28-05-2007

Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling

-1-

Laserkøling

Eksamensprojekt i Kvantemekanik af:

Lars Vittorio Traiano Occhionero, 20052133

Lavet i samarbejde med Paw Simesen.

Under vejledning af Peter Herskind.

Vi kigger teoretisk på laserkøling, viser de optiske Bloch ligninger ved at kigge på systemets tæthedsmatrice og anvender løsningerne dertil på at finde frem til et udtryk for kølekraften, og undersøge denne, og finde

optimeringsmuligheder.

Indledning Et af de store moderne forskningsfelter omhandler

laserkøling. Ideen, som modtog fysiks nobelpris i 1997,

anvendes i dag i et stort antal felter, fra Bose-Einstein

kondensering til kvantecomuteren.

Ideen om at køle med laser virker også, rent logisk,

absurd, da vi fra Hollywood o.l. er vant til at se lasere

som objekter som kan tilføje store mængder energi til

små områder, og kan anvendes til at lave små præcise

incisioner til øjenoperationer, til at skære meget præcist

i industrien, og (i Hollywood) til at eksplodere ting

med. Vi ser jo ikke lasere som noget der kan køle ting

ned, tværtimod. Det vi anvender, er at laserlyset,

kvantemekanisk, også har en impuls, som vi kan bruge

til at bremse atomer med, og på den måde køle dem

ned.

I opgaven vil jeg beskæftige mig med noget af den

teori som ligger til grund for processen, og opskrive en

ligning for den kraft lasere kan virke på atomer, og se

om denne kan gøres kølende, og hvordan denne kan

optimeres.

For at gøre dette vil vi kigge på den tidsafhængige

Schrödinger ligning, opskrive løsninger til den,

anvende tæthedsmatricer, for endeligt at kunne komme

frem til kølekraften, og undersøge denne.

De optiske Bloch Ligninger Vi ønsker at bestemme den kraft hvormed vi skal køle

vores ioner. For at finde denne, skal vi benytte nogle

bevægelsesligninger for optiske systemer, de optiske

Bloch ligninger.

Generelle overvejelser Vi skal observere ændringer i tid, vi kigger derfor på

den tidsafhængige Schrödingers ligning:

( ) ( ), ,H r t i r tt

δδ

Ψ = Ψ

ℏ (1)

Hvor vi har, rent generelt, at bølgeligningen kan

skrives som:

( ) ( ) ( ) -i t

k, r ekk

r t c t ωϕΨ =∑

(2)

Vi kan nu indsætte [2] i [1]:

( ) ( ) ( ) -i t

k, r ekk

H r t i c tt

ωδϕ

δ Ψ =

∑

ℏ (3)

Vi ønsker at se på hvordan c udvikler sig med tiden.

Ved at gange med φj på begge sider og integrere op, og

definere ' 'jk j kH Hϕ ϕ≡ får vi:

( )( ) ( )k

k

= c ' jkj i t

jk

dc ti t H t e

dt

ω−∑ℏ (4)

28-05-2007

Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling

-2-

Vi kigger på en to-niveau atom. Vi ser således på

atomet i enten grundtilstand (så g=0) eller exciteret

tilstand (så e=1). Vi kan derfor skrive ligning [4] for de

to c’er:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

e

g

=i =c '

=i =c '

a

a

g i tg ge

e i te eg

dc ti c t H t e

dt

dc ti c t H t e

dt

ω

ω

−ɺℏ ℏ

ɺℏ ℏ

(5)

hvor ωa=ωge er atomets frekvens.

Vores system Vi vil nu kigge på relation mellem lys og atomer. Det

viser sig1 at vi kan opskrive den del af Hamilton

operatoren, som fortæller om interaktionen mellem

atomer og lys som:

( )' ,H e r t rε= − ⋅ ⋅

(6)

hvor ε er det elektriske felt. Vi har defineret vores

Hamilton operator i [4] ' 'jk j kH Hϕ ϕ≡ så vi

har at for vores to-niveau atom vi har at:

( )' ,ge g eH e r t rφ ε φ= − ⋅ ⋅

(7)

Det elektriske felt for en plan bølge som rejser i z-

retning er givet ved:

( ) ( )0ˆ, cosz t E kz tε ε ω= −

ℓ

(8)

hvor ωl er laserens frekvens. Vi kan omskrive på [8] vha. Eulers formel, og udvide til alle dimensioner ved

at erstatte z med en radius vektor:

( ) ( ) ( )( )( )

0

0

1ˆ,2

1ˆ2

i ikr t i ikr t

i t i tikr ikr

r t E e e

E e e e e

ω ω

ω ω

ε ε

ε

− − −

− −

= +

= ⋅ + ⋅

ℓ ℓ

ℓ ℓ

(9)

Vi kan nu anvende end dipol approksimation. I denne

anvender vi følgende:

( ) ( )211 ...... 1

2!

ikre ik r ik r= + ⋅ + ⋅ + ≈

(10)

Det samme gælder for negativ eksponent. Dette kan vi

tillade os, da, hvis vi kigger på kr (andet led) i vores

1 Jf. Metcalf & Straten (1.8)

eksempel har vi at 7 12 10k mπ λ −= ≈ for rødt lys

og 1r Å≈ altså en atoms udstrækning. Dette giver 310 1kr −≈ << og derfor kan vi negligere alle andre

led end det første.

Vi kan derfor skrive [9] om til:

( ) ( )0

1ˆ,2

i t i tr t E e eω ωε ε −= + ⋅ℓ ℓ

(11)

Vi kan nu indsætte [11] i [7] for at bestemme vores

Hamilton operator. Vi definerer først, som ved

Hamilton operatoren at: ge g er rϕ ϕ≡

:

( )

( ) ( )

0

0

'

1ˆ2

1ˆ

2

ge

i t i tg e

i t i tge

H

e E e e r

e e e E r

ω ω

ω ω

φ ε φ

ε

−

−

= − ⋅ + ⋅ ⋅

= − + ⋅ ⋅ ⋅

ℓ ℓ

ℓ ℓ

(12)

For at simplificere udtrykket defineres en Rabi-

frekvens ( )ˆ oge ge

Ee r εΩ ≡ ⋅

ℏ som vi kan sætte ind i

den firkantede parentes, ved at gange med en h-bar:

( )

( )

1'

2

1

2

i t i tge ge

i t i tge ge

H e e

e e

ω ω

ω ω

−

−

= − Ω +

= − Ω +Ω

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℏ

ℏ

(13)

Vi kan bemærke at Rabi-frekvensen er hermitisk, da

radius-operatoren er hermitisk, så der må gælde at: *

ge egΩ = Ω Dette kan vi anvende til at gøre formel

[13] nemmere at arbejde med senere:

( )*1'

2

i t i tge ge egH e eω ω−= − Ω +Ωℓ ℓℏ (14)

Vi kan nu gætte hvad den Hermitiske operator for eg

er, da denne er dannet af de samme beregninger, hvor

Rabi-frekvensen vendes om så:

( )*1'

2

i t i teg eg geH e eω ω−= − Ω +Ωℓ ℓℏ (15)

Vi har nu bestemt de to Hamilton operatorer som

figurerer i vores formel [5], som vi nu kan indsætte. Vi

starter med cg:

28-05-2007

Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling

-3-

( )

( )( ) ( )( )

e

*

e

*

*

i =c '

1c

2

2

2

a

a

a a

a a

i tg ge

i ti t i tge eg

i t i t i t i te ge eg

it ite ge eg

c H e

e e e

c e e

c e e

ω

ωω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

−

−−

− − −

− + −

= − Ω +Ω

= − Ω +Ω

= − Ω +Ω

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ℓ ℓ

ɺℏ

ℏ

ℏ

ℏ

(16)

For at simplificere ligningerne indfører vi detuningen,

som udtrykker forskellen mellem de to frekvenser:

aδ ω ω≡ −ℓ:

( ) ( )( )( )( )

*

2 *

i

=2

2

a

g

it ite ge eg

i t i te ge eg

c

c e e

c e e

ω ω ω ω δ

ω δ δ

− + + − −

− + −

− Ω +Ω

= − Ω +Ω

ℓ ℓ ℓ

ℓ

ɺℏ

ℏ

ℏ

(17)

Vi kan igen rent symmetrisk finde det tilsvarende

udtryk for ce:

( )( )( )

*

2*

i =2

2

ai ti t i te g eg ge

i ti tg eg ge

c c e e e

c e e

ωω ω

ω δδ

−

+−

− Ω +Ω

= − Ω +Ω

ℓ ℓ

ℓ

ℏɺℏ

ℏ (18)

For at kunne simplificere udtrykkene yderligere, vha.

endnu en approksimation, skifter vi koordinatsystem

for vores system til en roterende system, ved at

overføre vores c’er således der gælder at:

'

' '

g g

i t i te e e e

c c

c c e c c eδ δ−

=

= ⇒ = (19)

Vi finder således vores formler [17] til:

( )

( )

2 *

2 *

i =2

i '= '2

i t i tg ge eg e

i tg ge eg e

c e c e

c e c

ω δ

ω

− −

−

− Ω +Ω ⇒

− Ω +Ω

ℓ

ℓ

ℏɺℏ

ℏɺℏ

(20)

og tilsvarende med formel [18]:

( )'i =i i ' '

i ' '

i ti t i te

e e e

i t i te e

dc ec c e i c e

dt

c e c e

δδ δ

δ δ

δ

δ

= +

= −

ɺ ɺℏ ℏ ℏ

ɺℏ ℏ

(21)

og vi kan også skrive dette som:

( )2*i = '2

i t i te eg ge gc e c eω δ−− Ω +Ω ℓ

ℏɺℏ (22)

sætter vi [22] og [21] lig hinanden får vi:

( )

( )

( )

2*

2*

2*

i ' '

'2

i ' '

'2

i ' ' '2

i t i te e

i t i teg ge g

e e

i teg ge g

i te e eg ge g

c e c e

e c e

c c

e c

c c e c

δ δ

ω δ

ω

ω

δ

δ

δ

−

−

= − Ω +Ω ⇒

−

= − Ω +Ω ⇒

= − Ω +Ω

ℓ

ℓ

ℓ

ɺℏ ℏ

ℏ

ɺℏ ℏ

ℏ

ℏɺℏ ℏ

(23)

Vi kan nu benytte os af Rotating Wave

Approksimation. I denne negligerer vi alle led hvori

der indgår 2ωl. Dette gør vi da disse roterer meget hurtigere end resten af vores tidsskalaer, og midler

derfor til 0 for de tidsrum hvori vi kan måle. Vi ser at

vi kun får Ωeg led tilbage, så vi kan passende definere

egΩ ≡ Ω Vi får således ligning [20]

*

*

*

i '= '2

1'= '

2

'= '2

g eg e

g e

g e

c c

c ci

ic c

− Ω ⇒

− Ω ⇒

Ω

ℏɺℏ

ɺ

ɺ

(24)

og [23]:

i ' ' '2

' ' '2

e e eg g

e g e

c c c

ic c i c

δ

δ

= − Ω ⇒

= Ω −

ℏɺℏ ℏ

ɺ

(25)

Tæthedsmatricen Vi tager nu et lille sidespring. Hvad vi ønsker at

bestemme er nogle ligninger som udtrykker hvordan

populationen i vores atomers niveau varierer med

tiden. For at gøre dette kan det være fordelagtig at

definere en densitetsmatrix således at: *

ij i jc cρ =

En sådan matrix kan generelt anvendes til at gøre

mange opgaver simplere. Kigger vi nærmere på den

viser det sig at vi kan udtrykke forventningsværdien for

28-05-2007

Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling

-4-

enhver operator som trace af produktet mellem

densitetsmatricen og operatoren, og vi kan se at trace at

densitetsmatricen i sig selv giver vores normaliserings

betingelser, og skal dermed være 12. For vores to-

niveau atom kan vi skrive densitetsmatricen således op:

* *

* *

gg ge g g g e

eg ee e g e e

c c c c

c c c c

ρ ρρ

ρ ρ

= =

(26)

Opskrivning af Bloch ligningerne Vi kan se at vi kan betragte diagonalelementerne som

populationen af de to niveauer. Det passer endda også

at trace, altså den samlede population er 1. Vi vil

anvende densitetsmatricen til opskrivning af Bloch

ligningerne, som er de tidsafledte af de fire indgange i

densitetsmatricen.

Vi starter med at opskrive densitetsmatricen i vores

roterende koordinatsystem:

* *

* *

* *

* *

* *

* *

' ' ' '

' ' ' '

gg ge g g g e

eg ee e g e e

i tg g g e

i t i t i te g e e

i tg g g e

i te g e e

c c c c

c c c c

c c c c e

c e c c e c e

c c c c e

c c e c c

δ

δ δ δ

δ

δ

ρ ρρ

ρ ρ

− −

−

= =

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅

ɶ ɶɶ

ɶ ɶ

(27)

Vi kan nu bestemme vores optiske Bloch ligninger i

vores roterende koordinat system. Vi anvender at:

*

* * jii j j i

dcdcd dc c c c

dt dt dt dt

ρ= = + ⋅ (28)

Vi starter fra indgang 1,1. Vi indsætter ligningerne [24]

og [25]

( )

* *

*

* * *

* * *

*

' ' ' '

' ' ' '2 2

' ' ' '2 2

2

gg g g g g

e g g e

e g g e

eg ge

c c c c

i ic c c c

i ic c c c

i

ρ

ρ ρ

= +

= Ω + Ω

= Ω − Ω

= Ω −Ω

ɺɶ ɺ ɺ

ɶ ɶ

(29)

2 2 Jf. Metcalf & Straten kap. 2

Vi fortsætter, for at bevare symmetrien, til indgang 2,2:

( )

* *

*

*

* *

* * *

* * *

*

' ' ' '

' ' '2

' ' '2

' ' ' '2

' ' ' '2

' ' ' '2 2

2

ee e e e e

g e e

e g e

g e e e

e g e e

g e e g

ge eg

c c c c

ic i c c

ic c i c

ic c i c c

ic c i c c

i ic c c c

i

ρ

δ

δ

δ

δ

ρ ρ

= +

= Ω −

+ Ω −

= Ω −

− Ω +

= Ω − Ω

= Ω −Ω

ɺɶ ɺ ɺ

ɶ ɶ

(30)

Vi finder nu for indgang 1,2:

( )

* *

*

* *

* * * *

* *

*

' ' ' '

' ' ' ' '2 2

' ' ' '2 2

2 2

2

ge g e g e

e e g g e

ee g g g e

ee gg ge

ge ee gg

c c c c

i ic c c c i c

i ic c i c c

i ii

ii

ρ

δ

ρ δ

ρ ρ δρ

δρ ρ ρ

= +

= Ω + Ω −

= Ω − Ω +

= Ω − Ω +

= + Ω −

ɺɶ ɺ ɺ

ɶ

ɶ ɶ ɶ

ɶ

(31)

og endeligt for indgang 2,2:

( )

* *

*

* *

* * *

' ' ' '

' ' ' ' '2 2

' ' ' ' ' '2 2

2

eg e g e g

g e g e e

g g e g e e

eg gg ee

c c c c

i ic i c c c c

i ic c i c c c c

ii

ρ

δ

δ

δρ ρ ρ

= +

= Ω − + Ω

= Ω − − Ω

= − + Ω −

ɺɶ ɺ ɺ

ɶ

(32)

Noter at vi i de sidste to udtryk erstatter ii iiρ ρ=ɶ i

henhold til matricen skrevet op i [27].

28-05-2007

Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling

-5-

Spontan emission Vi har nu udtryk for populationernes udvikling over

tid, men der mangler et element, spontan emission, som

vi endnu ikke har taget hensyn til i vores udregninger.

Vi betragter henfaldsraten γ. Der kan ikke henfalde noget fra grundtilstand som ligning [29] udtrykker.

Men vi har en forøgelse i population fra den exciterede

tilstand. Henfaldet fra den exciterede tilstand må være

dens tæthedsfunktion gange henfaldsraten, og for [29]

positiv da denne svarer til en tilvækst, så vi har:

( )*

2gg ee eg ge

iρ γρ ρ ρ= + Ω −Ωɺɶ ɶ ɶ (33)

For den exciterede tilstand må det være lige omvendt.

Her kan der ikke falde nogle tilstande til, og der kan

kun ske et tab på det samme som før, så vi har:

( )*

2ee ee ge eg

iρ γρ ρ ρ= − + Ω −Ωɺɶ ɶ ɶ (34)

For de næste to vil vi betragte spontan emission for eg

som sker med den konstante henfaldsrate γ/23 og får således:

( )

( )

*

*

2 2

2 2

ge ge ee gg ge

ge ee gg

ii

ii

γρ δρ ρ ρ ρ

γδ ρ ρ ρ

= + Ω − −

= − − + Ω −

ɺɶ ɶ ɶ

ɶ

(35)

og tilsvarende:

( )2 2

eg eg gg ee

ii

γρ δ ρ ρ ρ = − + + Ω −

ɺɶ ɶ (36)

Vi har hermed udledt de optiske Bloch ligninger. Vi

skal nu løse disse ligninger og anvende dem for at

finde kølekraften for vores laserkøling.

3 jf. Metcalf & Straten (2.20)

Løsning af Bloch ligningerne Vi ser på løsningen for ligningerne for steady state. Vi

ser på forskellen i population: gg eeϖ ρ ρ≡ − . Denne

kan vi anvende til at gøre nogle formler nemmere. Vi

ser på differentialet:

( )

( )

( )

*

*

* *

*

2

2

22 2

2 2

2

gg ee

ee eg ge

ee ge eg

eg eg

ee

ge ge

ee eg ge

i

i

i i

i i

i

ϖ ρ ρ

γρ ρ ρ

γρ ρ ρ

ρ ργρ

ρ ρ

γρ ρ ρ

= −

= + Ω −Ω

+ − Ω −Ω

Ω Ω= + +

Ω Ω− −

= + Ω −Ω

ɺ ɺɺ

ɶ ɶ

ɶ ɶ

ɶ ɶ

ɶ ɶ

ɶ ɶ

(37)

Vi kigger lidt nærmere på ϖ , samt vi ved at sporet for

tæthedsmatricen er 1, da det er vores

normaliseringsbetingelse, (man kan også tænke det at

summen af atomerne i grund- og i exciteret tilstand er

1, da de skal være i en af tilsandende). Vi trækker to

ligninger fra hinanden:

1

1 0 2

gg ee

gg ee

ee

ρ ρ

ϖ ρ ρ

ϖ ρ

= +

≡ −

− = +

(38)

Dette kan vi nu indsætte i [37], og anvender at *

ge egρ ρ=ɶ ɶ :

( ) ( )( )( )

*

*

* *

1 eg ge

eg ge

eg eg

i

i

i

ϖ γ ϖ ρ ρ

γϖ ρ ρ γ

γϖ ρ ρ γ

= − + Ω −Ω

= − + Ω −Ω +

= − − Ω −Ω +

ɶ ɶɺ

ɶ ɶ

ɶ ɶ

(39)

Vi kan se at ligning [36] nu kan omskrives

2 2eg eg

ii

γρ δ ρ ϖ = − + + Ω

ɺɶ ɶ (40)

Vi anvender nu vores antagelse om steady state, altså at

der er lige så meget der bliver exciteret som kommer

tilbage i grundtilstanden så 0ϖ =ɺ , samt at de ikke-

diagonale elementer i tæthedsmatricens tidsafledte er 0,

28-05-2007

Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling

-6-

altså at: 0eg geρ ρ= =ɺ ɺɶ ɶ . Vi starter med at isolere egρɶ

fra ligning [40]:

( )

02 2

2 2

2 2

eg eg

eg

eg

ii

ii

i

i

γρ δ ρ ϖ

γδ ρ ϖ

ρ ϖγ δ

= − + + Ω = ⇒

+ = Ω ⇒

Ω=

+

ɺɶ ɶ

ɶ

ɶ

(41)

Dette kan vi nu indsætte i ligning [39] og anvende

steady state:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

* *

**

**

2

2

2

2 2

2 2

0

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

1

1 2

1

1

eg egi

i ii

i i

i ii

i i

i

i

i

i

i

s

ϖ γϖ ρ ρ γ

γϖ γ

ϖ ϖγ δ γ δ

γϖ γ

ϖ ϖγ δ γ δ

γϖ ϖγ δ

ϖ γγ δ

γ δϖ

γ δ

γ δ

= − − Ω −Ω + =

= − +

Ω Ω− −Ω −Ω − + = − +

Ω Ω− −Ω −Ω − +

Ω= − −

−

Ω− + ⇒

+

⋅ −=

− + Ω

=+ Ω −

=+

ɶ ɶɺ

(42)

For at reducere kan vi nu indføres en

mætningsparameter s:4

( )

2 2

0

2 2 2 2

2

4 1 22

ss

i δ γ δ γγ δ

Ω Ω≡ = ≡

+ +− (43)

4 jf. Metcalf & Straten afsn. (2.4)

hvor s0 beskriver resonans mætningsparameteret givet

ved [ ]2 2

0 2 ss I Iγ= Ω = , hvor Is er

mætningsintesiteten.

Vi kan nu anvende dette til at finde et udtryk for egρɶ

som er lidt pænere end [41]:

( )( )2 2 1eg

i

i sρ

γ δΩ

=+ +

ɶ (44)

Så nu har vi løst en af vores Bloch ligninger. Vi kan

bruge denne løsning til at bestemme eeρ , som er den

vi skal anvende for at bestemme kølekraften. Vi

anvender det vi har fundet i ligning [38]:

( )

1 0 2

11

2

ee

ee

ϖ ρ

ρ ϖ

− = + ⇒

= − (45)

Vi kan nu indsætte [42] i [45]:

( )( )

( ) ( )

1 1 1 11

2 1 2 2 1

1 1

2 1 2 1

ees s

s s

s s

ρ = − = − + +

+ −= =

+ +

(46)

Dette kan vi skrive om vha.

resonansmætningsparameteren givet ved [43]:

( )( )( )

( )

2

0

2

0

0

2

0

1 2

2 1 1 2

2

1 2

ee

s

s

s

s

δ γρ

δ γ

δ γ

+=

+ +

=+ +

(47)

28-05-2007

Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling

-7-

Kølekraften Vi har nu lavet al baggrunden for at kunne bestemme

kølekraften. Vi ser på kølekraften ret klassisk som den

enkelte fotons impuls gange med antal absorptioner,

altså:

foton p eeF p kγ γρ= ⋅ = ⋅ℏ (48)

Vi ser at vi betragter antallet af absorption ved at se på

henfaldsraten gange populationen i det exciterede

tilstand. Dette kan vi gøre, da vi ved at i steady state er

ekscitationsraten lige så stor som henfaldsraten, og vi

har dermed det antal atomer som vil lade sig påvirke af

fotonerne. Denne kan vi finde ved at indsætte i ligning

[47]:

( )0

2

0

2

1 2p

s

s

γγ

δ γ=

+ + (49)

For at bestemme kraften kan vi nu indsætte [49] i [48]:

( )0

2

0

2

1 2

sF k

s

γ

δ γ= ⋅

+ +ℏ (50)

Doppler effekten Vi vil nu se lidt nærmere på effekterne for detuning.

Detuningen er det som giver forskellen i laser- og

ekscitationsfrekvensen. Vi kan altså redigere i denne

parameter til at tage hensyn til doppler kølingen. Vi ser

på denne situation:

Figur 1 Skematisk tegning af system

Vi har et to-niveau atom som bliver påvirket fra laser

fra to sider. Da atomet bevæger sig imod den ene foton,

og væk fra den anden vil vi opleve en dopplereffekt, så

fra atomets synsvinkel, vil den bagerste foton se

rødforskudt, mens den foran vil være blåforskudt.

Denne effekt skal altså tages i betragtning når man

laserkøler. Vi har altså reelt set to komposanter for

kraften, en for hver side af systemet.

Ud fra doppler effekten, kan vi betragte atomets

ekscitationsfrekvens i forhold til laserfrekvenserne som

' 1 aa a a

a a

vv

c c

kc vkv

c

ωω ω ω

ω ω

⋅ = ± = ± ⋅

= ± = ±

(51)

Indsættes dette i vores udtryk for detuning, kan vi se at

vi kan tage hensyn til doppler effekten ved at lave

følgende transformation:

' 'a a kv kvδ ω ω ω ω δ= − = − ± = ±ℓ ℓ

(52)

Dette indsættes i formel [50] for at få et udtryk for

kraften, hvor vi tager hensyn til doppler effekten:

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

0

2

0

0

22

0

0

2 2 2 2

0

0

2 2 2 2 2

0

12 2 2 2

0

2 2

0 0

2

1 2

2

1 4

2

1 4 2

2

1 2 4 8

4 821

1 2 1 2

k sF

s kv

k s

s kv

k s

s k v kv

k s

s k v kv

k v kvk s

s s

γ

δ γ

γ

γ δ

γ

γ δ δ

γ

δ γ γ δ γ

γ δ γγ

δ γ δ γ

−

⋅=

+ + ±

⋅=

+ + ⋅ ±

⋅=

+ + + ±

⋅=

+ + + ±

±⋅ = ⋅ +

+ + + +

ℏ

ℏ

ℏ

ℏ

ℏ

(53)

Inden laserkølingen vil man starte med at fange de

ioner man vil køle, i en elektromagnetisk fælde, som

f.eks. en Pauli fælde, og denne vil allerede køle ionerne

til en vis grænse. Vi skal altså køle ioner, hvis

hastighed i forvejen er omkring 0. Vi kan bruge dette

til at rækkeudvikle den anden parentes, og da vi i

tælleren har led af v, som altså er meget meget små,

kan vi nøjes med at anvende andet led. Den

rækkeudvikling vi anvender, er altså at:

( ) 11 1x x

−+ = − (54)

som gælder for små x. Vi anvender rækkeudviklingen,

samt vi negligerer leddet med v2, da denne bliver meget

lille:

ωl ωl

v ωA

28-05-2007

Eksamensprojekt i Kvantemekanik: Laserkøling

-8-

( )

( )2 2 2

0

2

0

421

1 2

k vk sF

s

γγ

δ γ

⋅ = ⋅ + +

ℏ∓

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2

0

2

0

2 22

00

2

0

2 22

00

8

1 2

2 4

1 2 1 2

2 4

1 2 1 2

kv

s

k s k v

s s

k s kv

s s

δ γ

δ γ

γ δγδ γ δ γ

γ δ

δ γ γ δ γ

+ + +

⋅ = + + + +

⋅ = + + + +

ℏ ℏ∓

ℏ ℏ∓

(55)

Lad os kigge på leddene nu. Led som g,

hendfaldsraten, er givet ud fra de atomer vi vil køle, og

kan altså kun ændres ved at ændre atomerne. Det er

altså ikke en størrelse som er variabel i et givent

forsøg. Af de andre kan vi se at k er givet ud fra

laserens bølgelængde, detuningen har i høj grad noget

at gøre med både laser og atomer, og

resonansmætningsparameteren er bestemt af laserens

intensitet. Men når vi har valgt laserlys, og atomer, ser

vi at kraften kan skrives som en

gnidningskraft, F vβ= − hvor β’s fortegn netop er omvendt hastigheden, når denne regnes med fortegn.

Grafisk undersøgelse af kraften Vi vil nu kigge på kraften grafisk. Vi plotter

koefficienten for kraften, som funktion af detuningen.

Dette gør vi da det i stor stil er koefficienten som

bestemmer kraften, og som funktion af detuningen, for

forskellige værdier af s0. På denne måde kan vi

undersøge for hvilke laserintensiteter, som er bestemt

af s0, der opnås størst køling, og om hvor præcis

detuningen skal være før man opnår en kraft, altså hvor

tæt laserfrekvensen og ekscitationsfrekvensen skal

være før vi kan køle ionerne. Vi plotter kraften positiv,

og i enheder så alle konstanter = 1.

Figur 2 Friktion som funktion af detuning

Vi ser at, modsat hvad man kunne forvente, hjælper det

ikke at finde laseren med den største intensitet til at

køle bedst. Vi ser at vi opnår den største køling for

s0=1. Men vi observerer samtidig også at jo højere

kølekraft vi opnår, jo mere nøjagtig skal detuningen

være. Hvis vi vil nøjes med mindre kølekraft, ser vi at

vi får en udbredelse af kurven, som indikerer at vi kan

køle for et større antal forskellige detuning. Vi kan

forestille os at, når vi ser på doppler forskydningen, så

vil ionerne have en fordeling af hastigheder, som giver

en fordeling af detuning. Vi kan altså køle flere ioner,

hvis vi til gengæld opgiver at have en meget høj

kølekraft.

Nu har vi sat vores hastigheder til noget bestemt, men

når vi køler vil ionernes hastighed mindskes, og de vil

skrifte i detuning, vi skal derfor overveje at enten have

en laser, med s0=1 hvor man kan skifte i frekvens, eller

have en større s0 så den stadig kan køle ioner selv om

deres detuning skifter. Da laser pr. definition er

tilnærmelsesvist, monokromatiske, er denne sidste

mulighed praktisk at foretrække.

Dette dopplerskift giver en nedre grænse for, hvor langt

nede i temperatur vi kan komme, kaldet

dopplergrænsen, på 300mK. Ønsker man yderligere

køling skal have andre metoder i brug, så som

evaporation, hvor man lader de mest energirige atomer

slippe ude af potentialet, og beholder kun de koldeste.5

Vi kan altså se at det kan være en fordel at køle et stort

antal ioner hvis man ønsker at køle dem yderligere ned

via evaporation, da man skal eliminere store mængder

ioner.

Konklusion Vi har fundet et udtryk for kraften ved laserkøling, og

vist at man kan betragte denne som en friktionskraft, da

denne afhænger lineært af hastigheden på ionerne. Vi

har endvidere set at laserkølingen er en balance mellem

hvor stor kraft man ønsker at laserkøle med, og hvor

mange ioner man ønsker at laserkøle, da en stor kraft,

medfører en lille forskel mellem laserens frekvens og

ionernes ekscitationsfrekvens.

I praksis vil det altså kunne betale sig at have en lavere

kølekraft til fordel for en større sandsynlighed for at

køle en ion.

Litteraturhenvisning

Metcalf & Straten, kap. 1, 2 og 5

Griffiths ”Introduction to Quantum Mechanics, kap 9

5 Jf. Metcalf & Straten Figur 5.1