1

YİBO Öğretmenleri (Fen ve Teknoloji-Fizik, Kimya,

Biyoloji- ve Matematik) Proje Danışmanlığı Eğitimi Çalıştayı

Matematik bölümü Proje Raporu

Projenin Adı

SIFIR ÇİFTİ MUCİZESİ

Proje Ekibi Tülin AKSOY- Atatürk YİBO / SAMSUN

Sema OVALI – Yenikonak YİBO/SİNOP

Oya GÜLAY – Esiroğlu YİBO/ TRABZON

Proje Danışmanları

Prof. Dr. Feyzi BAŞAR

Doç. Dr. Necla TURANLI

GEBZE

ŞUBAT- 2010

2

İÇİNDEKİLER

PROJENİN AMACI…………………………………………………………….3

GİRİŞ……………………………………………………………………………3

MATERYAL VE YÖNTEM……………………………………………………5

BULGULAR VE YORUM……………………………………………………...7

SONUÇ VE ÖNERİLER………………………………………………………11

KAYNAKÇA…………………………………………………………………..13

3

PROJE ADI: Sıfır Çifti Mucizesi

PROJENİN AMACI

Negatif tam sayılarla işlem yapma, ilköğretim ikinci kademe öğrencileri için yenidir.

Öğrenciler iki negatif tam sayı ya da biri negatif diğeri pozitif iki tam sayıyla işlem yapma

durumuyla ilk defa karşılaşmaktadır. Bu düzeyde öğrenciler, negatif tam sayıları anlamakta ve

işlem yapmakta güçlük çekmektedirler. Bu nedenle öğrencilerin pozitif ve negatif tam

sayılara yönelik kazanımları daha kolay kavramaları amacıyla bu çalışma yapılmıştır.

Bu çalışmada; çift yönlü düzenek üzerinde sıfır çifti oluşturacak şekilde hazırlanan

yarım daireler yardımıyla, öğrencilerin sıfır çifti oluşumunu somut olarak gözlemelerini

sağlamak, tamsayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapmak ve bir tamsayının toplama

işlemine göre tersini öğrenmelerine yardımcı olmak amacıyla bir materyal hazırlanmıştır.

GİRİŞ

21.yüzyıl teknoloji çağında bilginin önemi hızla artmakta, buna bağlı olarak “bilgi”

kavramı ve “bilim” anlayışı da değişmekte, teknoloji ilerlemekte, demokrasi ve yönetim

kavramları farklılaşmakta, tüm bu değişimlere ayak uydurabilmek için toplumların

bireylerinden beklediği beceriler de değişmektedir, (M.E.B,2005). Bu beklentiler

doğrultusunda bireylerin yetişebilmesi için son yıllarda matematik eğitimine bakış açılarında

önemli değişiklikler olmuştur. Artık matematik eğitimi, yalnızca matematik bilen değil, sahip

olduğu bilgiyi uygulayan, matematik yapan, problem çözen insanlar yetiştirmeyi

hedeflemektedir. 21.yüzyıl bilgi toplumları, bireylerin temel becerilerin ötesine geçerek, “yeni

yeterlilikler” kazanmalarına gereksinim duymaktadır (Gür & Korkmaz,2003).

Bu amaçlar doğrultusunda, yeni hazırlanan ilköğretim matematik müfredat programı,

kavramların kendi aralarındaki ilişkileri, işlemlerin altında yatan anlamları ve işlem

becerilerinin kazandırılması üzerine yoğunlaşmıştır. Hazırlanan bu programda matematikle

ilgili bilgilerin kavramsal temellerin oluşturulmasına daha çok zaman ayırmayı; böylece

kavramsal ve işlemsel bilgi ve beceriler arasında ilişkiler kurma önemsenmiştir. Bu yapılırken

öğrencilerin somut deneyimlerinden, sezgilerinden matematiksel anlamları oluşturmalarına ve

soyutlama yapabilmelerine yardımcı olma amaçlanmıştır, (M.E.B. 2005).

İnsanda binlerce yıl önceden başlayan mukayese kavramı, giderek sayma ve sayılarla

işlem yapma becerisine ulaşmıştır. Sayıların nesnelerden bağımsız oluşu; gerektiğinde değişik

4

nesne ya da olgulara karşılık gösterilerek durum ya da olayları açıklamaya yarayışı,

matematiğin soyut yapısal özelliklerinin ortaya çıkışını ve modelleşmesini sağlamıştır,

(Karaçay, 1985).

Öğrencilere matematik soyut bir ders gibi görünmekte ve yeterince zihinlerinde

canlandıramadıkları için de konuyu anlamlandıramamaktadırlar. Matematik dersine karşı

oluşan bu olumsuzluk, çocukların bütün eğitim hayatı boyunca derste güçlük çekmesine ve

hata yapmasına neden olmaktadır, (Nesin, 2001). Özellikle ilköğretim basamağında öğrenim

gören öğrencilerin, azımsanmayacak derecede matematik dersinden korktukları, bu durumun

sonucu olarak da eğitim başarısının olumsuz yönde etkilendiğini ortaya koyan araştırmalara

literatürde rastlanmaktadır, (Albayrak & Erkal, 2003). Bu bağlamda ilköğretim basamağında

öğretim etkinlikleri açısından önemli yeri olan oyunun önemi vurgulanmalıdır, (Güven,

2001). Matematik öğretiminde oyunlara yer verilerek öğrenci üzerindeki matematik korkusu

oluşmadan önlenmelidir. Çocukların matematik dersini ve matematik öğrenmeyi sevmelerini

sağlamak için, onlara oyunla bu dersin eğlendirici, zevkli, dinlendirici yanları gösterilmelidir.

Bu şekilde çocukların algısı, dikkati oyunla etkinlikler üzerine yoğunlaştırılırsa; kavram, konu

ve sosyal davranışlar daha etkili olarak öğretilebilir, (Önder, 1999).

Öğrenciler; zihinsel süreçler, ilgi, istek, ihtiyaç, katılım, motivasyon, duygu ve

tutumlar açısından birbirinden oldukça farklıdır. Dolayısıyla her öğrencinin ayrı bir dünyası

vardır. Bu sebeple öğrencilerin öğrenme stilleri de farklıdır. Bu açıdan, ders işlenirken farklı

etkinlikler yoluyla öğrenme stili farklı öğrencilerin derse etkin katılımları sağlanmalı ve

eğitici materyallerden yararlanılmalıdır. Eğitimde materyal kullanımı, algılama ve öğrenmeyi

kolaylaştırır. İlgi uyandırır, sınıfa canlılık getirir. Öğrenmede, zamanı kısaltır, bilgiyi

pekiştirir ve kalıcılığa yardım eder. Öğrencilerin konuya katılımlarını sağlar, okuma ve

araştırma arzusu uyandırır. Yanına gidilmesi veya sınıfa getirilmesi mümkün olmayan olay,

olgu ve varlıkları, gerçek yüzleriyle sınıfa taşır, ( Aslan & Doğdu, 1993 , s:40).

Tam sayılarla işlem yapma ders kitaplarında genellikle sayma pulları ile model

oluşturma türünden etkinliklerle anlatılmaktadır. Yapılan etkinliklerin amacı öğrencilerin tam

sayılarda toplama işlemini pullarla modelledikten sonra, mantıksal çıkarımlarda bulunup

toplama işlemi için bir kural geliştirmelerini sağlamaktır. Sayı pulları ile modellemede birer

tane + ve - pulun bir araya geldiğinde 0 çifti oluşturduğunu ve toplama işleminde etkisinin

olmadığı belirtilmektedir. Fakat sıfır çifti kavramı öğrencilerin zihninde tam olarak

canlanamamakta ve soyut bir düzeyde kalmakta, sayma pullarıyla negatif ve pozitif tam

sayılarla işlem yapma becerisi de yeterli düzeyde gelişmemektedir.

5

Matematik konuları diğer derslere göre daha güçlü bir sıralı yapıya sahiptir. Bunun

temel nedeni matematiğin hiç bir dış katkı almadan kendisini üretmesidir. Yani ardışık ve

yığılmalı bir bilim olmasıdır. Herhangi bir kavram onun ön şartı durumundaki diğer

kavramlar kazandırılmadan tam olarak verilemez.

A kavranmadan B’ye, B kavranmadan C’ye geçme şansı yoktur. Sayıların öğretimi bu

modele uygundur, (Alkan & Altun, 1998). Bununla ilişkili olarak tam sayılarla işlem becerisi

kazanamayan bir öğrenci de matematiğin diğer konularını kavramakta sorun yaşayacaktır. Bu

sorunun oluşmasını engellemek amacıyla, çalışmada bir materyal tasarlanarak, tam sayılarda

toplama ve çıkarma işlemini oyun haline getirip konun daha kolay anlaşılmasının sağlanması

hedeflenmiştir.

Yapılan çalışmada ise çift taraflı bir düzenek hazırlanmış ve klasik ders kitaplarından

farklı olarak öğrencilerin deney yapmalarına, yaparak yaşayarak öğrenmelerine, soyut

kavramları somut modellere dönüştürmelerine imkan sağlayacak şekilde tasarlanmıştır.

MATERYAL VE YÖNTEM

Öğretim ortamlarının zenginleştirilmesinde kullanılan görsel işitsel araçların öğrenme

üzerindeki etkilerinin araştırılması, uzun yıllardan bu yana araştırmacıların ilgisini

çekmektedir. Örneğin 1937’lerde Hoban vd. tarafından görsel-işitsel araçların etkinliği

üzerine bir sınıflandırma yapılmıştır. Buna göre, eğitim ortamında kullanılan materyaller,

sundukları eğitim ortamının soyuttan somuta oluş özelliğine göre sınıflandırılmıştır. Öğrenme

işlemine katılan duyu organlarımızın sayısı ne kadar fazla ise, o kadar iyi öğrenir ve

öğrenmelerimiz o kadar kalıcı olur. En iyi öğrendiğimiz şeyler, kendi kendimize yaparak

öğrendiğimiz şeylerdir. En iyi öğretim somuttan soyuta ve basitten karmaşığa doğru

gidilendir.

6

Öğrencilerin sadece duydukları zaman unuttuğu; duydukları ve gördükleri zaman biraz

hatırladığı; duydukları, gördükleri ve onunla ilgili soru sordukları veya birisi ile tartıştıkları

zaman, anlamaya başladıkları; duydukları, gördükleri, tartıştıkları ve yaptıkları zaman bilgi ve

beceri kazandıkları; hatta başkasına anlattıkları zaman bilgilerin kalıcılığı sağlanmış olduğu

görülmektedir.

Bu amaçla öğrencilerin öğrenme ortamlarını zenginleştirecek ve daha çok duyularını

harekete geçirecek bir ortam tasarlanıp iki taraflı kullanılabilecek bir düzenek hazırlanmıştır.

Dikdörtgen şeklindeki düzeneğin bir yüzü kaygan bir zemin olarak tasarlanmış ve etrafı

amaca uygun şekilde çevrilmiştir. Diğer yüzü ise ağ ile örtülmüştür. Her iki yüzeyde

kullanılmak üzere sıfır çifti oluşturacak yarım daire parçaları tasarlanmış ve üzerlerine + ve -

sembolleri yazılmıştır. Üzerinde + sembolü olan yarım daire +1 sayısını, - sembolü olan

yarım daire ise -1 sayısını temsil etmektedir.

Kaygan olarak dizayn edilen yüzeyde sıfır çifti ve tamsayıların tersi işlemleri

modellenerek gösterilmiştir. Ağ ile çevrilmiş diğer yüzey içinse üzerlerinde + ve –işaretlerin

bulunduğu yarım dairelerin her bir parçası misine ipleriyle bağlanmış ve kancalarla ağa

takılacak şekilde düzenlenmiştir. Bu alanda ise yapılacak toplama ve çıkarma işlemlerine göre

yeterli sayıda + ve - yarım daireler düzeneğe yerleştirilerek gerekli işlemler yapılacak ve

gerekli durumlarda ortama sıfır çiftleri eklenecek veya oluşturulacaktır.

Tam sayılarla toplama işlemi yapılırken pozitif ve negatif sayılar kadar pullar taraflı

olarak düzeneğe yerleştirilecek, öğrencilere soyut gelen ve zihinlerinde şekillendiremedikleri

sıfır çiftleri kullanılarak işlem ifade edilecektir.

Aşağıdaki düzenek; materyal üzerinde ifade edilecek işlemi örneklendirmektedir.

İşlem sırası örnekleri somut hale getirilerek öğrencilerin daha rahat kavramaları

sağlanmıştır. Bu tasarım sayesinde tam sayılardaki işlemlerin karmaşıklığı somut ve görsellik

katılarak en aza indirgenmiştir.

7

BULGULAR VE YORUM

Yapılan toplama ve çıkarma işlemlerinde temel zeminin sıfır çifti olmasından

dolayı bu çalışmada geliştirilen materyal, tam sayılardaki işlemlerin temeli olan sıfır çiftinin

somut olarak ifade edilip işlemlerin öğrenci zihninde kolayca şekillenecek biçimdedir.

Sınıf ortamında kavratılmaya çalışılan işlemler ilk aşamada hazırladığımız materyal

üzerinde aşağıdaki şemalarda belirtilen adımlarla ifade edildiğinde konunun öğrenci

tarafından anlamlandırılması daha kolay ve hızlı olmasını sağlayacaktır.

Hazırlanan materyalle uygulanacak etkinliğin ilk adımı sıfır çiftinin değeri ve nasıl

oluştuğunu somutlaştırmaktır. Etkinliğin bu adımının sağlıklı şekilde ifade edilmesi;

hedeflenen sonuca ulaşılmasını hızlandıracaktır.

Yukarıdaki Şekil 1’de görüldüğü üzere üzerinde + yazan pullar +1‘i ─ yazan pullar

-1’i ifade etmektedir. Bir + pul ve bir – pul sıfırı oluşturmaktadır ve bu durum yarım

dairelerin birleşimi ile oluşan şekille desteklenip somutlaştırılmıştır.

Kazanımlara ulaşmada izlenecek ikinci adım ise sıfır çiftinden faydalanarak sayıların

toplama işlemine göre tersinin ifadesini anlamlı hale getirmektir.

Şekil 1

8

Yukarıdaki Şekil 2’deki gibi düzeneğe tersi istenen sayının modelleri yerleştirilip,

karşısına sıfır çiftlerinin oluşumunu sağlayacak modeller eklenir. Yapılan bu işlem farklı

sayılarla tekrarlanıp öğrencilerin de denemesine fırsat verilerek toplama işlemine göre tersi

kavramı zihinde daha kolay bir şekilde inşa edilir.

Sıfır çifti ve sayının tersi öğrenci zihninde görsel yolla şekillendirildikten sonra;

toplama işlemi aşağıda belirtilen şekillerle ifade edilmiştir. Bu adımda iki pozitif tam sayı

toplanırken sıfır çiftinin oluşmadığı gösterilmiştir. Aynı durum iki negatif tam sayı

toplanırken de geçerlidir. Ancak biri pozitif diğeri negatif olan tam sayılar toplanırken sıfır

çiftinin oluştuğu ve bundan faydalanarak işlemin yapıldığı ifade edilmiştir.

Aşağıdaki şekillerde düzenekle çıkarma işleminin nasıl anlatılması gerektiğini

örneklemektedir. Bu adımda sıfır çiftlerinden yararlanmak oldukça önemli, öğretici ve kalıcı

işlem yeteneğinin oluşmasını sağlar. Küçük bir pozitif sayıdan büyük bir pozitif sayı

+ =

Şekil 3

++

= Şekil 4

Şekil 2

9

çıkarıldığında ya da küçük bir negatif sayıdan büyük bir negatif sayı çıkarıldığında ortama

eklenen sıfır çiftleri çıkarma işleminin daha rahat anlamlandırılmasını sağlamaktadır.

Şekil 5

- =

- =

Şekil 6

- =

Şekil 7

10

Yukarıda ifade edilen durumun yanında a-b ve a+(-b) işlemlerini gerektiren

problemler, ayrı ayrı incelenir. Elde edilen çözümler karşılaştırılarak a-b = a+(-b) olduğu

fark ettirilir.

+ =

Şekil 9

-

=

+

Şekil 10

- =

Şekil 8

11

SONUÇ VE ÖNERİLER

SONUÇ

Bu projenin yapımında sınıfta karşılaşılan problemlerin çözüm sıkıntılarından

esinlenilmiştir. Sınıf ortamında tam sayılarla işlemler konusu anlatılırken değişik anlatım

yöntem ve teknikleri kullanılmaktadır. Verilen örneklerin (borç-alacak, ileri-geri vs..), yapılan

etkinliklerin yetersiz kalması böyle bir materyali oluşturmamıza etken olmuştur. Karşılaşılan

problemlerin çözümünde oldukça etkili olacağını düşünülen bu materyal aynı zamanda farklı

konularda da kullanıma uygundur. Yapılan sıfır çiftin mucizesi projesinin materyali, konuyu

basitleştirebilen, anlaşılmasını kolaylaştıran ve somutlaştıran bir özellik taşımaktadır. Konu

görselleştirilerek sunulduğundan kalıcılığı arttırmaktadır. Öğrenci bu sayede yaşayarak ve

oynayarak öğrenme imkânı bulacaktır.. Tam sayılar konusunu soyuttan somuta taşımakta ve

görsel özellikler kullanarak anlaşılmayı kolaylaştırmaktadır.

Öğretim materyallerinin hazırlanmasındaki ilkeler materyalin türüne göre değiştiği

hâlde, her türlü materyalin geliştirilmesinde temel ilkeler aşağıdaki gibidir:

Bu ilkelere göre öğretim materyali;

1. Öğretmenler gibi öğrencilerin de kullanabileceği kadar basit, sade ve anlaşılabilir

olmalı,

2. Her öğrencinin erişim ve kullanımına açık ayrıca maliyeti düşük olmalı,

3. Dersin kazanımlarına uygun seçilmeli ve hazırlanmalı,

4. Dersin konusunu oluşturan bütün bilgilerle değil önemli ve özet bilgilerle donatılmalı,

5. Görsel özellikler materyalin önemli noktalarını vurgulamak amacı ile kullanılmalı,

6. Yazılı metinler ve görsel işitsel öğeler öğrencinin gelişim ve öğrenci özelliklerine

uygun olmalı,

7. Öğrenciye alıştırma ve uygulama imkânı sağlamalı,

8. Tekrar kullanılacağı için dayanıklı olmalı,

9. Gerektiğinde kolaylıkla geliştirilebilir ve güncelleştirilebilir olmalıdır.

Hazırlanan materyal bu ilkelere uymakla birlikte tam sayılarla ilgili farklı

kazanımlarda da geliştirilerek uygulanma özelliğine sahiptir. meselâ tam sayılarla çarpma ve

bölme işlemelerinde, doğal sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinde kullanılması

mümkündür.

12

ÖNERİLER

Hazırlanan materyal farklı alt öğrenme alanları ve farklı kazanımlara da uygulanabilir.

Yedinci sınıflarda tam sayılardaki toplama ve çıkarma işlemleri anlatmaya yardımcı

olan bu materyal; daha önceki sınıf düzeylerinde doğal sayılar konusunda da

kullanılabilir.

Dört işlemin yapımı, işlemlerde bulunan özellikler; değişme, birleşme, ters eleman,

etkisiz eleman ve bunun gibi özellikler düzenek üzerinde görselleştirilip

somutlaştırılarak daha net bir şekilde anlamlandırılabilir.

Aynı zamanda düzenek üzerinde yapılacak değişikliklerle tam sayılarda çarpma ve

bölme işlemi için kullanılabilecek yeni bir materyal de elde edilebilir.

MEB’e bağlı okullara gönderilen matematik setlerinin içine bu materyalin malzeme ve

boyutlarında değişiklik yapılarak bir tane öğretmen için ve birkaç tane öğrenci grupları

için eklenebilir. Öğretmenin kullanacağı materyal büyük öğrencilerinki ise küçük

boyutlarda olabilir. Materyalin öğrencilerin elinde olması, zamandan tasarrufu ve daha

çok alıştırma yapma imkânı sağlar. Daha dayanıklı malzemeler kullanılarak da

materyalin ömrü uzatılabilir.

13

KAYNAKÇA

1. Aktaş, Ş. , Atalay, A. vd. , (2008) , İlköğretim 6. Sınıf Matematik Ders Kitabı,

Meb Yayınları, Ankara

2. Aydın, Ü. , İpek, Z. , İpek, A. (2008). “ Gerçekçi Matematik Eğitiminin

İlköğretim 7.Sınıf Öğrencilerinin Tam Sayılarla Çarpma Konusundaki Başarılarına Etkisi”

3. Aygün, S., Aynur, N., (2008), İlköğretim 7.sınıf Öğretmen Kılavuz Kitabı,

Meb Yayınları, Ankara

4. Baki, A. , Gürbüz, R. , Ünal, S., Atasoy, E. (2009), “Çoklu Zeka Kuramına

Dayalı Etkinliklerin Kavramsal Öğrenmeye Etkisi: Tam Sayılarla Dört İşlem Örneği”, Türk

Eğitim Bilimleri Dergisi, 7(2), 237-259

5. Karaçay, T., 1985. Orta Öğretim Kurumlarında Matematik Öğretimi ve

Sorunları, Türk Eğitim Derneği, 13-14 Haziran.

6. Köroğlu, H. ,Yeşildere, S. (2004), İlköğretim Yedinci Sınıf Matematik Dersi

Tamsayılar Ünitesinde Çoklu Zeka Teorisi Tabanlı Öğretimin Öğrenci Başarısına Etkisi” ,

Gazi üniversitesi, Gazi eğitim Fakültesi Dergisi, 2(24), 25.41

7. Oklun, S. (2004). When does the volume formula make sense to students.

Hacettepe Univesity Journal of Faculty of Education, 25, 160–165.

8. www.ilkmat.com.net

9. www.mebvitamin.com.

10. www.tr.wikipedia.org.

11. http://www.pegem.net/akademi/sempozyumbildiri_detay.aspx?id=8860

12. http://www.universite-toplum.org/text.php3?id=114

14

TEŞEKKÜR

Bu çalıştayda bize emeği geçen proje koordinatörümüz Prof. Dr. Mehmet AY‘a,

danışmanlarımız Prof. Dr. Feyzi BAŞAR ve Doç Dr. Necla TURANLI’ya ve matematik

grubu teknisyeni Neşe DİŞÇİOĞLU; bize her konuda yardımcı olan fizik bilim danışmanları

Prof. Dr. Yaşar YILMAZ ve Prof. Dr. Bekir AKTAŞ’a, teknisyen Hamza SUCU, Öğrt. Görv.

Ahmet Zeki ORTA, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ESENKAYA, teknisyen Zafer KARADAYI, ;

tüm çalıştay ekibine ve TÜSSİDE çalışanlarına teşekkür ederiz.

15

KARADENİZ GRUBU ÖZGEÇMİŞLERİ

OYA GÜLAY

12.08.1985 tarihinde Trabzon’da doğdu. İlk ve ortaöğrenimini Trabzon’da tamamladı.

2007 yılında KTÜ Fatih Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Programından

mezun oldu. Halen KTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Eğitiminde yüksek lisansına

devam etmekte ve Trabzon Maçka Esiroğlu 75.Yıl İMKB Yatılı İlköğretim Bölge Okulunda

Matematik Öğretmeni olarak çalışmaktadır.

TÜLİN AKSOY

11.09.1985 tarihinde Ankara’da doğdu. İlk ve orta öğrenimini Ankara’da tamamladı.

2007 yılında Gazi Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Programından mezun

oldu. Samsun Kavak Atatürk Yatılı İlköğretim Bölge Okulu’nda Matematik Öğretmeni olarak

çalışmaktadır.

SEMA OVALI 15.06.1985 tarihinde Ordu’da doğdu. İlk ve orta öğrenimini Ordu’da tamamladı. 2007 yılında

Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Programından

mezun oldu. Sinop Ayancık Yenikonak Yatılı İlköğretim Bölge Okulu’nda Matematik Öğretmeni

olarak çalışmaktadır.