenti caratterizzate dallastessa coppia di eventi (stesso evento iniziale e stessoevento finale) (alcuni software lo consentono)

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• Per soddisfare la Regola 2 si introducono attivitàdummy (attività fittizie di durata zero)

i j

A

B

i j

k

A

B dummy

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• Le attività dummy possono servire per definire megliorelazioni logiche

Ad esempio, A e B precedono C, B precede E

ij

k

h

f

i

gk

h

f

A

B

C

E

jA

B

C

E

dummy

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Regola 3La correttezza delle relazioni di precedenza costruite puòessere verificata eseguendo ogni volta che si aggiungeun’attività i seguenti controlli:1. verificare quali attività devono completarsi immediatamente

prima che la nuova attività inizi2. verificare quali attività devono seguire l’attività3. verificare quali attività si devono svolgere

contemporaneamente

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La fase di planningOsservazioni

• Il grafo AOA mette in evidenza:l’esistenza di attività che possono essere eseguite in parallelola presenza di eventi di sincronizzazione nel progetto

• In alternativa le relazioni di precedenza (in modo piùintuitivo) possono essere descritte da un grafo Activity-On-Node

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La fase di planning• Un esempio

A, B, C attività inizialiA, B → DB → E, F, HF, C → GE, H → I, JC, D, F, J → KK → LI, G, L attività finali

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La fase di schedulingAllocare le attività nel tempo

• Si determinano gli istanti di possibile inizio e fine delleattività tenendo conto solo delle precedenze

• Si applica un algoritmo semplice (polinomiale) basato su operazioni aritmetiche eseguite direttamente sulgrafo

• Si determinano le attività critiche

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La fase di schedulingAttivita critiche e percorso critico

Attività criticaun’attività che causerebbe un ritardo nel completamentodell’intero progetto se ne venisse ritardato l’inizio

Attività non criticail tempo che intercorre tra il primo istante in cui, in base alle precedenze, è possibile iniziare l’attività (Earliest Start, ES) e l’ultimo istante in cui “può terminare” (Latest Completion, LC) èmaggiore della durata dell’attività

Percorso critico (Critical Path, CP)la catena delle attività critiche dall’inizio alla fine del progetto

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La fase di schedulingDeterminare il percorso critico (CP)

• Il calcolo del CP si esegue in due passi

Forward passDal nodo iniziale verso il nodo finale, per ogni nodo j sicalcola il ESj

Backward passDal nodo finale verso il nodo iniziale, per ogni nodo j sicalcola il LCj

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La fase di schedulingCP – Fase forward

• Si calcola ESi Earliest Start Time di tutte le attività chepartono dall’evento i, i=1,...,n

Per i=0 si pone ES0=0

dij è la durata dell’attivita associata all’arco (i, j)

[ ]iji)j,i(:i

j dESmaxES +=∃

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La fase di schedulingCP – Fase forward

• ESj

i

j

dijESi

ESj

attività che completano in j

ESi ESj

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La fase di schedulingCP – Fase backward

• Si calcola LCi Latest Completion Time di tutte le attivitàche terminano nell’evento i

Per per i=n si pone LCn = ESn

[ ]ijj)j,i(:j

i dLCminLC −=∃

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La fase di schedulingCP – Fase backward

• LCi

jdij

LCi

LCj

attività che iniziano in i

LCjLCi

i

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La fase di scheduling• Un esempio

Attività Durata (dj) Precede

A 3 E, DB 2 CC 2 F, G, H, LD 3 F, G, H, LE 2 G, HF 3 IG 7 IH 5I 6L 2

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La fase di scheduling• Un esempio

0

3

1

4

5

2

A, 3

B, 2

C, 2

E, 2

6

D, 3

F, 3

L, 2

H, 5G, 7

I, 6

dummy

26


La fase di scheduling• Un esempio: fase forward

0

3

1

4

5

2

A, 3

B, 2

C, 2

E, 2

6

D, 3

F, 3

L, 2

H, 5G, 7

I, 6

dummy

0

2

3

6

6

13 19

ESi

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La fase di scheduling• Un esempio: fase forward

• I calcoliES0=0ES1=ES0+d01=0+2=2ES2=ES0+d02=0+3=3ES3=maxi[ESi+di3]=max[2+2, 3+3]=6ES4=maxi[ESi+di4]=max[6+0, 3+2]=6ES5=maxi[ESi+di5]=max[6+7, 6+3]=13ES6=maxi[ESi+di6]=max[6+5, 13+6, 6+2]=19

ESi

28


La fase di scheduling• Un esempio: fase backward

0

3

1

4

5

2

A, 3

B, 2

C, 2

E, 2

6

D, 3

F, 3

L, 2

H, 5G, 7

I, 6

dummy

ESi

LCi

1919

66

1313

66

33

24

00

29


La fase di scheduling• Un esempio: fase backward

• I calcoliLC6=ES6=19LC5=LC6-d56=19-6=13LC4=mini[LCi-d4i]=min[19-5, 13-7]=6LC3=mini[LCi-d3i]=min[6-0, 13-3, 19-2]=6LC2=mini[LCi-d2i]=min[6-3, 6-2]=3LC1=LC3-d13=6-2=4LC0=mini[LCi-d0i]=min[4-2, 3-3]=0

ESi

LCi

30


La fase di schedulingLe attività critiche

• L’attività (i, j) è sul CP se:1. ESi = LCi

2. ESj = LCj

3. ESj - ESi = LCj - LCi = dij

• La lunghezza del CP corrisponde al tempo minimonecessario per completare il progetto

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La fase di scheduling• Un esempio: identificazione delle attività critiche

0

3

1

4

5

2

A, 3

B, 2

C, 2

E, 2

6

D, 3

F, 3

L, 2

H, 5G, 7

I, 6

dummy

1919

66

1313

66

33

24

00

32


La fase di schedulingCalcolo dei Margini (Float)

• Un insieme di quantità associate ad ogni attività dettefloat indicano con quale margine un’attività può esserespostata nel tempo ed in che modo tale spostamentoinfluenza le altre attività

• Tre floatTotal FloatFree FloatIndependent Float

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• Total float (margine totale) di (i, j)

TFij = LCj - ESi - dij = LSij - ESi

dove LSij = LCj - dij è il Latest Start di (i, j)

• TFij è il margine di tempo tra il massimo intervallo in cui può essere eseguita (i, j) e la durata di (i, j)

• E’ il massimo ritardo dell’inizio di (i,j) rispetto ESj che non influenza la durata del progetto

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• Free float (margine libero) di (i, j)

FFij = ESj - ESi - dij = ESj - ECij

dove ECij = ESi + dij è l’Earliest Completion di (i, j)

• Supponendo che le attività precedenti finiscano il prima possibile, rappresenta il margine di tempo che restacompletando prima possibile (i, j) e dovendo far iniziarele attività che iniziano con l’evento j il prima possibile

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• Independent float (margine indipendente) di (i, j)

IFij = ESj - LCi - dij

• Supponendo che tutte le attività precedenti completinoil più tardi possibile e che quelle seguenti inizino prima possibile, rappresenta il margine di tempo che restacompletando il più tardi possibile (i, j) e dovendo far iniziare le attività che iniziano con l’evento j il prima possibile

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• Graficamente

ESi

dij

ECijLCi ESj LCj

dij

LSij

TFij

FFij

IFij

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Osservazioni• I float indicano quale possibilità di manovra si ha nel

ritardare l’inizio di un’attività o nel farne crescere la durata senza influenzarne altre

• TFij = 0 per le attività critiche

• Se si ritarda l’inizio delle attività critiche o la loro durataaumenta, cresce di conseguenza la durata di tutto ilprogetto

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La fase di schedulingLa rappresentazione dei risultati

• I risultati dell’analisi possono essere raccolti in una tabella

• Quindi è possibile costruire una carta di Gantt per rappresentare graficamente lo schedule. In questacarta non sono evidenziate le risorse (risorse infinite)

Attività Durata ESi LCj TFij FFij IFij

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La fase di schedulingLa rappresentazione dei risultati

• Un esempio di carta di Gantt

tempo

0 1

0 2

3

4

5 6

Attività critica

CP

CP

Range per attività non critica

Attività non critica

Precedenza

ES0

LC2

40


La fase di scheduling• L’esempio continua

0

3

1

4

5

2

A, 3

B, 2

C, 2

E, 2

6

D, 3

F, 3

L, 2

H, 5G, 7

I, 6

dmy

1919

66

1313

66

33

24

00

41


La fase di scheduling• L’esempio continua

Attività Durata ESi LCj TFij FFij IFijA (0, 2) 3 0 3 0 0 0B (0, 1) 2 0 4 2 0 0C (1, 3) 2 2 6 2 2 0D (2, 3) 3 3 6 0 0 0E (2, 4) 2 3 6 1 1 1

dmy (3, 4) 0 6 6 0 0 0F (3, 5) 3 6 13 4 4 4G (4, 5) 7 6 13 0 0 0H (4, 6) 5 6 19 8 8 8I (5, 6) 6 13 19 0 0 0L (3, 6) 2 6 19 11 11 11

42


La fase di scheduling

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

4

2 3

5 6

0

1

1

dmyA D

G I

B

C

F

L

H

E

43


La fase di scheduling2

1

3

4

5 6dmy

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

1

A D

G I

B

C

F

L

H

E

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La fase di schedulingOsservazioni

• Se TFij = FFij l’attività (i, j) può essere posizionataliberamente all’interno del proprio intervallo di attivazionesenza che ciò influenzi altre attività

• Se TFij > FFij l’attività (i, j) può essere ritardata rispetto ESisolo del FFij senza che questo influenzi le attività seguenti. Questo si verifica se un’attività che ne precede un’altra puòterminare (LC) anche dopo il primo possibile istante di iniziodella successiva (ES)

1

1

B

C 3

0

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La fase di schedulingOsservazioni

• IFij può essere anche negativo.In questo caso tale quantità indica l’anticipo con cui dovrebbe verificarsi l’evento i rispetto LCi perchè lo schedule dell’attività (i, j) non influenzi le attività seguenti

ESi

dij

ECijLCi ESj LCjLSij

TFij

FFij

IFij <0

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La fase di scheduling• Un altro esempio

Attività Durata (dj) Precede

A 3 DB 5 E, F, GC 7 F, GD 4 O, HE 2 I, LF 3 I, LG 2 MH 7I 3 NL 5 MM 3 NN 2O 6 I, L

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La fase di controllingAssegnazione delle risorse

• Lo schedule determinato assume che siano presenti risorseinfinite (le risorse non modificano la possibilità di eseguire le attività)

• La presenza di margini nello schedule permette di assegnare le attività in modo da ridurre le risorse necessarieper la loro esecuzione

• In generale il problema del project scheduling con risorselimitate è NP-hard

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La fase di controllingValutazione della durata del progetto

• Se la durata prevista del progetto indicata dallo schedule non fosse accettabile ...

Analisi strategica: valutare se la struttura delle precedenze èproprio quella considerata per le attività critiche o può essere cambiata

Analisi tattica: effettuare l’analisi dei costi che si dovrebbero pagare riducendo ad un livello accettabile la durata del progetto

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La fase di controllingAnalisi dei costi

• Determinato il CP è possibile eseguire un’analisi di post-ottimalità tenendo conto dei costi

• In genere il costo totale ( CT) di un progetto è dato da

A è l’insieme delle attivitàcij è costo dell’attivita (i,j) (costo diretto)cP è un costo associato globalmente al progetto (e.g., affitto macchinari, concessioni, penali, ecc.) (costo indiretto)

PA)j,i(

ijT ccC += ∑∈

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• I costi diretti dipendono dalla durata delle attività che a sua volta dipende dalla quantità di risorse utilizzate per eseguirla

• Alternative per ridurre CT:ridurre i costi diretti cij aumentando la durata di un’attività non critica rispettando i marginiridurre il costo indiretto cP riducendo la durata delle attivitàcritiche; in questo caso tuttavia i costi diretti delle attivitàcritiche aumenteranno ⇒ compromesso

• L’analisi deve essere effettuata imponendo che il CP non cambi

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La fase di controllingI costi diretti

• Si assumono lineari in una regione tra

dijn durata nominale → cij

n

dijc durata di crash → cij

c

• cij = αij⋅dij

cij

dijdij

ndijc

cijn

cijc

cij

nij

nij

cij

ijdd

cc

−

−−=α

αij<0

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La fase di controllingI costi indiretti

• Si assumono lineari

• cP = αP⋅dP

• dP = ESn=LCn

cP

dP

α P>0

d0

c0

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• Si può formulare un problema di PL

Obiettivo (minizzazione CT)

dp è una variabile dipendente →

Introducendo ESi e LCi come variabili → dP = ESn

PPijA)j,i(

ijT ddCmin α+⋅α= ∑∈

∑∈

=CP)j,i(

ijP dd

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• Vincolicosti diretti lineari →

definizione del CP →

conservazione del CP (post-ottimalità) →

Pk percorso tra l’evento inizio e l’evento fine del progetto

∑∈

=CP)j,i(

ijP dd

A)j,i(ddd nijij

cij ∈∀≤≤

CPPdd kPP)j,i(

ijk

≠∀≤∑∈

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• Una formulazione lineare più generale si ha usando le ESi e LCi come variabili

dP = ESn

Obiettivo (minizzazione CT)

nPijA)j,i(

ijT ESdCmin α+⋅α= ∑∈

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• Vincolicosti diretti lineari →

definizione degli ESi e LCi →

)i(predjdESES ijji ∈∀+≥

A)j,i(ddd nijij

cij ∈∀≤≤

)i(succjdLCLC ijji ∈∀−≤

A)j,i(dESLC ijij ∈∀≥−

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Esempi con software

• Excel • MS Project

58


Esempi

59


Esempi

60


Esempi

1

2

3

4 5

61


EsempiActivity DIP

62


Esempi

ijA)j,i(

ijTCmin ∆⋅α−= ∑∈

)i(predj)d(ESES ijijji ∈∀∆−+≥

A)j,i(0 maxijij ∈∀∆≤∆≤

)i(succj)d(LCLC ijijji ∈∀∆−−≤

A)j,i(dESLC ijijij ∈∀∆−≥−

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Considerazioni finali

• L’analisi del PERT-CPM può essere effettuata anche in presenza di durate aleatorie delle attività(almeno in presenza di ipotesi semplificative)

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