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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia TEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II
Título do Projeto :
ANÁLISE DA DIFUSÃO ATÔMICA EM SÓLIDOS ELÁSTICOS COM GEOMETRIA CILÍNDRICA
Autor :
RENATO FIGUEIREDO CABRAL
Orientadora :
ANGELA CRISTINA CARDOSO DE SOUZA
Data : 18 de Julho de 2017
RENATO FIGUEIREDO CABRAL
ANÁLISE DA DIFUSÃO ATÔMICA EM SÓLIDOS ELÁSTICOS COM GEOMETRIA CILÍNDRICA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
Orientadora:
Prof. ANGELA CRISTINA CARDOSO DE SOUZA
Niterói
2017
Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF
Aos meus pais, a quem devo toda
gratidão pelo carinho, pela confiança e
pela dedicação em todas as etapas da
minha vida.
AGRADECIMENTOS
Agradeço à professora Angela Cristina Cardoso de Souza pela orientação e pela solicitude
no esclarecimento das dúvidas que surgiram no desenvolvimento deste trabalho.
Agradeço aos professores da Universidade Federal Fluminense, por toda sabedoria e
conhecimento transmitidos ao longo do curso.
Agradeço aos meus pais, Alamir Cabral (in memorian) e Ana Maria Figueiredo Cabral, por
proverem toda a base necessária para que eu alcançasse mais esse objetivo na minha vida.
Agradeço também pela determinação e luta na minha formação, pois mesmo naqueles
momentos de maior dificuldade em suas vidas, os seus filhos sempre estiveram em primeiro
lugar.
Agradeço aos meus irmãos, Cristiane Cabral e Rafael Cabral, que sempre foram o meu
braço direito e confiaram no meu futuro.
Agradeço à minha namorada, Paola Iellamo, pela compreensão, pelas palavras de incentivo
e apoio incessante na fase final dessa caminhada. Sem você, tudo teria sido muito mais difícil.
Aos meus amigos, agradeço pelo companheirismo, ensinamentos e conversas nos
momentos que mais precisei.
RESUMO
Este trabalho apresenta um método analítico para o estudo da difusão atômica em sólidos
elásticos com geometrias cilíndricas provocada por um gradiente de potencial químico.
Inicialmente é feita uma revisão do conceito de difusão atômica e os efeitos que este
fenômeno pode causar no material a partir da difusão de um soluto. Em seguida, é apresentada
a influência do gradiente de potencial químico e detalhada como a presença do soluto causa
deformações, que acabam afetando o estado de tensões no material. As equações de governo
para o caso estudado são apresentadas e uma análise particular para o caso do cilindro com
potenciais químicos e pressões prescritos nas fronteiras é realizada. Por fim, a equação para o
fluxo de concentração de soluto em função da posição e do tempo durante o processo é
apresentada. Uma análise numérica para o caso da difusão do hidrogênio em um cilindro de
paládio é realizada através da utilização do software Wolfram Mathematica.
Palavras-Chave: difusão atômica; potencial químico; cilindro oco
ABSTRACT
This work presents an analytical method for the study of atomic diffusion in elastic solids
with cilindrical geometries caused by a gradient of chemical potential. Initially a revision of
the concept of atomic diffusion and the effects that this phenomenon can cause on the material
parting from the diffusion of a solute is made. Next, the influence of the gradient of chemical
potential is showed and how the presence of the solute causes deformation is detailed, which
end up affecting the state of stress on the material. The governing equations for the case study
are presented and a particular analisys for the cylinder case with chemical potentials and
prescripted pressures on the boundaries is realized. Lastly, the equation for the flux of
concetration of the solute in function of the position and time during the process is presented.
A numerical analisys for the case of hidrogen diffusion in a paladium cylinder is realized
using the "Wolfram Mathematica" software.
Key-Words: atomic diffusion; chemical potential; hollow cylinder.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Difusão por lacunas ............................................................................................................................ 16 Figura 2 – Difusão intersticial ............................................................................................................................. 17 Figura 3 – Células unitárias das principais estruturas cristalinas dos metais .................................................... 18 Figura 4 – Cilindro oco ........................................................................................................................................ 29 Figura 5 – Perfis da concentração de hidrogênio para diferentes instantes de tempo ......................................... 32 Figura 6 – Perfis da concentração de hidrogênio com diminuição da pressão externa ...................................... 32 Figura 7 – Perfis da concentração de hidrogênio com aumento da pressão externa .......................................... 33 Figura 8 – Comparação entre as curvas da concentração de hidrogênio para diferentes pressões externas ...... 33
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Dados de difusão _________________________________________________________________ 18 Tabela 2: Correspondência entre difusão térmica e difusão atômica _________________________________ 20 Tabela 3: Valores selecionados para análise do modelo teórico ____________________________________ 30 Tabela 4: Valores numéricos para os parâmetros relacionados ao material ___________________________ 31
LISTA DE SÍMBOLOS
A Raio interno
B Raio externo
c Concentração de soluto
c0 Concentração de referência
cA Concentração de soluto em A
cB Concentração de soluto em B
D Coeficiente de difusão atômica
Deff Coeficiente de difusão efetiva
D0 Coeficiente de difusão atômica a uma temperatura de referência
E Tensor deformação
E Módulo de Young
G Energia Livre de Gibbs
J Fluxo de difusão atômica
K Constante de Sievert
k Condutividade térmica
M Mobilidade do solvente
p Pressão
pa Pressão no raio interno
pb Pressão no raio externo
p0 Pressão de referência
R Constante universal dos gases
r Raio
T Temperatura
u Deslocamento do soluto
μ Potencial químico
μ0 Potencial químico de referência
μA Potencial químico em A
μB Potencial químico em B
Parâmetro de Lamé
Parâmetro de Lamé
ν Coeficiente de Poisson
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 13
2 DIFUSÃO ATÔMICA 15 2.1 CONCEITO 15 2.2 MECANISMOS 15 2.3 COEFICIENTE DE DIFUSÃO 17 2.4 LEIS DE FICK 18 2.5 COMPARAÇÃO COM CASO TÉRMICO 19 2.6 POTENCIAL QUÍMICO 20
3 MODELO TEÓRICO 22 3.1 TEORIA GERAL 22 3.2 EQUAÇÕES DE GOVERNO 23
4 DIFUSÃO ATÔMICA EM CILINDROS 25
5 MODELO NUMÉRICO 29 5.1 CONDIÇÕES DE CONTORNO 29 5.2 VALORES NUMÉRICOS 30 5.3 PARÂMETROS DO MATERIAL 30 5.4 RESULTADOS OBTIDOS 31
6 CONCLUSÕES 34
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 35
13
1 INTRODUÇÃO
Um dos principais desafios na Engenharia Mecânica é o projeto e dimensionamento de
componentes mecânicos de tal forma que estes resistam aos esforços a que são submetidos
durante o seu tempo de vida útil. Porém, os efeitos de um ambiente desfavorável podem
causar uma falha prematura e encurtar o tempo de trabalho de tal componente, provocando a
interrupção de processos e até causando acidentes.
O processo de difusão de um soluto no material pode ser citado como um dos fatores
que aceleram a degradação deste componente. A permeação do soluto causa pequenas
deformações na matriz cristalina, que por sua vez gera tensões que afetam o estado de difusão
no sólido. Como exemplo, a difusão do hidrogênio em metais pode enfraquecer as ligações
metálicas, afetando as propriedades do material e causando o fenômeno conhecido como
fragilização por hidrogênio. O resultado é a falha do material sob um estado de tensões
inferior ao previsto no projeto de engenharia.
Neste trabalho serão analisados os efeitos das deformações e tensões geradas na
permeação de um soluto através de um sólido elástico. Este acoplamento entre a deformação e
a difusão leva a um potencial químico do soluto dependente da tensão, além da dependência
da concentração. O gradiente de potencial químico, por sua vez, influenciará no estado de
difusão, pois o sistema tentará equilibrar as concentrações interna e externa do material
estudado.
Desta forma, o objetivo deste trabalho é apresentar um modelo analítico para o caso da
difusão em um sólido elástico com geometria cilíndrica e validar a teoria apresentada
mediante uma aplicação numérica. Ao longo do texto, pode-se considerar que o soluto em
questão será o átomo de hidrogênio.
14
No capítulo 2 são apresentados alguns conceitos importantes para compreensão do
processo de difusão atômica em sólidos, além de uma breve comparação com o fenômeno da
difusão térmica. No capítulo 3, os fundamentos da teoria geral da difusão de soluto em sólidos
elásticos, independente da geometria, são apresentados e os efeitos da presença do soluto no
solvente são discutidos. No capítulo 4, a teoria é particularizada para o caso de uma geometria
cilíndrica e é definida a equação que explicita o comportamento da interface da concentração
de soluto em função do raio e do tempo. Tal equação é resolvida numericamente no capítulo
5, onde o estudo da permeação do hidrogênio em uma membrana cilíndrica de paládio é
estudado e os efeitos da variação da pressão externa são discutidos. Finalmente, no capítulo 6,
são apresentadas as conclusões e discutidas as aplicabilidades do modelo teórico.
15
2 DIFUSÃO ATÔMICA
2.1 CONCEITO
A difusão atômica é o processo pelo qual a matéria é transportada de um ponto a outro
de um sistema, geralmente em regime transiente, como resultados de movimentos atômicos
devido a um gradiente de concentração. Assim, quando um material A e um material B com
diferentes concentrações iniciais de um mesmo elemento são postos em contato, após um
determinado intervalo de tempo se a concentração em B for maior que em A os átomos deste
elemento próximos à interface terão gradualmente penetrado em A. (MOREIRA,1999).
2.2 MECANISMOS
Os átomos somente estão em repouso quando submetidos a uma temperatura igual ao
zero absoluto. Fora desta condição, apresentam um movimento de vibração que torna-se mais
intenso à medida que a temperatura a que estão submetidos é elevada. Este movimento
atômico contribui para o aumento da sua energia e para que os átomos mudem de posição no
interior do sólido.
Foram propostos vários modelos diferentes para este movimento atômico. Desses, dois
são dominantes para a difusão em metais:
Difusão substitucional ou por lacuna
Os átomos podem mover-se no interior de um cristal, de uma posição atômica para
outra, se os mesmos apresentam energia de vibração suficiente e se existem posições atômicas
vazias ou defeitos cristalinos na estrutura atômica. Esta energia de vibração é resultante da
energia térmica dos átomos. Os vazios ou vacâncias em metais e ligas são defeitos de
equilíbrio e, assim, estão sempre presentes para permitir o movimento atômico pelo
mecanismo substitucional. Com o aumento da temperatura em metais, mais vacâncias podem
16 ser observadas e mais energia térmica estará disponível. Assim, a taxa de difusão atômica
aumentará com a temperatura.
Se um átomo próximo a vacância tem energia suficiente, ele poderá mover-se até a
posição vazia. As diferenças de tamanho atômico e energias de ligação são fatores que afetam
a taxa de difusão atômica através de vazios.
Um mecanismo envolve o deslocamento de um átomo de uma posição normal da rede
cristalina para um sítio vago do retículo, ou lacuna, adjacente. Esse mecanismo é
apropriadamente chamado de difusão por lacuna. Obviamente, esse processo exige a presença
de lacunas, e a extensão segundo a qual a difusão pode ocorrer é uma função do número
desses defeitos que estão presentes; podem existir concentrações significativas de lacunas em
metais a temperaturas elevadas. Uma vez que os átomos em difusão e as lacunas trocam de
posições, a difusão dos átomos em uma direção corresponde ao movimento das lacunas na
direção oposta. Tanto a autodifusão quanto a interdifusão ocorrem por este mecanismo; no
caso desta última, os átomos de impureza devem substituir os átomos hospedeiros.
Figura 1 – Difusão por lacunas Fonte: Callister (2011)
Difusão intersticial
A difusão de átomos intersticiais em um sólido ocorre quando um átomo se move de
uma posição intersticial para uma outra posição vizinha intersticial, sem que exista
deslocamento de átomos da matriz cristalina. Para que o mecanismo de difusão intersticial
seja ativo, o tamanho do átomo em difusão deve ser relativamente pequeno quando
17 comparado com os átomos da matriz. Pequenos átomos como hidrogênio, oxigênio,
nitrogênio e carbono podem apresentar difusão intersticial em alguns sólidos cristalinos.
Figura 2 – Difusão intersticial Fonte: Callister (2011)
2.3 COEFICIENTE DE DIFUSÃO
O coeficiente de difusão (D) é uma indicativa da taxa segundo o qual os átomos de
soluto se dissolvem pelo solvente. A magnitude de D depende de diversos fatores, dentre os
quais pode-se destacar:
Mecanismo de difusão: dependendo dos tamanhos atômicos envolvidos, o
mecanismo de difusão influencia a intensidade de difusão. Átomos de tamanhos
próximos têm difusão elevada quando o mecanismo é substitucional. Quando os
átomos apresentam tamanhos muito diferentes, o mecanismo apropriado é o
intersticial;
Temperatura na qual ocorre a difusão: quanto mais elevada a temperatura maior
será a energia dos átomos e maior será o coeficiente de difusão;
Tipo de estrutura cristalina do solvente: estruturas cristalinas compactas (CFC, HC)
dificultam mais a difusão atômica que estruturas menos compactas como o CCC;
Tipo e quantidade de imperfeições presentes na rede cristalina: defeitos como
discordâncias e vazios aumentam a intensidade de difusão.
18
Figura 3 – Células unitárias das principais estruturas cristalinas dos metais: (a) cúbica de corpo centrado, (b) cúbica de faces centradas, (c) hexagonal compacta
Fonte: Van Vlack (1984)
A Tabela 1 mostra os valores de D para diversos pares envolvendo soluto e solvente,
em temperaturas diferentes
Tabela 1: Dados de difusão
Fonte: Callister (2011)
onde D0 é o valor do coeficiente de difusão a uma temperatura de referência e QD é a energia
de ativação para a difusão.
2.4 LEIS DE FICK
A difusão é um processo que depende do tempo, isto é, em um sentido macroscópico a
quantidade de um elemento que é transportado no interior de outro elemento é uma função do
tempo. Frequentemente, torna-se necessário saber o quão rápido ocorre a difusão, ou seja, a
19 taxa de transferência de massa. Essa taxa é, com frequência, expressa como um fluxo de
difusão J, definido como sendo a massa (ou, de forma equivalente, o número de átomos) que
está em difusão através e perpendicularmente a uma área unitária de seção reta do sólido por
unidade de tempo.
Quando o fluxo difusivo não varia ao longo do tempo, existe uma condição de estado
estacionário. Neste caso, o fluxo será proporcional ao gradiente de concentração e dado pela
expressão conhecida como a primeira lei de Fick
Jdc
Ddx
(1)
onde o sinal negativo indica que a direção da difusão ocorre da região com concentração mais
alta para mais baixa.
Porém, a maioria das situações práticas envolvendo difusão ocorre em condições
transientes, ou seja, o fluxo de difusão e o gradiente de concentração em um ponto específico
no interior do sólido variam ao longo do tempo. Sob essa condição, é valida a relação definida
pela segunda lei de Fick
c c
Dt x x
(2)
onde D pode sair da derivada caso o coeficiente de difusão seja independente da composição.
2.5 COMPARAÇÃO COM CASO TÉRMICO
Ao longo da graduação em Engenharia Mecânica, o fenômeno de condução de calor é
amplamente abordado em cursos de Transferência de Calor. Tal fenômeno está associado à
atividade molecular, onde a energia é transferida no meio considerado através da interação
entre as moléculas devido a um gradiente de temperatura.
Uma comparação entre os casos da difusão atômica e difusão térmica, permite
observar a semelhança entre os dois fenômenos. Observa-se que a primeira Lei de Fick e a Lei
de Fourier possuem o mesmo formato, variando apenas os parâmetros. Também é possível
verificar que a segunda Lei de Fick se assemelha a Equação Geral da Condução de Calor para
o caso sem geração de energia.
20
A Tabela 2 mostra uma correspondência entre os dois casos:
Tabela 2: Correspondência entre difusão térmica e difusão atômica
Transferência de Calor Difusão atômica no estado sólido
T – Temperatura c – Concentração de soluto
α – Coeficiente de difusividade térmica D – Coeficiente de difusividade atômica
q'' – Fluxo de calor J – Fluxo de átomos
2
2
T T
t x
2
2
c cD
t x
Tk
x
q Jdc
Ddx
2.6 POTENCIAL QUÍMICO
O potencial químico μ mede a potencialidade de uma substância em produzir
transformações físicas e/ou químicas. Uma substância com elevado valor de μ tem uma
grande capacidade de impulsionar uma reação química ou outro processo físico qualquer.
O potencial químico de uma substância é definido como a variação na Energia Livre
de Gibbs em relação a quantidade de matéria, a pressão e temperatura constantes.
T P
G
n ,
(3)
A Energia Livre de Gibbs, por sua vez, representa o trabalho útil máximo que se pode
obter em uma transformação efetuada a pressão e temperatura constantes.
Neste trabalho, será analisada a difusão do hidrogênio através de uma membrana de
paládio. Esse fenômeno é provocado por uma diferença energética entre a parte interna e
externa da membrana e o sistema, para alcançar uma situação de energia mínima, tenta igualar
as concentrações, ou seja, os potencias químicos.
21
A definição tradicional para o potencial químico é dada por
0 ln cRT (4)
Posteriormente, será visto que a relação acima sofrerá acréscimo de um termo devido à
influência das tensões geradas pela presença do soluto no sólido, assunto objeto de estudo
deste trabalho.
22
3 MODELO TEÓRICO
O estudo da difusão atômica no estado sólido apresenta como principais objetivos a
determinação do avanço da interface de difusão em função do tempo e a estimativa da
variação de concentrações de soluto no material em função do tempo e da espessura afetada
pela difusão.
Este capítulo apresenta os fundamentos da teoria geral da difusão em sólidos elásticos.
Serão apresentadas as equações que governam a difusão do soluto e a deformação elástica
considerando o caso de pequenas deformações.
3.1 TEORIA GERAL
Será considerado um corpo material composto por um sólido elástico e um soluto.
Esse corpo é palco de dois processos ou fenômenos interdependentes e que ocorrem em
escalas diferentes: um processo macroscópico (mecânico) devido à deformação do sólido e
um processo microscópico (químico) devido à migração, ou difusão, do soluto através do
sólido.
Dentro do escopo de pequenas deformações, uma quantidade relevante é o tensor E,
dado pela parte simétrica do gradiente de deslocamento ∇u, ou seja,
1:
2T S E u u u (5)
Considerando dois mecanismos de deformação, um elástico (Ee) outro induzido pelo
soluto (Ec), o tensor E pode ser decomposto da seguinte forma:
e c c E E E ( ) (6)
23 onde
0c c c c c E ( ) ( )I ( )I (7)
sendo η um parâmetro positivo do material e co um valor de referência da concentração de
soluto.
3.2 EQUAÇÕES DE GOVERNO
Desconsiderando-se as forças de corpo, efeitos inerciais e fornecimento de soluto, as
equações de governo para os campos u, μ, J e c são escritas como
Div c- J
Div 0Τ
(8)
(9)
cuja Equação 8 refere-se ao conteúdo de soluto e a Equação 9 ao balanço de força.
Nas equações apresentadas acima, T é o tensor de tensões e J é o fluxo referencial das
moléculas de soluto relativo ao sólido.
A equação de governo para o balanço de força pode ser escrita como
tr 2e e T ( E )I E (10)
onde
Se u c E ( )I (11)
As Equações 10 e 11 correspondem ao processo macroscópico devido à deformação
do sólido.
Já para o fornecimento de soluto (Equação 8) tem-se que
Mc J (12)
24
onde M é a mobilidade do solvente dada por
D
MRT
(13)
D - Coeficiente de difusão intrínseco do soluto no sólido
R – Constante universal dos gases
T – Temperatura absoluta do ambiente
Na Equação 12, ∇μ refere-se ao gradiente de potencial químico do solvente em que μ
pode ser escrito como
0 ln trRT c T (14)
onde trT denota o traço do tensor de tensões T. Observa-se que essa é uma particularização da
Equação 4, incluindo os efeitos das tensões.
Acoplando as Equações 8, 12 e 14
trJ ( T)D
D c cRT
(15)
que é uma extensão da Lei de Fick considerando os efeitos das tensões no sólido.
As Equações 12-15 correspondem ao processo microscópico devido à migração das
moléculas de soluto através do material.
Observa-se que todos os cálculos apresentados até o momento foram desenvolvidos
sem particularizar a geometria do sólido.
25
4 DIFUSÃO ATÔMICA EM CILINDROS
Neste capítulo será particularizada a teoria geral de difusão do soluto em sólidos
elásticos para o caso de cilindros ocos. Para isso, será utilizado o sistema de coordenadas
cilíndricas (r,θ,z) e o problema poderá ser tratado como um caso unidimensional e
axissimétrico, ou seja, as variações serão apenas na coordenada radial r.
Considerando o cilindro com raio interno A e raio externo B, imerso em um ambiente
químico cujo potencial químico do solvente é dado, respectivamente, por μa e μb, as seguintes
condições de contorno ficam estabelecidas
A
B
A t
B t
( , )
( , ) (16)
Supondo que o cilindro esteja sob a ação de uma pressão interna (pA) e uma pressão
externa (pB), implica que as condições de contorno para o caso mecânico sejam
A
Br A r
r B r
t p
t p
T( , )e e
T( , )e e (17)
onde er representa o vetor unitário na direção radial.
Para o estado plano de deformações, o tensor T é descrito através da forma
0 0
0 0
0 0
r
z
r
r
r
T ( )
T T ( )
T ( )
(18)
26 onde Tr, Tθ e Tz são as componentes da tensão radial, circunferencial e longitudinal, respectivamente.
Para a deformação plana, os componentes do tensor deformação são dados por
r
u r t
ru r t
r
( , )E
( , )E
(19)
sendo o tensor deformação
0 0
0 0
0 0 0
r r
r
E ( )
E E ( ) (20)
Os componentes não-nulos do tensor tensão relacionados com o tensor deformação
elástica são
2 3 2
2 3 2
3 2
r r r
r
z r
r t c r t
r t c r t
r t c r t
T ( , ) (E E ) E ( ) ( ( , ))
T ( , ) (E E ) E ( ) ( ( , ))
T ( , ) (E E ) ( ) ( ( , ))
(21)
O balanço de força (Equação 9) reduz a seguinte forma
1 3 2
onde 2
r r t k c r t kr r r r
( u( , )) ( ( ( , )) (22)
Integrando a equação, obtemos
1
ru r t k c r t Cr r
( ( , )) ( ( , )) (23)
onde C é uma constante. A solução geral desta equação é
27
21
Cu r t f r t C r
r ( , ) ( , ) (24)
com
com A r Br
A
kf r t x c r t dx
r ( , ) ( ( , ) (25)
A partir das Equações 21, 24 e 25 e as condições de contorno estabelecidas pela
Equação 17, as componentes do tensor T são agora dadas por
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 22
44 2
( )T ( , ) ( , ) ( , )
T ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ))
( )
T ( , ) ( , ) ( ( , ))
A B A Br
A B A B
A Bz
A p B p A B p pr Ar t f r t f B t
r X r X r X
r Ar t f r t f B t c r t
r X r
A p B p A B p p
X r X
A p B pBr t f B t k c r t
X X
(26)
Portanto, o traço do tensor tensão T será
2 2
2 2
2 2 2
4 1tr 4 2 1
onde X B A
( )T( , ) ( ( , )) ( , ) ( ) A BA p B pB
r t k c r t f B tX X
(27)
Considerando a média de solvente
2
2 B
Ac t xc x t dx
R
( ) ( , ) (28)
a Equação 27 é reescrita como
28
2 2
2tr 4 2 1T ( ( , )) ( ) ( ( , ))A BA p B p
k c r t k c r tX
(29)
Considerando o gradiente de potencial químico, teremos
2tr4
RT c RT c
r c c r c r
T (30)
O fluxo de soluto na direção radial será, portanto, descrito por
24
1k c
D cRT r
J (31)
que pode ser visto como uma extensão da Lei de Fick (Equação 1) levando em consideração
os efeitos mecânicos da presença do soluto.
Definindo o coeficiente de difusividade efetiva como
24
1 sendo Z=eff
kD c D Zc
RT
( ) (32)
o fluxo de soluto será dado agora por
eff
cD c
r
J ( ) (33)
Por fim, a equação para o fluxo da concentração será
2 2
2
1 eff effeff
D c dD cr c c cc D c
r r r r dc r r
( ) ( )(J )( ) (34)
29
5 MODELO NUMÉRICO
O modelo teórico apresentado no capítulo anterior, que descreve o problema da
difusão de um soluto através de um sólido elástico, foi implementado e posteriormente
resolvido numericamente usando o software Wolfram Mathematica. Considerou-se o caso da
permeação do hidrogênio através de uma membrana cilíndrica de paládio, método bastante
utilizado em processos de purificação e separação de hidrogênio.
5.1 CONDIÇÕES DE CONTORNO
Analisando o caso de uma membrana cilíndrica, cujo raio externo é B e o raio interno
A, em equilíbrio em um ambiente com gás H2 à pressão p0. Em seguida, a pressão externa é
subitamente aumentada para um valor pb > p0 enquanto a pressão interna pa é mantida igual a
p0.
Figura 4 – Cilindro oco
As concentrações em A e B são conhecidas, portanto
30
A
B
c A t c
c B t c
( , )
( , ) (35)
Tais concentrações foram determinadas pela relação
0 0c K p (36)
onde K é a constante de Sievert.
5.2 VALORES NUMÉRICOS
Os valores numéricos assumidos neste trabalho, que descrevem as condições de
contorno e a geometria do cilindro de paládio, são apresentados na Tabela 3.
Tabela 3: Valores selecionados para análise do modelo teórico
Parâmetros Símbolos Unidades Valores
Raio interno A mm 8,0
Raio externo B mm 9,0
Pressão interna pa KPa 3,2
Pressão externa pb KPa 12,8
Temperatura T K 833,0
Para análise inicial, a pressão externa foi assumida quatro vezes maior que a pressão
interna.
Para verificar a influência do gradiente de pressão no perfil de concentração de soluto
em função do raio do cilindro, uma comparação com outros dois casos é realizada na Figura
5.4, aumentando e diminuindo a relação entre pb e pa.
5.3 PARÂMETROS DO MATERIAL
Para um sistema cujo soluto é o hidrogênio e o solvente é o paládio, tem-se os
seguintes parâmetros para o caso de um cilindro oco.
31
Tabela 4: Valores numéricos para os parâmetros relacionados ao material
Parâmetros Símbolos Unidades Valores
Módulo de Young E GPa 121,0
Coeficiente de Poisson ν - 0,39
Difusividade D m2 s-1 5 x 10-8
Coeficiente η m3 mol-1 H-1 1,73 x 10-6
Constante de Sievert K mol m-3 Pa-1/2 4,0
As constantes elásticas do material (parâmetros de Lamé) são determinadas utilizando
as relações
1 1 2 2 1( )( ) ( )
E E
(37)
O valor de k para o problema em questão é função dos parâmetros calculados acima e
definido por
3 2
2k
5.4 RESULTADOS OBTIDOS
Com auxílio do software Wolfram Mathematica, os valores numéricos mencionados
anteriormente foram implementados nas equações apresentadas no capítulo 4 e a Equação 34
resolvida numericamente. A Figura 5 apresenta o comportamento da concentração de soluto
em função do raio do cilindro analisado para diferentes tempos.
32
Figura 5 – Perfis da concentração de hidrogênio para diferentes instantes de tempo
As curvas mostram o resultado para os tempos variando de 0,1 segundo até 10
segundos, onde o crescimento do tempo ocorre do canto inferior direito ao canto superior
esquerdo. Observa-se que para as condições de contorno e os parâmetros escolhidos, o perfil
de concentração se torna aproximadamente linear no material em menos 10 segundos.
A análise inicial levou em consideração a hipótese de uma pressão externa pB 4 vezes
maior que a pressão interna pA. Para estudar o efeito do gradiente de pressão nas curvas de
concentração do hidrogênio, outras duas condições de contorno foram verificadas: (1) pB=2pA
e (2) pB = 8pA. Os resultados são apresentados nas Figuras 6 e 7, respectivamente.
Figura 6 – Perfis da concentração de hidrogênio para diferentes instantes de tempo com a pressão externa sendo o dobro da pressão interna
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Figura 7 – Perfis da concentração de hidrogênio para diferentes instantes de tempo com a pressão externa sendo oito vezes maior que a pressão interna
Observa-se que a concentração de hidrogênio em cada ponto do sólido é aumentada a
medida que a pressão externa também é elevada. Porém, os perfis da concentração de soluto
ao longo do cilindro mantêm-se o mesmo.
A Figura 8 mostra as curvas de concentração em função da espessura afetada pelo
soluto para o tempo igual a 5 segundos. As três variações entre pressões interna e externa
citadas anteriormente foram plotadas no gráfico.
Figura 8 – Comparação entre as curvas da concentração de hidrogênio para diferentes pressões externas em t=5s
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6 CONCLUSÕES
Neste trabalho de conclusão de curso foi estudado o problema da permeação de um
soluto através de sólidos elásticos. A presença do soluto causa pequenas deformações na
estrutura cristalina que acabam afetando o estado de tensões no material. Os efeitos das
tensões no estado de difusão foram analisados e um modelo teórico para este caso foi
apresentado. As equações para o caso particular da difusão atômica em geometria cilíndrica
foram desenvolvidas e validadas através de um estudo de caso.
Na implementação numérica, foi utilizado o software Wolfram Mathematica para
analisar o caso da difusão do hidrogênio (soluto) através de um cilindro de paládio (solvente).
O resultado apresentado foi o perfil da concentração de soluto em função do raio do cilindro
para diferentes instantes de tempo. Complementando a análise, a pressão externa foi alterada
para analisar o impacto nas curvas de distribuição da concentração e um gráfico comparativo
foi apresentado.
De maneira geral, o método analítico apresentado pode ser empregado em diversas
aplicações de interesse prático. Entre estas podem ser citadas as seguintes:
- Estimativa da variação da camada de material afetada pela difusão atômica em
função do tempo;
- Estimativa da distribuição de concentrações de soluto em função da posição e do
tempo;
- Análise comparativa entre os tempos e perfis de concentrações de soluto durante a
difusão atômica em diferentes materiais submetidos às mesmas condições;
- Estudo comparativo entre os tempos e a variação de concentrações de soluto durante
a difusão atômica em um mesmo material sujeito a diferentes condições.
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7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Makron Books, 1995.
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edição, Ed. Blucher, 2009.
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Ed. John Wiley & Sons, 2011.
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PGMEC: UFF. 2008. Dissertação de Mestrado.
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sólidos elásticos: modelagem e simulação” – Rio de Janeiro: UFRJ: COPPE, 2016. Tese de
Doutorado.
FEITOSA, João Lúcio C. S. et al – “Stress effects on hydrogen permeation through tubular
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MORA, Nora D. – “Apostila de Materiais Elétricos” – Universidade Estadual do Oeste do
Paraná – Centro de Engenharias e Ciências dos Materiais. Foz do Iguaçu, 2010.
36 MOREIRA, Antonio L. S.; FERREIRA, Ivaldo L. – “Estudo comparativo da cinética do
fenômeno da difusão atômica no estado sólido em sistemas cartesiano unidirecional, radial
cilíndrico e radial esférico”. XV Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica, 1999.
MOREIRA, Antonio L. S. – “Análise do processo de difusão atômica no estado sólido em
sistemas unidirecionais e radiais”. Universidade Estadual de Campinas Departamento de
Engenharia dos Materiais, 1991. Tese de Doutorado.
SPHAIER, Leandro A. – “Notas de Aula de Transferência de Calor” – Departamento de
Engenharia Mecânica, 2014.
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Ed. Blucher, 1984.