projet(savu vladimir)

7/26/2019 Projet(Savu Vladimir)

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P R O J E T

B I B L I O G R A P H I Q U E - U N ED R I V A T I O N D E P L U S D E ST R A N S F O R M A T I O N S D E

L O R E N T Z ( J E A N M A R CL E V Y - L E B L O N D )

May8,2016

1 Synthse 2

2 Discussion de larticle 5

3 Lexistence de tachyons et violation de la causalit 7

4 Bibliographie 9

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Larticle montre une drivation alternative des transformations de Lorentzqui ne part pas de lhypothse dEinstein qui stipule que la vitesse de la lu-mire est invariante par changement de rfrentiel.1.Lauteur considre quecette hypothse nest pas justifie, car elle fait rfrence une classe par-

ticulire de phnomnes physiques, les ondes lectromagntiques.En fait,on observe que la relativit restreinte sapplique tous les phnomnesphysiques, indpendamment de leur nature (interactions lectromagntiques,faibles, fortes et gravitationnelles) et une dmonstration base intgralementsur llectromagntisme nest pas totalement satisfaisante.Ainsi, il proposeune drivation des transformations de Lorentz qui repose seulement sur lescaractristiques de la structure de lespace-temps et sur le premier principede la relativit restreinte qui dit que les lois de la physique ont la mmeforme dans tous les rfrentiels inertiels.On verra que le fait quil existe unevitesse limite est une consquence de la relativit mais il ny a aucune raisonque cette vitesse soit gale a la vitesse de la lumire2.

Dans un premier temps, lauteur prsente le principe de relativit quistipule quil existe une classe continue infinie de rfrentiels dans lespace-temps, qui sont physiquement quivalents, cest--dire quaucune expri-ence ralise dans ces rfrentiels ne pourrait pas nous permettre de lesdistinguer.Ainsi, les lois de la physique prennent la mme forme dans tousces repres.Il est important de comprendre que les quantits physiques peu-vent avoir des valeurs diffrentes dans des rfrentiels diffrents mais lesrelations qui les lient restent les mmes.Ce qui nous intresse est la relationqui nous permet de passer dun rfrentiel lautre, cest--dire dexprimerlexpression dune quantit physique dans un nouveau rfrentiel si on con-nait son expression dans lancien. Ainsi, le but final est de trouver ces formules de transformation qui lient deux repres quivalents.

Dans la suite, on essaie de trouver les transformations pour les coordon-nes spatio-temporelles (x,t) dun vnement dans un rfrentiel dinertie.Ainsi, on doit trouver la transformation qui relie (x,t), les coordonnesspatio-temporelles de lvnement dans un rfrentiel dinertie quivalent,au (x,t), les coordonnes spatio-temporelles de lvnement dans le premierrfrentiel. On sait que les translations de lespace et du temps laissent in-variantes les lois de la physique, car le systme ne tient pas compte delorigine du temps ou de lespace quon considre. Ainsi, si on sintresseaux rfrentiels qui ont des origines despace-temps communes, on liminedeux des N paramtres initiaux et il en reste n=N-2paramtres dont dpendla transformation inertielle. On obtient alors:

x =F(x, t, a1,..., an) (1)

t =G(x, t, a1,..., an) (2)

1 Second postulat de la relativit restreinte : La vitesse de la lumire dans le vide a la mmevaleur dans tous les rfrentiels galilens

2 En fait, si le photon navait pas une masse nulle, la vitesse de la lumire serait diffrente de cettevitesse limite. Cependant, les calculs thoriques, qui ont russi dtablir une limite suprieurede la masse du photon:me < 10

54kg, prdisent une trs petite diffrence entre la vitesse dela lumire et cette vitesse limite, qui ne pourrait pas tre mesure exprimentalement avec lestechniques actuelles.


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Avec, en plus, la condition qui impose que lorigine de lespace et dutemps est commune aux deux rfrentiels:

0 =F(0, 0, a1,..., an) (3)

0 =G(0, 0, a1, ..., an) (4)

Un argument simple nous aide tablir le nombre de paramtres quiintervient dans la transformation. Soit un objet se dplaant dans le rfren-tiel R suivant Ox et passant par lorigine a t=0. On pourrait choisir les nparamtres dont dpend la transformation inertielle de telle sorte que lavitesse, lacclration et les drives dordre suprieur de la position dansun rfrentiel R quivalent au premier soient arbitraires. Or, on sait parlexprience que seulement la vitesse est relative et que lacclration doitrester la mme. Ainsi, on conclue que n=1, do :

x =F(x, t, a) (5)

t

=G(x, t, a) (6)

Avec, en plus, la condition qui impose que lorigine de lespace et du tempsest commune aux deux rfrentiels:

0 =F(0, 0, a) (7)

0 =G(0, 0, a) (8)

Dans la suite de larticle, une forme prcise de cette transformation iner-tielle est drive en faisant des considrations gnrales sur la structure delespace-temps et en exigeant que les transformations respectent une struc-ture de groupe. Les hypothses qui contraignent les transformations sont

les suivantes : homognit de lespace-temps, isotropie de lespace-temps,structure de groupe et condition de causalit.

Lhomognit de lespace-temps impose quil a les mmes proprits entout point et tout instant. Ainsi, lintervalle (x,t) dpend seulement de(x,t) et pas des extrmits de x ou t. . En crivant la transformationdun intervalle infinitsimal (dx,dt) et en prenant en compte que (dx,dt)dpend seulement de (dx,dt) on en deduit que les fonctions F et G sontfonctions lineaires de x et de t.Si on regarde un mouvement obtenu par-tir du repos par une transformation inertielle (un mouvement inertiel), onse rend compte quon peut utiliser un paramtre v qui a les dimensionsdune vitesse au lieu du paramtre a utilis prcdemment.Avec ces consid-

rations, on peut crire les formules qui dcrivent les transformations de lamanire suivante :

x =(v)(x vt) (9)

t =(v)((v)t (v)x) (10)

On observe que les transformations dpendent de trois fonctions incon-nues. Les trois hypothses suivantes serviront liminer cette indtermina-tion et obtenir la forme finale des transformations de Lorentz.


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La deuxime hypothse est que lespace est isotrope. Cela veut dire queses proprits sont invariantes par une rotation du systme de coordon-nes(ou ne possdent pas une dpendance directionnelle). Dans larticleseul le cas unidimensionnel est analys. Ainsi, si (x,t) et (x,t) sont deux en-sembles de coordonnes relis par une transformation inertielle, alors [(-x,t)et (-x,t)] et [(x,-t) et (x,-t)] sont des coordonnes quivalents du mme vne-

ment et peuvent tre relis par une transformation inertielle de la forme(9)-(10), dpendant dun paramtre u inconnu3. Larticle aborde le cas desymtrie par renversement de laxe x. Je vais montrer ici quon obtient lesmmes rsultats si on impose nos formules une condition de symtrie parrenversement de laxe du temps:

x =(u)(x +ut) (11)

t =(u)((u)t (u)x) (12)

Si on compare (9)-(10) avec (11)-(12) on obtient :

(u) =(v) (13)

u(u) = v(v) (14)

(u)(u) =(v)(v) (15)

(u)(u) =(v)(v) (16)

On trouve ainsi que u=-v et on a des nouveaux renseignements sur laparit des fonctions, et : et sont paires, tandis queest impaire.

On est parti du postulat de la relativit qui exige une quivalence entretous les rfrentiels inertiels. Cela exige une structure de groupe pour les

transformations inertielles, cest--dire quils doivent remplir les conditionssuivantes :

1) Il existe une transformation identique pour laquelle x=x et t=t. Onvoit aisment que cette transformation est obtenue pour v=0 et (0) = 1,(0) =1,(0) =0.

2) Il existe une transformation inverse de la mme forme que (9)-(10), quidpend du paramtre w et qui transforme (x,t) en (x,t). En inversant lesformules (9)-(10) et en faisant des considrations de symtrie on arrive auxconclusions suivantes : (v) =1, w=-v et 2(v)(1 v(v)) =1.

3) Si on effectue deux transformations inertielles, le rsultat doit tre dela forme (9)-(10)4.Ainsi, on obtient lexpression suivante pour V:

V= v1+v2

1 + v1v2(17)

ouest une constante.

3 Car lisotropie impose aux formules de transformation une symtrie par renversement de laxex ou de laxe du temps.

4 On effectue deux transformations paramtres par les vitesses v1 et v2 et on identifie les ex-pressions obtenues pour x2 et t2 avec une transformation de la forme (9)-(10) de paramtreV.


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Trois cas se prsentent: < 0,= 0 et > 0. Le cas = 0nest pas in-tressant parce quil redonne les transformations de Galile et la loi usuellede composition des vitesses: V=v1+v2. Il faut maintenant discerner quel estla bonne transformation , celle avec < 0ou celle avec > 0. Avant defaire cela, on remarque que pour < 0 les paramtres v qui caractrisentles transformations peuvent prendre toute valeur sur laxe relle, tandis que

pour > 0on a une contrainte : -c


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un rsultat qui tait considr comme hypothse initiale dans la drivationhistorique dEinstein.

Je pense quavant toute drivation des lois de transformations, il est im-portant davoir une image claire de lespace-temps qui soit indpendantede la lumire ou de toute autre phnomne qui se manifeste dans lespace-

temps. Une drivation comme celle propose dans cet article est beaucoupplus satisfaisante que les drivations usuelles (surtout plus satisfaisante quela drivation qui regarde un signal lumineux dans deux rfrentiels dif-frents)et permet de regarder les choses dune manire plus gnrale. Parexemple, lun des avantages de cette drivation est quelle nous fait rflchirsi la lumire se propage vraiment a la vitesse c limite trouve danslarticle ou non5.

Mme si les hypothses dhomognit et disotropie de lespace sontfaites aussi dans le cadre de drivations classiques des transformations deLorentz, ils sont des hypothses essentielles sans lesquelles on narriveraitpas au mme rsultat. Il me semble intuitif de partir de telles considrations

gnrales et je considre que le dveloppement des arguments est logique etfacile suivre. Cependant, il serait intressant de faire une discussion plusprofonde sur les raisons pour lesquelles lespace-temps serait homogne etisotrope. Mme si je nai pas des connaissances suffisantes de topologie,je me suis pos une question : Est-ce quun espace-temps isotrope en toutpoint est homogne ? Et alors, lisotropie inclurait lhomognit ? Deplus, il me semble quun espace-temps homogne rentrerait en conflit avecun univers en expansion. Alors, vu que les transformations de Lorentzsappliquent seulement pour un espace-temps homogne et isotrope (parceque ces deux proprits ont t prises comme hypothses), est-ce quilssappliqueraient si notre univers ntait pas homogne et isotrope? Sinon,est-ce quil serait possible de trouver des transformations encore plus gnrales

dont les transformations de Lorentz sont seulement une approximationpour une rgion particulire de lunivers ?

Je crois quil serait mieux de faire une prsentation de la drivation destransformations de Lorentz qui ne prend en compte aucune contrainte im-pose par une vitesse limite lors dun premier contact dun tudiant avecla relativit restreinte. Ainsi, il pourrait se former une vision plus gnralede la thorie de la relativit et ne serait pas pig dans ses raisonnementspar une vue qui donne un place privilgi aux rayonnements lectromagn-tiques et la lumire.

En ce qui concerne la structure de groupe qui doit tre respecte par les

transformations de Lorentz, comme consquence de lquivalence entre lesrfrentiels inertiels, une discussion plus qualitative serait intressante. Parexemple, si R et R sont deux repres, alors lquivalence de rfrentielsimpose que les lois de la physique sont invariantes quand on passe de R R (rflexivit) et que si elles sont invariantes quand on passe de R R,alors elles sont aussi invariantes quand on passe de R R (symtrie). Deplus, si on considre un troisime repre R, si les lois de la physique sont

5 Le fait que la vitesse c nest pas infinie ne peut pas tre dduit par la drivation seule, maisil y a des nombreuses expriences qui montre que c a une valeur finie. Par exemple, le faitque la masse des particules semble augmenter avec la vitesse croissante reprsente une despreuves que cette vitesse c a une limite finie.


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invariantes quand on passe successivement de R a R et de R a R, alorselles le sont quand on passe directement de R a R (transitivit).

Lhypothse de causalit est une hypothse de bon sens pose pourgarder un certain ordre dans lunivers. Lexprience nous montre quilexiste de relation cause et effet dans la nature et parat naturel de choisir la

loi de composition qui garde la causalit dans tous les rfrentiels inertiels.Ainsi, je trouve trs intressante la puissance de cette hypothse qui dlimiteles deux cas possibles de transformations et garde celle qui concide unevision humaine de choses .

En conclusion, larticle propose une nouvelle manire de prsenter lestransformations de Lorentz, qui ne se base pas sur des considrations surune classe particulire de phnomnes physiques, comme les drivationsclassiques. Ainsi, je considre que cette manire daborder le problme estbeaucoup plus gnrale et moins contraignante que la version classique, quipeut embrouiller ltudiant cause de la trop forte importance donne lavitesse de la lumire.

Le fait quil peut exister une particule qui se dplace plus vite que lavitesse de la lumire mintresse et je suis curieux de voir quels sont lesparadoxes lis la causalit que lexistence dune telle particule engendr-erait. La note (24) de larticle souligne la diffrence entre la vitesse rela-tive entre deux rfrentiels, v qui doit tre toujours plus petite que c, et lavitesse de quelque chose dans un rfrentiel donne, qui pourrait tre

plus grande que c pour les tachyons et pour les ombres par exemple. Danscette partie je vais parler de tachyons et de leur existence hypothtique, maisje vais me concentrer sur les paradoxes engendrs par leur existence si ilspouvaient transmettre de linformation avec une vitesse plus grande que c6.

Le tachyon est particule hypothtique dont les principales caractristiqueest davoir une vitesse toujours suprieure la vitesse de la lumire dans levide c .Pour linstant il ny a aucune preuve exprimentale de lexistencedune telle particule, mais il y a encore des expriences qui essaient deles dtecter.Le terme tachyon est apparu dans un article de 1967, quandFeinberg a propos que les tachyons puissent tre des quanta dun champquantique de masse imaginaire. Cependant, il sest avr plus tard que les

excitations dun tel champ ne pourraient pas se propager plus vite que lavitesse de la lumire et quelles reprsentent en fait une instabilit appele condensat de tachyons .

Si on suppose quune particule telle que le tachyon existe, alors elle pour-rait tre utilise pour construire des tlphones anti-tachyoniques quipourraient tre utilises pour envoyer des signaux qui ont une vitesse plusgrande que celle de la lumire. Un tel appareil violerait la causalit, car il

6 On dsigne par c la vitesse limite que peut prendre v et on va lidentifier la vitesse de lalumire dans la suite, car aucune exprience actuelle na pu jusqu prsent montrer que lavitesse de la lumire est diffrente de c.


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pourrait tre utilis pour envoyer des signaux (dinformation) dans le pass.Le paradoxe qui sera discut peut tre compris en termes de relativit dela simultanit dans la relativit restreinte. Ainsi, si deux vnements quise sont passs des endroits diffrents sont regards par deux observateursqui appartiennent deux rfrentiels diffrents, il peut y avoir des contra-dictions entre les deux observations : les deux observateurs peuvent tre en

dsaccord avec lordre dans lequel les vnements se sont passs.

Je vais maintenant prsenter une exprience de pense propose parRichard Chace Tolman qui engendre une violation de la causalit. Soit lespointsx0 et x1 les extrmits dune distance quon va appeler x0x1. On en-voie un signal depuisx0, qui se propage avec la vitesse a vers x1.On mesurele temps mis par le signal de parcourir la distance x0x1 dans le rfrentieldans lequel les pointsx0 etx1 sont au repos et on obtient :

t= t1 t0 = x1 x0

a (18)

On considre que lvnement qui se produit en x0(lmission du signal)

est la cause dun vnement qui va se produire enx1au moment o le signalarrive en ce point. Considrons maintenant un deuxime rfrentiel inertiel,quivalent au premier et se dplaant avec une vitesse v par rapport lui.Dans ce deuxime rfrentiel, le temps mis pour le signal darriver en x1scrit :

t =t 1 t

0 = (v)(t1x1v

c2 ) (v)(t0

x0v

c2 ) =(v)(1

av

c2)t (19)

On remarque aisment que pour des valeurs de la vitesse a du signaltelles que : a>c, on peut toujours trouver un intervalle de temps t ngatifdans le deuxime rfrentiel pour certaines valeurs de la vitesse v. Ainsi,leffet est antrieur la cause dans le deuxime rfrentiel, ce qui viole lacausalit.

On pourrait conclure que pour prserver la causalit, si de telles par-ticules qui ont une vitesse plus grande que celle de la lumire existent,alors on ne devrait pas tre capables de les utiliser pour communiquerdinformation.Rcemment il y a eu plusieurs essaies pour liminer ce genrede paradoxes. Un dentre eux a t le principe de cohrence de Novikovqui affirme que la probabilit dexistence dun vnement pouvant provo-quer un paradoxe est nulle. Lautre essaie a est reprsent par lide deHugh Everett, qui a propos une interprtation alternative de la mcaniquequantique : linterprtation de mondes multiples (many world interpreta-tion). Cette interprtation dit que chaque vnement produit des bifur-cations dans lunivers. Par exemple, le paradoxe du chat de Schrdingerdans linterprtation dEverett des mondes multiples sexplique comme suit: le chat est la fois mort et vivant avant louverture de la boite, mais le chatmort et le chat vivant existent dans des bifurcations diffrentes de lunivers,qui sont tout aussi relles lune que lautre, aprs louverture de la boite.


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[1]J.M LEVY-LEBLOND: Am. J. Phys. 44,271(1976)[2]A.R LEE et T.M KALOTAS: Am. J. Phys. 43,434 (1975)[3]Wikipedia contributors. "Tachyonic antitelephone." Wikipedia, The FreeEncyclopedia.

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